【文档说明】北京市西城区育才学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含解析【精准解析】.docx，共(22)页，1.436 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年北京市西城区育才学校高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共.40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）在数列{}na中，12nnaa+=+，且11a=，则4a等于()A．8B．6C

．9D．72．（4分）函数cosyx=的导数是()A．sinxB．sinx−C．cosxD．cosx−3．（4分）将一枚均匀硬币随机掷3次，恰好出现2次正面向上的概率为()A．18B．14C．38D．124．（4分）曲线3

()21fxxx=−+在点(1,0)处的切线方程是()A．10xy−−=B．220xy−−=C．220xy+−=D．10xy+−=5．（4分）等差数列{}na的首项11a=，公差0d，如果1a、2a、5a成等比数列，那么d等于()

A．3B．2−C．2D．26．（4分）函数221xyx=+在()A．(,)−+内是增函数B．(,)−+内是减函数C．(1,1)−内是增函数，在其余区间内是减函数D．(1,1)−内是减函数，在其余区间内是增函数7．（4分）《九章算

术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天

行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为()A．1235B．1800C．2600D．30008．（4分）函数(21)xy

ex=−的大致图象是()A．B．C．D．9．（4分）甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所

在列选手的概率．甲乙丙丁甲:0.30.30.8乙0.7:0.60.4丙0.70.4:0.5丁0.20.60.5:那么甲得冠军且丙得亚军的概率是()A．0.21B．0.15C．0.105D．0.04510．（4分）函数32()fxaxbxcx=−+的图象如图所示，且()f

x在0xx=与1x=处取得极值，给出下列判断：①0c；②f（1）(1)0f+−；③函数()yfx=在区间(0,)+上是增函数．其中正确的判断是()A．①③B．②C．②③D．①②二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．（5分）设n

S是等差数列{}na的前n项和，若562aa+=，则10S=．12．（5分）已知函数()(21)fxlnx=+，则f（1）=．13．（5分）离散型随机变量的分布列为：123p1p2p14且()2E=，则1p=；2p=．14．（5分）等比数列满足如下条件：①10a；②数列{}na

单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式na=．15．（5分）研究函数()lnxfxx=的性质，完成下面两个问题：①将f（2），f（3），f（5）按从小到大排列为；②若方程()fxm=有两个不同的实根，则实数m的取值

范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次

的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．（14分）已知函数321()252fxxxx=−−+．（Ⅰ）求函数()fx的单调增区间和减区间；（Ⅱ）当[1x−，2]时，求函数()yfx=的最值和最值点．18．（14分）已知数列{}na中，12a=，______，其中*nN

．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式：（Ⅱ）设2nanb=，求证：数列{}nb是等比数列；（Ⅲ）求数列{}nnab+的前n项和nT．从①前n项和2nSnn=+，②12nnaa+−=，③48a=且122nnnaaa++=+，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．19．（14分）

流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空

气月平均相对湿度第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%

65%62%70%%a%b（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个

数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若108ab+=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）20．（15分）已知函数()()fxaxlnxaR=−．（Ⅰ）当2a=

时，求曲线()yfx=的在点1x=处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若()0fx…恒成立，求a的取值范围．21．（15分）已知函数1()xxfxe+=．（Ⅰ）求函数()fx的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x+时，21()12fxx−+；

（Ⅲ）当0x时，若曲线()yfx=在曲线21yax=+的上方，求实数a的取值范围．2020-2021学年北京市西城区育才学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共.40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）在数列{}na中，12nnaa+=+，且11a=，则4a等于()A．8B．6C．9D．7【考点】81：数列的概念及简单表示法【分析】由条件12nnaa+=+，得12nnaa+−=，得到数列{}na是等差数列，然后利用等差数列的性质

去判断．【解答】解：因为12nnaa+=+，所以12nnaa+−=，所以数列{}na是公差2d=的等差数列，首项11a=，所以4131327aad=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的判断以及应用，利用条件转化为等差数列的形式，是解决本

题的关键．2．（4分）函数cosyx=的导数是()A．sinxB．sinx−C．cosxD．cosx−【考点】63：导数的运算【分析】直接根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：cosyx=，函数的导数sinyx=

−，故选：B．【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数公式是解决本题的关键．比较基础．3．（4分）将一枚均匀硬币随机掷3次，恰好出现2次正面向上的概率为()A．18B．14C．38D．12【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】将一枚均匀硬币随机投掷3次，利用n次独立重

复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷3次，恰好出现2次正面向上为事件A，则p（A）223113()(1)228C=−=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公

式的合理运用．4．（4分）曲线3()21fxxx=−+在点(1,0)处的切线方程是()A．10xy−−=B．220xy−−=C．220xy+−=D．10xy+−=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得()fx的导数，可得切线的斜率，由

直线的点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：3()21fxxx=−+的导数为2()32fxx=−，可得3()21fxxx=−+在点(1,0)处的切线的斜率为1k=，则3()21fxxx=−+在点(1,0)处的切线的方程为0

1yx−=−，即为10xy−−=．故选：A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．（4分）等差数列{}na的首项11a=，公差0d，如果1a、2a、5a成等比数列，那么d等于()A．3B．2−C．2D．2【考点】83：等差数列的性质；87：

等比数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式求出2a，5a，利用等比数列的定义列出方程，求出d．【解答】解：等差数列{}na中，有21aad=+，514aad=+1a、2a、5a成等比数列2111()(4)adaad+=+解得2d=故选：C．【点评】本题考查等差数列

的通项公式及等比数列的定义．一般列出方程组求出基本量．属于基础题．6．（4分）函数221xyx=+在()A．(,)−+内是增函数B．(,)−+内是减函数C．(1,1)−内是增函数，在其余区间内是减函数D．(1,1)−内是减函数，在其余区间内是增函数【考点】函数单调性的

性质与判断【分析】对函数221xyx=+进行求导，当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．【解答】解：函数22222221(1)xxyyxx−==++当0y时，解得11x−故原函数的增区间为：(1,1)−当0y时，解得1x−或1

x故原函数的减区间为：(,1)−−，(1,)+故选：C．【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定原函数单调区间的问题．导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．7．（4分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里

．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里”试问前4天，良马和驽马共走过的路程

之和的里数为()A．1235B．1800C．2600D．3000【考点】84：等差数列的通项公式【分析】利用等差数列前n项和公式直接求解．【解答】解：长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里

．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：443431(419313)[497()]1235222S=+++−=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前4项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的

合理运用．8．（4分）函数(21)xyex=−的大致图象是()A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．【解答】解：(21)2(21)xxxyexeex

=−+=+，令0y=得12x=−，当12x−时，0y，当12x−时，0y，(21)xyex=−在1(,)2−−上单调递减，在1(2−，)+上单调递增，当0x=时，0(01)1ye=−=−，函数图象与y

轴交于点(0,1)−；令(21)0xyex=−=得12x=，()fx只有1个零点12x=，当12x时，(21)0xyex=−，当12x时，(21)0xyex=−，综上，函数图象为A．故选：A．【点评】本题

考查了函数的图象判断，函数单调性、零点、极值的计算，属于中档题．9．（4分）甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行

选手击败其所在列选手的概率．甲乙丙丁甲:0.30.30.8乙0.7:0.60.4丙0.70.4:0.5丁0.20.60.5:那么甲得冠军且丙得亚军的概率是()A．0.21B．0.15C．0.105D．0.045【考点】古典概型及

其概率计算公式【分析】根据表中数据，结合相互独立事件的概率乘法公式处理即可．【解答】解：甲，乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙，丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲，丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据相互独立事件的概率

乘法公式，甲得冠军丙得亚军的概率为0.30.50.30.045=．故选：D．【点评】本题考查相互独立事件概率，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．10．（4分）函数32()fxaxbxcx=−+的图

象如图所示，且()fx在0xx=与1x=处取得极值，给出下列判断：①0c；②f（1）(1)0f+−；③函数()yfx=在区间(0,)+上是增函数．其中正确的判断是()A．①③B．②C．②③D．①②【考点】6B

：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，根据()fx在0xx=与1x=处取得极值，求出a，b，c之间的关系，即可得到结论．【解答】解：函数32()fxaxbxcx=−+，且()fx在0xx=与1x=处取得极值

，0a，且2()32fxaxbxc=−+，则0xx=与1x=是方程2()320fxaxbxc=−+=的两个不同的根，即0213bxa+=，013cxa=，则023(1)bax=+，03cax=，由图象可知01x−，030cax=，故①不正确．f（1）(1)2

fb+−=−，且023(1)0bax=+，f（1）(1)20fb+−=−，故②正确．20()323(1)()fxaxbxcaxxx=−+=−−是开口向上，对称轴为20233bbxaa−=−=

函数()yfx=在区间(0,)+上是增函数，故③正确故正确的命题是②③，故选：C．【点评】本题主要考查导数研究函数的应用，求出函数的导数，结合二次函数的性质，判断a，b，c的大小是解决本题的关键．二、填空题：本大题共5小

题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．（5分）设nS是等差数列{}na的前n项和，若562aa+=，则10S=10．【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列{}na的前n项和公式和通项公式得105610()2Saa=+，由此能求出结果．【

解答】解：nS是等差数列{}na的前n项和，562aa+=，10110561010()()521022Saaaa=+=+==．故答案为：10．【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．12．（5分）已知

函数()(21)fxlnx=+，则f（1）=23．【考点】导数的运算【分析】根据对数函数和复合函数的求导公式求出2()21fxx=+，然后将x换上1即可求出f（1）的值．【解答】解：()(21)fxlnx=+，2()21fxx=+，2(1)3f=．故答案为：23．【点评】本题考查了对

数函数和复合函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．13．（5分）离散型随机变量的分布列为：123p1p2p14且()2E=，则1p=14；2p=．【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】由()2

E=，利用离散型随机变量的分布列，列出方程组，由此能求出解得1p，2P．【解答】解：()2E=，由离散型随机变量的分布列，得：121211412324pppp++=++=，解得114p=，212P=．故答案为：14，12．【点评】本题考查概率的求法

，考查古典概型、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）等比数列满足如下条件：①10a；②数列{}na单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式na=12n−．【考点】等比数列的通项公式【分

析】利用等比数列的性质直接求解．【解答】解：等比数列满足如下条件：①10a；②数列{}na单调递增，满足上述所有条件的一个数列的通项公式可以是：12nna=−．故答案为：12n−．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列

的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．15．（5分）研究函数()lnxfxx=的性质，完成下面两个问题：①将f（2），f（3），f（5）按从小到大排列为f（5）f（2）f（3）；②若方程()fxm=有两个不同

的实根，则实数m的取值范围是．【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性【分析】①利用导数判断()fx在(0,)e上单调递增，在(,)e+上单调递减，得出f（3）f（5），运用作差判断f（2）与f（5），f（2）与f（3）的大小，即可得出结论

；②有()fx的单调性可得()fx的最值，将方程()fxm=有两个不同的实根，转化为函数()lnxfxx=与ym=的图象有两个交点，从而可求得m的取值范围．【解答】解：①函数()lnxfxx=，21()lnxfxx−=，令()0fx

，可得0xe，令()0fx，可得xe，所以()fx在(0,)e上单调递增，在(,)e+上单调递减，f（3）f（5），f（2）f−（5）2552?2532?250251010lnlnlnlnlnl

n=−==f（2）f（5）f（2）f−（3）2332?238?902366lnlnlnlnlnln=−==f（3）f（2），f（5）f（2）f（3）．②由①可知()maxfxf=（e）1e=，在(,)e+上，()0lnxfx

x=，在(0,)e上，当0x→时，()fx→−，方程()fxm=有两个不同的实根，即函数()lnxfxx=与ym=的图象有两个交点，故10me，即实数m的取值范围是1(0,)e故答案为：f（5）f（2）f（3）；1(0,)e．【点

评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数值大小的比较，方程的根与函数图象交点的关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，

且乙投球2次均未命中的概率为116．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【考点】5C：互斥事件的概率加法公式；8C：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【分析】（Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．（

Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为111224=，故甲至少命中

1次的概率为13144−=．（Ⅱ）乙投球2次均未命中的概率为1(1)(1)16pp−−=，34p=．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全

部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为1221139(1)()22432C−=，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为1223113()44232C=，故两人共命中3次的概率为93332328+=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公

式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．17．（14分）已知函数321()252fxxxx=−−+．（Ⅰ）求函数()fx的单调增区间和减区间；（Ⅱ）当[1x−，2]时，求函数()yfx=的最值和最值点．【考点】

利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】()I分别解出()0fx，令()0fx，即可得出函数()fx的单调区间．（Ⅱ）由()I可得：函数()fx的单调性极值与最值．【解答】解：()I函数321()252fxxxx=−−+．2()32(32)(1)f

xxxxx=−−=+−，令()0fx=，解得23x=−，1x=．令()0fx，解得23x−，或1x．令()0fx，解得213x−．函数()fx的单调增区间为2(,)3−−，(1,)+；减区间为2(3−，1)．（Ⅱ）由()I可得：函数()fx在区间[1−，2)3−上单

调递增，在2(3−，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增．可得：23x=−时，函数()fx取得极大值；1x=时，函数()fx取得极小值．2157()327f−=，f（1）72=，11(1)2f−=，f（2）7=．2x=时，函数()fx取得最大值7；1x=时，函数()fx取得最小值

72．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（14分）已知数列{}na中，12a=，______，其中*nN．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式：（Ⅱ）设2nanb=，求证：数列{}nb是等比数列；（Ⅲ）求数列{}nnab+的前n

项和nT．从①前n项和2nSnn=+，②12nnaa+−=，③48a=且122nnnaaa++=+，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】分别选①②③，（Ⅰ）由数列的递推式或等差数列的定义和性质，可得公差d，通项公式na；（Ⅱ）由等比数列的定义，

可得证明；（Ⅲ）求得24nnnabn+=+，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：选①，（Ⅰ）因为12a=，2n…时，221(1)(1)2nnnaSSnnnnn−=−=+−−−−=，则2nan=，*nN；（Ⅱ）证明：2224nan

nnb===，可得11444nnnnbb++==，所以数列{}nb是首项为和公比均为4的等比数列；（Ⅲ）24nnnabn+=+，24(14)(24...2)(416...4)14nnnTnnn−=+++++++=++−211(44)3nnn+=++−．选②，（Ⅰ）由12a=，12nn

aa+−=，则2nan=，*nN；（Ⅱ）证明：2224nannnb===，可得11444nnnnbb++==，所以数列{}nb是首项为和公比均为4的等比数列；（Ⅲ）24nnnabn+=+，24(14)(24...2)(416...4)14nnnTnnn−=++++

+++=++−211(44)3nnn+=++−．选③，（Ⅰ）由12a=，48a=且122nnnaaa++=+，可得数列{}an为等差数列，设公差为d，则41241aad−==−，则2nan=，*nN；（Ⅱ）证明：2224nann

nb===，可得11444nnnnbb++==，所以数列{}nb是首项为和公比均为4的等比数列；（Ⅲ）24nnnabn+=+，所以24(14)(24...2)(416...4)14nnnTnnn−=+++++++=++−211(44)3nnn+=++

−．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的定义与求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（14分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表

记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%

72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%%a%b（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月

中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若108ab+=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）

【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】（Ⅰ）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用iA表示事件抽取的月份为第i月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．（Ⅱ

）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．（Ⅲ）108ab

+=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，由此能求出M的最大值，最小值．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用iA表示事件抽取的月份为第i月，则1{A=，2A，3A，4A，5A，6A，7A

，8A，9A，10A，11A，12}A共12个基本事件，2{AA=，6A，8A，9A，10A，11}A共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率61()122PA==．（

4分）（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．242662(0)155CPXC====，1124268

(1)15CCPXC===，22261(2)15CPXC===随机变量X的分布列为：X012P25815115（Ⅲ）108ab+=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望

的求法及应用，考查中位数的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（15分）已知函数()()fxaxlnxaR=−．（Ⅰ）当2a=时，求曲线()yfx=的在点1x=处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若()0fx…恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲

线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】()I函数()fxaxlnx=−．当2a=时，()2fxxlnx=−，f（1）2=．切线的斜率为f（1），利用点斜式即可得出曲线()yfx=的在点1x=处的切线方程．（

Ⅱ）1()fxax=−，(0,)x+．对a分类讨论即可得出单调区间．（Ⅲ）若()0fx…恒成立，则lnxax…在(0,)x+上恒成立．令()lnxgxx=，(0,)x+．利用导数研究其单调性即可得出函数()gx取得极值与最值．【解答】解：()I函数()fxaxlnx=−．当2

a=时，()2fxxlnx=−，f（1）2=．1()2fxx=−，f（1）1=，曲线()yfx=的在点1x=处的切线方程为：21yx−=−，即10xy−+=．（Ⅱ）1()fxax=−，(0,)x+．0a„时，()0fx，函数()fx在(0,)x+上单调递减．0a时，1()()

axafxx−=，则函数()fx在1(0,)xa上单调递减，在1(a，)+上单调递增．（Ⅲ）若()0fx…恒成立，则lnxax…在(0,)x+上恒成立．令()lnxgxx=，(0,)x+．21()lnxgxx−=，可得xe=时，函数()gx取得极大值即最大值．g（e）1e=．a的

取值范围为1[e，)+．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（15分）已知函数1()xxfxe+=．（Ⅰ）求函数()fx的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x+时，21()12fxx−+；（

Ⅲ）当0x时，若曲线()yfx=在曲线21yax=+的上方，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（Ⅰ）求导，列出随x的变化，()fx和()fx的情况表，进而求得极值；（Ⅱ）令22111()()11(0)22xxgxfxxxxe+=

+−=+−，求导，由0得10xe−，则()0gx，进而得出函数()gx的单调性，由此得证；（Ⅲ）当12a−„时，由（Ⅱ）知符合题意，再令221()()11xxhxfxaxaxe+=−−=−−，分102a−及0a…均可判断不合题意，进而得出实数a的取值

范围．【解答】解：（Ⅰ）因为1()xxfxe+=，定义域R，所以()xxfxe=−．令()0fx=，解得0x=．随x的变化，()fx和()fx的情况如下：x(,0)−0(0,)+()fx+0−()fx增极大值减由表可知

函数()fx在0x=时取得极大值(0)1f=，无极小值；（Ⅱ）证明：令22111()()11(0)22xxgxfxxxxe+=+−=+−，11()(1)()xxxxxegxxxxeee−=−+=−=．由0x得10x

e−，于是()0gx，故函数()gx是[0，)+上的增函数．所以当(0,)x+时，()(0)0gxg=，即21()12fxx−+；（Ⅲ）当12a−„时，由（Ⅱ）知221()112fxxax−++…，满足题意

．令221()()11xxhxfxaxaxe+=−−=−−，1()2(2)xxxhxaxxaee=−−=−+．当102a−时，若1(0,())2xlna−，()0hx，则()hx在1[0,()]2lna−上是减函数．所以1(0,())

2xlna−时，()(0)0hxh=，不合题意．当0a…时，()0hx，则()hx在(0,)+上是减函数，所以()(0)0hxh=，不合题意．综上所述，实数a的取值范围1(,]2−−．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨

论思想及运算求解能力，属于中档题．