【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2012年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）.docx，共(24)页，586.303 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指

定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+−13=（i为虚数

单位）.2．若集合}012|{−=xxA，}1|{=xxB，则BA=.3．函数xxxfcos12sin)(−=的最小正周期是.4．若)1,2(=n是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2

，该诉表面积为.6．方程03241=−−+xx的解是.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则=+++→)(lim21nnVVV.8．在6)1(xx−的

二项展开式中，常数项等于.9．已知)(xfy=是奇函数.若2)()(+=xfxg且1)1(=g.，则=−)1(g.10．满足约束条件2||2||+yx的目标函数xyz−=的最小值是.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则

有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM=，则ANAM的取值范围是.13．已知函数)(xfy=的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,

1)，C(1,0).函数)10()(=xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为.14．已知xxf+=11)(.各项均为正数的数列}{na满足11=a，)(2nnafa=+.若20122010aa=，则1120aa+的值是.二、

选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i21+是关于x的实系数方程02=++cbxx的一个复数根，则（）（A）3,2==cb.（B）1,2−==cb.（C）1,2−=−=cb.（D）3,2=−=cb.16．对于常数m、n，“0mn”是“方

程122=+nymx的曲线是椭圆”的（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17．在ABC中，若CBA222sinsinsin+，则ABC的形状是（）（A

）钝角三角形.（B）直角三角形（C）锐角三角形.（D）不能确定.18．若)(sinsinsin7727+++=NnSnn，则在10021,,,SSS中，正数的个数是（）（A）16.（B）72.（C）8

6.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成

的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）PABCD20．已知函数)1lg()(+=xxf.（1）若1)()21(0−−xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg=，求函数)

(xgy=])2,1[(x的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的

移动路径可视为抛物线24912xy=；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.（1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）

问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）xOyPA22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:22=−yxC.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=22，求过M点的坐标；（5分

）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|kk的直线l交C于P、Q两点，若l与圆122=+yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分）23．对于项数为m的有穷数列数集}{na，记},,,ma

x{21kkaaab=（k=1,2,…,m），即kb为kaaa,,,21中的最大值，并称数列}{nb是}{na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所

有的}{na；（4分）（2）设}{nb是}{na的控制数列，满足Cbakmk=++−1（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：kkab=（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若nanannn2)1()1(2+−−=，}{nb是}{na的控制

数列，求)()()(1001002211ababab−++−+−.2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+−13=1-2i（i为虚数单位）.2．若集合}012|{−=xxA，}1|{=xxB，则BA=)

1,(21.3．函数xxxfcos12sin)(−=的最小正周期是.4．若)1,2(=n是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为21arctan（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为6.6．方程03241=−−+xx的解是3log2.7．有一列正

方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则=+++→)(lim21nnVVV78.8．在6)1(xx−的二项展开式中，常数项等于-20.9．已知)(xfy=是奇函数.若2)()(+=xf

xg且1)1(=g.，则=−)1(g3.10．满足约束条件2||2||+yx的目标函数xyz−=的最小值是-2.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，

边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM=，则ANAM的取值范围是[1,4].13．已知函数)(xfy=的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(21,1)，C(1,0).函数)10()(=xx

xfy的图像与x轴围成的图形的面积为41.14．已知xxf+=11)(.各项均为正数的数列}{na满足11=a，)(2nnafa=+.若20122010aa=，则1120aa+的值是263513+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．

若i21+是关于x的实系数方程02=++cbxx的一个复数根，则（D）（A）3,2==cb.（B）1,2−==cb.（C）1,2−=−=cb.（D）3,2=−=cb.16．对于常数m、n，“0mn”是“方程122=+ny

mx的曲线是椭圆”的（B）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17．在ABC中，若CBA222sinsinsin+，则ABC的形状是（A）（A）钝角三

角形.（B）直角三角形.（C）锐角三角形.（D）不能确定.18．若)(sinsinsin7727+++=NnSnn，则在10021,,,SSS中，正数的个数是（C）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答题（本大题

共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）

3232221==ABCS，2分三棱锥P-ABC的体积为3343131232===PASVABC.6分（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.8分在三角形ADE中，DE=2，AE=2，AD=2，43222

22222cos==−+ADE，所以∠ADE=43arccos.PABCDPABCDE因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是43arccos.12分20．已知函数)1lg()(+=xxf.（1）若1)()21(0−−xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(x

g是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg=，求函数)(xgy=])2,1[(x的反函数.（8分）[解]（1）由+−01022xx，得11−x.由1lg)1lg()22lg(0122=+−−+−xxxx得101122

+−xx.……3分因为01+x，所以1010221+−+xxx，3132−x.由−−313211xx得3132−x.……6分（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy−=−=−=−==.……1

0分由单调性可得]2lg,0[y.因为yx103−=，所以所求反函数是xy103−=，]2lg,0[x.……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海

里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy=；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.（1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海

里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0=t时，P的横坐标xP=277=t，代入抛物线方程24912xy=中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分xOyPA由tan∠OAP=30712327=+，得∠OAP=arctan307，故

救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7(2tt.由222)1212()7(++=ttvt，整理得337)(1442122++=ttv.……10分因为2212+tt，当且仅当t=1时等号成立，所以222

53372144=+v，即25v.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:22=−yxC.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一

点.若|MF|=22，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|kk的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆122=+yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分

）[解]（1）双曲线1:2212=−yCx，左焦点)0,(26−F.设),(yxM，则22222262)3()(||+=++=xyxMF，……2分由M是右支上一点，知22x，所以223||22=+=xMF，得26=x.所以)2,(2

6M.……5分（2）左顶点)0,(22−A，渐近线方程：xy2=.过A与渐近线xy2=平行的直线方程为：)(222+=xy，即12+=xy.解方程组+=−=122xyxy，得=−=2142yx.……8分所求平行四边形的面积为42||

||==yOAS.……10分（3）设直线PQ的方程是bkxy+=.因直线与已知圆相切，故11||2=+kb，即122+=kb(*).由=−+=1222yxbkxy，得012)2(222=−−−−bkbxxk.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则==+−−−−2222121

2221kbkkbxxxx.))((2121bkxbkxyy++=，所以2212122121)()1(bxxkbxxkyyxxOQOP++++=+=22222222221222)1)(1(kkbkbkkbk−−+−−−−−+=+.由(*)知0=OQOP，所以OP

⊥OQ.……16分23．对于项数为m的有穷数列数集}{na，记},,,max{21kkaaab=（k=1,2,…,m），即kb为kaaa,,,21中的最大值，并称数列}{nb是}{na的控制数列.如1,3,2,

5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{na；（4分）（2）设}{nb是}{na的控制数列，满足Cbakmk=++−1（C为常数，k=1

,2,…,m）.求证：kkab=（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若nanannn2)1()1(2+−−=，}{nb是}{na的控制数列，求)()()(1001002211ababab−++−+−.[解]（1）数列}{na为：

2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.……4分（2）因为},,,max{21kkaaab=，},,,,max{1211++=kkkaaaab，所以kkbb+1.……6分因为Cbakmk=++

−1，Cbakmk=+−+1，所以011−=−−+−+kmkmkkbbaa，即kkaa+1.……8分因此，kkab=.……10分（3）对25,,2,1=k，)34()34(234−+−=−kkaak；)24()24(224−+−=−kkaak；)14()14(214−−−=−k

kaak；)4()4(24kkaak−=.比较大小，可得3424−−kkaa.……12分因为121a，所以0)38)(1(2414−−=−−−kaaakk，即1424−−kkaa；0)14)(

12(2244−−=−−kaaakk，即244−kkaa.又kkaa414+，从而3434−−=kkab，2424−−=kkab，2414−−=kkab，kkab44=.……15分因此)()()(1001002211ababab−++−

+−=)()()()()(9999141410107733abababababkk−++−++−+−+−−−=)()()()()(999814241097632aaaaaaaaaakk−++−++−+−+−−−==−−−2511424)(kkkaa

==−−251)38()1(kka=)1(2525a−.……18分2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+−13=（i为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】ii+−13=(3)(1)(1)

(1)iiii−−+−=1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。2．若集合}012|{−=xxA，}1|{=xxB，则BA=.【答案】1|12xx【解析】由集合A可得：x>12，由

集合B可得：-1<经<1，所以，BA=1|12xx【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得

。3．函数xxxfcos12sin)(−=的最小正周期是.【答案】【解析】根据韪得：1()sincos2sin222fxxxx=+=+【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的

倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则21arctan,21tan==.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低

档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.【答案】6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r，所以该圆柱的表面积为：624222=+=+=rrlS圆柱表.【点评】本题主要考查

空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程14230xx+−−=的解是.【答案】3log2【解析】根据方程03

241=−−+xx，化简得0322)2(2=−−xx，令()20xtt=，则原方程可化为0322=−−tt，解得3=t或()舍1−=t，即3log,322==xx.所以原方程的解为3log2.【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解

数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...nVVV，则12lim(...)nnVVV→+++=.【答案】78【解析】由正方体

的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim21=−=+++→nnVVV.【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61xx−

的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20−【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C()20Txx=−=−.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，

特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()yfx=是奇函数，若()()2gxfx=+且(1)1g=，则(1)g−=.【答案】3【解析】因为函数)(xfy=为奇函数，所以有)()(xfxf−=−，即,1)1(,1)1(,2)1()1(−

==+=fgfg所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+−=−=−=−fgff.【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(xfy=为奇函数，所以有)()(xfxf−=−这个

条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22xy+的目标函数zyx=−的最小值是.【答案】2−【解析】根据题意得到0,0,22;xyxy+或0,0,22;xyxy−或0,0,22;xyxy−+或0

,0,22.xyxy+−其可行域为平行四边形ABCD区域，（包括边界）目标函数可以化成zxy+=，z的最小值就是该直线在y轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A时，z有最小值，此时2min−=z.10551064224

6y=x+zBDAC【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A时，z有最小值，此时2min−=z，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个

项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32

.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BMCNBCCD=，则AMAN的取值范围是【答案】4,1【解析】以向量AB所在直线为x轴

，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==ADAB，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).ABCD设)20(),1,(),,2(xxNbM，根据题意，22xb−=，所以2(,1),(2,).2xANxAM→→−==所以123+=•→→x

ANAM()20x，所以41231+x，即→→•41ANAM.105510642246CADBMN【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运

用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()yfx=的图像是折线段ABC，其中(0,0)A、1(,1)2B、(1,0)C，函数()yxfx=（01x）的图像与x轴围成的图形的面积为.【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12xxfxxx=−+，从而得

到+−==121,22210,2)(22xxxxxxxfy所以围成的面积为41)22(21212210=+−+=dxxxxdxS，所以围成的图形的面积为41.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平

面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知1()1fxx=+，各项均为正数的数列na满足11a=，2()nnafa+=，若201020

12aa=，则2011aa+的值是.【答案】265133+【解析】据题xxf+=11)(，并且)(2nnafa=+，得到nnaa+=+112，11=a，213=a，20122010aa=，得到2010201011aa=+，解得2152010−=a（负值舍去

）.依次往前推得到2651331120+=+aa.【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2nnafa=+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题

.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若12+i是关于x的实系数方程20xbxc++=的一个复数根，则（）A．2,3bc==B.2,1bc==−C.2,1bc=−=−D.2,3bc=−=【答

案】D【解析】根据实系数方程的根的特点知12i−也是该方程的另一个根，所以bii−==−++22121，即2−=b，cii==+−3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时

要特别注意.16.对于常数m、n，“0mn”是“方程221mxny+=的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122=+nymx的曲线表示椭圆，常数常数nm,的取值为0,0,

,mnmn所以，由0mn得不到程122=+nymx的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n

m,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC中，若222sinsinsinABC+，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B、.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】由正弦定理，得,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa===代入得到

222abc+，由余弦定理的推理得222cos02abcCab+−=，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来

选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若2sinsin...sin777nnS=+++（nN），则在12100,,...,SSS中，正数的个数是（）A．16B.72C.86D.100【答

案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小

（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221==ABCS，2分三棱锥P-ABC的体积为3343131232===PASVABC.6分（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线

BC与AD所成的角.8分在三角形ADE中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos==−+ADE，所以∠ADE=43arccos.PABDPABCDE因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是43ar

ccos.12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属

于中档题．20．已知函数)1lg()(+=xxf.（1）若1)()21(0−−xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg=，求函数)(xgy=])2,1[(x的反函数.（8分）[解]（1）由+−01022xx，

得11−x.由1lg)1lg()22lg(0122=+−−+−xxxx得101122+−xx.……3分因为01+x，所以1010221+−+xxx，3132−x.由−−313211xx得3132−x.……6分（2）当

x[1,2]时，2-x[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy−=−=−=−==.……10分由单调性可得]2lg,0[y.因为yx103−=，所以所求反函数是xy103−=，]2lg,0[x.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思

想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线xOyPA24

912xy=；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.（1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]

（1）5.0=t时，P的横坐标xP=277=t，代入抛物线方程24912xy=中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan∠OAP=30712327=+，得∠OAP=arctan307，故救援船速度的方向为北偏东ar

ctan307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7(2tt.由222)1212()7(++=ttvt，整理得337)(1442122++=ttv.……10分因为2212+tt，当且仅当t=1时等号成立，所以22253372144=+v，即25

v.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．2

2．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:22=−yxC.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=22，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|kk的直线l2交C

于P、Q两点，若l与圆122=+yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分）[解]（1）双曲线1:2212=−yCx，左焦点)0,(26−F.设),(yxM，则22222262)3()(||+=++=xyxM

F，……2分由M是右支上一点，知22x，所以223||22=+=xMF，得26=x.所以)2,(26M.……5分（2）左顶点)0,(22−A，渐近线方程：xy2=.过A与渐近线xy2=平行的直线方程为：)(222+=xy，即12+=xy.解

方程组+=−=122xyxy，得=−=2142yx.……8分所求平行四边形的面积为42||||==yOAS.……10分（3）设直线PQ的方程是bkxy+=.因直线与已知圆相切，故11||2=+

kb，即122+=kb(*).由=−+=1222yxbkxy，得012)2(222=−−−−bkbxxk.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则==+−−−−22221212221kbkkbxxxx.

))((2121bkxbkxyy++=，所以2212122121)()1(bxxkbxxkyyxxOQOP++++=+=22222222221222)1)(1(kkbkbkkbk−−+−−−−−+=+.由(*)知0=OQOP，

所以OP⊥OQ.……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为xy=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属

于中档题．23．对于项数为m的有穷数列数集}{na，记},,,max{21kkaaab=（k=1,2,…,m），即kb为kaaa,,,21中的最大值，并称数列}{nb是}{na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.

（1）若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{na；（4分）（2）设}{nb是}{na的控制数列，满足Cbakmk=++−1（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：kkab=（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若

nanannn2)1()1(2+−−=，}{nb是}{na的控制数列，求)()()(1001002211ababab−++−+−.[解]（1）数列}{na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,

4；2,3,4,5,5.……4分（2）因为},,,max{21kkaaab=，},,,,max{1211++=kkkaaaab，所以kkbb+1.……6分因为Cbakmk=++−1，Cbakmk=+−+1，所以011−=−−+−+kmkmkkbbaa，即kkaa+1.……

8分因此，kkab=.……10分（3）对25,,2,1=k，)34()34(234−+−=−kkaak；)24()24(224−+−=−kkaak；)14()14(214−−−=−kkaak；)4()4(24kkaak−=.比较大小，可得342

4−−kkaa.……12分因为121a，所以0)38)(1(2414−−=−−−kaaakk，即1424−−kkaa；0)14)(12(2244−−=−−kaaakk，即244−kkaa.又kkaa414+，从而3434−−=kkab，242

4−−=kkab，2414−−=kkab，kkab44=.……15分因此)()()(1001002211ababab−++−+−=)()()()()(9999141410107733abababababkk−++−++−+−+

−−−=)()()()()(999814241097632aaaaaaaaaakk−++−++−+−+−−−==−−−2511424)(kkkaa==−−251)38()1(kka=)1(2525a−.……18分【

点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．