【文档说明】（八省新高考）2022届高三上学期第一次月考备考A卷 数学 含解析.docx，共(19)页，526.892 KB，由小赞的店铺上传

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（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每

小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考

试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合010Uxx=N，410Axx=N，

则UA=ð（）A．|03xxB．|04xxC．0,1,2,3D．1,2,3【答案】C【解析】由题意，集合0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10Uxx==N，集合41

04,5,6,7,8,9,10Axx==N，根据补集的概念及运算，可得0,1,2,3UA=ð，故选C．2．已知复数112iz=−+，21iz=+，则12zz的虚部为（）A．3i2B．32C．1i2D．12【答案】B此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只

装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号【解析】()()()()1212i1i12i13i1i1i1i22zz−+−−+===+++−，故虚部为32，故选B．3．“点()3,4A−−，()1,6B到直线:10lxmy++=的距离相等”是“25m=−”的

（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为点()3,4A−−，()1,6B到直线:10lxmy++=的距离相等，所以2222|341||161|11mmmm−−+++=++，所以0m=或25m=−．因为“0m=

或25m=−”是“25m=−”的必要非充分条件，所以“点()3,4A−−，()1,6B到直线:10lxmy++=的距离相等”是“25m=−”的必要非充分条件，故选B．4．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量

与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前

所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（）（参考数据：2log0.77190.3735−，2log0.76740.3820−，2lo

g0.76280.3906−）A．75.42%B．76.28%C．76.74%D．77.19%【答案】C【解析】每经过5730年衰减为原来的一半，生物体内碳14的含量y与死亡年数t之间的函数关系式为573012ty=(0)t．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已

有20211682189+=年，由题意可得0.3820218957300.382011222y−==，因为2log0.76740.3820−，所以0.382020.7674

76.74%y−=，故选C．5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．AB与CF成45°角B．BD与EF成45°角C．AB与EF成60°角D．AB与CD成60°角【答案】D【解析】由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF

和BD平行，AB垂直与BD，所以AB与CF成90角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直与EF，所以BD与EF成90角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成45角，所以AB与EF成45角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB，所以60EAB=，所以AB与

CD成60角，故D正确，故选D．6．设锐角ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2BA=，则bca+的取值范围是（）A．()21,32++B．()21,3+C．()3,32+D．()3,+【答案】A【解析】由正弦定理得()sin

sinsinsinsin2sincos2cossin2sinsinsinBABbcBCAAAAAaAAA++++++===2222152cos2cos12cos4cos2cos14(cos)44AAAAAA=−

+=+−+=+−，因为ABC△为锐角三角形，所以02020π2ππABC，即020220π2π3ππAAA−，所以ππ64A，所以23cos22A，所以bca+的

取值范围是()21,32++，故选A．7．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点与抛物线22(0)ypxp=的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若2||CDAB=，则双曲线的离心率为

（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)xyabab−=与抛物线22(0)ypxp=的公共焦点为(),0c，则抛物线22(0)ypxp=的准线为xc=−，令xc=

−，则22221cyab−=，解得2bya=，所以22bABa=，又因为双曲线的渐近线方程为byxa=，所以2bcCDa=，所以2222bcbaa=，即2cb=，所以222212acbc=−=，所以双曲线的离心率2cea==，故选A．8．已知函数111()sinπ2xxfxeex−−=−+，

实数a，b满足不等式()()310fabfa++−，则下列不等式成立的是（）A．43ab+B．43ab+C．21ab+−D．21ab+−【答案】A【解析】∵111()sinπ2xxfxeex−−=−+，∴()()()1111112sin2ππsinπ22x

xxxfxeexeexfx−−−−−=−+−=−−=−，∴函数()fx关于()1,0对称，又1111111πcosπ2πcs(osπ2πcoπ22)2xxxxeexeexxfx−−−−=+++=+，∵111ππcosππ22

2x−，∴1112π2πcosπ2π222x−++，∴()0fx恒成立，则()fx是增函数，∵()()310fabfa++−，∴()()()313fabfafa+−−=−，∴33aba+−，得43ab+

，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在二项式2313nxx−的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（）A．10n=

B．展开式中没有常数项C．展开式所有二项式系数和为1024D．展开式所有项的系数和为256【答案】BD【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为4Cn，所以8n=，A错误；因为()25248188331C(3C)kkkkkkkTxxx+−−=−

=−，0,1,,8k=…，因为5240k−，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为82256=，C错误；令1x=，可得展开式所有项的系数和为8(2)256−=，D正确，故选BD．10．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个

球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为16B．2个球中恰有1个红球的概率为12C．至少有1个红球的概率为56D．2个球不都是红球的概率为13【答案】AB【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为111326=，A选项正确；对于B选项，2个球中恰有

1个红球的概率为111111132322−+−=，B选项正确；对于C选项，至少有1个红球的概率为112111323−−−=，C选项错误；对于D选项，2个球不都是红球的概率为1151326−=，D选项错误

，故选AB．11．已知函数2π()2coscos(2)02fxxx=−−的图象经过点30,2，则（）A．点π,112是函数()fx的图象的一个对称中心B．函数()fx的最

小正周期是2πC．函数()fx的最大值为2D．直线π3x=是()yfx=图象的一条对称轴【答案】ACD【解析】因为函数()()22coscos2fxxx=−−的图象经过点30,2，所以32cos()

2=−−，得1cos2=，因为0π2，所以π3=，所以22π13()2coscos21cos2cos2sin232fxxxxxx=−−=+−−13cos2sin211πcos2223xxx==−+++，因为co

syx=图象的对称中心是点π()π,02kk+Z，所以令2π,π310π2xkky+=+−=Z，得π,12π21kxky=+=Z，当0k=时，π12x=，所以点π,112是函数()fx图象的一个对称中心，

所以A正确；因为函数()fx的最小正周期2ππ2T==，所以B错误；因为1π1cos23x−+，所以()fx的最大值为2，所以C正确；因为cosyx=图象的对称轴方程是πxk=，kZ，所以令2π3πxk+=，kZ，得6ππ2kx=−

，kZ，当1k=时，π3x=，所以直线π3x=是函数()fx图象的一条对称轴，所以D正确，故选ACD．12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第()*nnN项与第1n+项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n项

，从而形成新的数列na，数列na的前n项和为nS，则（）A．520212a=B．620212a=C．6320213259S=+D．64202123S=−【答案】AD【解析】设2021a介于第n个1与第1n+个1之间或

者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第n个1一共有()12nn+项，从新数列的第1个1到第1n+个1一共有()()212nn++项，所以()()()121202122nnnn+++，解得63n=，而()6316320162+=，所以52021

2a=，故A正确，B错误；123621234520211636226126021222222S=++++++++++1236212562261260212=+++++，令1236262261260212T

=++++，则23463262261260212T=++++，123462632622222212TT−=−++++++，642128T=−，所以64202123S=−，故D正确，C错误，故选AD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小

题5分．13．已知13ab+，12ab−−，则3zab=−的取值范围是________．【答案】1,7−【解析】13ab+，12ab−−，2224ab−−，137ab−−，3zab=−的取值范围是1,7−，故答案为1,7−

．14．已知关于x，y的一组数据：x1m345y0.50.6n1.41.5根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为ˆ0.280.16yx=+，则0.28nm−的值为________．【答案】0.44【解析】由题意，根据表格

中的数据，可得13451355mmx+++++==，0.50.61.41.5455nny+++++==，即样本中心为134(,)55mn++，则4130.280.1655nm++=+，即40.28(13)0.8nm+=++，解得0.280.44nm−=，

故答案为0.44．15．已知平面向量a，b，c是单位向量，且0=ab，则−−cab的最大值为_________．【答案】21+【解析】因为0=ab，所以⊥ab，如图建系，设(1,0)=a，(0,1)=b，(,)xy=c，因为1=c，所以c终点为单位圆上任意一点，又(1,1)xy−−=−−ca

b，所以22(1)(1)xy−−=−+−cab，表示点(,)xy与点(1,1)A间的距离，由图可得，当(,)xy位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为21+，所以−−cab的最大值为21+，故答案为21+．16．已知定义在R上的函数()yfx=为增函数，且函数()1yfx=+的

图象关于点()1,0−成中心对称，若实数a、b满足不等式()()224230faafbb−+−−，则当24a时，()221ab+−的最大值为_________．【答案】20【解析】函数()1yfx=+的图象关于点()1,0−成中心对称，则函数()yfx=的图

象关于原点对称，所以，函数()yfx=为奇函数，且该函数在R上为增函数，由()()224230faafbb−+−−，得()()22423faafbb−−−，22423aabb−−−，()()2221ab−

−，则有()()130abab−−+−，不等式组()()13024ababa−−+−所表示的平面区域如下图所示的ABC△，联立410aab=−−=，得43ab==，可得点()4,3A，同理可得点

()4,1B−，代数式()221ab+−可视为点()0,1P到平面区域内的动点(),Mab的距离的平方，由图象可知，当点M与点A或点B重合时，()221ab+−取最大值()2243120+−=，故答案为20．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos2cosCacBb−=．（1）求证：三内角A，B，C成等差数列；（2）若ABC△的面积

为332，2sin3sinAC=，求ABC△的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）57+．【解析】（1）由正弦定理得cos22sinsincossinCacACBbB−−==，cossin2sincossincosCBABCB=−，2sincossin

coscossinsin()sinABCBCBBCA=+=+=，又(0,π)A，所以sin0A，所以1cos2B=，(0,π)B，所以π3B=，所以π2ππ233ACB+=−==，所以,,ABC成等差数列．（2）由

题意11π33sinsin2232ABCSacBac===△，6ac=，又2sin3sinAC=，由正弦定理得23ac=，由623acac==，解得32ac==（边长为正，负的舍去），2222π2cos32232cos73bacacB=+−=+−=，所以三角形周长为57

acb++=+．18．（12分）已知数列na的前n项和为nS，且11a=，112nnSSn+−=+．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列12nnnaa+的前n项和nT．【答案】（1）21nna=−；（2）11121nnT+=−−．【解析】（1）因为

112nnSSn+−=+，所以()()1232nnSSnn+=++++，所以数列()2nSn++是以4为首项，2为公比的等比数列，所以()122nnSn+++=，所以122nnSn+=−−，当2n时，()11222121nnnnnnannSS+−−−−−−−===−，当1n

=时也成立，所以21nna=−．（2）令()()111221212121211nnnnnnnnnbaa+++==−=−−−−，所以数列nb前n项和223111111112121212111212121nnnnT++=−+−++−−−−−=−−−−．19．（12分）如图

，四棱锥PABCD−的底面ABCD是边长为6的正方形，5PAPB==．（1）证明：PADPBC=；（2）当四棱锥PABCD−的体积为127时，求二面角APBC−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）5716．【解析】（1）证明：分

别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，∵PAPB=，∴PEAB⊥，∵//ABCD，∴CDPE⊥，∵CDEF⊥，PEEFE=，∴CD⊥平面PEF，∵PF平面PEF，∴CDPF⊥，在PCD△中，∵PF垂直平分CD，∴PCPD=，∵PAPB=，ADBC=，∴PADPBC△△，∴PA

DPBC=．（2）由（1）知，平面PEF⊥平面ABCD，在EF上取一点O，连接PO，使POEF⊥，则PO是四棱锥PABCD−的高，∵113612733PABCDABCDVPOSPO−===，解得7PO=，∵2594PE=−=，则3OE=，即O为正方形ABCD

的中心，以O为坐标原点，过点O且垂直于EF的直线为x轴，EF所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,7P，()3,3,0A−−，()3,3,0B−，()3,3,0C，()6,0,0AB=，()0,6,0

BC=，()3,3,7PB=−−，设平面PAB的法向量()111,,xyz=m，则1111603370ABxPBxyz===−−=mm，取13z=，110,7xy==−，()0,7,3=−m；设平面PBC的一个法向量()222,,xyz=n，则2222337060PBxyzB

Cy=−−===nn，取2220,7,3yxz===，()7,0,3=n，则99cos,161616===nnnmmm，设二面角APBC−−的平面角为，则2957sin11616=−=，∴二面角的正弦值为5716．20．（12

分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图

如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：9:46，记作时刻46．（1）估计这600辆车在9

:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20

~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布()2,N，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4

日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．附：若随机变量T服从正态分布()2,N，则()0.6827PT−+=，(22)0.9545PT−+=，(33)0.9973PT

−+=．【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819．【解析】（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.02

0900.010)2064+++=，即10:04．（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组[20,60]这一区间内的车辆数，即(0.005+0.015)20104=，所以X的可能取值为0，1，2，3，4

．所以46410C1(0)C14PX===；3164410CC8(1)C21PX===；2264410CC7(2)C3PX===；1364410CC4(3)C35PX===；444101(4)210CCPX===，所以X的分布列为：X01234P114821374351210（3）

由（1）得64=，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324=−+−+−+−=．所以18=，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在[

46,100)通过的车辆数，由()2~64,18TN，得()(22)(641864218)22PTPTPT−+−+−+=+0.8186=，所以估计在9:46~10:40之间

通过的车辆数为10000.8186819．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆()222210:xyababC+=的上､下顶点分别为1B，2B，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点23,23

，且22134BFBAaca=−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为()0kk的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为PMQ的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2

）存在，坐标为()4,0−．【解析】（1）由题意，椭圆2222:1(0)xyCabab+=，可得(),0Aa−，()0,Bb−，()20,Bb，(),0Fc−，则()2,BcbF=−−，()1,BAab=−，所以222134BFBAacbaca=−=−，即2234ab=，又

因为椭圆过23,23，所以224213ab+=，联立可得2a=，3b=，所以椭圆C的方程为22143xy+=．（2）由题意设直线l的方程为()()10ykxk=+，()11,Pxy，()22,Qxy，(),0Mm，联立方程组()221143ykxxy=++=

，整理得()22223484120kxkxk+++−=，所以2122843kxxk−+=+，212241243kxxk−=+，若x轴为FPQ的平分线，得0MPMQkk+=，所以()()()2112121212120xyxymyyyyxmxmxmxm+−++=

=−−−−，所以()2112120xyxymyy+−+=，所以()()()2112121120xkxxkxmkxxk+++−++=，所以()()121212220kxxkxxmkxxk++−++=，所以223222

41288220434343kkkkkmkkkk−−−+−+=+++，整理得()40km+=，因为直线l为动直线，所以40m+=，即4m=−，故存在满足条件的定点M，其坐标为()4,0−．22．（12分）

已知函数2()(3)lnfxxxx=++．（1）判断()fx的单调性；（2）若1212()()2()fxfxxx+=，求证122xx+．【答案】（1）()fx在(0,)+上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）函数()fx的定义域为(0,)+，因为3

()ln21fxxxx=+++，3()ln21gxxxx=+++令，所以22221323(23)(1)()2xxxxgxxxxx+−+−=−+==，所以当01x时，()0gx，所以()fx在(0,1)上单调递减；当1x

时，()0gx，所以()fx在(1,)+上单调递增，则当1x=时，()fx取得极小值，也是它的最小值，所以min()(1)60fxf==，所以()0fx，则()fx在(0,)+上单调递增．（2）因为(1)1f=，所以不妨设1

201xx，所以要证122xx+，只需证212xx−．因为21,2(1,)xx−+，所以只需证21()(2)fxfx−，只需证112()(2)fxfx−−，只需证11()(2)20fxfx+−−．设()()(2)2,01hxfxfxx=+−−，则33()()(2)ln

ln(2)442hxfxfxxxxxx=−−=−−+−+−−，33()()()(2)lnln(2)442mxhxfxfxxxxxx==−−=−−+−+−−令，则2222211334(1)(1)(3)()42(2)(2

)xxxmxxxxxxx+−−=+−−+=−−−，所以当01x时，()0mx，()hx在(0,1)上单调递减，则()(1)0hxh=，所以()hx在(0,1)上单调递增，则()(1)0

hxh=，即11()(2)20fxfx+−−，所以122xx+．