【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2015年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.docx，共(17)页，787.625 KB，由envi的店铺上传

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2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U=，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合UACB=（）A．2,5B．3,6C．2,5,6D．2,3,5,6,82．设变量,xy满足约束

条件20.30.230.xxyxy+−++−则目标函数6zxy=+的最大值为（）A．3B．4C．18D．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．10−B．6C．14D．184．设xR，则“|2|1x−＜”是“220xx+−＞”的（）A．充

分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O中，NM，是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点NM，，若2CM=，4MD=，3CN=，则线段NE的长为（）A．8

3B．3C．103D．526．已知双曲线22221xyab−=（0b0a＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247yx=的准线上，则双曲线的方程为（）A．2212128xy−=B．2212821xy−=C．221

34xy−=D．22143xy−=7．已知定义在R上的函数()21xmfx−=−（m为实数）为偶函数，记0.5(log3)af=，2(log5)bf=，(2)cfm=，则bca，，的大小关系为（）A．abc＜＜B．acb＜＜C．cab＜＜D．cba＜＜8．已知函数22||()22xxf

xxx−=−，2，（），＞，函数()(2)gxbfx=−−，其中bR，若函数()()yfxgx=−恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．7()4+，B．7()4−，C．7(0)4，D．7(2)4，二、填空题9．i是虚数单位，若复数(12)()iai

−+是纯虚数，则实数a的值为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m．11．曲线2yx=与直线yx=所围成的封闭图形的面积为．12．在61()4xx−的展开式中，2x的系数为．13．在A

BC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ABC的面积为315，12,cos4bcA−==−，则a的值为．14．在等腰梯形ABCD中，已知//,2,1,60ABDCABBCABC===。动点E和F分别在线段BC和DC上，

且1,9BEBCDFDC==，则AEAF的最小值为．三、解答题15．已知函数22(x)sinsin()6fxx=−−，xR．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间34−，内的最大值和最小值．16．为

推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛。（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面ABCD，ABAC⊥，1AB=，12ACAA==，5ADCD==，且点M和N分别为1BC和1DD的中点．

（Ⅰ）求证：MN平面ABCD；（Ⅱ）求二面角11DACB−−的正弦值；（Ⅲ）设E为棱11AB上的点。若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1AE的长。18．已知数列na满足2nnaqa+=（q为实数，且1q），*nN，11a=，22a

=，且21aa+，34+aa，45+aa成等差数列。（Ⅰ）求q的值和na的通项公式；（Ⅱ）设222-1lognnnaba=，*nN，求数列nb的前n项和．19．已知椭圆22221(b0)xyaab+=

＞＞的左焦点为(,0)Fc−，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆2224bxy+=截得的线段的长为c，43||3FM=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围。20．已知函数(),,

nfxnxxxR=−其中*nN，且2n.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设曲线()yfx=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()ygx=，求证：对于任意的正实数x，都有()()fxgx；（Ⅲ）若关于x的方程()fxa=（a

为实数）有两个正实数根12xx，，求证：2121axxn−+−．2015年高考天津市理科数学真题答案一、选择题1．答案：A解析过程：{2,5,8}UB=ð,所以{2,5}UAB=ð，选A2．答案：C解析过程：不等式20.30.230

.xxyxy+−++−所表示的平面区域如下图所示，当6zxy=+所表示直线经过点(0,3)B时，z有最大值18，选C3．答案：B解析过程：输入20,1Si==；21,20218,25iS==−=不成立；2

24,18414,45iS===−=不成立248,1486,85iS===−=成立输出6,选B4．答案：A解析过程：|2|112113xxx−−−＜＜＜＜＜，22021xxxx+−＞＜-或＞所以“|2|1x−＜”是“220xx+−＞

”的充分不必要条件，选A5．答案：A解析过程：由相交弦定理可知，,AMMBCMMDCNNEANNB==，又因为,MN是弦AB的三等分点，所以AMMBANNBCNNECMMD==，所以24833CMMDNECN

===，选A6．答案：D解析过程：双曲线22221xyab−=（0b0a＞，＞）的渐近线方程为byxa=，由点(23)，在渐近线上，所以32ba=，双曲线的一个焦点在抛物线247yx=准线方程7x=−上，所以7c=，由此可解得2,3ab==

，所以双曲线方程为22143xy−=，选D7．答案：C解析过程：因为函数()21xmfx−=−为偶函数，所以0m=，即()21xfx=−，所以221loglog330.521(log3)log2121312,3aff===−=−=−

=()()2log502log5214,2(0)210bfcfmf==−====−=所以cab，选C8．答案：D解析过程：由()()22,2,2,2,xxfxxx−=−得222,0(2),0xxfx

xx−−−=，所以222,0()(2)42,0222(2),2xxxyfxfxxxxxxx−+=+−=−−−−−+−，即222,0()(2)2,0258,2xxxyfxfxxxxx++=+−=−+()()()(2)yfxgxfxfxb=−=

+−−,所以()()yfxgx=−恰有4个零点等价于方程()(2)0fxfxb+−−=有4个不同的解，即函数yb=与函数()(2)yfxfx=+−的图象的4个公共点，由图象可知724b.选D二、填空题9．答案：-2解析过程：()()()12212iaiaai−+=++−是纯虚数，所以20a+

=，即2a=−10．答案：83解析过程：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V=+=.11．答案：16解析过程：两曲线的交

点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积()122301111()0236Sxxdxxx=−=−=.12．答案：1516解析过程：61()4xx−展开式的通项为66216611()()44

rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，由622r−=得r=2，所以222236115()416TCxx=−=，所以该项系数为151613．答案：8解析过程：因为0A，所以215sin1cos4AA=−=

，又115sin315,2428ABCSbcAbcbc====，解方程组224bcbc−==得6,4bc==，由余弦定理得2222212cos64264()644abcbcA=+−=+−−=，所以8a=.14．答案：

2918解析过程：因为1,9DFDC=12DCAB=，119199918CFDFDCDCDCDCAB−−=−=−==，AEABBEABBC=+=+，19191818AFABBCCFABBCABABBC−+=++=++=+，()19()18AEAF

ABBCABBC+=++221919(1)1818ABBCABBC++=+++19199421cos1201818++=++211721172929218921818=+++=三、解答题15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值3

4，最小值12−解析过程：（Ⅰ）解：由题意得1cos(2)1cos23()22xxfx−−−=−=1131(cos2sin2)cos22222xxx+−311sin2cos2sin(2)4426xxx=−=−所以，()fx的最小

正周期22T==（Ⅱ）解：因为()fx在区间,36−−上是减函数，在区间,64−上是增函数，1()34f−=−，1()62f−=−，3()44f=.所以，()fx在区间,34−上的最大值为34，最小值为12−

.2116．答案：（Ⅰ）635；（Ⅱ）见解析解析过程：（Ⅰ）解：由题意得22222333486()35CCCCPAC+==所以，事件A发生的概率为635.（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.453

48()(1,2,3,4).kkCCPXkkC−===所以，随见变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望()1331512341477142EX=+++=17．答案：见解析解析过程：如图，以A为原点

建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A,(0,1,0),B(2,0,0)C,(1,2,0)D−,1(0,0,2)A,1(0,1,2),B1(2,0,2),C(1,2,2)D−.又因为M,N分别为1BC和

1DD的中点，得1(1,,1)2M,(1,2,1)N−.（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n=为平面ABCD的一个法向量.MN=5(0,,0)2−.由此可得0MNn=，又因为直线MN平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：1(1,2,2)AD=−，(2,0,0)AC

=．设1(,,)nxyz=为平面1ACD的法向量，则1110,0,nADnAC==即220,20.xyzx−+==不妨设1z=，可得1(0,1,1)n=.．设2(,,)nxyz=为平面1ACB的法向量，

则1110,0,nABnAC==又1AB(0,1,2)=，得20,20.yzx+==不妨设1z=，可得2(0,2,1)n=−．因此有12121210cos,10nnnnnn==−，于是12310sin,10nn=．所以，二面角11DACB−−的正弦值为310

10。（Ⅲ）解：依题意，可设111,AEAB=，其中0,1，则()0,,2E，从而()1,2,1NE=−+．又()0,0,1n=为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos,NEn=NEnNEn=2221(1)(2)1−+++=13，整理得2430+

−=，又因为0,1，解得72=−．所以，线段1AE的长为72−．18．答案：见解析解析过程：（Ⅰ）解：由已知，有()()()()34234534aaaaaaaa+−+=+−+，即4253aaaa−=−，所以()()23

11aqaq−=−．又因为1q，故322aa==，由31aaq=，得2q=．当21()nkkN=−时，1122122nknkaa−−−===；当2()nkkN=时，2222nknkaa===．所以，na的通项公式为1222,2n

nnnan−=为奇数，，为偶数.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得221212nnnnloganba−−==.设nb的前n项和为nS，则()0122111111123...122222nnnSnn−−=++++−+，()1231111111123...

1222222nnnSnn−=++++−+，上述两式相减，得21111111221...212222222212nnnnnnnnnnS−−=+++−=−=−−−整理得，1242nnnS−+=−.所以，数列nb的前n项和为1242nn−+−，

nN．19．答案：（Ⅰ）33；（Ⅱ）22132xy+=；（Ⅲ）23223()()333−，-，解析过程：（Ⅰ）解：由已知有2213ca=，又由222+abc=，可得22223,2acbc==.设直线FM的斜率为(0)kk，则直线FM的方程为()ykxc=+

．由已知，有22()1kck++22()()22cb=，解得33k=．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为2222132xycc+=，直线FM的方程为()33yxc=+，两个方程联立，消去y，整理得223250xcxc+−=，解得53xc=−，或xc=.

因为点M在第一象限，可得M的坐标为23(,)3cc.有222343()(0)33FMccc=++−=，解得1c=，所以椭圆的方程为22132xy+=.（Ⅲ）解：设点P的坐标为(),xy，直线FP的斜率为t，得1ytx=+，即()1ytx=+()1x−，

与椭圆方程联立22(1),1,32ytxxy=++=消去y，整理得22223(1)6xtx++=．又由已知，得226223(1)xtx−=+，解得312x−−，或10x−．设直线OP的斜率为m，得ymx=，即(0)ymxx=，与椭圆方程联

立，整理可得22223mx=−.①当3,12x−−时，有(1)0ytx=+，因此0m，于是2223mx=−，得223(,)33m.②当()1,0x−时，有(1)0ytx=+，因此0m，于是2223mx=−−，得23(,)3m−−.综上，直线OP的斜

率的取值范围是23(,)3−−223(,)33.20．答案：见解析解析过程：（Ⅰ）解：由()fx=nnxx−，可得()fx=1nnnx−−=()11nnx−−，其中nN，且2n.下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时.令()fx=0，解得1x=，或1x

=−.当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,1)−−(1,1)−(1,)+()fx−+−()fx↘↗↘所以，()fx在(),1−−，()1,+上单调递减，在()1,1−内单调递增。（2）当n为偶数时.当'()0fx，即1x时，

函数()fx单调递增；当'()0fx，即1x时，函数()fx单调递减.所以，()fx在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P的坐标为()0,0x，则011nxn−=，20

()fxnn=−.曲线y=()fx在点P处的切线方程为()00()yfxxx=−，即00()()()gxfxxx=−，令()()()Fxfxgx=−，即()()Fxfx=00()()fxxx−−，则()

()Fxfx=0()fx−．由于1()nfxnxn−=−+在()0,+上单调递减，故()Fx在()0,+上单调递减，又因为0()0Fx=，所以当()00,xx时，()0Fx，当()0,xx+时，()0Fx，所以()Fx在()00,x内单调递增，在()0,x+上单调递

减，所以对于任意的正实数x，都有0()()0FxFx=，即对于任意的正实数x，都有()fx()gx．（Ⅲ）证明：不妨设12xx．由（Ⅱ）知()()()20gxnnxx=−−，设方程()gxa=的根为'2x，可得'2

02axxnn=+−，当2n时，在(),−+上单调递减．又由（Ⅱ）知()()()'222gxfxagx==，可得'12xx．类似地，设曲线()yfx=在原点处的切线方程为()yhx=，可得()hxnx=，当()0,x+，()()0nfxhxx−=−

，即对于任意的()0,x+，()()fxhx．设方程()hxa=的根为'1x，可得'1axn=．因为()hxnx=在(),−+上单调递增，且()()()'111hxafxhx==，因此'11xx

．由此可得''212101axxxxxn−−=+−．因为2n，所以()1111211111nnnCnn−−−=++=+−=，故0112nxn−=.所以，2121axxn−+−．