2021人教A版数学必修4训练:第三章 三角恒等变换 章末综合检测

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以下为本文档部分文字说明:

章末综合检测(三)时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知cosx=34,则cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18解析:cos2x=2cos2x-1=2×

342-1=18.故选D.答案:D2.已知cosα-π4=14,则sin2α=()A.3132B.-3132C.78D.-78解析:∵cosα-π4=14,∴2cos2α-π4-1=2×116-1=-78=cos

2α-π2=cosπ2-2α=sin2α.答案:D3.若θ∈π4,π2,sin2θ=378,则sinθ=()A.35B.45C.74D.34解析:∵θ∈π4,π2,∴2θ∈π2,π,∴cos2θ=-1-si

n22θ=-1-3782=-18.∴sin2θ=1-cos2θ2=1--182=916,∴sinθ=34.答案:D4.y=sin2x+π3cosx-π6+cos2x+π3

sinπ6-x的图象的一条对称轴方程是()A.x=π4B.x=π2C.x=πD.x=3π2解析:y=sin2x+π3cosx-π6+cos2x+π3·sinπ6-x=sin2x+π3+π6-x=sin

π2+x=cosx,故选C.答案:C5.已知等腰三角形顶角的余弦值等于45,则这个三角形底角的正弦值为()A.1010B.-1010C.31010D.-31010解析:设这个等腰三角形的顶角为2α,底

角为β,则2α+2β=π且cos2α=45,∴α+β=π2.∴sinβ=sinπ2-α=cosα=1+cos2α2=31010.答案:C6.4sin80°-cos10°sin10°=()A.3B.-3C.2D.22-3解析:因为4sin80

°-cos10°sin10°=4sin80°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin(30°-10°)-cos10°sin10°=-3,故选B.答案:B7.设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间

0,π2上的最小值为-4,则α的值为()A.4B.-6C.-4D.-3解析:f(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin2x+π6+a+1.当x∈

0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,∴f(x)min=2×-12+a+1=-4.∴a=-4.故选C.答案:C8.已知θ为第二象限角,且cosθ2=-12,则1-sin

θcosθ2-sinθ2的值是()A.-1B.12C.1D.2解析:∵θ为第二象限角,∴θ2为第一或第三象限角.∵cosθ2=-12,∴θ2为第三象限角且sinθ2=-32,∴1-sinθcosθ2-sinθ2=

cosθ2-sinθ2cosθ2-sinθ2=1.故选C.答案:C9.y=sin2x-π3-sin2x的一个单调递增区间是()A.-π6,π3B.π12,7π12C.5π12,13π12D.π3

,5π6解析:y=sin2x-π3-sin2x=sin2xcosπ3-cos2xsinπ3-sin2x=-12sin2x-32cos2x=-sin2x+π3.∴y=-sin2x+π

3的单调递增区间是y=sin2x+π3的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z.令k=0,得x∈π12,7π12.故选B.答案:B10.若3cosπ2-θ+cos(π+θ)=

0,则cos2θ+12sin2θ的值是()A.-65B.-45C.65D.45解析:∵3cosπ2-θ+cos(π+θ)=0,由诱导公式可得3sinθ-cosθ=0,即tanθ=13,∴cos2θ+12sin2θ=cos2θ+sinθcosθsin2θ+

cos2θ=1+tanθ1+tan2θ=1+131+19=65.答案:C11.当y=2cosx-3sinx取得最大值时,tanx的值是()A.32B.-32C.13D.4解析:y=2cosx-3sinx=13213cosx-313sinx=13(sinφcosx-

cosφsinx)=13sin(φ-x).当sin(φ-x)=1,即φ-x=2kπ+π2(k∈Z)时,y取到最大值.∴φ=2kπ+π2+x(k∈Z),∴sinφ=cosx,cosφ=-sinx,∴cosx=sinφ=213,sinx=-cosφ

=-313.∴tanx=-32.答案:B12.已知A,B,C是△ABC的三个内角,设f(B)=4sinB·cos2π4-B2+cos2B.若f(B)-m<2恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-3,+∞)C.(-∞,3)

D.(1,+∞)解析:f(B)=4sinBcos2π4-B2+cos2B=4sinB1+cosπ2-B2+cos2B=2sinB(1+sinB)+(1-2sin2B)=2sinB+1.∵f(B)-m<2恒成立,即m>2sinB-1恒成立.∵0<B<π,∴0<sinB≤1.

∴-1<2sinB-1≤1,∴m>1.故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.tan20°+4sin20°=________.解析:原式=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin

(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.答案:314.已知sinπ6-α-cosα=13,则cos2α+π3=__

______.解析:∵sinπ6-α-cosα=13,∴sinπ6cosα-cosπ6sinα-cosα=-32sinα-12cosα=-sinα+π6=13,∴sinα+π6=-13,∴cos

2α+π3=1-2sin2α+π6=1-2×-132=79.答案:7915.设tanα=3(1+m),tan(-β)=3(tanαtanβ+m),且α,β为锐角,则α+β的值为_______

_.解析:从已知条件中解出α,β显然是十分困难的.由题设条件,比较容易联想到正切的和角公式.∵tanα=3(1+m),tan(-β)=3(tanαtanβ+m),两式相减得tanα+tanβ=3(1-tanαtanβ),∴tanα+tanβ1-tanα

tanβ=3.又α,β为锐角,所以α+β=π3.答案:π316.已知α、β∈(0,π)且tan(α-β)=12,cosβ=-7210,则tan(2α-β)=________.解析:∵0<β<π,cosβ=-7210,∴sinβ=1-cos2β=210,∴tanβ=-17.又∵tan(α-β)=

12,∴tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12+-171-12×-17=13.又tan(2α-β)=tan[(α-β)+

α]=tan(α-β)+tanα1-tan(α-β)tanα=12+131-12×13=1.答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知cosα=-34,sinβ=23,α是第三象限角,β∈

π2,π.(1)求sin2α的值;(2)求cos(2α+β)的值.解析:(1)∵α是第三象限角,cosα=-34,∴sinα=-1-cos2α=-74,∴sin2α=2sinαcosα=2×-74×-34=378.(2)∵β∈π2,π,sinβ=23,∴c

osβ=-1-sin2β=-53.又∵cos2α=2cos2α-1=2×916-1=18,∴cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ=18×-53-378×23=-5+6724.18.(12分)在△ABC中,m=(2sinB-sinC,cosC),n=(sinA

,cosA),且m∥n.(1)求角A的值;(2)求y=2sin2B+cosπ3-2B的最大值.解析:(1)∵m∥n,∴(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,∴2sinBc

osA-sin(A+C)=0,即sinB(2cosA-1)=0.∵sinB≠0,∴2cosA-1=0,即cosA=12,∴A=π3.(2)y=2sin2B+cosπ3-2B=1-cos2B+co

sπ3cos2B+sinπ3sin2B=32sin2B-12cos2B+1=sin2B-π6+1.∵A=π3,∴0<B<23π,∴-π6<2B-π6<76π,∴当2B-π6=π2,即B=π3时,y有最大值2.19.(1

2分)已知向量m=(cosx,sinx),n=(22+sinx,22-cosx),函数f(x)=m·n,x∈R.(1)求函数f(x)的最大值;(2)若x∈-32π,-π且f(x)=1,求cos

x+5π12的值.解析:(1)因为f(x)=m·n=cosx(22+sinx)+sinx·(22-cosx)=22(sinx+cosx)=4sinx+π4(x∈R),所以f(x)

的最大值是4.(2)因为f(x)=1,所以sinx+π4=14.又x∈-3π2,-π,即x+π4∈-5π4,-3π4,所以cosx+π4=-154.cos

x+512π=cosx+π4+π6=cosx+π4cosπ6-sinx+π4sinπ6=-154×32-14×12=-35+18.20.(12分)如图,点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,∠PAB=α,问

α为何值时,四边形ABTP的面积最大?解析:∵AB为直径,∴∠APB=90°,AB=1,PA=cosα,PB=sinα.又∵PT切圆于P点,∠TPB=∠PAB=α,∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=12PA·PB+12PT·PB·sinα=12sinαcosα+12sin2α=14

sin2α+14(1-cos2α)=14(sin2α-cos2α)+14=24sin2α-π4+14.∵0<α<π2,∴-π4<2α-π4<34π,∴当2α-π4=π2,即α=38π时,S四边形ABTP最大.

21.(12分)已知函数f(x)=4sinx-π3cosx+3.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间0,π2上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.解析:(1)f(x)

=4sinx-π3cosx+3=412sinx-32cosxcosx+3=2sinxcosx-23cos2x+3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,∴函数f(x)的最小正周期为T=π.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,得kπ-π12≤

x≤kπ+512π(k∈Z).∴f(x)的递增区间为kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin2x-π3在0,π2

上的图象如图,由图象可知,当且仅当m∈[3,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2×5π12=5π6,故tan(x1+x2)=tan5π6=-tanπ6=-33.22.(12分)已知

向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点π12,3和点2π3,-2.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平

移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析:(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.因为y=f(x)的图象过点π12,3和2π3,-2,所以

3=msinπ6+ncosπ6,-2=msin4π3+ncos4π3,即3=12m+32n,-2=-32m-12n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin2x+cos2x=2sin

2x+π6.由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin2x+2φ+π6.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2).由题意知x20+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x

)得sin2φ+π6=1.因为0<φ<π,所以φ=π6,因此g(x)=2sin2x+π2=2cos2x.由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为

kπ-π2,kπ,k∈Z.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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