【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2022年全国甲卷数学（理科）高考真题文档版（原卷）.docx，共(12)页，547.914 KB，由envi的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小

题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若13iz=−+，则1zzz=−（）A．13i−+B．13i−−C．13i33−+D．13i33−−2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．

为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题

的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集{2,1,0,1,2,3}U=−−，集合2{1,2},430ABxxx=−=−+=∣，则()UAB=ð（

）A．{1,3}B．{0,3}C．{2,1}−D．{2,0}−4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．函数()33cosxxyx−=−在区间ππ,22

−的图像大致为（）A．B．C．D．6．当1x=时，函数()lnbfxaxx=+取得最大值2−，则(2)f=（）A．1−B．12−C．12D．17．在长方体1111ABCDABCD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABAD=B．AB与平面1

1ABCD所成的角为30C．1ACCB=D．1BD与平面11BBCC所成的角为458．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在A

B上，CDAB⊥．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA=+．当2,60OAAOB==时，s=（）A．11332−B．11432−C．9332−D．9432−9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和

S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．510410．椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．32B．22C

．12D．1311．设函数π()sin3fxx=+在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A．513,36B．519,36C．138,63D．1319,6612．已知3111,cos,4sin324

4abc===，则（）A．cbaB．bacC．abcD．acb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量a，b的夹角的余弦值为13，且||1,||3==ab，则(2)+=abb____

_____．14．若双曲线2221(0)xymm−=的渐近线与圆22430xyy+−+=相切，则m=_________．15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．16．已知ABC△中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD===．当ACA

B取得最小值时，BD=________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan+=+．（1）证明：na是等差数列；（2）若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．18．（12分）在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP===

==∥．（1）证明：BDPA⊥；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．19．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校

获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．（12分）设抛物线2:2(0)Cyp

xp=的焦点为F，点(),0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF=．（1）求C的方程；（2）设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当−取得最大值时，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数()lenxfxxxax−=

+−．（I）若()0fx，求a的取值范围；（2）证明：若()fx有两个零点12,xx，则121xx．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲

线1C的参数方程为26txyt+==，（t为参数），曲线2C的参数方程为26sxys+=−=−，（s为参数）．（1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0

−=，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c均为正数，且22243abc++=，证明：（1）23abc++；（2）若2bc=，则113ac+．绝密

★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、

考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12

小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1114.3315.6

35.16.31−##1+3−三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.（

1）解：因为221nnSnan+=+，即222nnSnnan+=+①，当2n时，()()()21121211nnSnnan−−+−=−+−②，①−②得，()()()22112212211nnnnSnSnnannan−−+−−−=+−−−−，即()12212211nnnannana−+−=

−−+，即()()()1212121nnnanan−−−−=−，所以11nnaa−−=，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．（2）78−．18.（1）证明：在四边形ABCD中，作DEAB⊥于E，CFAB⊥于F，因为//,1,2CDABADCDCBAB====，所以四边形ABC

D为等腰梯形，所以12AEBF==，故32DE=，223BDDEBE=+=，所以222ADBDAB+=，所以ADBD⊥，因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD⊥，又PDADD=，所以BD⊥

平面PAD，又因PA平面PAD，所以BDPA⊥；（2）55.19.（1）0.6；（2）分布列见解析，()13EX=.【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，()00.50.40.80.16P

X===,()100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44PX==++=，()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34PX==++=，()300.50.60.20.06PX==

=.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望()00.16100.44200.34300.0613EX=+++=.20.（1）24yx=；（2）:24ABxy=+.21.已知函数()lnxfxxaxxe−=+−．（1）(,

1]e−+（2）由题知,()fx一个零点小于1,一个零点大于1不妨设121xx<<要证121xx,即证121xx因为121,(0,1)xx,即证()121fxfx因为()()12fxfx=,即证()221fxfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxx

xxx−+−−−+即证1e11e2ln02xxxxxxx−−−−下面证明1x时，1e11e0,ln02xxxxxxx−−−设11(),eexxgxxxx=−，则11122111

111()eee1ee1xxxxxgxxxxxxxx=−−+−=−−−111e1e1eexxxxxxxxx−=−−=−设()()()22e1111,ee0xxxxxx

xxxxx−==−=所以()()1ex=,而1eex所以1ee0xxx−,所以()0gx所以()gx在(1,)+单调递增即()(1)0gxg=,所以1ee0xxxx−令11(

)ln,12hxxxxx=−−2222211121(1)()10222xxxhxxxxx−−−−=−+==所以()hx在(1,)+单调递减即()(1)0hxh=,所以11ln02xxx−−；综上,1e11e2ln02xxxxxxx

−−−−,所以121xx.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）()2620yxy=−；（2）31,CC的交点坐标为1,12

，()1,2，32,CC的交点坐标为1,12−−，()1,2−−．[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：由柯西不等式有()()()222222221112abcabc++++++，所以

23abc++，当且仅当21abc===时，取等号，所以23abc++；（2）证明：因为2bc=，0a，0b，0c，由（1）得243abcac++=+，即043ac+，所以1143ac+，由权方和不等式知()22212111293444acacacac++=+=++，当且仅当

124ac=，即1a=，12c=时取等号，所以113ac+