【文档说明】内蒙古赤峰二中2021届高三上学期第二次月考数学（理科）试题含答案.doc，共(18)页，1.860 MB，由小赞的店铺上传

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赤峰二中2018级高三上学期第二次月考理科数学试卷命题人：吴雪飞；审题人：黄晓娟孙广仁注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷考试时间：120分钟；满分150分。2．作答时

，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R

，集合220MxNxx=−，21xAyy==+，则()UMCA=（）A．1B．{0,1}C．{0,1,2}D．01xx2．已知复数z满足()12i34iz−=+，其中i为虚数单位，则||z为（）A．1B．2C．2D．53．以下有关命题的说法错误．．的是（）A．命题

“若220xx−−=，则1x=−”的逆否命题为“若1x−，则220xx−−”B．“220xx+−=”是“1x=”成立的必要不充分条件C．对于命题0:pxR，使得20010xx−+，则:pxR，均有210xx−+D．若pq为真命题，则p与q至少有一个为真命题)(,5

,2ln,2log.4213则设−===cbacba.Aacb.Bbac.Cabc.D5．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，2AGGD=，则用向量,ABAC表示BG为（）A．2133BGABAC=−+B．1233BGABAC=−+C．2133BGABAC=−D．2133BGAB

AC=+6．已知函数()(3)5(1)2log(1)aaxxfxaxx−+=−对于任意12xx都有1212()()0fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是（）A．1,3]（B．1,3（）C．1,2]（D．1,2（）7．函数()2

1cos1xfxxe=−+图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．已知函数1()sin(0)62fxx=−−，若函数()fx在区间0,2上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A．2,23B．2,23C

．142,3D．142,39．已知ABC中，3,2,4,ABBCACG===为ABC的外心，则=BCAG（）27.A25.B25.C−27.D−10．过抛物线()2:20Cxpyp=的焦点F的直线交该抛物线于AB、两点，若3AFBF=，

O为坐标原点，则AFOF=（）A．43B．34C．4D．5411．已知点P是双曲线()222210,0yxabab−=下支上的一点，1F、2F分别是双曲线的上、下焦点，M是12PFF△的内心，且2121FMFMPFMPFSSS+=，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．3D

．21+12．若关于x的方程10xxxxemexe+++=+有三个不等的实数解123,,xxx,且1230xxx,其中mR,71828.2=e为自然对数的底数,则3122312xxxxxxmmmeee+++的值为（）A．eB．2

eC．()42mm+D．()41mm+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)＝loga(x－2)＋4(a>0且a≠1)，其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则si

n2cossincos+=−________.()()()的取值范围是则实数若已知函数aafafxeexfxx,02,2.142−+−−=−的面积的最大值为，则，且的中点为，中，在ABC2BDDA

CACABABC.15==__.16．已知函数()()()ln2240fxxaxaa=+−−+，若有且只有两个整数1x，2x使得()10fx，且()20fx，则a的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(本题12分)如图，在ABC中，点D在BC上，4CAD=，72

AC=，2cos10ADB=−.（1）求sinC的值；（2）若5BD=，求AB的长.18.（本题12分）．如图，在四棱锥PABCD−中，侧面PAB⊥底面ABCD，且90PABABC==，//ADBC，2PAABBCA

D===，E是PC的中点．（1）求证：DE⊥平面PBC；（2）求二面角APDE−−的余弦值．19（本题12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:学校计划将捐款以奖学金的形式奖

励给品学兼优的特困生,规定:(1)特困生综合考核前名,获一等奖学金元.(2)综合考核21至50名,获二等奖学金元.(3)综合考核名以后的不获得奖学金.(1)若与成线性相关,则某天售出箱水时,预计收入为多少元?(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获

二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.附:回归方程,其中,.20（本题12分）．已知椭圆2222:1(

0)xyCabab+=的离心率为12，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()0,1G作直线l与曲线C交于A、B两点，点A关于原点O的对称点为D，求ABD的面积S的最大值．

21（本题12分）．已知函数2()lnfxxxax=−+．（Ⅰ）若(1)0f=，求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）证明当2()nnN时，11111ln2ln3ln4lnn++++；（Ⅲ）若关于x的不等式21()(1)(21)12fxa

xax−+−−恒成立，求整数a的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为5152545xtyt=+=−+（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos24=．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）曲线C与直线l交于点,AB，点()1,4

M−，求MAMB+的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|||2|(0)fxxmxm=−++.（1）若函数()fx的最小值为3，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若正数,,abc满足

2abcm++=，求证：114abbc+++.赤峰二中2018级高三上学期第二次月考理科数学答案1．B()(0,1,2,1,,1UMAA==+=−ð()0,1UMCA=,选B.2．D因为()12i34iz−

=+，所以()()()()34123412121212iiiziiii+++===−+−−+，所以()22||=125z−+=.故选：D3．D【详解】对于A，根据命题与逆否命题之间的关系知，命题“若220xx−−=，则1x=−”的逆否命题为“若1x−，则2

20xx−−”，则A正确；对于B，220xx+−=时，1x=或2x=−，充分性不成立；1x=时，220xx+−=，必要性成立，是必要不充分条件，则B正确；对于C，根据特称命题0:pxR，使得20010xx−+，它的否定命题是:pxR

，210xx−+，则C正确；对于D，pq为真命题时，p与q至少有一个为真命题，但是p与q也可能都是假命题，则D错误.故选：D4.C5．A【详解】因为点D是边BC的中点，所以()12ADABAC=+，又2AGGD=，所以23AGAD

=uuuruuur，因此()21123333BGAGABADABABACABACAB=−=−=+−=−.故选：A.【点睛】6．C【解析】因为()()12120fxfxxx−−，所以函数是R上的减函数，所以30122aa

aa−+解得12a故选C.7．B利用奇偶性可排除A、C；再由(1)f的正负可排除D.【详解】()21e1coscos1e1exxxfxxx−=−=++，()1ecos()1exxfxx−−−

−=−=+e1cose1xxx−+()fx=−，故()fx为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef−=+，排除D，选B.故选：B.8．C设6x=−，化简函数为1()sin2fx=−，得到函数()fx在,6−+上前三个零点，列出不等式组，即可求解

．【详解】由题意，因为02x，可得6626x−−−，设6x=−，则函数11()sinsin622fxx=−−=−则函数1()sin2fx=−在,6−+上，前三个零点分别是

513,,666，所以526613266−−„，解得1423„.故选：C．9．A【详解】如图,作分别作,AB关于准线的垂线,垂足分别为,DE,直线AB交准线于C.过A作BE的垂线交BE于G,准线

与y轴交于H.则根据抛物线的定义有,AFADBFBE==.设AFADt==,3BFBEt==,故2BGt=,4ABt=,故1cos2BGABGAB==.故26BCBEt==,故FH是CBE△边BE的中位线,故113244OFFHBEt===.故4334AFttOF=

=.故选：A10．C【解析】【分析】设12PFF△的内切圆的半径为r，121213MPFMPFMFFSSS=+VVV，即12121111||||+||2232PFrPFrFFr=，故得解.【详解】设22cab=+，12PFF△的内切圆的半径为r，则212

12||||,||2cPFPFaFF−==12121212111||,||,||222FFMPFMPFMSPFrSPFrSFFr===由于121213MPFMPFMFFSSS=+VVV故12121111||||

+||2232PFrPFrFFr=因此：3cea==故选：C12．B【分析】根据所给的方程的特征,令xxte=进行换元,方程转化为2(1)0tmtme++++=,画出函数()xxgxe=的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令xx

te=,所以由10xxxxemexe+++=+可得2(1)0tmtme++++=,设()xxgxe=,1()xxgxe−=,当1x时,'()0gx,所以函数()xxgxe=单调递减,当1x时,'()0gx,所以函数()xxgxe=单调递增,而

1(0)0,(1)gge==,显然当0x时,()0gx，当0x时,()0gx，因此函数()xxgxe=的图象如下图所示：要想关于x的方程10xxxxemexe+++=+有三个不等的实数解123,,xxx,且1230xxx,结合函数图象可知,只需关

于t的方程2(1)0tmtme++++=有两个不相等的实数根12,tt,且12312123,xxxxxxtteee===,()()3122231212xxxxxxmmmtmtmeee+++=++,()()()22121212()(1)tmtmttmtt

memmmme++=+++=+−++=,31222312111xxxxxxeeee+++=.故选B.13．10【详解】对于函数f(x)＝loga(x－2)＋4，令x-2=1，

求得x=3，y=4，可得它的图象经过定点P（3，4）,角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，所以4tan3=，42sin2costan23104sincostan113+++===−−−.故答案为：10．14．(-2,1)【

解析】因为，()()xfxf−=−所以函数()fx是奇函数，因为()02−+=−xxeexf，所以数()fx在R上单调递增，又()()022−+afaf，即()()afaf−22，所以，aa−22故实数a的取值范围为(-2,1)解法多38.15【解析】()3854cos,0cos

454cos58,cos45sin8sin2221cos454,cos2244A,2ABmax2222===−−==−==−=−+===yyyxxSxxxxxxABC时，则，设16．(,4][4,)−−+令()0fx，则：()()ln22400xaxaa

+−−+，()22ln40axaxxa−−−，设()2ln4gxxx=−−，()2hxaxa=−，故()'1212xgxxx−=−=，由()'0gx=可得12x=，在10,2上，()'0gx，()gx为减函数，在1,2+上，()'0gx，

()gx为增函数，()()20hxaxaa=−的图像恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()gx，()hx的图像，如图所示，若有且只有两个整数12,xx，使得()10fx，且()20fx，则0(1)(1)(3)(3)ahgh

g，即022ln3aaa−−−，解得：02ln3a−.17．(1)45；（2）37AB=.【详解】（1）因为2cos10ADB=−，所以2272sin11010ADB=−−=.因为4CAD=，所以4CAD

B=−，所以sinsinsincoscossin444CADBADBADB=−=−7222241021025=+=.（2）在ACD中，由sinsinADACCADC=，得74sin2522sin72

10ACCADADC===，在ABD中，由余弦定理可得2222cosABBDADBDADADB=+−()22252225223710=+−−=，所以37AB=.18．（1）见解析；（2）66−．（1）证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD，

且90PABABC==，//ADBC，所以PAAB⊥，PAAD⊥，ADAB⊥，如图，以点A为坐标原点，分别以直线AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设22PAABBCAD====，E是PC的中点，则有()002P,

,，()1,0,0D，()0,2,0B，()2,2,0C，()1,1,1E，于是()0,1,1DE=，()0,2,2PB=−，()2,2,2PC=−，因为•0DEPB=，•0DEPC=，所以DEPB⊥，DEPC⊥，且PBPCP=，因此DE⊥平面

PBC（2）由（1）可知平面PAD的一个法向量为()10,2,0nAB==，设平面PCD的法向量为2n(),,xyz=，()1,0,2PD=−，()2,2,2PC=−，则22•0,•0,PDnPCn=

=所以20,2220,xzxyz−=+−=不妨设1z=，则2n()2,1,1=−，12121226cos,662nnnnnn−===−，由图形知，二面角APDE−−为钝角，所以二面角APD

E−−的余弦值为66−．19.题解析(1),,经计算,,所以线性回归方程为,当时,的估计值为元.(2)的可能取值为,,,,,,,,,,,,所以的数学期望.20．（1）22143xy+=；（2）463.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c,则1,22

caa==，解得1c=，又2223bac=−=，所以椭圆C的方程为：22143xy+=．（2）由题意知1222ABDABOSSABddAB===（d为点O到直线l的距离），设l的方程为1ykx=+

，联立方程得221143ykxxy=++=，消去y得()2234880kxkx++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则122834kxxk−+=+，122834xxk−=+，则()222212122461211434kk

ABkxxxxk++=++−=+，又211dk=+，22461234ABDkSdABk+==+，令212kt+=，由20k，得1t，246461212ABDtSttt==++，1t，易证

12ytt=+在()1,+递增，123tt+，463ABDS，ABD面积S的最大值463．21．（Ⅰ）(1)+；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）整数a的最小值为2．【解析】试题分析：（1）求出导数，解

()'0fx即可求出单减区间；（2）由（Ⅰ）得：()fx在()1,+递减，∴()()2ln10fxxxxf=−+=，故2lnxxx−，1x时，()11ln1xxx−，分别令2,3,4xn=，

累加即可得证；（3）由()()2112112fxaxax−+−−恒成立得21ln102xaxaxx−−++在()0,+上恒成立，问题等价于2ln112xxaxx+++在()0,+上恒成立，只需利用导数求

()2ln112xxgxxx++=+的最大值即可.试题解析：（Ⅰ）因为()10f=，所以1a=此时()2lnfxxxx=−+，0x，()2121'21(0)xxfxxxxx−++=−+=由()'0fx，得2210xx−−，又0x，所以1x，所以

()fx的单调减区间为()1+．（Ⅱ）令1a=，由（Ⅰ）得：()fx在()1,+递减，∴()()2ln10fxxxxf=−+=，故2lnxxx−，1x时，()11ln1xxx−，分别令2,3,4x

n=，故111ln2ln3lnn+++()1111112231nnn+++=−−，∴2n时，1111ln2ln3lnn+++．（Ⅲ）由()()2112112fxaxax−+−−恒成立得21ln102xaxaxx−−++

在()0,+上恒成立，问题等价于2ln112xxaxx+++在()0,+上恒成立．令()2ln112xxgxxx++=+，只要()maxagx．因为()()2211ln2'12xxxgxxx+−−=+，令()'0gx=，得1ln02xx−−=．设()

1ln2hxxx=−−，()hx在()0,+上单调递减，不妨设1ln02xx−−=的根为0x．当()00,xx时，()'0gx；当()0,xx+时，()'0gx，所以()gx在()00,xx上是增函数；在()0,xx+上是减函数．所以()()000m

ax200ln112xxgxgxxx++===+00001112112xxxx+=+．因为11ln2024h=−，()1102h=−，所以0112x，此时0112x，即()()max1,2gx

．所以整数a的最小值为222．（1）2cossin60ρθρθ−−=．224xy−=；（2）65.【解析】【分析】（1）利用cosx=，siny=，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，首先将直线的参数方程转化为普通方程，再化为极坐标方程

；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程的参数的几何意义计算可得；【详解】解：（1）曲线2co2:s4ρCθ=，所以()222cossin4−=，所以曲线C的直角坐标方程为224xy−=；直线l的参数方程为5152545xtyt=+=−+，消参

得直线l的普通方程为260xy−−=，由cosx=，siny=，可得极坐标方程为2cossin60ρθρθ−−=．（2）将5152545xtyt=+=−+代入224xy−=中，得2318595

0tt−+=，1212+65953tttt==，12,tt均为正，则1265MAMBtt+=+=．23．（1）1m=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得()|||2||()(2)||2|fxxmxxmxm=−++−

−+=+,则|2|3m+=,即可求解；（2）由（1）可得21abc++=,即()()1abbc+++=,则1111[()()]abbcabbcabbc+=++++++++,进而利用均值不等式证明即可.【详解】（1）解:∵()|||2||()(2)||2|fxxmxxmxm=−++

−−+=+,∴|2|3m+=,又∵0m,∴1m=.（2）证明:由（1）知1m=,∴21abc++=,即()()1abbc+++=,正数,,abc,∴1111[()()]2224bcababbcabbcabbcabbc++

+=++++=+++=++++++,当且仅当bcababbc++=++时等号成立.