【文档说明】2022年全国乙卷数学（理科）高考真题PDF PDF版含解析.pdf，共(13)页，852.165 KB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-03028517024889f19db7a48d2c44fbc7.html

以下为本文档部分文字说明：

学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名

和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和

答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集{1,2,3,4,5}U，集合M满足{1,3}UMð，则（）A．2MB．3MC．4MD．5M2．已知12iz，且0zazb，其中a，b为实数，则

（）A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab3．已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进

行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62

bbD．47bb5．设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若||||AFBF，则||AB（）A．2B．22C．3D．326．执行下边的程序框图，输出的n（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有

限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．3B．4C．5D．67．在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF平面1BDDB．平

面1BEF平面1ABDC．平面1BEF∥平面1AACD．平面1BEF∥平面11ACD8．已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A．14B．12C．6D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上

，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．2210．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,ppp，且3210ppp．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（

）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF，则C

的离心率为（）A．52B．32C．132D．17212．已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，(2)4g，则221()kfk（）A

．21B．22C．23D．24学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司二、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数()cos()

(0,0)fxx的最小正周期为T，若3()2fT，9x为()fx的零点，则的最小值为____________．16．己知1xx和2xx分别是函数2()2exfxax（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是___

_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin

()CABBCA．（1）证明：2222abc；（2）若255,cos31aA，求ABC△的周长．18．（2分）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED平面AC

D；（2）设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）

和材积量（单位：3m），得到如下数据：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司样本号i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040

.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iiiii=1i=1i=10.038,1

.6158,0.2474xyxy．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i=122=1=1()(),1.89617()7().3niinniiiixxyyrxxyy．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，

且过30,2,,12AB两点．（1）求E的方程；（2）设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线

HN过定点．21．（12分）已知函数ln1exfxxax.（1）当1a时，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；（2）若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．（二）选考题，

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos2,2sinxtyt（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立

极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin03m．（1）写出l的直角坐标方程；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公

司（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc；（2）12abcbcacababc．2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意

事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将

本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.A或C12.D二、填空题：本题共4小题，每小

题5分，共20分．13.31014.222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy；15.316.1,1e三、解答题：共0分．解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考

题：共60分．17.（1）证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222

222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；（2）解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则

50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc.18.（1）因为ADCD，E为AC的中点，所以ACDE；在ABD△和CBD中，因为,,BACDCDAD

BDBDBD，所以ABDCBD≌△△，所以ABCB，又因为E为AC的中点，所以ACBE；又因为,DEBE平面BED，DEBEE，所以AC平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.（2）学科

网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司连接EF，由（1）知，AC平面BED，因为EF平面BED，所以

ACEF，所以1=2AFCSACEF△，当EFBD时，EF最小，即AFC△的面积最小.因为ABDCBD≌△△，所以2CBAB，又因为60ACB，所以ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以1AE

EC，3BE，因为ADCD，所以112DEAC,在DEB中，222DEBEBD，所以BEDE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则1,0,0,0,3,0,0,0,1AB

D，所以1,0,1,1,3,0ADAB，设平面ABD的一个法向量为,,nxyz，则030nADxznABxy，取3y，则3,3,3n，又因为331,0,0,0,,44

CF，所以331,,44CF，所以643cos,77214nCFnCFnCF，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为02，所以43sincos,7nCF，所以CF与平面

ABD所成的角的正弦值为437.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司19.（1）样本中10棵这种树

木的根部横截面积的平均值0.60.0610x样本中10棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，平均一棵的材积量为30.39m（2）1

010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010xxyyxyxyrxxyyxxyy22(0.03

8100.06)(1.615810.2474100.060.390.01340.01340.970.013770.0000018996.3)则0.97r（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（1

）解：设椭圆E的方程为221mxny，过30,2,,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆E的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AByx，①若过点(1,2)P的直线斜率

不存在，直线1x.代入22134xy，可得26(1,)3M，26(1,)3N，代入AB方程223yx，可得26(63,)3T，由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程：26(2)2

3yx，过点(0,2).②若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk

，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12222228(2)344(442)34kyykkkyyk，且1221224(*)34kxyxyk联立1,223yyyx

可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy，学科网（

北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk

显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).21.（1）()fx的定义域为(1,)当1a时,()ln(1),(0)0exxfxxf,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx,所以切线斜率为

2所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为2yx（2）()ln(1)exaxfxx2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx设2()e1xgxax1若

0a,当2(1,0),()e10xxgxax,即()0fx所以()fx在(1,0)上单调递增,()(0)0fxf故()fx在(1,0)上没有零点,不合题意2若10a„„,当,()0x,则()e20xgxax所以()gx在(

0,)上单调递增所以()(0)10gxga,即()0fx所以()fx在(0,)上单调递增,()(0)0fxf故()fx在(0,)上没有零点,不合题意3若1a(1)当,()0x,则()e20xgxax

,所以()gx在(0,)上单调递增(0)10,(1)e0gag所以存在(0,1)m,使得()0gm,即()0fm当(0,),()0,()xmfxfx单调递减学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学

科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司当(,),()0,()xmfxfx单调递增所以当(0,),()(0)0xmfxf当,()xfx所以()fx在(,)m上有

唯一零点又(0,)m没有零点,即()fx在(0,)上有唯一零点(2)当2(1,0),()e1xxgxax设()()e2xhxgxax()e20xhxa所以()gx在(1,0)单调递增1(1)20

,(0)10egag所以存在(1,0)n,使得()0gn当(1,),()0,()xngxgx单调递减当(,0),()0,()xngxgx单调递增,()(0)10gxga又1(1)0eg

所以存在(1,)tn,使得()0gt,即()0ft当(1,),()xtfx单调递增,当(,0),()xtfx单调递减有1,()xfx而(0)0f,所以当(,0),()0xtfx所以()fx在(1,)t上有唯一

零点,(,0)t上无零点即()fx在(1,0)上有唯一零点所以1a,符合题意所以若()fx在区间(1,0),(0,)各恰有一个零点,求a的取值范围为(,1)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网

（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）因为l：sin03m，所以13sincos022

m，又因为sin,cosyx，所以化简为13022yxm，整理得l的直角坐标方程：320xym（2）联立l与C的方程，即将3cos2xt，2sinyt代入320xym中，可得3cos22sin20ttm

，所以23(12sin)2sin20ttm，化简为26sin2sin320ttm，要使l与C有公共点，则226sin2sin3mtt有解，令sinta，则1,1a，令2()623faaa，(11)a≤≤，对称轴为16a，开口向上

，所以(1)623()5maxffa，min11219(())36666ffa，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司所以19256mm

的取值范围为195122m.[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc

，当且仅当333222abc，即319abc时取等号．（2）证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc3

33333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当abc时取等号．