【文档说明】2007年高考试题——数学理（安徽卷）.doc，共(13)页，947.500 KB，由envi的店铺上传

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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条

形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答第Ⅱ卷时，必须用0.

5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4Πr2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=

P(A)+P(B)球的体积公式1+2+…+n2)1(+nnV=334R12+22+…+n2=6)12)(1(++nnn其中R表示球的半径13+23++n3=4)1(22+nn第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，

每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A))+=,0,)(3xxxf（B）)+−=,,)(3xxxf(C)),(,)(+−=xcxfx(D)),0(,1)(+=xxxf(2)设l

,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l⊥”是“l⊥m且l⊥n”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件(C)充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(3)若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a＜－1

(B)a≤1(C)a＜1（D）a≥1（4）若a为实数，iai212++＝－2i，则a等于（A）2（B）－2（C）22（D）－22（5）若2228xAx−=，2R|log|1}Bxx=，则)(CRBA

的元素个数为（A）0（B）1（C）2（D）3（6）函数π()3sin(2)3fxx=−的图象为C，：①图象C关于直线1211=x对称;②函数)(xf在区间)12π5,12π(−内是增函数;③由xy2sin3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中正确论断的个数为（A）0

（B）1（C）2（D）3（7）如果点P在平面区域−++−+−02012022yxyxyx上，点Q在曲线1)2(22=++yx上，那么QP的最小值为（A）15−（B）154−（C）122−（D）12−（8）半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点，

则A与B两点间的球面距离为（A）)33arccos(−（B）)36arccos(−（C）)31arccos(−（D）)41arccos(−（9）如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babrax=−的两个焦点，

A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（A）3（B）5（C）25（D）31+（10）以)(x表示标准正态总体在区间（x,−）内取值的概率，若随机变量服从正态分布),(2N，则概率()P−等于（A

）)(+－)(−（B）)1()1(−−（C）)1(−（D）)(2−（11）定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(=xf在闭区间TT,−上的根的个数记为n，则n可能为（

A）0（B）1（C）3（D）52007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在

答题卡的相应位置.(12)若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于.（13）在四面体O－ABC中，,,,OAaOBbOCcD===为BC的中点，E为AD的中点，则OE=（用,,abc表示）.（14）如

图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn－1Pn－1

Pn－1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体

；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（16）（本小题满分12分）已知0＜a＜)82cos()(,4

+=xxf为的最小正周期，),1),41(tan(−+=aa求sincos)(2sincos22−++.(17)(本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1

D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.(18)(本小题满分14分)设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F

（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.(19)(本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线

AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20)(本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇

子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21)(本小题满分14分)某国采用养老储备金

制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算

复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T

n与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．题

号1234567891011答案DABBCCACDBD(1)在下列函数中，反函数是其自身的函数为),0(,1)(+=xxxf，选D。(2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l⊥”，则“l⊥m且l⊥n”，反之若“l⊥m且l⊥n”，当m//n时，推不出“l⊥”，∴

“l⊥”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件，选A。(3)若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得11a−，即实数a的取值范围是a≤1，选B。（4）若a为实数，iai212++＝－2i，则222

aii+=−，a=－2，选B。（5）2228xAx−=={0,1}，2R|log|1}Bxx==1{|20}2xxx或，∴)(CRBA={0,1}，其中的元素个数为2，选C。（6）函

数)3π2sin(3)(−−xxf的图象为C①图象C关于直线232xk−=+对称，当k=1时，图象C关于1211=x对称；①正确；②x∈)12π5,12π(−时，23x−∈(－2，2)，∴函数)(xf在区间)12π5,12π(−内是增函数；②

正确；③由xy2sin3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin(2)3yx=−，得不到图象，③错误；∴正确的结论有2个，选C。（7）点P在平面区域−++−+−02012022yxyxyx上，画出可行域如图，点Q在圆1)2(22=++

yx上，那么QP的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y+1=0的距离减去半径1，即为5－1，选A。-2-1-2-13213210（8）半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，

OP=31，BP=33a，由222OBOPBP=+解得263a=，∴由余弦定理得∠AOB=arcos(－31)，∴A与B两点间的球面距离为)31arccos(−，选C。（9）如图，1F和2F分别是双曲

线)0,0(12222babrax=−的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴2(31)ac=−，双曲线的离心率为31+，选D。（10）以)(x表示标

准正态总体在区间（x,−）内取值的概率，若随机变量服从正态分布),(2N，则概率()P−=()()PP+−−=()+−－()−−=)1()1(−−，选B。（11）定义

在R上的函数)(xf是奇函数，(0)0f=，又是周期函数，T是它的一个正周期，∴()()0fTfT=−=，()()()()2222TTTTfffTf−=−=−+=，∴()()022TTff−==，则n可能

为5，选D。二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．题号12131415答案7111244abc++13①③④⑤(12)若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项，311(2)()nrnrrrn

TCxx−−+=为常数项，即732rn−=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7.（13）在四面体O－ABC中，,,,OAaOBbOCcD===为BC的中点，E为AD的中点，则OE=11()22OAAEOAADOAAOOD+=+=++=11111()242

44OAOBOCabc++=++.（14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2

,…,△Qn－1Pn－2Pn－1,∴11(,0)kkPn−−，2121(1)(,1)kkkQnn−−−−，211||nnPPn−−=，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为222221112(1)lim[(1)(1)(1)]2nnnnnn→−−+−+−.整理得221(1)(1)(2)(2

3)16lim[]2nnnnnnnn→−−−−−=31。(15)在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；.③有三个面为

等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。.三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推

理能力．本小题满分12分．解：因为为π()cos28fxx=+的最小正周期，故π=．因m=·ab，又1costan24=+−ab··．故1costan24m+=+

·．由于π04，所以222cossin2()2cossin(22π)cossincossin++++=−−22cossin22cos(cossin)cossincossin++==−−1tanπ2cos2costan2(2)1tan4m

+==+=+−·．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以D为

原点，以1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz−如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)ABCABCD，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220

)ACACDBDB=−=−==，，，，，，，，，，，∵．111122ACACDBDB==，∴．AC∴与11AC平行，DB与11DB平行，于是11AC与AC共面，11BD与BD共面．（Ⅱ）证明：1(002)

(220)0DDAC=−=，，，，··，(220)(220)0DBAC=−=，，，，··，1DDAC⊥∴，DBAC⊥．1DD与DB是平面11BBDD内的两条相交直线．AC⊥∴平面11BBDD．又平面11AACC过AC．∴平面11AACC⊥平面11BBDD．（Ⅲ）解

：111(102)(112)(012)AABBCC=−=−−=−，，，，，，，，．设111()xyz=，，n为平面11AABB的法向量，11120AAxz=−+=n·，111120BBxyz=−−+=n

·．于是10y=，取11z=，则12x=，(201)=，，n．设222()xyz=，，m为平面11BBCC的法向量，122220BBxyz=−−+=m·，12220CCyz=−+=m·．于是20x=，取21z=，

则22y=，(021)=，，m．1cos5==，mnmnmn·．ABCD1A1B1C1Dxyz∴二面角1ABBC−−的大小为1πarccos5−．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1DD⊥∵平面1111ABCD，1DD⊥平面A

BCD．1DDDA⊥∴，1DDDC⊥，平面1111ABCD∥平面ABCD．于是11CDCD∥，11DADA∥．设EF，分别为DADC，的中点，连结11EFAECF，，，有111111AEDDCFDDDEDF==，，，∥∥．11AECF∴∥，于是11ACEF∥．由1DEDF==，得EF

AC∥，故11ACAC∥，11AC与AC共面．过点1B作1BO⊥平面ABCD于点O，则1111BOAEBOCF，∥∥，连结OEOF，，于是11OEBA∥，11OFBC∥，OEOF=∴．1111BAAD⊥∵，OEAD⊥∴．1

111BCCD⊥∵，OFCD⊥∴．所以点O在BD上，故11DB与DB共面．（Ⅱ）证明：1DD⊥∵平面ABCD，1DDAC⊥∴，又BDAC⊥（正方形的对角线互相垂直），1DD与BD是平面11BBDD内的两条相交直线，AC⊥∴平面11BBDD．又平面11AA

CC过AC，∴平面11AACC⊥平面11BBDD．（Ⅲ）解：∵直线DB是直线1BB在平面ABCD上的射影，ACDB⊥，根据三垂线定理，有1ACBB⊥．ABCD1A1B1C1DMOEF过点A在平面11ABBA内作1AMBB⊥于M，连结MCMO，，则1BB⊥平面AMC，于是11BBMCBBM

O⊥⊥，，所以，AMC是二面角1ABBC−−的一个平面角．根据勾股定理，有111556AACCBB===，，．1OMBB⊥∵，有1123BOOBOMBB==·，23BM=，103AM=，103CM=．2221cos25AMCM

ACAMCAMCM+−==−·，1πarccos5AMC=−，二面角1ABBC−−的大小为1πarccos5−．18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分1

4分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10xafxxxx=−+，，故()()2ln20Fxxfxxxax==−+，，于是22()10xFxxxx−=−=，，列表如下：x(02)，2(2)+，∞()Fx

−0+()Fx极小值(2)F故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x=处取得极小值(2)22ln22Fa=−+．（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa=−+．于是由上表知，对一切(

0)x+，∞，恒有()()0Fxxfx=．从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)+，∞内单调增加．所以当1x时，()(1)0fxf=，即21ln2ln0xxax−−+．故当1x时，恒有2ln2

ln1xxax−+．19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(2)

Aaa，．因为OAt=，所以222aat+=．由于0t，故有22taa=+．（1）由点(0)(0)BtCc，，，的坐标知，直线BC的方程为1xyct+=．又因点A在直线BC上，故有21aact+=，将（1）代入上

式，得21(2)aacaa+=+，解得22(2)caa=+++．（Ⅱ）因为(22(2))Daa++，，所以直线CD的斜率为2(2)2(2)2(2)122(22(2))2(2)CDaaakacaaaa+++====−+−+−+++−+．所以直线CD的斜率为定值．20．本小题主要考查等可能场合下的事件

概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：（Ⅰ）的分布列为：0123456P728628528428328228128（Ⅱ）数学期望为2(162534)228E=++=．（Ⅲ）所求的概率为543211

5()(2)2828PEP++++===≥≥．xyBAOa2a+ＣD2:2Gyx=21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决

实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)nnnTTran−=++≥．（Ⅱ）11Ta=，对2n≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)nnnnnnTTraTrara−−−=++=++++=12121(1)(1)

(1)nnnnararara−−−=+++++++，①在①式两端同乘1r+，得12121(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnrTarararar−−+=++++++++②②−①，得121(1)[(1)(1)(1)]nnnnnrTardrrra−−=++++++++−1[(1)1](1

)nnndrrarar=+−−++−．即1122(1)nnardarddTrnrrr++=+−−．如果记12(1)nnardArr+=+，12narddBnrr+=−−，则nnnTAB=+．其中nA是以12

(1)ardrr++为首项，以1(0)rr+为公比的等比数列；nB是以12arddrr+−−为首项，dr−为公差的等差数列．