【文档说明】专题24.1 期末测试卷（满分150分制）（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）.docx，共(18)页，405.156 KB，由envi的店铺上传

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2021-2022学年九年级数学上册期末测试卷【沪科版】考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！一、选择题（本大题共10小题每小题4分，满分40分）1．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（）A．直线x＝﹣1B

．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝2【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为x＝1，故选：C．2．（4分）若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，1），则m＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】先设出反比例函数解析式y

=𝑘𝑥，代入（2，﹣2）确定k值，再代入（m，1）可求出m的值．【解答】解：设反比例函数解析式y=𝑘𝑥，将（2，﹣2）代入得﹣2=𝑘2，∴k＝﹣4，即函数解析式为y=−4𝑥，将（m，1）代入解析式

得1=−4𝑚，∴m＝﹣4．故选：D．3．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：

∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵，即24=𝐴𝐸6，解得，AE＝3，故选：C．4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=23，AB＝6，则AC的长为（）A．8B．6C．4D．2【分析】根据锐角三

角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=23，AB＝6，∴cosA=23=𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶6，∴AC＝4，故选：C．5．（4分）如图，在⊙O中，∠BOC＝54°，则∠BAC的度数为（）A．27°B．28°C．36°D．54°

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝54°，∴∠BAC=12∠BOC＝27°．故选：A．6．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x经变换后得到抛物线y＝x2﹣

4x，则这个变换可以是（）A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【解答】解：y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，顶点坐标是（

﹣2，﹣4）．y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，顶点坐标是（2，﹣4）．所以将抛物线y＝x2+4x向右平移4个单位得到抛物线y＝x2﹣4x，故选：B．7．（4分）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3√2m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上

的鱼线B'C'长度是（）A．3mB．3√3mC．2√3mD．4m【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【解答】解：∵s

in∠CAB=𝐵𝐶𝐴𝐶=3√26=√22，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°=𝐵′𝐶′6=√32，解得：B′C′＝3√3．故选：B．8．（4分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于

点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB=√33，则劣弧AB的长是（）A．2πB．3πC．4πD．6π【分析】连接OC、OB，由切线的性质知OC⊥AB，由tan∠OAB的值，可得∠A的度数，进而可求出OA的长，进而𝐴𝐵̂的长也可求出．【解答】解：连接OC、O

B，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∵OD＝3，∴OC＝3，∵tan∠OAB=√33，∴∠A＝∠B＝30°，OA＝2OC＝6，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长是：120⋅𝜋⋅6180=

4π．故选：C．9．（4分）抛物线y＝ax2﹣1与双曲线y=𝑎𝑥（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别根据反比例函数及二次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：由抛物线y＝

ax2﹣1可知，抛物线与y轴的正半轴相交，故A、C不合题意，B、由抛物线开口向下可知a＜0，由双曲线在第一、三象限可知a＞0，两结论相矛盾，故B选项不合题意；D、由抛物线开口向下可知a＜0，由双曲线在第二、四象限可知a

＜0，两结论一致，故D选项符合题意．故选：D．10．（4分）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x+1﹣2a与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且﹣1＜x1＜0，0＜x2＜12，则实数a的取值范围是（）A．a＞12B．

a＜34C．a＞12或a＜34D．12＜a＜34【分析】根据题意x1，x2是方程x2+（2a﹣1）x+1﹣2a＝0的两个根，由根与系数的关系得出x1+x2＝1﹣2a，x1x2＝1﹣2a，根据﹣1＜x1＜0，0＜x2＜12得出﹣1＜x1＜0，0＜x2＜12，

解得12＜a＜34．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2a﹣1）x+1﹣2a与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），∴x1，x2是方程x2+（2a﹣1）x+1﹣2a＝0的两个根，∴x1+x2＝1﹣2a，x1x

2＝1﹣2a，∵﹣1＜x1＜0，0＜x2＜12，∴−12＜1﹣2a＜0，∴12＜a＜34，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形．【分析】根据逆命题是条

件、结论互换解答即可．【解答】解：命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：对角互补的四边形是圆内接四边形，故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．12．（5分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的

边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为45．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D

，则∠ADC＝90°，由勾股定理得：AC=√32+42=5，∴sin∠BAC=𝐶𝐷𝐴𝐶=45．故答案为：45．13．（5分）如图，反比例函数y=6𝑥（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b

），则1𝑎−1𝑏的值为−13．【分析】由点P（a，b）为反比例函数y=6𝑥（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的交点，可得出ab＝6、a﹣b＝2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．【解答】解：∵反比例函数y=6𝑥（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），∴b=6𝑎，

b＝a﹣2，∴ab＝6，a﹣b＝2，∴1𝑎−1𝑏=𝑏−𝑎𝑎𝑏=−𝑎−𝑏𝑎𝑏=−26=−13．故答案为−13．14．（5分）如图，点Q是△ABC内一点，且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠

α．（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，∠α＝30°．（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形（其中∠ACB＝90°）时，△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是1：2：2．【分析】（1）只要证明△ACQ≌△BAQ，推出CQ＝AQ，同法可证CQ＝BQ，推出QA＝QB＝QC，推出∠1＝∠2＝

∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝30°即可解决问题；（2）作CH⊥AQ交AQ的延长线于H，设QC＝m．由∠AQC＝∠AQB＝135°，推出∠CQB＝90°，分不清楚三个三角形的面积即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵

∠1＝∠2＝∠3，∴∠4＝∠5＝∠6，∴△ACQ≌△BAQ（ASA），∴CQ＝AQ，同法可证CQ＝BQ，∴QA＝QB＝QC，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝30°故答案为30°，（2）作CH⊥AQ交AQ的延长线于H，如

图2，设QC＝m．∵∠AQC＝180°﹣∠3﹣∠CAQ＝135°，∴∠CQH＝45°，∴CH=√22m，∵△ACQ∽△BAQ，∴𝐶𝑄𝐴𝑄=𝐴𝑄𝐵𝑄=𝐴𝐶𝐴𝐵=1√2，∴AQ=√2m，BQ＝2m，∵S△AQC=12•AQ•CH=12m2，S△AB

Q=12AQ•BQ•√22=m2，∵∠AQC＝∠AQB＝135°，∴∠CQB＝90°，S△BCQ=12•BQ•CQ＝m2，∴S△AQC：S△ABQ：S△BCQ=12m2：m2：m2＝1：2：2，故答案为：1：2：2．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：c

os230°+sin245°﹣tan60°•tan30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝（√32）2+（√22）2−√3•√33=34+12−1=14．16．（8分）已知抛物线y＝

﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），求抛物线的解析式及其顶点C的坐标．【分析】利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求得二次函数的解析式．【解答】解：把点（1，0），（﹣3，0）代入y

＝﹣x2+bx+c，得，{−1+𝑏+𝑐=0−9−3𝑏+𝑐=0，解得{𝑏=−2𝑐=3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）每个小方格是边长

为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；（2）将菱形OABC绕原点O顺

时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出AB，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，菱形OA1B1C1即为所求作，B1（8，8）；（2）如图，菱形OA2B2

C2即为所求作．18．（8分）已知：如图，在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，延长DE、BC交于点F．求证：BF•EC＝CF•AE．【分析】作DG∥BC交AC于点G，DH∥AC交BC于点H，可得G为AC中点，H为BC中点，BC＝2DG，AC＝2

AG，由△DGE∽△FCE得𝐷𝐺𝐶𝐹=𝐸𝐺𝐶𝐸，对其进行变形即可得BF•EC＝CF•AE．【解答】解：作DG∥BC交AC于点G，DH∥AC交BC于点H，∵D为AB中点，∴G为AC中点，H为

BC中点，BC＝2DG，AC＝2AG，∵DG∥BC，∴△DGE∽△FCE，∴𝐷𝐺𝐶𝐹=𝐸𝐺𝐶𝐸，∴2×𝐷𝐺𝐶𝐹=2×𝐸𝐺𝐶𝐸，即𝐵𝐶𝐶𝐹=2𝐸𝐺𝐸𝐶，∴𝐵𝐶𝐶𝐹+1=2𝐸𝐺�

�𝐶+1，即𝐵𝐶+𝐶𝐹𝐶𝐹=2𝐸𝐺+𝐸𝐶𝐸𝐶，∵EG+EC＝GC＝AG，∴EG+EG+EC＝EG+AG＝AE，∴𝐵𝐶+𝐶𝐹𝐶𝐹=𝐴𝐸𝐸𝐶，即𝐵𝐹𝐶𝐹=𝐴𝐸𝐸𝐶，∴BF•EC＝CF•AE．五、（本大题共2小题，每小题10分，满

分20分）19．（10分）为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约

是16m，试求该古塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【分析】先由锐角三角函数定义求出AD的长，再由锐角三角函数定义求出CD的长即可

．【解答】解：∵顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝16m，tan30°=𝐴𝐵𝐴𝐷=√33，∴AD=√3AB＝16√3（m），∵在一楼房的底端A点处观测古塔顶端

C处的仰角是65°，在Rt△ACD中，tan∠CAD=𝐶𝐷𝐴𝐷，∴CD＝AD•tan65°≈16√3×2.14≈59.2（m）．答：该古塔的高度约为59.2米．20．（10分）如图，点A在反比例函数y=𝑘𝑥的图象位于第一象限的分支上，过点A作A

B⊥y轴于点C，S△AOB＝2．（1）求该反比例函数的表达式，（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是反比例函数y=𝑘𝑥图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义求得k的值，从而求得解析式；（2）结

论：P在第三象限，Q在第一象限．利用反比例函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）由题意可知，S△AOB=12|k|＝2．∴|k|＝4，∵k＞0，∴𝑦=4𝑥；（2）结论：P在第三象限，Q在第一象限．理由：∵k＝4＞0，∴反比例函

数y在每个象限y随x的增大而减小，∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，∴P、Q在不同的象限，∴P在第三象限，Q在第一象限．六、（本大题满分12分）21．（12分）已

知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是𝐵𝐶̂的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O直径是5，AE＝3.2，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据

圆周角定理，可得∠CAD＝∠BAD，从而得出∠ODF＝90°，即EF是⊙O的切线；（2）证明△AED∽△ADB，由相似三角形的性质得出𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐴𝐵，求出AD＝4，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：

连接OD．∵D是𝐵𝐶̂的中点，∴𝐵𝐷̂=𝐶𝐷̂．∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∵EF⊥AE，∴∠E＝90°．∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O

的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠AED＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐴𝐵，∵AB＝5，AE＝3.2，∴AD2＝AB•AE＝16，∴AD＝4（负值舍去），∴BD=√𝐴𝐵2−𝐴𝐷2=√52−42=3．七、（本大题满分12分）22．（

12分）安徽盒子健康公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本

等费用满足下表：第n月第1月第2月维修保养、捐赠口罩成本等费用（万元）35若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y（万元），且y＝an2+bn．（1）求出y的解析式；（2）设该公司第n月的利润为w（万元

），求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？（3）该公司在2021年哪月份能收回投资？【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据利润＝总创利﹣维修保养与损耗等费用累计﹣500，列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得

答案；（3）求得利润关于x的函数值何时由负转正，结合n取正整数，即可得出答案【解答】解：（1）第1月到第2月的累积费用为：3+5＝8（万元），将{𝑛=1𝑦=3，{𝑛=2𝑦=8代入y＝an2+bn，得{3=𝑎+𝑏8=4𝑎+2𝑏，解得{𝑎=1𝑏=2，∴解析式为

y＝n2+2n；（2）由题意得：w＝100n﹣（n2+2n）﹣500＝﹣n2+98n﹣500＝﹣（n﹣49）2+1901，∴投产后第49个月，利润最大，最大利润为1901万元；（3）∵w＝﹣n2+98n﹣500，当n＝5时，

w＝﹣35（万元）＜0；n＝6时，w＝52（万元）＞0；∴在2021年6月收回成本．八、（本大题满分14分）23．（14分）如图，点E是正方形ABCD内部一点，△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF＝∠EBG＝90°，连接AG、FC．（1）已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条

直线上（如图1）．①若△AEF与△BEG的相似比为2：1，求△EAB的面积；②求D、E两点之间距离的最小值．（2）如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AG∥CF．【分析】（1）①设AE＝2x，BE＝x，在Rt△AEB

中，由勾股定理可求AE，BE，即可求解；②取AB中点O，连接OD，OE，DE，可证点E在以AB为直径的圆上运动，则当点E在线段OD上时，DE有最小值，即可求解；（2）连接GC、DF，由“SAS”可证△CGB≌△AEB，△DFA

≌△BEA，可得FA＝EA＝CG，DF＝EB＝BG，∠FDA＝∠3，由“SAS”可证△FDC≌△BEA，可得FC＝AG，可证四边形AFCG为平行四边形，可得AG∥FC．【解答】解：（1）①∵△AEF与△BEG都是等腰

直角三角形，∴∠AEF＝∠BEG＝45°，∴∠AEB＝90°，∵△AEF与△BEG的相似比为2：1，∴设AE＝2x，BE＝x，∵AE2+BE2＝AB2，∴5x2＝25，∴x=√5，∴AE＝2√5，BE=√5，∴△EAB的面积=12×AE×BE＝5；②如图

1，取AB中点O，连接OD，OE，DE，∵∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的圆上运动，∵点O是AB中点，∴OE＝AO＝BO=52，∴DO=√𝐴𝐷2+𝐴𝑂2=√25+254=5√52，∵DE≥DO﹣OE，∴当点E在线段OD上时，DE有最小值为5√52

−52．（2）连接GC、DF，∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，又∵BC＝AB，EB＝GB，∴△CGB≌△AEB（SAS），∴CG＝AE，∵△AFE是等腰直角三角形，∴FA＝EA＝CG，同理可证：△DFA≌△BEA，∴DF＝EB＝B

G，∠FDA＝∠3，∵∠CDA＝∠EBG＝90°，∴∠FDA+∠ADC＝∠3+∠EBG，即∠FDC＝∠ABG，又∵DC＝AB，∴△FDC≌△BEA（SAS），∴FC＝AG，又∵AF＝GC，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AG∥FC

．