【文档说明】2022年高考真题——文科数学（全国甲卷）含解析.doc，共(22)页，1.800 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每

小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合5{2,1,0,1,2},02ABxx=−−=∣，则AB=（）A.0,1,2B.{2,1,0}−−C.{0,1}D.{1,2}【答案】A【解析】【分析】根据集

合的交集运算即可解出．【详解】因为2,1,0,1,2A=−−，502Bxx=∣，所以0,1,2AB=．故选：A.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居

民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题

的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平

均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%−=，讲座前问卷答题的正确率的极差为9

5%60%35%20%−=,所以D错.故选:B.3.若1iz=+．则|i3|zz+=（）A.45B.42C.25D.22【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1iz=+，所以()()i3i1i31i22izz+=++

−=−，所以i34422zz+=+=．故选：D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A.8B.12C.16D.20【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几

何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积2422122V+==.故选：B.5.将函数π()sin(0)3fxx=+的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最

小值是（）A.16B.14C.13D.12【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kk+=+Z，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx=++=++

，又C关于y轴对称，则,232kk+=+Z，解得12,3kk=+Z，又0，故当0k=时，的最小值为13.故选：C.6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()(

)()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，

故概率为62155=.故选：C.7.函数()33cosxxyx−=−在区间ππ,22−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除

即可得解.【详解】令()()33cos,,22xxfxxx−=−−，则()()()()()33cos33cosxxxxfxxxfx−−−=−−=−−=−，所以()fx为奇函数，排除BD；又当0,2x时，330,cos0xxx

−−，所以()0fx，排除C.故选：A.8.当1x=时，函数()lnbfxaxx=+取得最大值2−，则(2)f=（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知()12f=-，()10f=即可解得,ab，再根据()fx即可解出．【详解】因为函数()fx定义

域为()0,+，所以依题可知，()12f=-，()10f=，而()2abfxxx=−，所以2,0bab=−−=，即2,2ab=−=−，所以()222fxxx=−+，因此函数()fx在()0,1上递增，在()1,+上递减，1x=时

取最大值，满足题意，即有()112122f=−+=−．故选：B.9.在长方体1111ABCDABCD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30°，则（）A.2ABAD=B.AB与平面11ABCD所成的角为30°C.1ACCB=D.1BD与平面11BBCC所成的角为45

【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,ABaADbAAc===，依题以及长方体的结构特征可知，1BD与平面ABCD所成角为1BDB，1BD与平面11AABB所成角为1DBA，所以11sin30cbBDBD==，即bc=，

22212BDcabc==++，解得2ac=．对于A，ABa=，ADb=，2ABAD=，A错误；对于B，过B作1BEAB⊥于E，易知BE⊥平面11ABCD，所以AB与平面11ABCD所成角为BAE，因为2tan2cBAEa==，所以30BAE，B错误；

对于C，223ACabc=+=，2212CBbcc=+=，1ACCB，C错误；对于D，1BD与平面11BBCC所成角为1DBC，112sin22CDaDBCBDc===，而1090DBC，所以145DBC=．D正

确．故选：D．10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A.5B.22C.10D.5104【答案】C【解析】【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆

锥底面圆半径为2r，根据圆锥的侧面积公式可得122rr=，再结合圆心角之和可将12,rr分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底

面圆半径为2r，则11222SrlrSrlr===甲乙，所以122rr=，又12222rrll+=，则121rrl+=，所以1221,33rlrl==，所以甲圆锥的高2214593hlll=−=，乙圆锥的高22212293hlll=−=，所以2211222214539310112239

3rhllVVrhll===甲乙.故选：C.11.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA=−，则C的方程为（）A.2211816x

y+=B.22198xy+=C.22132xy+=D.2212xy+=【答案】B【解析】【分析】根据离心率及12=1−BABA，解得关于22,ab的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa==−=，解得2289ba=，2289=ba

，12,AA分别为C的左右顶点，则()()12,0,,0AaAa−，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)=−−=−BAabBAab，因为121BABA=−所以221−+=−ab，将2289=

ba代入，解得229,8ab==，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.12.已知910,1011,89mmmab==−=−，则（）A.0abB.0abC.0baD.0ba【答案】A【解析】【分析

】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log101m=，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m，8log9m，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log101lg9m==，而()222lg9lg11lg99lg9lg111

lg1022+==，所以lg10lg11lg9lg10，即lg11m，所以lg11101110110ma=−−=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+=，所以lg9lg10l

g8lg9，即8log9m，所以8log989890mb=−−=．综上，0ab．故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(,3),(1,1)ambm==+．若ab⊥，则m=______________．【答案】34−

##0.75−【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0abmm=++=，解得34m=−.故答案为：34−.14.设点M在直线210xy+−=上，点(3,0)和(

0,1)均在M上，则M的方程为______________．【答案】22(1)(1)5xy−++=【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线210xy+−=上，∴设点M为(,12)−aa，又因为点(3,0)和(

0,1)均在M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴2222(3)(12)(2)−+−=+−=aaaaR，222694415−++−+=aaaaa，解得1a=，∴(1,1)M−，5R=，M的方程为22(1)(1)5xy−++=.故答案为：22(1)

(1)5xy−++=15.记双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为e，写出满足条件“直线2yx=与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足15e皆可

）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线byxa=中02ba即可求得满足要求的e值.【详解】解：2222:1(0,0)xyCabab−=，所以C的渐近线方程为byxa=,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足

条件“直线2yx=与C无公共点”所以221145==++=cbeaa，又因为1e，所以15e，故答案为：2（满足15e皆可）16.已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD===．当ACAB取得最小值时，B

D=________．【答案】31−##1+3−【解析】【分析】设220CDBDm==，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm==，则在ABD△中，22222c

os42ABBDADBDADADBmm=+−=++，在ACD△中，22222cos444ACCDADCDADADCmm=+−=+−，所以()()()2222224421214441243424211mmmACmmABmmmmmm++−++−==

=−+++++++()1244233211mm−=−++，当且仅当311mm+=+即31m=−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m=−.故答案为：31−.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~2

1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列

联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，()2PKk…0.1000

.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K，再利用临

界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则24012()26013==PM；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家

公司长途客车准点事件为N，则210()27840==PN.A家公司长途客车准点的概率为1213；B家公司长途客车准点的概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计4505050022()()()()()nadbcKabcdacbd−

=++++=2500(2403021020)3.2052.70626024045050−，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan+=+．（1）证明：

na是等差数列；（2）若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）78−．【解析】【分析】（1）依题意可得222nnSnnan+=+，根据11,1,2nnnSnaSSn−==−，作差即可得到11nnaa−−=，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质

求出1a，即可得到na的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为221nnSnan+=+，即222nnSnnan+=+①，当2n时，()()()21121211nnSnnan−−+−=−+−

②，①−②得，()()()22112212211nnnnSnSnnannan−−+−−−=+−−−−，即()12212211nnnannana−+−=−−+，即()()()1212121nnnanan−−−−

=−，所以11nnaa−−=，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得413aa=+，716aa=+，918aa=+，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa=，即()()()2111638aaa+=++，解得112a=−，所以13na

n=−，所以()22112512562512222228nnnSnnnn−=−+=−=−−，所以，当12n=或13n=时()min78nS=−．19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（

单位：cm）的正方形，,,,EABFBCGCDHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：//EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】（1）证明见解析；（2）64033．【解析】【分析】（1）分别

取,ABBC的中点,MN，连接MN，由平面知识可知,EMABFNBC⊥⊥，EMFN=，依题从而可证EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知//EMFN，即可知四边形EMNF为平行四边形，于是//EFMN，最后根据线面平行的判

定定理即可证出；（2）再分别取,ADDC中点,KL，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNLEFGH−的体积加上四棱锥BMNFE−体积的4倍，即可解出．【小问1详解】如图所示：，分别取,ABBC的

中点,MN，连接MN，因为,EABFBC为全等的正三角形，所以,EMABFNBC⊥⊥，EMFN=，又平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB=，EM平面EAB，所以EM⊥平面ABCD，同理可得FN⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知//EMFN，而E

MFN=，所以四边形EMNF为平行四边形，所以//EFMN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，所以//EF平面ABCD．【小问2详解】如图所示：，分别取,ADDC中点,KL，由（1）知，//EFMN且EFMN=，同理有，//,HEKMHEKM=，//,HGKLHGKL

=，//,GFLNGFLN=，由平面知识可知，BDMN⊥，MNMK⊥，KMMNNLLK===，所以该几何体的体积等于长方体KMNLEFGH−的体积加上四棱锥BMNFE−体积的4倍．因为42MNNLLKK

M====，8sin6043EM==，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d，22d=，所以该几何体的体积()2125664042434424322128333333V=+=+=．20.已知函数32(),()fxxxgxxa=−=+，曲线()yfx=在点()()1

1,xfx处的切线也是曲线()ygx=的切线．（1）若11x=−，求a；（2）求a的取值范围．【答案】（1）3（2）)1,−+【解析】【分析】（1）先由()fx上的切点求出切线方程，设出()gx上的切点坐标，由斜率求出

切点坐标，再由函数值求出a即可；（2）设出()gx上的切点坐标，分别由()fx和()gx及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.【小问1详解】由题意知，(1)1(1)0f−=−−−=，2()3

1xfx=−，(1)312f−=−=，则()yfx=在点()1,0−处的切线方程为2(1)yx=+，即22yx=+，设该切线与()gx切于点()22,()xgx，()2gxx=，则22()22gxx==，解得21x=，则(1)122ga=+=+，解得3a=；【小问2详解】

2()31xfx=−，则()yfx=在点()11(),xfx处的切线方程为()()32111131()yxxxxx−−=−−，整理得()2311312yxxx=−−，设该切线与()gx切于点()22,()xgx，()2gxx=，则22()2gxx=，则切线

方程为()22222()yxaxxx−+=−，整理得2222yxxxa=−+，则21232123122xxxxa−=−=−+，整理得2223343212111113193122222424xaxxxxxx=−=−−=−−+，令432931()2424hxxxx=−−+

，则32()9633(31)(1)hxxxxxxx=−−=+−，令()0hx，解得103x−或1x，令()0hx，解得13x−或01x，则x变化时，(),()hxhx的变化情况如下表：x1,3−−

13−1,03−0()0,11()1,+()hx−0+0−0+()hx527141−则()hx的值域为)1,−+，故a的取值范围为)1,−+.21.设抛物线2:2(0)Cypxp

=的焦点为F，点(),0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF=．（1）求C的方程；（2）设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当−取得最大值时，求直线AB

的方程．【答案】（1）24yx=；（2）:24ABxy=+.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得=2pMFp+，即可得解；（2）设点的坐标及直线:1MNxmy=+，由韦达定理及斜率公式可得2MNABkk=，再由差角的

正切公式及基本不等式可得22ABk=，设直线:2ABxyn=+，结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线的准线为2px=−，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时=32pMFp+=，所以2p=，所以

抛物线C的方程为24yx=；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444yyyyMyNyAyBy，直线:1MNxmy=+，由214xmyyx=+=可得2440ymy−−=，120,4yy=−，由斜率公

式可得12221212444MNyykyyyy−==+−，34223434444AByykyyyy−==+−，直线112:2xMDxyy−=+，代入抛物线方程可得()1214280xyyy−−−=，130,8yy=−，所以322yy=，同理可得412yy=，所以

()34124422MNABkkyyyy===++又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以tantan22MNABkk===，若要使−最大，则0,2，设220MNABkkk==，则

()2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk−−====+++，当且仅当12kk=即22k=时，等号成立，所以当−最大时，22ABk=，设直线:2ABxyn=+，代入抛物线方程可得24240yyn−−=，

34120,4416yynyy=−==−，所以4n=，所以直线:24ABxy=+.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：

坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为26txyt+==（t为参数），曲线2C的参数方程为26sxys+=−=−（s为参数）．（1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0−=，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标．【答案】（1）()2620yxy=−；（2）31,CC的交点坐标为1,12，()1,2

，32,CC的交点坐标为1,12−−，()1,2−−．【解析】【分析】(1)消去t，即可得到1C的普通方程；(2)将曲线23,CC的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】因为26tx+=，yt=，所

以226yx+=，即1C的普通方程为()2620yxy=−．【小问2详解】因为2,6sxys+=−=−，所以262xy=−−，即2C的普通方程为()2620yxy=−−，由2cossin02cossin0−=−=，即3C的普通方程为20xy−=．联立()262020yxyx

y=−−=，解得：121xy==或12xy==，即交点坐标为1,12，()1,2；联立()262020yxyxy=−−−=，解得：121xy=−=−或12xy=−=−，即交点坐标为1,12−−，()1

,2−−．[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c均为正数，且22243abc++=，证明：（1）23abc++；（2）若2bc=，则113ac+．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242abcabc++=

++，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043ac+，即可得到1143ac+，再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明：由柯西不等式有()()()222222221112abcabc++++++，所以23abc++

，当且仅当21abc===时，取等号，所以23abc++；【小问2详解】证明：因为2bc=，0a，0b，0c，由（1）得243abcac++=+，即043ac+，所以1143ac+，由权方和不等式知()22212111293444acacac

ac++=+=++，当且仅当124ac=，即1a=，12c=时取等号，所以113ac+.