【文档说明】[29403550]专题1.13 菱形最小值问题（专项练习）上-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(52)页，1.736 MB，由envi的店铺上传

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专题1.13菱形最小值问题（专项练习）一、单选题1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，63=AC，6BD=，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PDPE+的最小值为（）A．33B．63C．3D．622．如图，

在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，Q是BC中点，若菱形周长是16，120A=，则PCPQ+的最小值为（）A．23B．2C．3D．333．如图，在菱形ABCD中，62AC=，6BD=，E是BC边的中点，,PM分别是,ACAB上的

动点，连接,PEPM，则PEPM+的最小值是（）A．6B．62C．32D．264．如图，已知菱形ABCD，AB=4，BAD=120，E为BC中点，P为对角线BD上一点，则PE+PC的最小值等于()A．22B．23C．25D．5．在菱形ABCD和菱形

BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（）A．23B．4C．22D．66．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足16PCDABCDSS=

菱形，则PC+PD的最小值为（）A．32B．211C．6D．737．如图，在菱形ABCD中，对角线6AC=，8BD=，点EF，分别是ABBC，的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PEPF+的最小值，则这个最小值是（）A．3B．4C．5

D．68．如图四边形ABCD是菱形，且∠𝐴𝐵𝐶=60，𝛥𝐴𝐵𝐸是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形ABCD

的边长为1,则𝐴𝑀+𝐶𝑀的最小值1;②𝛥𝐴𝑀𝐵≅𝛥𝐸𝑁𝐵；③𝑆四边形𝐴𝑀𝐵𝐸=𝑆四边形𝐴𝐷𝐶𝑀；④连接AN，则𝐴𝑁⊥𝐵𝐸；⑤当𝐴𝑀+𝐵𝑀+𝐶𝑀的最小值为2√3时，菱形ABCD的边长为2.A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤9．

如图，在菱形ABCD中，2AB=，120ABC=，点P，E，F分别是线段AC，AB，BC上的任意一点，则PEPF+的最小值是（）A．1B．3C．2D．13+10．如图，在菱形ABCD中，135D=，32,2ADCE==，点P是线段AC上一动点

，点F是线段AB上一动点，则PEPF+的最小值（）A．22B．3C．25D．1011．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为45，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（）A．5B．10C．26D．812．如图，菱形ABCD的边长为4cm，60ABC=，

且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PMPC+的最小值为（）A．4cmB．3cmC．25cmD．23cm二、填空题13．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且

满足S△PCD=16ABCDS菱形，则PC+PD的最小值是_____．14．如图，菱形ABCD的边长为4cm，且60ABC=，E是BC中点，P点在BD上，则PEPC+的最小值为_______．15．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上

的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为_____．16．如图，在菱形ABCD中，63AC=，6BD=，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PEPM+的最小值是_________

_．17．如图，在菱形ABCD中，已知120BAD=，6AB=，把ABD△沿BD方向移动得到111ABD，连接1AC、1BC，则11ACBC+的最小值为______．18．如图，在菱形ABCD中，8AC=，6BD=

，点E，F分别是边AB，BC的中点，P是AC上的动点，那么PEPF+的最小值是_______.19．如图，线段10AB=，点P是线段AB上的一个动点，分别以PA和PB为边在线段AB的同侧构造菱形APCD和菱形PBFE，且60DAPEPB==，M是菱形APCD的对角线

交点、N是菱形PBFE的对角线交点，连接MN，则线段MN的最小值为______．20．如图，在菱形ABCD中，22AB=,120A=,点P,Q,K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PKQK+的最小值为__________．21．如图，P、G是菱形ABCD的

边BC、DC的中点，K是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝6，则KP+KG的最小值是_____．22．如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________

．23．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分ABCD是一个菱形。菱形周长的最小值是_________，菱形周长最大值是_________.24．如图，在边长为2cm的菱形ABCD中，60B=，E是BC边的中点

，P是对角线BD上的动点，连接EP，CP，则EPCP+的最小值______．25．如图，在菱形ABCD中，8AB=，60B=，点G是边CD的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EFED+的最小值是_________.26．如图，菱形ABCD的边长为1,60ABC=．,E

F分别是,BCBD上的动点，且CEDF=,则AEAF+的最小值为_______．27．如图，在ABC中，33,45,105ABBC=+==，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为__

___；若点P是AE上一个动点，则PFPB+的最小值为_____．28．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD、BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85，最小值为8，则菱形ABCD的边长为_____

___．29．已知菱形ABCD中，120A=，4AB=，边,ADCD上有点E、点F两动点，始终保持DEDF=，连接,,BEEF取BE中点G并连接,FG则FG的最小值是_______．30．如图，在菱形ABCD中，

30ABC=，6AD=，点P，M分别是边AB和对角线BD上的动点，则AMPM+的最小值为_________．31．在菱形ABCD中，2,60ABBAD==，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PEPB+

的最小值为_______．32．菱形ABCD中，60ABC=，4AB=，E为BC的中点，点P是对角线BD上一动点，连接PECP、，则CPE△的周长的最小值为_________．33．在菱形ABCD中，∠C＝∠EDF

＝60°，AB＝1，现将∠EDF绕点D任意旋转，分别交边AB、BC于点E、F（不与菱形的顶点重合），连接EF，则△BEF的周长最小值是_____.34．如图，在菱形ABCD中，4,120ABA==，点P为BC的中点，,QK分别为

线段,CDBD上的任意一点，则PKQK+的最小值为______．35．如图，四边形ABCD是菱形，点,EF分别在边BCCD，上，其中11,,33CEBCCFCDP==是对角线BD上的动点，若PEPF+的最小值为42,6AC=，则该菱形的面积为____________36．如图，在菱形ABCD中，8

AC=，6BD=.E、P分别是线段AB、AC上的任意一点，则PBBE+的最小值为________.三、解答题37．如图，在菱形ABCD中，2AB=，60DAB=，F为AC上一动点，E为AB中点．（1）求菱形ABCD的面积；（

2）求EFBF+的最小值．38．（12分）在菱形ABCD中，6AB=，60B=，点E是线段BC上的一个动点．（1）如图①，求AE的最小值．（2）如图②，若F也是CD边上的一个动点，且BECF=，求EF的最小值．（3）如图③，若tan33AEC=，则在菱形内部

存在一点P，使得点P分别到点E、点C、边AD的距离之和最小．请你画出这样的点P，并求出这个最小值．39．在菱形ABCD中，60ABC=，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ，连接QP并延长，分别交ABCD、于点MN、．（1）求证：BCPDCQ；

（2）已知MPQN=，若MN的最小值为23，求菱形ABCD的面积．40．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．41．如图，在菱形ABCD中，点E、

F分别为边AD、CD上的动点(都与菱形的顶点不重合)，联结EF、BE、BF．（1）若∠A＝60°，且AE+CF＝AB，判断△BEF的形状，并说明理由；（2）在（1）的条件下，设菱形的边长为a，求△BEF面积的最小值．42．如图，在菱

形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝23，求PB+PE的最小值是多少？参考答案1．A【分析】连接DE，先根据两点之间线段最短可得当点,,DPE共线时，PDPE+取得最小值DE，再根据菱形的性质、勾股定理可得

6AB=，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE的长即可得．解：如图，连接DE，由两点之间线段最短得：当点,,DPE共线时，PDPE+取最小值，最小值为DE，四边形ABCD是菱形，63=AC，6BD=，11,3,33,22ABADOBBDOAACACBD=

====⊥，226ABOAOB=+=，6ABADBD===，ABD是等边三角形，点E是AB的中点，13,2AEABDEAB==⊥，22226333DEADAE=−=−=，即PDPE+的最小值为33，故选：A．【点拨】本题考查

了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．2．A【分析】点Q和点C是定点，点P在直线BD上一动点，是轴对称最值问题，连接AC，由菱形的对称性可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ，

AQ即为所求．解：如图，由菱形的对称轴可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ，AQ即为所求PCPQ+的最小值．连接AC，120BAD=，四边形ABCD是菱形，60ABC=，ABBC=，ABC是等边三角形，点Q为BC的中点，AQBC⊥，菱形ABC

D的周长为16，4ABBC==，在RtABQ△中，60ABC=，30BAQ=，114222BQAB===，22224223AQABBQ=−=−=．故选：A．【点拨】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．3．D【分析】作点E关

于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，点P、M即为使PE＋PM取得最小值的点，由PE＋PM＝PE′＋PM＝E′M利用S菱形ABCD＝12AC•BD＝AB•E′M求解可得答案．解：如图，作点E

关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则此时点P、M使PE＋PM取得最小值的，其PE＋PM＝PE′＋PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵62AC=，BD＝6，∴AB＝22(32)333+=，由S菱形A

BCD＝12AC•BD＝AB•E′M得12×62×6＝33•E′M，解得：E′M＝26，即PE＋PM的最小值是26，故选：D．【点拨】本题主要考查菱形的性质和轴对称−最短路线问题，解题的关键是掌握利用轴对称的性质求

最短路线的方法．4．B【解析】【分析】连接AC、AE，AE交BD于F，连接FC，由菱形的性质可得BD垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可知AF=CF，FC+FE=AE，根据两点之间，线段最短可知，P点运动到F时，PE+PC的值最小，由∠BAD=120°

可得∠ABC=60°，根据菱形的性质可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AE的长即可.解：连接AC、AE，AE交BD于F，连接FC，∵ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴AF=FC，∴FC+FE=AE，∵两点之间，线段最短，∴P点运动到F时，PE+PC的值最小，最

小值为AE的长，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵E为BC中点，∴AE⊥BC，BE=12BE=2，∴AE=22ABBE−=2242−=23.故选B.【点拨】本

题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角.熟练掌握菱形的性质是解题关键.5．A【分析】连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，证明四边形BNHM是矩形，得出MN=BH，由直角三角形的性质得出GH，AH的长，

当BH⊥AG时，BH最小，由直角三角形的性质得出BH的长，即可得出答案．解：连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB=60°，∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE=BG，AM=CM，EN=G

N，∴∠GAH=30°，∠EBG=∠DAB=60°，∴△BEG是等边三角形，∴∠BGE=60°，∴∠AHG=90°，∴四边形BNHM是矩形，GH12=AG=4，AH3=GH=43，∴MN=BH，当BH⊥AG时，BH最小．∵∠GAH=30°，∴BH12=AH=23，∴MN的最小值=

23．故选A．【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及线段最短问题；熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．6．B【解析】【分析】在BC上截取点E使CE=13BC=2,过点E作EF//AB，交AD

于点F，由16PCDABCDSS=菱形可知点P线段EF上，作C’与C关于EF对称，连接DC’，则DC’的长即是PC+PD的最小值.解：在BC上截取点E使CE=13BC=2,过点E作EF//AB，交AD于点F，∴13DC

EFABCDSS=菱形∴当点P在线段EF上是时，16PCDABCDSS=菱形.作C’与C关于EF对称，连接DC’，则DC’的长即是PC+PD的最小值.由题可知，sin4532EMAB==,∴'322MC=−,322MD=

+,由勾股定理得，()()22'322322211DC=−++=.故选B.【点拨】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质及最短路径问题.根据题意确定点P的位置是解题的关键.7．C【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE＋PF的最小值，再根据菱

形的性质求出E′F的长度即可．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝2234+＝5，作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD＝AB，∴A

E＝AE′，∵F是BC的中点，∴E′F＝AB＝5．故选C．【点拨】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键．8．C【解析】解答：解：①连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO

∴点A，点C关于直线BD对称，∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值∵∠ABC=60，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即AM+CM的值最小为1，故本答案正确．②∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=

60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确．③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBES△ACD+S△AMC=S四边形ADCM，且S△AMB≠S△AM

C，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故本答案错误．④假设AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分线，∴EN=BN=BM=MN，∴M点与O点重合，∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误．⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△E

NB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的

长．过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，设菱形的边长为x，∴BF=12x，EF=32x，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴(√32x)2+(12x+x)2=(2√

3)2，解得x=2，故本答案正确．综上所述，正确的答案是：①②⑤，故选C．9．B【分析】作点E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，E′B，则E′F的长即为PE+PF的最小值，由图可知，当点F与点B重合，BE′⊥AD时PEPF+的值最小．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∵120AB

C=，∴∠DAB=180°-∠ABC=180°-120°=60°，作点E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，E′B，则E′F的长即为PE+PF的最小值，由图可知，当点F与点B重合，BE′⊥AD时PEPF+的值最小，在Rt△ABE′中，∵AB=2，∠DAB=60°，∴E′F=

BE′=AB•sin∠DAB=3232=．故选：B．【点拨】本题主要考查的知识点是菱形的性质以及利用点的对称求最值，根据题意判断出当点F与点B重合，BE′⊥AD时PEPF+的值最小，是解此题的关键．10．D【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作

BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠

CBH=45°，∵四边形ABCD是菱形，32,AD=∴32,BCAD==∴Rt△BHC中，BH=CH=2sinsin453232BCBCHBC===∠∠，∴HG=HC-GC=3-2=1，∴Rt△BHG中，BG=2222=

31=10BHHG++，∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），∴PE+PF的最小值是10．故选：D．【点拨】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于

某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．11．A【分析】过点C作CHAB⊥，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=45，当PQBC⊥时，PQ有最小值，即

直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解．解：如图，过点C作CHAB⊥，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC，∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最

大值，即AC=45，当PQBC⊥时，PQ有最小值，即直线AD与直线BC的距离为4，4SADABCH==菱形ABCD，4CH=，2280168AHACCH=−=−=，222BCCHBH=+，22(8)16BCBC=−+,解得：5BC=，故选：A．【点拨】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．12．D【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PM+PC转化为AP+PM，再根据两点之间线段最短得知AM为PM+

PC的最小值．解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AM交BD于P，则PM+PC=PM+AP=AM，根据两点之间线段最短，AM的长即为PM+PC的最小值．连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°

，∴△ABC为等边三角形，又∵BM=CM，∴AM⊥BC，∴AM=2222=42=23ABBM−−，故选D.【点拨】本题考查了轴对称---最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解．13．211【分析】如图在BC上取一点E，使得EC=13BC=2，

作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时S△PDC=16ABCDS菱形，PD+PC的值最小．解：如图在BC上取一点E，使得EC=13BC=2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P

，连接PC，此时S△PDC=16ABCDS菱形，PD+PC的值最小．PC+PD的最小值=PD+PC′=DC′，∵四边形ABCD是菱形，∠A=135°，∴∠B=∠CEG=45°，∠BCD=135°∵∠CGE=90°，CE=2，∴CG=G

E=GC′=2，∴∠GCE=45°，∠DCC′=90°，∴DC′=226(22)+=211，故答案为211．【点拨】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．14．

23【分析】根据菱形的性质，点A、C关于BD对称，连接AE，根据轴对称确定最短路线问题，AE与BD的交点即为点P，再根据∠ABC=60°，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AE，即为PE+PC的最小值．解：如图，在

菱形ABCD中，点A、C关于BD对称，AB=BC，连接AE，与BD的交点即为所求作的点P，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵AB=BC=4，点E是BC的中点，∴BE=2，∴AE⊥BC，∴AE=22ABBE−=23，

即PE+PC的最小值为23，故答案为：23．【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，菱形的性质，熟记性质并确定出点P的位置是解题的关键．15．43【分析】要求PM＋PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作

辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12，∴AO＝1

2AC＝6，∠BAC＝12∠BAD＝30°，∴OB＝12AB，由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2，∴222164ABAB−=，∴AB＝43，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴

四边形ABNE是平行四边形，∴EN//AB，∴PM+PN的最小值为43，故答案为43．【点拨】本题考了查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．16．33【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由

PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD=12AC•BD=AB•E′M求解可得答案．解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值的

点，则PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，AC⊥BD，∵AC=63，BD=6，∴AB=22(33)3+=6，由S菱形ABCD=12AC•BD=AB•E′M得：12×63×6＝6E′M，解得：E′M=33，即PE+PM的最小值是33.故答案为：33.【点拨】本

题主要考查轴对称-最短路线问题，解题的关键是作出使得PE+PM最小时的点P和点M.17．63【分析】连接AA1，得到直线l，先证明四边形A1B1CD为平行四边形，得到B1C=A1D，由此可得A1C+B1C=A1C+A1D，作D点关于的对称点D′，D′D交l

于H点，连接CD′，得D′H=DH，则A1C+B1C的最小值为CD′，由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，BD为对角线，在Rt△DAH中，求出DH的长，再得到到△CDD′为等腰三角形，过D作DM⊥CD′交CD′于M点，再求出CD′，即可求解.解：连接1AA，得到直

线l，∵ABD△沿BD运动得到111ABD，∴//lBD，1111//=ABCDABCD，，∴四边形11ABCD为平行四边形，∴11BCAD=，∴1111ACBCACAD+=+，此时C、D为动点，1A在l上

运动，两定一动为将军饮马问题，作D点关于的对称点D¢，DD交l于H点，连接CD，得DHDH=，则1111ACBCACADCD+=+=，∵四边形ABCD为菱形，120BAD=，BD为对角线，∴60ADC=，30ADB=，6ADAB==，∵//lBD，∴30D

AHADB==°，在RtDAHV中，30DAH=，6AD=，116322DHAD===，60ADH=，在CDD△中，CDDADCADH=+6060=+120=6CDDD==，即CDD△为等腰三角形，过D

作DMCD⊥交CD于M点，∵CDD△为等腰三角形，DMCD⊥，∴DM平分CDD，DMCM=，在RtDDM△中，111206022DDMCDD===°°，3363322DMDD===，∴223363CDDM==

=，∴A1C+B1C=63.故答案为：63.【点拨】这题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，和最短路径问题，解题的关键是理清题意，灵活运用平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识求出最小值．此题较难．18．5【解析】【分析

】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．解：设AC交BD于

O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD,AD=AB=BC=CD,OA=OC,OB=OD,AD∥BC，∵E为AB的中点

，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，在△ANP和△CFP中∵ANPCFPANCFNAPCFP===

，∴△ANP≌△CFP(ASA)，∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵AN∥BF，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵菱形ABCD，∴AC⊥

BD,OA=12AC=4,BO=12BD=3，由勾股定理得：AB=22AOBO+=5，故答案为：5.【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，解题关键在于作辅助线19．532【分析】首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=10-2a，PM=a，P

N=3（5-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．解：∵四边形APCD、四边形PBFE是菱形，60DAP=120,60APCEPB==∵M是菱形APCD的对角线交点、N是菱形PBFE

的对角线交点∴1160,3022CPMAPCEPNEPB====603090MPN=+=设PA=2a，则PB=10-2a，PM=a，PN=3（5-a），22[3(5)]MNaa=+−22157543075(2)24aaa=−+=

−+∴1522a=时，MN有最小值，最小值为755342=，故答案为：532．【点拨】本题考查了线段的最值问题，掌握菱形的性质、二次函数的性质是解题的关键．20．6【分析】根据菱形的对称性，在AB上找到点

P关于BD的对称点P，过点P作PQ⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时PKQK+最小，且最小值为PQ的长，PQAE=，然后利用锐角

三角函数求AE即可．解：根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点P，过点P作PQ⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E根据对称性可知：PK=PK，∴此时PKQK+=PKQKPQ+=，根据

垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，∴此时PKQK+最小，且最小值为PQ的长，PQAE=∵在菱形ABCD中，22AB=,120A=∴22ADAB==，∠ADE=180°－∠A=60°在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=32262•=∴6PQAE==即P

KQK+的最小值为6故答案为6．【点拨】此题考查的是菱形的性质、求两线段之和的最值问题和锐角三角函数，掌握菱形的性质、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．21．5【分析】首先利用菱形

的性质和勾股定理求出菱形边长为5，再作点P关于BD的对称点P′，连接P′G交BD于K，此时KP+KG有最小值．然后证明四边形BCGP′为平行四边形，即可求出KP+KG＝P′G＝5．解：∵BD＝8，AC＝6，∴AB＝2243+＝5作点P关于BD的对称点P′，连接

P′G交BD于K，此时KP+KG有最小值，最小值为P′G的长．∵菱形ABCD关于BD对称，P、G是菱形ABCD的边BC、DC的中点∴P′是AB的中点，∴BP′∥CG，BP′＝CG，∴四边形BCGP′是平行四边形，∴P′G＝

BC＝5，∴KP+KG＝P′G＝5，即KP+KG的最小值为5．故答案为5．【点拨】本题考查的是菱形的性质和轴对称，解答本题的关键是作点P关于BD的对称点P′，连接P′G交BD于K，此时KP+KG有最小值，最小值为P′G的长.22．63【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边

作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质

得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．解：以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+

NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=12AB=3，AH=3BH=33，∴AE=2AH=63．故答案为63．【点拨】本

题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．23．817【解析】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，由勾股定理：x2=（8-x）2+22，得：4x=17，即菱形的最大周长为17cm．当两张纸条

如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．24．3【解析】【分析】根据在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直

线L的交点就是所要找的点,据此可以作对称点，找到最小值．解：连接AE．∵四边形ABCD为菱形，∴点C、A关于BD对称，∴PC=AP，∴PC+EP=AP+PE，∴当P在AE与BD的交点时，AP+PE最小，∵E是BC边的中点，∴BE=1，∵

AB=2，B=60°，∴AE⊥BC，此时AE最小，为3，PCEP+最小值为3.【点拨】本题考查了线段之和的最小值，熟练运用菱形的性质是解题的关键．25．43【分析】由题意，点D与点C关于AG对称，连接EC，FC，再利用垂线段最短求值即可解：连接EC，FC，

如图在菱形ABCD中，60B=，8AB=∴ACD是边长为8的等边三角形∵G是CD的中点∴AGCD⊥∴AG是CD的垂直平分线∴ECED=∵EFECFC+，CFAD⊥时，CF最小∴EFED+的最小值是等边ACD的高：38432=故答案为：43．【点拨】本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三

角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．26．2【分析】过点C作CGCA⊥于点G，使得1CGAD==，连接AG，首先通过菱形的性质和等边三角形的性质证明

ADFECG△△，得出AFGE=，然后根据AEAFAEEGAG+=+和勾股定理计算即可．解：过点C作CGCA⊥于点G，使得1CGAD==，连接AG，∵四边形ABCD是菱形，∴11,60,302ABBCCDADABC

ADCADBADC========，∴ABC是等边三角形，∴60,1ACBACAB===．ACCG⊥，30ECG=．在ADF和ECG中DFCEADFGCEDACG===ADFECG

△△，AFGE=，AEAFAEEGAG+=+．,1CGACACCG⊥==，222AGACCG=+=，2AEAF+，∴AE+AF的最小值为2，故答案为：2．【点拨】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．27．

210【分析】连接PD，BD，作DHAB⊥于点H，EGAB⊥于点G，33AFFGBG++=+，就可以算出菱形的边长．由四边形ADEF是菱形，推出F、D关于直线AE对称，推出PFPD=，推出PFPBPAPB+=+，由PDPBBD+，推出PFPB+的

最小值是线段BD的长．解：如下图：连接PD，BD，作DHAB⊥于点H，EGAB⊥于点G，∵四边形ADEF是菱形，∴F、D关于直线AE对称，∴PFPD=，∴PFPBPDPB+=+，∵PDPBBD+，∴PFPB+的最小值是线段BD的长，180105

4530CAB=−−=，设AFEFADx===，则12DHEGx==，32FGx=，∵45EBG=，EGBG⊥，∴12EGBGx==，∴313322xxx++=+∴2x=，即菱形的边长为2．∴1DH=，3BH=，∴221310BD=+=，∴PFPB+的最小值是10，故

答案为：2；10【点拨】本题考查轴对称（距离最短问题），菱形的性质等相关知识点，解题的关键是要学会用转换的思想思考问题，用轴对称求最短距离是数学常用的方法．28．10【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P

与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即85AC=，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC，∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即85AC=，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，∵

S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，∴CH=8，∴223206416AHACCH=−=−=，∵BC2=CH2+BH2，∴BC2=（16-BC）2+64，∴BC=10，故答案为：10．【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．29．3【分析

】过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和120A=可证明FMDFEFDE===，进而可得12FGBM=，由BM最小值为BH即可求解．解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，

连接BM．∵在菱形ABCD中，120A=，ADBC∥，∴60ADC=，DHBC⊥，∴30HDC=，∵DEDF=，60ADC=，∴EFDEDF==，∴60DEF=，又∵DHBC⊥，∴30MDFFMD==，∴FMDFEF=

=，又∵BGEG=，∴12FGBM=，∴当BM最小时FG最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，∵在菱形ABCD中，4AB=，∴4ABBCCD===又∵在Rt△CHD中，30HDC=，∴122CHCD==，∴426BHBCCH

=+=+=，∴AM的最小值为6，∴FG的最小值是3．故答案为：3．【点拨】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．

30．3【分析】连结CM，过C作CP′⊥AB于P′，四边形ABCD为菱形，点A与点C关于BD对称，AM=CM，可得PM+AM=PM+CM，当P、M、C三点在一直线且在CP′上时最短，可得PM+AM=PM+CM

≥CP′，在菱形ABCD中，AD=6，BC=AD=6，在Rt△BCP′中，CP′=BC×sin∠P′BC=6×12=3，可得AM+PM最小=CP′=3．解：如图，连结CM，过C作CP′⊥AB于P′，∵四边形ABCD为菱形

，∴点A与点C关于BD对称，AM=CM，∴PM+AM=PM+CM，当P、M、C三点在一直线且在CP′上时最短，∴PM+AM=PM+CM≥CP′，∵在菱形ABCD中，AD=6，∴BC=AD=6，在Rt△BCP′中，30PBC=

，CP′=BC×sin∠P′BC=6×12=3，∴AM+PM最小=CP′=3．故答案为：3．【点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，锐角三角函数，点到直线的距离最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．31．3【分析

】根据轴对称最短问题作法，可得P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，然后利用勾股定理，求出PE+PB的最小值．解：作E点关于AC对称点E′，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，∵菱形ABCD中，A

B=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，∴AE′=AE=BE=1，∴△AEE′为等边三角形，∴∠AEE′=60°，∴∠E′EB=120°，∵BE=EE′，∴∠EE′B=30°，∴∠AE′B=90°，BE′=2222=21

3ABAE−−=′，∵PE+PB=PE′+PB=BE′，∴PE+PB的最小值是：3．故答案为：3．【点拨】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握菱形的性质，勾股定理以及“马饮水”模型，是解题的关键．32．232+【分析】根据菱形的

性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为AP+PC，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值．解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC=P

E+AP=AE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．∵∠ABC=60°，∴∠ABE=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，又∵BE=CE，∴AE⊥BC，∴AE=2223ABBE−=．∴△CPE的周长的最小值=232+，故答案为：232+．【点拨】此题考查了轴对称--

-最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解．33．1+32【分析】连接BD,根据菱形的性质得到AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°,由等边三角形的判定定理即可得到结论；△AB

D和△CBD都是等边三角形，于是得到∠EBD=∠DBC=∠C=60°，BD=CD证得∠EDB=∠FDC，根据全等三角形的性质得到DE=DF，BE=CF,证明△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到DF=EF，得到BF+BE=BF+CF=1，得到当DF⊥BC时，求得3

2DF=，△BEF的周长取得最小值.解：连接BD,∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD,∠C=∠A=60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形；∴∠EBD=∠DBC=∠C=60°，BD=CD,∵∠EDF=60°，∴∠EDB=∠FDC，在△BDE与△CDF中,DBECBDCDBDECD

F，===∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，BE=CF，∴△DEF是等边三角形；∴EF=DF，∴BF+BE=BF+CF=1,当DF⊥BC时,32BF=，此时△DEF的周长取得最小值，∴△DEF的周长的最小值为：31.2+故答案为:31.2+【点拨】

考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，掌握菱形的性质是解题的关键.34．23【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线

中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK取最小值，然后求解即可．解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB＝4，∠A＝120°，∴点P′到CD的距离为4×32=23，∴PK+QK的最小值为23，故答案为：23．【点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短

路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．35．36【分析】在AB上取AE′=CE，证明△BE′P≌△BEP得到PE′=PE，推出E′，O，F三点共线，即PE+PF最小时，点P在点O处，在△ABO中，利用相似三角形的性质求出BO，可得菱形的面积．解

：已知四边形ABCD为菱形，AC=6，PE+PF的最小值为42，∵CE=13BC，CF=13CD，∴CE=CF，如图①，在AB上取AE′=CE，则BE′=BE，又BP=BP，∠PBE=∠PBE′，∴△BE′P≌△BEP（S

AS），∴PE′=PE，则PE+PF=PE′+PF，∵AE=CF，∴E′，O，F三点共线，∵两点之间线段最短，∴PE+PF最短为点P在点O处，则E′F=42，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=12AC=3，E′O=12E′F=22，四边形

ABCD的面积=△ABO的面积的4倍，将△ABO单独拿出，如图②，AO⊥BO，E′为三等分点，∴△BAO∽△BE′H，∴E′H=23AO=2，E′H⊥BO，设BO=x，则HO=13x，在△E′HO中，222EHHO

EO+=，即()2222223x+=，解得：x=6，∴△BOA的面积=1163922BOAO==,∴平行四边形ABCD的面积=4×△BOA的面积=36，故答案为：36．【点拨】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，全等

三角形的判定和性质，知识点较多，解题的关键是根据最值情况画出图形，熟练运用菱形的性质．36．245【解析】【分析】根据菱形性质可得点B、D关于AC对称，所以DE与AC的交点即为点P，再根据垂线段最短可得

DE⊥AB，最后根据菱形的两个面积公式即可解答.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO=BO=12BD=3，AO=CO=12AC=4，即AO是BD的垂直平分线，∴PD=PB，即点B、D关于AC对称，AB=5∴PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据垂线段最短可得：DE⊥

AB，∵AC=8，BD=6，菱形ABCD的面积=AB×DE=12×AC×BD，∴5DE=12×8×6，即DE=245，故答案为：245.【点拨】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，菱形的性质、垂线段最短等知识点的应用，关键是理解题意确定出P的位置和求出DE=P

E+PB，题目比较典型，综合性比较强，主要培养学生的计算能力．37．（1）23；（2）3．【分析】（1）连接DB，DE，根据四边形ABCD是菱形，60DAB=，可得ABD是等边三角形，根据E为AB中点，得到DEAB⊥，

1AE=，根据勾股定理有3DE=，利用SDEAB=?菱形即可得出菱形ABCD的面积；（2）连接DF，根据四边形ABCD为菱形，即有点D与点B关于AC对称，得BFDF=，可知当点D、E、F在一条线段上时，EFDF+取值最小，即EFBFDE+=时，根据（1）可解．解：（1）如

答图，连接DB，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴ADAB=，又∵60DAB=，∴ABD是等边三角形，∵E为AB中点．∴DEAB⊥，1AE=．在RtADE中，223DEADAE=−=．∴23SDEAB==菱形．（2）如答图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形

，∴点D与点B关于AC对称．∴BFDF=．∴EFBFEFDF+=+．当点D、E、F在一条线段上时，EFDF+取值最小．即EFBFDE+=时，EFBF+取得最小值3．【点拨】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，菱

形是轴对称图形的性质，知道点D与点B关于AC对称是解题的关键．38．（1）33；（2）33；（3）53【解析】试题分析：（1）根据正弦的定义求出AE的最小值；（2）连接AE、AC、AF，在菱形ABCD中，可证AEF为等边三角形，EF的最小值即为AE的最小值33．（3）以E

C为边在菱形外作等边ECF，作FHAD⊥于H，FH即为点P分别到点E、点C、边AD的距离之和最小，当CPFH⊥于P时，点P即为所求．试题解析：（1）根据垂线段最短，当AEBC⊥时，AE最小，最小为菱形的高33．（2）连接AE、AC、AF，在菱形ABCD中，可证AEF

为等边三角形，EF的最小值即为AE的最小值33．（3）如图，以EC为边在菱形外作等边ECF，作FHAD⊥于H，FH即为点P分别到点E、点C、边AD的距离之和最小，当CPFH⊥于P时，点P即为所求．理由如下：当CPE绕点C逆时针旋转60得到CQF，点Q在

FH上，此时FQEP=，PQPC=，FPPCPE=+，要使点P分别到点E、点C、边AD的距离之和最小，则要FHAD⊥即可．作AMBC⊥，由题意可得：M为BC的中点．在RtAEH中，tan33AEC=，33AH=，∴1EM=，134EC=+=，∴3433532FH=+=．39．（1）证明见解析；

（2）菱形ABCD的面积83=．【分析】（1）利用SAS证明BCPDCQ；（2）先求出30CPQ=，得到3MNPQPC==，故当PCBD⊥时，PC最小，此时MN最小，根据MN=23，求出PC=2，BC=2PC=4，再利用菱形ABCD的面积11322224324

8ABCBCSAH====得到答案.解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，且60ABC=，∴,//BCDCABCD=，∴180120BCDABC=−=，由旋转的性质得：0,120PCQCPCQ==∴BCPDCQ=，∴()BCPDCQSAS；（2）连接A

C，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵60ABC=，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC,∵,,120PMQNPCQCPCQ===，∴30CPQ=，∴3MNPQPC==，∴当PCBD⊥时，PC最小，此时MN最小，∵MN=23，∴PC=2，∵∠D

BC=1302ABC=，∠BPC=90°，∴BC=2PC=4，∴菱形ABCD的面积113222243248ABCBCSAH====【点拨】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性

质定理，锐角三角函数，直角三角形30°角，根据已知条件推出3MNPQPC==是解题的关键.40．3【分析】由题意易得60ABC=，AD∥BC，进而可作点Q关于直线BD的对称点为Q，则有KQKQ=，在KPQ中，PK＋QK总是大于PQ，然后根据两点之间线段最短及点到直线垂线段最短可得当K、

P、Q三点共线且PQBC⊥时，PK＋QK的值为最小，最后问题可求解．解：∵四边形ABCD是菱形，∴60ABC=，AD∥BC，如图2，作点Q关于直线BD的对称点为Q，∴KQKQ=，∴KPQKPKKQ+=+，∵在KPQ中，PK＋QK总是大于PQ的，∴如图3，当点K落在PQ上时，

PK＋QK的最小值为PQ，∴根据点到直线，垂线段最短可得：如图4，PQ的最小值为QH，QH就是菱形ABCD的高，过点A作AE⊥BC于点E，如图4所示，∵AB＝2，∴BE＝1，∴在RtABE△中，223AEABBE=−=，∴QHAE=

＝3．【点拨】本题主要考查菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握菱形的性质及最值问题是解题的关键．41．（1）△BEF的形状为等边三角形（2）23316a解：试题分析：（1）通过证明BE=BF，求出∠EBF的度数，可判断△BE

F是等边三角形．（2）当BE⊥AD时，BE最小，此时，S△BEF最小．求出此时的边EF长，及其对应高BM的长，按照三角形的面积公式即可求出．试题解析：解：（1）△BEF的形状为等边三角形．证明如下：如图，在菱形ABCD

中，∠A=60°，∴AB∥DC，AB=BC=CD=DA，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠ABD=∠1=∠A=60°，∴AB=BD，∠A=∠2．∵AE+CF=AB，DF+CF=CD，∴AE=DF，∴△ABE≌△DBF，∴BE=BF，∠3=∠4．又∵∠3+∠5=60°，∴∠4+

∠5=60°，∴△BEF为等边三角形．（2）如图，当BE⊥AD时，BE最小，此时，S△BEF最小．设此时EF与BD交于点M，∴∠ABE=∠DBE=30°．∵∠BEM=60°，∴∠BME=90°．在Rt△ABE中，AB=a，∴332

2BEaEFa==，．在Rt△BEM中，∠BEM=60°，∴34BMa=．∴2113333222416BEFSEFBMaaa===．点睛：本题考查了菱形的性质，及全等三角形和等边三角形的判定和性

质，难度不大，注意这些知识的综合应用．42．3．【分析】如图（见解析），连接PD，BD，先根据菱形的性质可得AC是BD的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得PDPB=，从而可得PBPEPDPE+=+，然后根据两点之间线段最短可得PBPE+的最小值为DE，最后根据等边三角形

的判定与性质即可得．解：如图，连接PD，BD，∵四边形ABCD是菱形，∴对角线AC与BD互相垂直平分，∴AC是BD的垂直平分线，∴PDPB=，∴PBPEPDPE+=+，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时，PDPE+取得最小值，最小值等于线段DE的长，即PBPE

+的最小值为线段DE的长，∵四边形ABCD是菱形，120ABC=，23AB=，∴60,23BADADAB===，∴ABD△是等边三角形，又∵点E是AB的中点，∴1,32DEABAEAB⊥==，∴在RtADE△中，223DEADAE=−=，故PBPE+的最小值是3．【点拨】本题考查了菱形的

性质、垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出PBPE+的最小值是解题关键．