【文档说明】【精准解析】北师大版必修5练案：第1章3第4课时等比数列的综合应用【高考】.docx，共(8)页，46.945 KB，由小赞的店铺上传

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[练案10]A级基础巩固一、选择题1．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(D)A．514B．513C．512D．510[解析]由已知得a1＋a1q3＝18a1q＋a1q2＝12，解得q＝2或12.∵q为整数，∴q＝2.∴

a1＝2.∴S8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3，S6＝27，则此等比数列的公比q等于(A)A．2B．－2C．12D．－12[解析]S3＝a1(1－q3)1－q＝3，①S6＝a1(1－q6)1－q＝27，②②①得1－q

61－q3＝9，解得q3＝8.∴q＝2，故选A．3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于(C)A．－6(1－3－10)B．19(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)[解析]本题考查等比数列的定义，前n项和的求法．3an

＋1＋an＝0，∴an＋1an＝－13＝q，a2＝a1·q＝－13a1＝－43，∴a1＝4.∴S10＝4(1－(－13)10)1＋13＝3(1－3－10)．4．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a

2＋a3＋a4＋a5的值是(B)A．1061B．1023C．1024D．268[解析]由题意得a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，∴a4a1＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3×(45－1)4－1＝1023.5．等比数列的前n

项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C则(D)A．A＋B＝CB．B2＝ACC．(A＋B)－C＝B2D．A2＋B2＝A(B＋C)[解析]若数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．由Sn＝A，S2n－Sn＝B－A，S3n－S2n＝C－B，

得(B－A)2＝A(C－B)，A2＋B2＝A(B＋C)．6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(C)A．6B．5C．4D．3[解析]本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是a

n＝2×(52)n－4，设bn＝lgan＝lg2＋(n－4)lg52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S8＝8(b1＋b8)2＝8(lg2－3lg52＋lg2＋4lg52)2＝4.在等比数列中任意两

项的关系时an＝amqn－m，一个各项为正的等差数列，取对数后所得到的数列是等差数列．二、填空题7．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝3n－1.[解析]∵3S1,

2S2，S3成等差数列，∴2×2(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，∴a3＝3a2，∴q＝3.又∵等比数列{an}，∴an＝a1qn－1＝3n－1.8．已知数列{an}中，an＝2n－1(

n为正奇数)2n－1(n为正偶数)，则a9＝256.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝377.[解析]a9＝28＝256，S9＝20＋22＋24＋26＋28＋3＋7＋11＋15＝377.三、解答题9．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn

}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝a4－a13＝12－33＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{b

n－an}的公比为q，由题意得q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝

3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1.10．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.

(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和公式．[解析](1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n.(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得Sn＝2·3＋4·32

＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n①3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1②①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1＝3(3n－1)－2n·3n＋1，所以S

n＝3(1－3n)2＋n·3n＋1.B级素养提升一、选择题1．已知等比数列{an}中，公比q＝12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(B)A．100B．90C．120D．30[解析]∵a2＋a4＋a6＋…＋a100＝a1q＋a3q＋a5

q＋…＋a99q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝12×60＝30∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝60＋30＝90.2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3

，则S9S6＝(B)A．2B．73C．83D．3[解析]∵S6S3＝3，∴S6＝3S3，∴S6－S3S3＝2，∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴S9－S6S3＝22，∴S9＝4S3＋S6＝7S3，∴S9S6＝7S33S3＝73，∴选B．3．等比数列{an}前n项和为

Sn＝3n－2＋k，则实数k的值为(D)A．13B．－13C．19D．－19[解析]∵Sn＝3n－2＋k＝19·3n＋k.由等比数列前n项和公式的特征知k＝－19.4．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(A)A．3×44B．

3×44＋1C．45D．45＋1[解析]该题考查已知一个数列的前n项和Sn与an＋1的关系，求通项公式an.注意的问题是用an＝Sn－Sn－1时(n≥2)的条件．an＋1＝3Sn①an＝3Sn－1②①－②得a

n＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an，∴an＋1an＝4.(n≥2)当n＝2时，a2＝3a1＝3，∴a2a1＝3≠an＋1an＝4，∴an为从第2项起的等比数列，且公比q＝4，∴a6＝a2·q4＝3×44.二、填空题5．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一

天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于6.[解析]本题考查等比数列通项公式，前n项和公式等．记第一天植树a1＝2，则第n天为an＝2n，这n天总共植树Sn＝2(1－2n)1－2＝2(2n－1)，令Sn≥100得n≥6，所以最少

要6天．本题为填空题，利用列举法更简单．6．已知一个等比数列的首项是1，项数是偶数，所有奇数项的和是85，所有偶数项的和是170，则此数列共有8项．[解析]设该数列共有n项，公比为q，则由题意可得q＝S偶S奇＝17085

＝2.又Sn＝S偶＋S奇＝170＋85＝255，所以255＝1－2n1－2，解得n＝8.三、解答题7．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b

2＋b3＋…＋b10的值．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得a1＋d＝4，(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝15，解得a1＝3，d＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n.所以b1＋b2

＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.8．已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和为Sn

.若点(n，Sn)在函数y＝－x2＋4x的图像上，点(n，bn)在函数y＝2x的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.[解析](1)由已知得Sn＝－n2＋4n，∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－

1＝－2n＋5，又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5.(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)·2n.Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(

－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1.两式相减可得Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)2n＋1＝23(1－2n－1)1－2＋(－2n＋5)2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.获得

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