【文档说明】2008年高考试题——数学（江苏卷）（有解析）.doc，共(9)页，1.410 MB，由envi的店铺上传

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2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1.()cos()6fxwx=−的最小正周期为5，其中0w，则w=▲。【解析】本小题考查三角函数的周期公式。2105Tww===。答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。【解析】本小

题考查古典概型。基本事件共66个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P==。答案1123.11ii−+表示为abi+(,)abR，则ab+=▲。【解析】本小题考查复数的除法运算，1,0

,11iiabi−===+，因此ab+=1。答案14.2(1)37,Axxx=−−则AZ的元素个数为▲。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由2(1)37xx−−得2580xx−+因为0，所以A=，因此AZ=

，元素的个数为0。答案05.,ab的夹角为0120，1,3ab==，则5ab−=▲。【解析】本小题考查向量的线形运算。因为1313()22ab=−=−，所以22225(5)2510abababab−=−=+−=49。因此5ab−=7。答案76.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐

标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为▲。【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此214416P==

。答案167.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1[4,5)4.560.12

2[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。【解析】本小题考查统计与算

法知识。答案6.428.直线12yxb=+是曲线ln(0)yxx=的一条切线，则实数b=▲。【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。1yx=，令112x=得2x=，故切点为(2,ln2)，代入直线方程，得1ln222b=+，所以ln21b=−。答案ln21b=−

9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)AaBbCc，点(0,)Pp在线段OA上（异于端点），设,,,abcp均为非零实数，直线,BPCP分别交,ACAB于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：

11110xybcpa−+−=，请你求OF的方程：▲。【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想1111()()0xycbpa−+−=。事实上，由截距式可得直线:1xy

ABab+=，直线:1xyCDcp+=，两式相减得1111()()0xycbpa−+−=，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案1111()()0xycbpa−+−=。10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以

上排列的规律，第n行(3)n从左向右的第3个数为▲。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前1n−行共用了123(1)n+++−(1)2nn−个数，因此第n行(3)n从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32nn−+个，即为262nn−+。答案262nn−+

11.2,,,230,yxyzRxyzxz−+=的最小值为▲。【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230xyz−+=得32xzy+=，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz+++=，当且仅当3xz=时取“=”。答案3。12.在平面直角坐标系中，椭圆22

221(0)xyabab+=的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=▲。【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线,PAPB互相垂直，又OA

PA⊥，所以OAP是等腰直角三角形，故22aac=，解得22cea==。答案2213.若2,2ABACBC==，则ABCS的最大值▲。【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为x

轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)AB−，设(,)Cxy，由2ACBC=可得2222(1)2(1)xyxy++=−+，化简得22(3)8xy−+=，即C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动。又1222ABCccSAByy

==。答案2214.3()31fxaxx=−+对于1,1x−总有()0fx成立，则a=▲。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使()0fx恒成立，只要min

()0fx在1,1x−上恒成立。22()333(1)fxaxax=−=−01当0a=时，()31fxx=−+，所以min()20fx=−，不符合题意，舍去。02当0a时22()333(1)0fxaxax=−=−，即()fx单调递减，min()(1)

202fxfaa==−，舍去。03当0a时1()0fxxa==①若111aa时()fx在11,a−−和1,1a上单调递增，在11,aa−上单调递减。所以min1()min(1),()fxffa=−(1)40

0411()120faafaa−=−+==−②当111aa时()fx在1,1x−上单调递减，min()(1)202fxfaa==−，不符合题意，舍去。综上可知a=4.答案4

。15.如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为225,105。（1）求tan()+的值；（2）求2+的值。【解析】本小

题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得225cos,cos105==，为锐角，故72sin0sin10=且。同理可得5sin5=，因此1tan7,tan2==。（1）17tantan2tan

()11tantan172+++==−−=-3。（2）132tan(2)tan[()]11(3)2−++=++=−−=-1，0,0,223022+，从而324+=。16．在四

面体ABCD中，CB=CD，ADBD⊥，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线EFD面AC；（II）EFCD⊥面面BC。证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点EFADEFADADACDEFACDEFACD面面

面。DEFCAB（II）EFADEFBDADBDCDCBCFBDBDEFCFBDEFCFF⊥⊥=⊥⊥=面为的中点又BDBCD面，所以EFCD⊥面面BC17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A

，B，及CD的中点P处，已知20AB=km,10CDkm=,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式：①设()BAOrad=，将y表

示成的函数关系式；②设()OPxkm=，将y表示成x的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题考查函数最值的应用。（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，()BAOrad=，则10AQOA

COSBAOCOS==故10OBCOS=，又1010tanOP=−，所以10101010tanyOAOBOPCOSCOS=++=++−2010sin10(0)cos4−=+。②()OPxkm=，则10OQx=−，所以22

2(10)1020200OAOBxxx==−+=−+，所以所求的函数关系式为2220200(010)yxxxx=+−+。（II）选择函数模型①。22210cos(2010sin)(sin)10(2sin1)coscosy

−−−−−==。令0y=得1sin2=，又04，所以6=。当06时，0y，y是的减函数；64时，0y，y是的增函数。所以当6=时min10310y=+。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边1033km处。18.设平面

直角坐标系xoy中，设二次函数2()2()fxxxbxR=++的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法

。（1）010(0)0bbf且（2）设所求圆的方程为220xyDxEyF++++=。令202,xDxFDFb++===0y=得202,xDxFDFb++===又0x=时yb=，从而1Eb=−−。所以圆的方程为222(1)0xyxbyb++−++=。（3）22

2(1)0xyxbyb++−++=整理为222(1)0xyxyby++−+−=，过曲线22:20Cxyxy++−=与:10ly−=的交点，即过定点(0,1)与(2,1)−。19.（I）设12,,naaa是各项均不为零的等差数列(4)n，且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按

原来的顺序）是等比数列：①当4n=时，求1ad的数值；②求n的所有可能值；（II）求证：对于一个给定的正整数(4)n，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nbbb，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。（I）①当4n=时，1234

,,,aaaa中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则0d=。若删去2a，则有2314aaa=，即2111(2)(3)adaad+=+，化简得14ad=−；若删去3a，则有2214aaa=，即2111()(3)adaad+=+，化简得11

ad=。综上可知141ad=−或。②当5n=时，12345,,,,aaaaa中同样不可能删去首项或末项。若删去2a，则有1534aaaa=，即1111(4)(2)(3)aadadad+=++，化简得16ad=−；若删去3a，则有1524aaaa=，即1111(4)()(3)a

adadad+=++，化简得30d=，舍去；若删去4a，则有1523aaaa=，即1111(4)()(2)aadadad+=++，化简得12ad=。当6n时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,nnnaaaaaa−−中，由于不能删去首项和末项，若删去2a

，则必有132nnaaaa−=，这与0d矛盾；同样若删去1na−，也有132nnaaaa−=，这与0d矛盾；若删去32naa−中的任意一个，则必有121nnaaaa−=，这与0d矛盾。综上可知4,5n。（3）略20.若121212()3,()3,,,

xpxpfxfxxRpp−−==为常数，且112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx=(I)求1()()fxfx=对所有的实数x成立的充要条件（用12,pp表示）；(II)设,ab为两实数，ab且12,(,)ppab，若()()fafb=，求证：()f

x在区间,ab上的单调增区间的长度和为2ba−（闭区间,mn的长度定义为nm−）。【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。（I）1()()fxfx=恒成立1212()()323xpxpfxfx−−12212332log()xpxpxpxp

−−−−−−若12pp=，则23()log0，显然成立；若12pp，记12()gxxpxp=−−−当12pp时，1221221211()()2()()ppxpgxxpppxpppxp−=−+

+−，所以min12()gxpp=−，故只需2123logpp−；当12pp时，1211212212()()2()()ppxpgxxpppxpppxp−=−−−，所以min21()gxpp=−，故只需2213logpp−。（II）01如果2123logpp−

，则1()()fxfx=的图象关于直线1xp=对称，因为()()fafb=，所以区间,ab关于直线1xp=对称。因为减区间为1,ap，增区间为1,pb，所以单调增区间的长度和为2ba−。02如果2123logpp−，结论的直观性很强。