【文档说明】专题4.25 方程思想解决角的问题（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx，共(29)页，1.096 MB，由envi的店铺上传

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专题4.25方程思想解决角的问题（专项练习）一、解答题1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角项点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线A

B的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，ON落在OC边上，则t＝秒（直接写结果）．（2）在（1）的条件下，若三角板继续转动，同时射线OC也绕O点以每秒10°的速度沿

逆时针方向旋转一周，当OC转动9秒时，求∠MOC的度数．（3）在（2）的条件下，它们继续运动多少秒时，∠MOC＝35°？请说明理由．2．如图，已知∠AOB=108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．（1）若∠COE=13∠AOE，求∠AOC的度数；（

2）若∠BOC-∠AOC=72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？3．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）将图

1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么

经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．4．如图，直线𝐴𝐵，𝐶𝐷交于点𝑂，𝑂𝐵平分∠𝐷𝑂𝐸，𝑂𝐹是∠𝐵𝑂𝐶的角平分线．（1）说明：∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐸；（2

）若∠𝐴𝑂𝐶=46°，求∠𝐸𝑂𝐹的度数；（3）若∠𝐸𝑂𝐹=30°，求∠𝐴𝑂𝐶的度数．5．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的

上方．(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t=（直接写结果）(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方

向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；(3)在(2)问的基础上，那么经过多少秒∠MOC=36°？请说明理由．6．已知：AOD160=，OB，OM，ON是AOD内的射线．()1如图1，

若OM平分AOB，ON平分BOD.当射线OB绕点O在AOD内旋转时，MON=______度.()2OC也是AOD内的射线，如图2，若BOC20=，OM平分AOC，ON平分BOD，当BOC绕点O在AOD内旋转时，求MON的大小．()3在()2的条件下，若AOB10

=，当BOC在AOD绕O点以每秒2的速度逆时针旋转t秒，如图3，若AOM：DON2=：3，求t的值．7．[阅读理解]射线OC是AOB内部的一条射线，若1,2COABOC=则我们称射线OC是射线OA的伴随线

．例如，如图1，6020AOBAOCCODBOD====，，则12AOCBOC=，称射线OC是射线OA的伴随线：同时，由于12BODAOD=，称射线OD是射线OB的伴随线．[知识运用]（1）如图2，120AOB

=o，射线OM是射线OA的伴随线，则AOM=，若AOB的度数是，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是AOB的平分线，则NOC的度数是．（用含的代数式表示）（2）如图，如180AOB=，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每

秒5的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．①是否存在某个时刻t（秒），使得COD的度数是20，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②当t为多少秒时，射线O

CODOA、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．8．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE=；

（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD=15∠AOE，求∠BOD的度数．9．已知：如图150AOB=

，在AOB内部有20COD=（AOCAOD）．（1）如图1，求AODBOC+的度数；（2）如图2，OM平分BOC，ON平分AOD，求MON的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，当COD从10AOC=的位置开始，绕着点O以每秒2的速度顺时针旋

转t秒时，使32BOMAON=，求t的值．10．线段与角的计算（1）如图，已知点C为AB上一点，15cmAC=，23CBAC=，若D、E分别为AC、AB的中点．求DE的长．（2）已知：如图，AOB被分成::2:

3:4AOCCODDOB=，OM平分AOC，ON平分DOB，且90MON=，求AOB的度数．11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分BOD．（1）若55EOF=，ODOF⊥．求AOC的度数．（2）若OF平分COE，15BOF=∠，求

DOE的度数．12．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．13．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使50AOC=，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在

射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在BOC的内部，且OM恰好平分BOC．此时BON=______度；（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在AOC

的内部．试探究AOM∠与NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，,,OAOCON三条射线恰好构成相等的角，则t的值为__

_____（直接写出结果）．14．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若12CODAOB??，则COD是AOB

的内半角．（1）如图①所示，已知7015AOBAOCCOD==，，是AOB的内半角，则BOD=_____．（2）如图②，已知63AOB=，将AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度063（）至COD，当旋转的角度为何值时，C

OB是AOD的内半角？（3）已知30AOB=，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线OAOBOCOD，，，能否

构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．15．如图1,点O是直线AB上的一点.(1)如图1,当∠AOD是直角,3∠AOC=∠BOD,求∠COD的度数；(2)在(1)中∠COD绕着点O顺时针旋转(OD与

OB重合即停止),如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD,则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化?若不变,求出∠EOF的大小；若改变,说明理由；(3)在(1)中线段OC、OD绕着点O顺时针旋转,速度

分别为每秒20°和每秒10°(当OD与OB重合时旋转都停止),OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD，多少秒时∠COM=∠BON(直接写出答案,不必写出过程).16．点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点

O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．（3）在旋转过程中，当OA或OB是

某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．参考答案1．（1）6；（2）∠MON＝45°；（3）它们继续运动11秒或25时，∠MOC＝35°．【分析】（1）根据：“角度＝速度时间”进行计算，即可求得时间；（2）当t＝9时，可求得∠AOC和∠AON

，通过计算角的差可求得答案；（3）构造方程求解即可，注意分类讨论.【详解】（1）由题意5t＝30，解得t＝6，故答案为6．（2）当t＝9时，∠AOC＝30°+9×10°＝120°，∠AON＝120°+9×5°＝165°，∴此时∠MON＝

∠AOC﹣∠AOM＝165°﹣120°＝45°．（3）设继续运动t秒时，∠MOC＝35°．由题意：120°+5t﹣（30°+10t）＝35°或30°+10t﹣（120°+5t）＝35°解得t＝11或25．∴它们继续运动11秒或25时，∠

MOC＝35°．【点拨】本题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．2．（1）36°；（2）OB⊥OC.【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据角的和差和垂直的定义即可得到结论．【详解】（1）∵∠COE=13∠AOE，∴∠A

OE=3∠COE，∵OE是∠AOB的平分线，∴∠AOB=2∠AOE=6∠COE，∵∠AOB=180°，∴∠COE=18°，∴∠AOC=2∠COE=2×18°=36°；（2）OB⊥OC，设∠BOC=x°，则∠AOC=108°-x°，∵∠BOC-∠AOC=72°

，∴x-（108-x）=72，解得x=90，∴∠BOC=90°，∴OB⊥OC．【点拨】本题主要考查角的比较与运算，还考查了角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．3．（1）①5秒；②是；（2）15秒时OC平分∠MON；（3）OC平分∠MOB，t=23

.3秒；【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC；（2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动

速度关系和OC平分∠MOB画图即可．【详解】（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒

；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC；（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠C

OM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∵∠AOC-∠AON=45°，可得：6t-3t=15°，解得：t=5秒；（3）OC平分∠MOB∵∠AON+∠BOM=90°

，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为12（90°-3t），∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°-（30°

+6t）=12（90°-3t），解得：t=23.3秒；如图：【点拨】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）21°；（3）40°【分析】

（1）根据𝑂𝐵平分∠𝐷𝑂𝐸可知∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐵𝑂𝐷，再根据对顶角相等即可证∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐸；（2）先利用邻补角求出∠𝐵𝑂𝐶的度数，再根据𝑂𝐹是∠𝐵𝑂𝐶的角平分线求出∠𝐵𝑂𝐹，再由（1）得到的∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐸即可求出∠𝐸

𝑂𝐹的度数；（3）与（2）方法思路相反即可，设∠𝐴𝑂𝐶=𝛼，根据已知条件列出等式，再解出a即可求出∠𝐴𝑂𝐶的度数.【详解】解：（1）∵𝑂𝐵平分∠𝐷𝑂𝐸，∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐵𝑂𝐷

，∵∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐷，∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐸；（2）∵∠𝐴𝑂𝐶=46°，∴∠𝐵𝑂𝐶=180°−∠𝐴𝑂𝐶=134°，∠𝐵𝑂𝐸=46°，∵𝑂𝐹是∠𝐵𝑂𝐶的角平分线，∴∠𝐵𝑂𝐹=12∠�

�𝑂𝐶=67°，∴∠𝐸𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐹−∠𝐵𝑂𝐸=21°；（3）设∠𝐴𝑂𝐶=𝛼，则∠𝐵𝑂𝐸=𝛼，∵∠𝐸𝑂𝐹=30°，∴∠𝐵𝑂𝐹=𝛼+30°，∵𝑂𝐹是∠𝐵𝑂𝐶的角平分线，∴∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐵𝑂𝐹=

2𝛼+60°，∴𝛼=180°−(2𝛼+60°)，∴𝛼=40°，∴∠𝐴𝑂𝐶=40°．【点拨】此题主要考查角的和差关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.5．（1）5；（2）5秒时OC平分∠MON，理由

详见解析；（3）详见解析.【分析】（1）构建方程即可解决问题；（2）根据∠MOC=45°，构建方程求解即可；（3）根据∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，再根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）①∵∠

AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15

°，∴ON平分∠AOC；（2）5秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°

+6t，∵∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒；（3）如上图：OC平分∠MOB∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点

以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°﹣（30°+6t）=（90°﹣3t），解得：t=秒；答：经过秒∠MOC=36°．【点拨】本题考

查了角平分线的定义，解题的关键是熟练的掌握角平分线的定义.6．(1)80；(2)70°；（3）t为21秒．【分析】（1）因为∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则11

22MOBAOBBONBOD==，．然后根据关系转化求出角的度数；（2）利用各角的关系求()111222MONMOCBONBOCAOCBODBOCAOCBODBOC=+−=+−=+−；（3）由题意得()()111022016010222AO

MtDONt=++=−−，，由此列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴1122MOBAOBBONBOD==，．∴∠MON=∠BOM+∠BON()1,2AOBBOD=+1,2

AOD==80°，故答案为80；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴1122MOCAOCBONBOD==，，即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC11,22AOCBODBOC=+−()1,2AOCBODBOC=

+−()1,2AOBBOCBODBOC=++−()1,2AODBOCBOC=+−118020,2=−=70°；()()()1131022016010222AOMtDONt=++=−−，，又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴3（30°+2t）=2（

150°﹣2t），得t=21．答：t为21秒．【点拨】考查角平分线的定义，从一个角的顶点出法，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.7．（1）40，16；（2）①存在，当20t=秒或25秒时，∠COD的度数是20；②当907t=，36019，1807，30时，

OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【详解】（1）∵120AOB=o，射线O

M是射线OA的伴随线，根据题意，12AOMBOM=，则111204033AOMAOB===；∵AOB的度数是，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是AOB的平分线，∴111233BONAONAOB===，1122BOCAOB==，∴11

1236NOCBOCBON=−=−=；故答案为：40，16；（2）射线OD与OA重合时，180365t==（秒），①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则1805320tt−−=，∴20t=；若在相遇之后，

则5318020tt+−=，∴25t=；所以，综上所述，当20t=秒或25秒时，∠COD的度数是20°；②相遇之前：（i）如图1，OC是OA的伴随线时，则12AOCCOD=，即()13180532ttt=−

−，∴907t=；（ii）如图2，OC是OD的伴随线时，则12CODAOC=，即11805332ttt−−=，∴36019t=；相遇之后：（iii）如图3，OD是OC的伴随线时，则12CODAOD=，即()15

318018052ttt+−=−，∴1807t=；（iv）如图4，OD是OA的伴随线时，则12AODCOD=，即()118053t5t1802t−=+−，∴30t=；所以，综上所述，当907t=，36019，1807，30时，O

C、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点拨】本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．8．（1）30；（2）答案见解析；（3）65°或52.5°．【详解】试

题分析：（1）根据图形得出∠COE=∠BOE-∠COB，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠COE=∠AOE=12∠COA，再根据∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，可得∠COD=∠DOB，从而问题

得证；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，根据题意则可得6x=30或5x+90﹣x=120，解方程即可得.试题解析：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，∴∠COE=∠BOE-∠COB=30°，故答案为30；

（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=12∠COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=60°

，∴6x=30或5x+90﹣x=120，∴x=5或7.5，即∠COD=65°或37.5°，∴∠BOD=65°或52.5°．【点睛】本题考查了角的运算、角平分线等，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关

键．9．（1）170°；（2）65°；（3）19【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD计算即可；（2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角

平分线的定义求解即可；（3）根据题意可得∠AON=∠12∠AOD=12（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=12∠BOC=12（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据32BOMAON=，列出方程求

解即可．【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=150°+20°=170°（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC∴∠AON+∠BOM=12（∠AOD+∠BOC）=12×170°=85°∴∠MON=∠AOB-(∠A

ON+∠BOM)=150°-85°=65°（3）∵∠AON=∠12∠AOD=12（10+20+2t）°=(15+t)°∠BOM=12∠BOC=12（150-10-2t）°=(70-t)°又∵∠BOM=32∠AON∴70-t=32（15+t）∴t=19【点

拨】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．10．（1）5cm；（2）135°．【分析】（1）根据中点所在线段的位置关系，先求中点所在线段的长度，再利用线段差的一半即得；（2）根据三角成比例设未知，将90MON=作为等量关系

列出方程，解方程即可将有关角求出，最后利用角的和即可求出结果．【详解】（1）∵15cmAC=，23CBAC=．∴10cmCB=，151025cmAB=+=．又∵E是AB的中点，D是AC的中点．∴112.5cm2

AEAB==．17.5cm2ADAC==．∴12.57.55cmDEAEAD=−=−=．（2）设2AOCx=，3CODx=，4DOBx=，则9AOBx=，则∵OM平分AOC，ON平分DOB，∴MOCx=，2NODx=，∴326MONxxxx=++=

，又∵90MON=，∴690x=，∴15x=，∴135AOB=．故答案为：135．【点拨】本题考查线段中点问题、角平分线问题，根据中点所在线段位置关系确定线段和与差的运算是关键点也是难点，确定角平分线的位

置关系为等量关系是解决角的和与差问题的关键点也是难点．11．（1）70；（2）50【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC，再根据OE平分∠∠BOD，可得∠EOD，由角的和差，可得答案；（2）根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC，根据OE平分∠BOD，可得∠

EOD，根据邻补角，可得∠COE，根据角的和差，可得∠EOF，根据角平分线，可得答案．【详解】（1）∵ODOF⊥，∴90DOF=，∵55EOF=，∴553059DOEDOFEOF=−=−

=，∵OE平分BOD，∴35BOEDOE==，∴70BOD=，∴70AOCBOD==．（2）∵OF平分COE，∴COFEOF=，∵15BOF=∠，∴15EOFCOFx==+，∵180BOCBOD+=，∴1802BOCx=−，∴COFBOCBOF=−

180215x=−−1652x=−，∴151652xx+=−，∴3150x=，50x=．∴50DOE=．【点拨】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等、邻补角之和为180°以及角平分线的定义是解题的关键．在角度的计算中，常

常要用到对顶角或邻补角的有关性质，求一个角的度数时，注意这个角与哪些角具有数量关系，然后结合已知条件选择一个适当的关系去求角．另外，也常常借用代数方法，达到求解的目的．12．120°【详解】设∠AOC＝x°，则∠BOC、∠AOB、∠AOD均可

用x表示出来，由∠COD＝36°来列方程，求x．解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝4x°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝12∠AOB＝12(x°＋4x°)＝2.5x°．又∵∠COD＝∠AOD－∠AOC，∴2.5x°－x°＝36°．x＝24

．∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝x°＋4x°＝120°．13．（1）25；（2）40AOMNOC−=∠，理由见详解；（3）65v，170v，245v，320v【分析】（1）由平角的定义先求出∠BOC的度数，然后由角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据角的和差关

系可求解；（2）根据题意得出∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，然后两式相减即可求解；（3）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的度数为vt°，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论即可求解问题．【详解】解：（1）∵50AOC=，∴130BO

C=，∵OM恰好平分BOC，∴1652BOMBOC==，∴9025BONBOM=−=；故答案为25；（2）AOM∠与NOC之间的关系为40AOMNOC−=∠，理由如下：∵90,50MONAOC=

=∠，∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，∴两式相减得：40AOMNOC−=∠；（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，①当三

角板转到如图所示时，AONCON=，∵90AONvt=+，13090CONBOCBONvt=+=+−，∴90220vtvt+=−，∴65tv=；②当三角板转到如图所示时，50AOCCON==，∵()13090220

CONBOCBONvtvt=−=−−=−，∴22050vt−=，∴170tv=；③当三角板转到如图所示时，1252AONCONAOC===，∵()90130220CONBONBOCvtvt=−=−−=−，∴22025vt−=，∴245tv=；④

当三角板转到如图所示时，50AONAOC==，∵18090270AONvtvt=−−=−，∴27050vt−=，∴320tv=；综上所述：t的值为65v，170v，245v，320v；故答

案为65v，170v，245v，320v．【点拨】本题主要考查角的和差关系，关键是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作．14．（1）20°；（2）当旋转的角度21=时，COB是AOD的内半角；（3）能，旋转时间为103s或30s或90s或

3503s．【分析】（1）根据题中所给定义可直接进行求解；（2）由题意可得63,63AODBOC????，进而可得()26363?=?，然后问题可求解；（3）设旋转的时间为t秒，由题意可得：3AOCB

ODt==，30AOB=，当射线,,,OAOBOCOD构成内半角时，则可分：①当射线OC在∠AOB内部时，即0t10，②当射线OC在∠AOB外部且旋转角度没有达到180°时，即1060t<<，③当旋转角度超过180°且射线OD在∠AO

B的外部时，即60110t<<时，④当旋转角度超过180°且射线OD在∠AOB的内部时，即110120t<<时，然后分类求解即可．【详解】解：（1）由题意得：2AOBCOD=，∵70,15AOBAOC==，∴35COD=，∴20BODAOBAOCDOC=−−=；故答

案为20°；（2）由旋转可得AOCBOD==，∵63AOB=，∴63,63AODBOC????，∵COB是AOD的内半角，∴()63263?=?，∴21=，∴当旋转的角度21=时，COB是AOD

的内半角；（3）能构成，理由如下：设旋转的时间为t秒，由题意可得：3AOCBODt==，30AOB=，当射线,,,OAOBOCOD构成内半角时，则可分：①当射线OC在∠AOB内部时，即0t10，

则有2AODBOC??，如图所示：∴()3032303tt?=?，解得：103t=；②当射线OC在∠AOB外部且旋转角度没有达到180°时，即1060t<<，则有2AODBOC??，如图所示：∴()3032330tt?=-?，解得：30t=；③当旋转角度超过180°且

射线OD在∠AOB的外部时，即60110t<<时，则有2BOCAOD=，如图所示：∴()39032360330tt−=−−，解得：90t=；④当旋转角度超过180°且射线OD在∠AOB的内部时，即110120t<<时，则有2BOCAOD=，如图所示：∴()39032336

030tt−=−+，解得：3503t=；综上所述：当射线,,,OAOBOCOD构成内半角时，旋转时间为103s或30s或90s或3503s．【点拨】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．15．（1）60°；（2

）120°；（3）6秒.【解析】【分析】（1）根据直角的定义求出∠BOD，再根据3∠AOC=∠BOD可得∠AOC的度数，又因为∠COD与∠AOC互余即可解答；（2）不变，是120°.根据（1）求出∠COD的度数，从而求得∠AOC+∠BOD的值，再利用角平分线定义求出∠EOC

+∠DOF，最后根据∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD即可解答.(3)设t秒时，∠COM=∠BON.用含t的式子表示出∠COM、∠BON，从而列出方程求解.【详解】解：（1）因为∠AOD是直角，所以∠AOD==90°，又因为3∠AOC=

∠BOD，所以∠AOC=13∠BOD=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°；（2）因为∠AOD是直角，∠AOC=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°，所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=

180°-60°=120°，因为OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，所以∠EOC+∠DOF=12(∠AOC+∠BOD)=×120°=60°，所以∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=60°+60°=120°；（3）设t秒时，∠COM=∠BON.t秒时，∠COM=12(180°

-∠AOC-20°t)=12(180°-30°-20°t)=75°-10°t，∠BON=12∠BOD=12（90°-10°t）=45°-5°t，当∠COM=∠BON时，75°-10°t=45°-5°t

，解得：t=6，即6s时，∠COM=∠BON.【点拨】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系.16．(1)130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或367或9或727【分析】（1）

分别求出∠AOM和∠BON的度数，即可得出答案；（2）分为两种情况，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可；（3）分为四种情况，列出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）当t=2时，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15

°t=30°，所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°；（2）当∠AOB=105°时，有两种情况：①10t+15t=180﹣105，解得：t=3；②10t+15t=180+105，解得：t=11.4；（3）①当OB是∠AON的角平分线时，10t+15t+15

t=180，解得：t=4.5；②当OA是∠BOM的角平分线时，10t+10t+15t=180，解得：t=367；③当OB是∠AOM的角平分线时，5t+15t=180，解得：t=9；④当OA是∠BON的角平分线时，10t+7.5t=180

，解得：t=727．【点拨】本题考查了角平分线的定义和邻补角的定义，能求出符合的所有情况是解此题的关键．