【文档说明】2009年高考试题——数学理（北京卷）解析版.doc，共(13)页，1.562 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答

题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答

案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1．在复平面内，复数

(12)zii=+对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.∵(12)22ziiiii=+=+=−+，∴复数z所对应的点为()2,1−，故选B.2．已知向量a、b不共线，ck=a+b(

kR),d=a−b,如果c//d，那么（）A．1k=且c与d同向B．1k=且c与d反向C．1k=−且c与d同向D．1k=−且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.取a()1,0=，b()0,1=，

若1k=，则c=a+b()1,1=，d=a−b()1,1=−，显然，a与b不平行，排除A、B.若1k=−，则c=−a+b()1,1=−，d=−a+b()1,1=−−，即c//d且c与d反向，排除C，故选D.3．为了得到函数3lg10xy+

=的图像，只需把函数lgyx=的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考

查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．()()lg31lg103yxx=++=+，B．()()lg31lg103yxx=−+=−，C．()3lg31lg10xyx+=+−=，D．()3lg31lg10xy

x−=−−=.故应选C.4．若正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，则11AC到底面ABCD的距离为（）A．33B．1C．2D．3【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直

线与平面的距离等概念.（第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160BAB=，如图，11tan603BB==，故选D.5．“2()6kkZ=+”是“1cos22=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分

也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当2()6kkZ=+时，1cos2cos4cos332k=+==，w.

w.w.k.s.5.u.c.o.m反之，当1cos22=时，有()2236kkkZ=+=+，或()2236kkkZ=−=−，故应选A.6．若5(12)2(,abab+=+为有理数），则ab+=w.w.w.k.s.5

.u.c.o.m（）A．45B．55C．70D．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵()()()()()()()501234501234555555512222222CCCCCC+=+++++15220202204241

292=+++++=+，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由已知，得412922ab+=+，∴412970ab+=+=.故选C.7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．32

8C．360D．648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A==（个），当0不排在末位时，有111488488256

AAA==（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B.8．点P在直线:1lyx=−上，若存在过P的直线交抛物线2yx=于,AB两点，且|||PAAB=，则称点P为“点”，那么下列结

论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,

考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设()(),,,1AmnPxx−，则()2,22Bmxnx−−−，∵2,AByx=在上，∴2221(2)nmnxmx=−+=−（第8题解答图）消去n,整理得关于x的方程22(41)210xmxm−−+−=（

1）∵222(41)4(21)8850mmmm=−−−=−+恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢

笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．1lim1xxxxx→−=−_________.W【答案】12【解析】本题主要考极限的基本

运算，其中重点考查如何约去“零因子”.属于基础知识、基本运算的考查.()()()()2111111limlimlimlim121111xxxxxxxxxxxxxxxxxx→→→→−−−====−+−+−，故应填12.10．若实数,xy满足

2045xyxy+−则syx=−的最小值为__________.【答案】6−【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当4,2xy==−时，246syx=−−−=−为最小值.故应填6−.（第10

题解答图）11．设()fx是偶函数，若曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f−−处的切线的斜率为_________.【答案】1−【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点

处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考查.取()2fxx=，如图，采用数形结合法，易得该曲线在(1,(1))f−−处的切线的斜率为1−.故应填1−.12．椭圆22192xy+=的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4P

F=，则2||PF=_________；12FPF的小大为__________.（第11题解答图）【答案】2,120【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵229

,3ab==，∴22927cab=−=−=，∴1227FF=，又1124,26PFPFPFa=+==，（第12题解答图）∴22PF=，又由余弦定理，得()2221224271cos2242FPF+−==−，∴12120FPF

=，故应填2,120.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m13．若函数1,0()1(),03xxxfxx=则不等式1|()|3fx的解集为____________.【答案】3,1−【解析】本

题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133xfxxx−.（2）由001|()|01111133333xxxxfxx

.∴不等式1|()|3fx的解集为|31xx−，∴应填3,1−.14．已知数列{}na满足：434121,0,,N,nnnnaaaan−−===则2009a=________；2014a=_________.【答案】1，0【

解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331aa−==，2014210071007425210aaaa−====.∴应填1，0.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤

或证明过程。15．（本小题共13分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB=，4cos,35Ab==.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角

函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA==，∴23,sin35CAA=−=，∴231343sinsincossin32210CAAA+=−

=+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC+==，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又∵,33Bb==，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB==.∴△ABC的面积1163433693sin32251050Sab

C++===.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m16．（本小题共14分）如图，在三棱锥PABC−中，PA⊥底面,,60,90ABCPAABABCBCA===，点D，E分别在棱,PBPC上，且

//DEBCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角ADEP−−为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要

考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又90BCA=，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴12DEBC=，又由（Ⅰ）知，BC

⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴12ADAB=，∴在Rt△ABC中，6

0ABC=，∴12BCAB=.∴在Rt△ADE中，2sin24DEBCDAEADAD===，∴AD与平面PAC所成的角的大小2arcsin4.（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角ADEP−−的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴90PAC=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时9

0AEP=，故存在点E使得二面角ADEP−−是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系Axyz−，设PAa=，由已知可得()()1330,0,0,,,0,0,,0,0,0,222ABaaCaPa

−.（Ⅰ）∵()10,0,,,0,02APaBCa==，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴0BCAP=，∴BC⊥AP.又∵90BCA=，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为

PC的中点，∴13131,,,0,,44242DaaaEaa−，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵13131,,,0,,44242ADaaaAEaa

=−=，∴14cos4ADAEDAEADAE==.∴AD与平面PAC所成的角的大小14arccos4.（Ⅲ）同解法1.17．（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，

假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解

析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红

灯”，所以事件A的概率为()11141133327PA=−−=.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m事件“2k=”等价于事件“该学生在路上

遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkkPkCk−===，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴即的分布列是02468P168132818278811

81∴的期望是163288180246881812781813E=++++=.18．（本小题共13分）设函数()(0)kxfxxek=（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（

Ⅲ）若函数()fx在区间(1,1)−内单调递增，求k的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()()()()''1,01,00kxfxkxef

f=+==,曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yx=.（Ⅱ）由()()'10kxfxkxe=+=，得()10xkk=−，若0k，则当1,xk−−时，()'0fx，函数()fx单调递减，当1,,xk−+时，()'0f

x，函数()fx单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若0k，则当1,xk−−时，()'0fx，函数()fx单调递增，当1,,xk−+时，()'0fx，函数()fx单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）由

（Ⅱ）知，若0k，则当且仅当11k−−，即1k时，函数()fx()1,1−内单调递增，若0k，则当且仅当11k−，即1k−时，函数()fx()1,1−内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上可知，函数()fx()1,1−内单调递增时，k的取值范围是

)(1,00,1−.19．（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为3，右准线方程为33x=（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆22:2Oxy+=上动点0000(,)(0)Pxyxy处的切线，l与双曲线C交于

不同的两点,AB，证明AOB的大小为定值..w.k.s.5.u.c.o.m【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得2333acca=

=，解得1,3ac==，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴2222bca=−=，∴所求双曲线C的方程为2212yx−=.（Ⅱ）点()()0000,0Pxyxy在圆222xy+=上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m圆在点()00,Pxy处的切线方程为()0000xyyxx

y−=−−，化简得002xxyy+=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由2200122yxxxyy−=+=及22002xy+=得()222000344820xxxxx−−+−=，∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2002x，∴20340x−，且()()22200016

434820xxx=−−−，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设A、B两点的坐标分别为()()1122,,,xyxy，则20012122200482,3434xxxxxxxx−+==−−，w.w.w.k.s.5.u

.c.o.m∵cosOAOBAOBOAOB=，且()()121212010220122OAOBxxyyxxxxxxy=+=+−−，()212012012201422xxxxxxxxx=+−+

+−w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()222200002222000082828143423434xxxxxxxx−−=+−+−−−−22002200828203434xxxx−−==−=−−.∴AOB的大小为9

0..w.k.s.5.u.c.o.m【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点()()0000,0Pxyxy在圆222xy+=上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m圆在点()00,Pxy处的切线方程为()0000xyyxxy−=−−，化简得002xxyy+=.由2200122yxxxyy−

=+=及22002xy+=得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()222000344820xxxxx−−+−=①()222000348820xyyxx−−−+=②∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2002x，

∴20340x−，设A、B两点的坐标分别为()()1122,,,xyxy，则2200121222008228,3434xxxxyyxx−−==−−，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴12120OAOBx

xyy=+=，∴AOB的大小为90..w.k.s.5.u.c.o.m（∵22002xy+=且000xy，∴220002,02xy，从而当20340x−时，方程①和方程②的判别式均大于零）.20．（本小题共13分）已知数集()12

12,,1,2nnAaaaaaan=具有性质P；对任意的(),1ijijn，ijaa与jiaa两数中至少有一个属于A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a=，且1211112nn

naaaaaaa−−−+++=+++；（Ⅲ）证明：当5n=时，12345,,,,aaaaa成等比数列..k.s.5.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理

论证能力、分分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34与43均不属于数集1,3,4，∴该数集不具有性质P.由于66123612,13,16,23,,,,,,231236都属于数集1,2

,3,6，∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵12,,nAaaa=具有性质P，∴nnaa与nnaa中至少有一个属于A，由于121naaa，∴nnnaaa，故nnaaA.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m从而1nnaAa=，∴1

1a=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∵121naaa=，∴knnaaa，故()2,3,,knaaAkn=.由A具有性质P可知()1,2,3,,nkaAkna=.又∵121nnnnnnaaaaaaaa−

，∴211211,,,nnnnnnnnaaaaaaaaaaa−−====，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m从而121121nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa−−=+++=++++，∴1211112nnnaaaaaaa−−−+++=+++.w.w.w.

k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n=时，有552343,aaaaaa==，即25243aaaa==，∵1251aaa=，∴34245aaaaa=，∴34aaA，由A具有性质P可知43aAa.w.w.w.k.s.5.u.c.

o.m由2243aaa=，得3423aaAaa=，且3221aaa=，∴34232aaaaa==，∴534224321aaaaaaaaa====，即12345,,,,aaaaa是首项为1，公比为2a成等比数列..k.s.5.