【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第11章 第5讲　古典概型 含解析【高考】.doc，共(23)页，275.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1第5讲古典概型1．古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有01有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性02相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典

概型．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝03kn.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个

特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是()A.12B．14C．34D．0答案A解析一枚硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(

反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为24＝12.故选A.22．(多选)下列是古典概型的是()A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一

天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案ABD解析A，B，D是古典概型，因为都具备古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不具备等可能性，故不是古典概型．故选ABD.3．(2021·全国甲卷)将4个

1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.13B．25C．23D．45答案C解析将4个1和2个0安排在6个位置，选择2个位置安排0，共有C26种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C25种排法．所以2个

0不相邻的概率P＝C25C26＝23.故选C.4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数

为勾股数的概率为()A.1910B．3910C．3455D．4455答案D解析从这15个数中随机抽取3个整数，所有样本点的个数为C315，其中勾股数为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)

，(5,12,13)，共4个，所以这三个数为勾股数的3概率为P＝4C315＝4455.故选D.5．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.答案19解析根据题意可得样本

点共有6×6＝36个，点数和为5的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4个，∴向上的点数和为5的概率为436＝19.6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________(结果用最简

分数表示)．答案28145解析解法一：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝C127C13＋C23C230＝28145.解法二：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝1－C227C230＝28145.考向

一简单的古典概型例1将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；(2)

求事件B发生的概率；(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率．解(1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2

,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，4(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)

，(6,6)}，共有36个样本点，事件A包含的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个样本点，∴事件A发生的概率为P(A)＝536.(2)事件B包含的样本点有12个，分别为(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)

，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，∴事件B发生的概率P(B)＝1236＝13.(3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个，分别为(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)

，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A∪C)＝1136.求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为

复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．1.(2021·新高考八省联考)在3张卡片上

分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A.16B．13C．12D．23答案C解析设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号

，C同学拿到2号．三人可能拿到的卡片结果为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，其中满足题意的结果有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3种，结合5古典概型的概率计算公式可得，满足题意的概率P＝36＝12.故选

C.2．踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26,29,32,45,51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28

,31,38,42,49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是()A.59B．49C．1325D．1225答案C解析由题意可得所求概率P＝C13C13＋C12C12C15C1

5＝1325.故选C.3．(多选)(2021·南京市第十三中学期末)从集合A＝{－1，－3,2,4}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－5,1,4}中随机选取一个数记为b，则()A．ab＞0的概率是12B．a＋b≥0的概率是12C．直线y＝ax＋b不经过第三象限的概率是

13D．lna＋lnb＞1的概率是512答案AC解析由题意可得(a，b)所有可能的取法有(－1，－5)，(－1,1)，(－1,4)，(－3，－5)，(－3,1)，(－3,4)，(2，－5)，(2,1)，(2,4)，(4，－

5)，(4,1)，(4,4)，共12种，对于A，满足ab＞0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2,1)，(2,4)，(4,1)，(4,4)，共6种，所以ab＞0的概率P＝612＝12，故A正确；对于B，满足a＋

b≥0的取法有(－1，1)，(－1,4)，(－3,4)，(2,1)，(2,4)，(4,1)，(4,4)，共7种，所以a＋b≥0的概率P＝712，故B错误；对于C，因为直线y＝ax＋b不经过第三象限，6所以a<0，b≥0，所有满足直线y＝ax＋b不经过第三象限的取法有(－1,1)，(－1,4)，(

－3,1)，(－3,4)，共4种，所以直线y＝ax＋b不经过第三象限的概率P＝412＝13，故C正确；对于D，因为lna＋lnb＝lnab＞1，所以a＞0，b＞0，ab＞e，所有满足lna＋lnb＞1的取法有(2,4)，(4,1)，(4

,4)，共3种，故lna＋lnb＞1的概率P＝312＝14，故D错误．故选AC.多角度探究突破考向二较复杂的古典概型角度古典概型与平面向量的交汇例2(1)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(

m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是()A.512B．12C．712D．56答案C解析cosθ＝a·b|a||b|＝m－n|a||b|.∵θ∈0，π2，∴m≥n.(m，n)一共有6×6＝36(种

)不同组合．满足m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)．所以所求的概率P＝2136＝712.故选C.(2)已知k∈Z，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,4)，若|AB→|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________.答案37解析

因为|AB→|＝k2＋1≤4，所以－15≤k≤15，因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC或AB⊥BC或AC⊥BC.由AB→·AC→＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2.因为BC→＝AC→－AB→＝(2－k,3)，7由AB→

·BC→＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3.由AC→·BC→＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率P＝37.角度古典概型与解析几何的交汇例3(1)

已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为()A.16B．14C．13D．12答案A解析l2的斜率小于l1的斜率时，直线l1与l2的交点位于第一象限，此时共有六种情况：a＝1，b∈

{3,4,5,6}；a＝2，b∈{5,6}．因此所求概率为66×6＝16.故选A.(2)将一枚质地均匀的骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.答案712解析

依题意，将一枚质地均匀的骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有C16C16＝36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，a2≤b2的数组(a，b)有6＋5＋4＋3

＋2＋1＝21个，因此所求概率为2136＝712.角度古典概型与函数的交汇例4(1)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1的图象

有交点的概率是()A.12B．138C．14D．18答案C解析易知过点(0,0)与y＝x2＋1的图象相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有4×4＝16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,

2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.故选C.(2)若a，b是从集合{－1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为()A.320B．310C．9

25D．35答案B解析从集合{－1,1,2,3,4}中随机选取两个不同元素共有A25＝20种取法，要使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数，必须a，b都为奇数，共有A23＝6种，则函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为P＝620＝310.故

选B.较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．4.设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a

⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()A.18B．14C．13D．12答案A解析有序数对(m，n)的所有的样本点有4×4＝16(个)．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含

的样本9点为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P(A)＝216＝18.5．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y

＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为()A.14B．38C．12D．58答案B解析若直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则ba>1，样本点总数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)

，共6个，故所求概率为38.6．已知一组抛物线y＝12ax2＋bx＋1，其中a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是____

____.答案215解析抛物线共有6条，任取两条共C26＝15种情况．∵y′＝ax＋b，∴在与直线x＝1交点处的切线斜率为a＋b，而a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，满足a＋b相等的抛物线有2对，∴在与直线x＝1交点处的切线相互平行

的概率为215.考向三古典概型与统计的交汇问题例5A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表(单位：小时)：A班121313182021B班1111.512131317.52010C班1113.5151616.51

921(1)试估计A班的学生人数；(2)从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；(3)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．解由题可得，A，B，C三个班抽取的人数分

别为6,7,7，共有20人．(1)由题可得，A班的人数估计为120×66＋7＋7＝36.(2)抽取的20人中，上网时长超过15小时的有3＋2＋4＝9，∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为

920.(3)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有C26×C17＝105种抽法．这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有①均来自A班，有C23×C15＝15种；②一个来自A班，一个来自B班，有C13×C13×C12＝18种，故共有15＋1

8＝33种．∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为33105＝1135.求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．(2)进行统计与古典概型概率的正确计算．7.某校高一年级学生全部参加了体育科目的

达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下：11(1)体育成绩大于或等于70分为“体

育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)内的概率．解(1)由题中折

线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，所以该校高一年级中“体育良好”的学生人数大约为1000×3040＝750.(2)设“至少有1人体育成绩在[60,70)内”为事件A，由题意，得P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710

，因此至少有1人体育成绩在[60,70)内的概率是710.一、单项选择题1．为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好是连续2天的概率是()A.25B．35C．310D．15答案A解析由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急

疏散演练，可得样本点的总数为n＝C25＝10，其中选择的2天恰好为连续2天包含的样12本点为m＝4，所以选择的2天恰好是连续2天的概率是P＝mn＝410＝25.故选A.2．(2021·广东七校联合体模拟)中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床

经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”(由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成)和补血名方“四物汤”(由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成)两个方共八味药组合而成的主治

气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是()A.135B．170C．1840D．11680答案A解析记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M，依题意得P(M)＝2C48＝135.故选A.3．(2

020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.15B．25C．12D．45答案A解析如图，从O，A，B，C，D5个点中任取3点有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{

O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}共10种等可能的不同取法，3点共线的有{O，A，C}与{O，B，D}共2种取法．由古典概型的概率计算公式，知取到的3点共线的概率为210＝15.故选A.13

4．(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B．114C．115D．118答

案C解析不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，概率为345＝115.故选C.5．把一颗骰子投

掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是()A.16B．1112C．112D．118答案B解析若m与n共线，则2a－b＝0，而(a，b)的可能情况有6×6＝36个．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4

)，(3,6)共三个．故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.故选B.6．(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳

爻“”和阴爻“”，如14图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B．1132C．2132D．1116答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n＝26＝

64，恰有3个阳爻的样本点数为C36＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝2064＝516.故选A.7．(2022·江苏扬州高邮市第一中学模拟)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”

(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以

从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是()A.59B．49C．716D．916答案B解析从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，其样本点总数n＝34＝81，他们中有且

仅有2人领取的礼品种类相同包含的样本点个数为C24A33＝36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P＝3681＝49.故选B.8．(2021·山东济南模拟)为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安

排1人．则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为15()A.34B．23C．56D．12答案B解析所有的安排方法有C35A33＋C15C24C22A22A33＝10×6＋5×3×6＝150种，若只有1人去冰球

项目做志愿者，有C14C14＋C24C22A22A22＝4×(4＋3)×2＝56种；若恰有2人去冰球项目做志愿者，有C24C13A22＝6×3×2＝36种；若有3人去冰球项目做志愿者，有C34A22＝4×2＝8种，所以共有56＋36＋8＝100种安排方法，

所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为100150＝23.故选B.二、多项选择题9．(2021·惠州模拟)如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)＝24，n(A)＝12，n(B)＝

8，n(A∪B)＝16，下列运算结果正确的有()A．n(AB)＝4B．P(AB)＝16C．P(A∪B)＝23D．P(A－B－)＝12答案ABC解析对于A，∵n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(AB)，∴n(AB)＝n(A)＋n(B)－n(A∪B)＝4，故A正确

；对于B，P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝424＝16，故B正确；对于C，P(A∪B)＝n(A∪B)n(Ω)＝1624＝23，故C正确；对于D，∵n(A－B－)＝n(Ω)－n(A∪B)＝24－16＝8，∴P(A－B－)＝n(A－B－)n(Ω)＝824＝13，故D错误．故选ABC.10．2019年

国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中国队王者归来，6名队员全部摘16金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手．某嘉宾突发奇想，设

计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则下列结论正确的是()A．P1＜P2B．P1＝

P2C．2P1＝3P2D．P1＋P2＝56答案CD解析三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321，方案一坐到“3号”车可能为132,213,231，所以P1＝36＝12；方案二坐到“3号”车可能为

312,321，所以P2＝26＝13，所以P1>P2,2P1＝3P2，P1＋P2＝56.故选CD.11．(2021·黄石市有色第一中学期末)某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速km/h

分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是()A．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的

概率为0.65C．若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1011D．若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[65,70)的概率为2317答案ABC解析根据频率分布直方图可知，这80辆小型车辆车速主要集中在[75,8

0)，众数为75＋802＝77.5，故A正确；车速超过75km/h的频率为(0.06＋0.05＋0.02)×5＝0.65，故B正确；车速在[60,70)的车辆共有80×(0.01＋0.02)×5＝12辆，车速在[65,70)的车辆有80×0.02×5＝8辆，所以任意抽取2辆，至少

有一辆车的车速在[65,70)的概率为P＝C28C212＋C18C14C212＝1011，故C正确；车速都在[65,70)的概率为P＝C28C212＝1433，故D错误．故选ABC.12.(2021·湖南长沙一

中模拟)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正

确的有()A．甲从M到达N处的方法有120种B．甲从M必须经过A3到达N处的方法有9种C．甲、乙两人在A3处相遇的概率为910D．甲、乙两人相遇的概率为41100答案BD解析对于A，甲从M到达N处，需要走6步，其中向上3步，向右3步，所以从M到达N处的方法有C36＝20种，故A

错误；对于B，甲从M到达A3处，需要走3步，其中向上1步，向右2步，共C13＝3种，从A3到达N处，需要走3步，其中向上2步，向右1步，共C23＝3种，所以甲从M必须经过A3到达N处的方法有3×3＝9种，故B正确；对于C，甲经过A3的方法数为C13C23＝9，18乙经过A3

的方法数为C23C13＝9，所以甲、乙两人在A3处相遇的方法数为C13C23C23C13＝81，故甲、乙两人在A3处相遇的概率P＝81C36C36＝81400，故C错误；对于D，甲、乙两人沿着最短路径行走，只能在A1，A2，A3，A4处相遇，若甲、乙两人在A1处相遇，甲经过A1

处，必须向上走3步，乙经过A1处，则乙前三步必须向左走，两人在A1处相遇的走法有1种．若甲、乙两人在A2或A3处相遇，由选项C知，各有C13C23C23C13＝81种，若甲、乙两人在A4处相遇，甲经过A4处，必须向右走3步，乙经过A4处，则乙前三步必须向下走，则两人在A4处相遇的走

法有1种．所以甲、乙两人相遇的概率P＝1＋81＋81＋1C36C36＝164400＝41100，故D正确．故选BD.三、填空题13．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪

断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________.答案35解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4

,2)，共3种情况．所以所求概率为35.14．(2021·济宁二模)5人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，那么不同的排法种数是________；5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是________(用数字作答)．答案72310解析先排除甲、乙两人外的3人共有A33种排法，再将甲

、乙两人从4个空中选2个插入有A24种排法，所以甲、乙两人不相邻的不同的排法共有A33A24＝6×12＝72种；甲、乙两人之间恰好有一人的排法共有A22C13A33种，5人并排站成一排共有A55种排法，所以甲、乙两人之间恰好有一人的概率为A22C13A33A55＝310.15．某人在微信群中发了

一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人19的概率是________.答案25解析由题意，得甲、乙、丙领取钱数的所有可能有(1,1,5)，(1,5

,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，共15种，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的

可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)，共6种，所以所求概率为615＝25.16．袋中共有7个球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至

多有1个红球的概率是________.答案2235解析所取3个球中没有红球的概率为P1＝C34C37＝435，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2＝C13C24C37＝1835，则所取3个球中至多有1个红球的概率为P＝P1＋P2＝2235.四、解答题17．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场

上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，将所得数据按[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350]进行分组，结果统计如图所示：20(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时

的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于等于200小时的产品共有75＋70＝1

45(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于等于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，可得已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.18．某儿童乐园在“六一”

儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况

奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的

数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总个数n＝16.21(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2

,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以

P(B)＝616＝38.事件C包含的样本点共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．19．某地区

高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是学生的必考科目，学生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生确定选考方案，否则

称该学生待确定选考方案．例如学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则称学生甲确定选考方案．某校为了解高一年级450名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计情况如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生有6人确定选考方案012663有8人待确定选考

方案531100女生有10人确定选考方案3218106有6人待确定选考方案541001(1)估计该校高一年级已确定选考方案的学生有多少人？(2)写出确定选考方案的6名男生中选择“历史、地理和生物”的人数；(直接写出结果)22(3)从确定选考方案的6名

男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．解(1)由题可知，已确定选考方案的男生有6人，已确定选考方案的女生有10人，∴可估计该校高一年级已确定选考方案的学生共有1630×450＝240人．(2)确定选考方案的6名男生中选择“历史、地理和生物”的人数为

2.(3)由表格可知，已确定选考方案的男生共有6人，其中3人选择“历史、地理和政治”，记为a1，a2，a3,1人选择“历史、地理和化学”，记为b1,2人选择“历史、地理和生物”，记为c1，c2.从已确定选考科目的男生

中任选2人，有15种等可能的选法，分别为a1a2，a1a3，a1b1，a1c1，a1c2，a2a3，a2b1，a2c1，a2c2，a3b1，a3c1，a3c2，b1c1，b1c2，c1c2.2名学生选考科目完全相同的选法有a1a2，a1a3，a2a3，c1c2，

共4种．设事件A表示“从确定选考方案的男生中任选出2人，这2名学生选考科目完全相同”，则P(A)＝415.20．(2021·临沂兰山区期末)如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率

分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：(1)求成绩在80～90这一组的频数；(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；(3)从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率．23解(1)依题意，50～60这一组

的频率为0.015×10＝0.15,60～70这一组的频率为0.025×10＝0.25,70～80这一组的频率为0.035×10＝0.35,90～100这一组的频率为0.005×10＝0.05，则80～90这一组的频率为[1－(0.15＋0.25＋0.

35＋0.05)]÷2＝0.1，其频数为0.1×40＝4.(2)这次环保知识竞赛成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5.40～50这一组的频率为0.1,50～60这一组的频率为0.15，所以40～6

0的频率为0.25,60～70这一组的频率为0.25，因此40百分位数在60～70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为60＋10×(0.15÷0.25)＝66.(3)记“选出的2人不在同一分

数段”为事件E，40～50之间的人数为40×0.1＝4，设为a，b，c，d,90～100之间有40×0.05＝2人，设为1,2.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a,1)，(a,2)，(b，c)，(b，

d)，(b,1)，(b,2)，(c，d)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)，共15个样本点，其中事件E包括(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，共8个样本点，于是得P(E)＝815，所以选出的2人不在同一分数段的

概率为815.