【文档说明】【精准解析】辽宁省锦州市2020届高三4月质量检测（一模考试）数学（文）试题.doc，共(19)页，1.385 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-dacfee1174edfac931004acce7cec5b6.html

以下为本文档部分文字说明：

2020年高三质量检测数学（文科）本试卷共23题，共6页.全卷满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区

域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，

确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的.1.已知集合{|}Axyx==，集合{|33}Bxx=−，则AB=（）A.[3,3]−B.[3,)−+C.[0,3]D.[0,)+【答案】C【解析】【分析】先计算集合A，然后对集合A和集合B取交集即可.【详解】由题意可

得|0Axx=，{|33}Bxx=−，则{|03}ABxx=故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则z为（）A.1i+B.1i−C.1i−+D

.1i−−【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则z=1+i．故选A．【点睛】本题考

查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.已知向量(2,3),(,4)abx==，若()aab⊥−，则x=（）A.1B.12C.2D.3【答案】B【解析】【分析】可求出()21abx−=−−，，根据()aab⊥−即可得出()0aab−=，进行数量积的坐标

运算即可求出x．【详解】()21abx−=−−，；∵()aab⊥−；∴()()2230aabx−=−−=；解得12x=．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．4.从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任

选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】D【解析】【分析】利用排列、组合，求得基本事件的总数为10种，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为3种，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解

】由题意，从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人基本事件的总数为2510nC==种，其中选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为233mC==种，所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率为310mPn==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排

列、组合的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若抛物线24yx=上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（）A.6B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【详解】抛物线24yx=的焦点()10F，，

准线为1x=−，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录

用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了【答案】C【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，

丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7.已知20201logπa=，20201πb=

，1π2020c=，则（）A.cabB.acbC.bacD.abc【答案】D【解析】【分析】利用指数与对数的性质与0，1比较即可【详解】202020201loglog10πa==，()2020101πb=，，1π20201

c=，所以abc.故选：D.【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1比较是常用方法，是基础题8.m，n是两不同直线，α是平面，n⊥α，则m∥α是m⊥n的（）A.充分不必要条件B.必要

不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行，线线垂直和线面垂直的相关知识，从充分性和必要性进行论证，即可选择.【详解】根据已知条件，由m∥α以及n⊥α，则一定有mn⊥，简单证明如下：当m∥α时

，在平面内存在一条直线b，使得b//m，因为n⊥，b，故可得nb⊥，又b//m，故可得nm⊥，即证.故充分性满足；若直线mn⊥，且n⊥，则可得m//或m，故必要性不满足.则m∥α是m⊥n的充分不必

要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，涉及线面垂直，线线垂直，线面平行，属综合基础题.9.已知等比数列na中，若578aa+=，则()4683112aaaaa++的值为（）.A.128B.64C.16D.8【答案】B【解析】【分析】首先将468311()2aaa

aa++化简为257()aa+，再计算即可.【详解】2246483115577468311()222aaaaaaaaaaaaaaa=++=++++257()64aa=+=.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于简单题.10.已知

函数()2(coscos)sinfxxxx=+，给出下列四个命题：（）①()fx的最小正周期为π②()fx的图象关于直线π4x=对称③()fx在区间ππ,44−上单调递增④()fx的值域为[2,2]−其中所有正确的编号是（）A.②④B.①③④C.③④D.

②③【答案】C【解析】【分析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos0x，cos0x时，对应的最值，即可得出()fx的值域.【详解】()()2coscossin2cossinsin

2fxxxxxxx=+=+函数π33f=，4π03f=，π4π33ff，故函数()fx的最小正周期不是π，故①错误．由于36πf−=−，2π03f=，∴3π26πff−

，故()fx的图象不关于直线π4x=对称，故排除②．在区间ππ,44−上，ππ2,22x−，()2cossinsin22sin2fxxxxx=+=，单调递增，故③正确．当cos0x时，()

2cossinsin22sincossin22sin2fxxxxxxxx=+=+=故它的最大值为2，最小值为2−当cos0x时，()2cossinsin22sincossin20fxxxxxxx=+=−+=，综合可得，函数()fx的最

大值为2，最小值为2−，故④正确．故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.11.函数2()1sin1xfxxe=−+图象的大致形状是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据函数()fx为偶函数，故排除B，D.再根据(1)0f

，排除A，即可得到答案.【详解】2()(1)sin1xfxxe=−+的定义域为R，22()(1)sin()(1)sin111xxxfxxxeee−=−−=−−++22(1)2(1)sin[1]sin11xxxxeexxee+−=−−=−−++22(21)s

in(1)sin()11xxxxfxee=−−−=−=++.所以()fx为偶函数，故排除B，D.2(1)(1)sin101fe=−+，故排除A.故答案为：C【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象，利

用函数奇偶性和特值为解题的关键，属于中档题.12.已知双曲线2222C:1(0,b0)xyaab−=的左、右焦点分别为()10Fc－，，()20Fc，，点N的坐标为23c,2ba−．若双曲线C左支上的任意一点M均满足24MFMNb+，则双曲线C的离心率的

取值范围为()A.13,53B.(5,13)C.131,(5,)3+D.(1,5)(13,)+【答案】C【解析】【分析】首先根据双曲线的定义，212MFMFa=+，转化为124MFM

Nab++，即()1min24MFMNab++，根据数形结合可知，当点1,,MFN三点共线时，1MFMN+最小，转化为不等式23242baba+，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MFMFa−=，若2||4MFMNb+，即1|||24MFMNab++‖，左支上的点M均满

足2||4MFMNb+，如图所示，当点M位于H点时，1||MFMN+最小，故23242baba+，即22348baab+,223840,(2)(23)0babaabab−+−−,23ab或222,49abab或22224,913ab

ca或22135,13ccaa或5,ca双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3+.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键

是根据几何关系分析1|||MFMN+‖的最小值，转化为,ab的代数关系，最后求ca的范围.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.将答案填在答题纸上.13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的

意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】【分析

】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556=+++.故答案为60.

14.已知曲线()(1)xfxaxe=−在点(0,1)−处的切线方程为1yx=−，则实数a的值为__________.【答案】2【解析】【分析】首先求导得到()(1)xxfxaeaxe+=−，再根据切点和切线方

程即可得到a的值.【详解】()(1)xfxaxe=−，()(1)xxfxaeaxe+=−，因为01(0)fae−==，所以2a=.故答案为：2【点睛】本题主要考查导数几何意义的切线问题，属于简单题.15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样

的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为___.【答案】【解析】【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，则1455100,2ad+=（a3+a4+a5）×1

7=a1+a2，即111(39)27adad+=+，解得a1=53，d=556．最小一份为a1，故答案为．16.已知三棱锥DABC−四个顶点均在半径为R的球面上，且2ABBC==，2AC=，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为________

__.【答案】28916【解析】【分析】首先根据题意得到ABBC⊥，根据三棱锥体积的最大值为43得到三棱锥高的最大值，再求外接球的半径和表面积即可.【详解】设ABC的外接圆的半径为r，因为2ABBC==，2AC=，所

以222ABBCAC+=，ABBC⊥.112ABCSABBC==.设D到平面ABC的距离为h，因为三棱锥体积的最大值为43，即maxmax14133Vh==所以max4h=.设球体的半径为R，

则222(4)1RR−+=，解得178R=.221728944()816SR===.故答案为：28916【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，同时考查了球体的表面积公式，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC中,角,,A

BC所对的边分别为,,abc,且sinsinsinsinCAbBAac−=−+.（1）求角C的大小;（2）若3c=,求+ab的取值范围.【答案】（1）3；（2）(3,6).【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知

等式可得222abcab+−=，根据余弦定理可求cosC的值，结合范围(0,)C，可求C的值.（2）由余弦定理，基本不等式可求6ab+，又根据两边之和大于第三边可得3ab+，即可求解+ab的取值范围

.【详解】（1）由sinsinsinsinCAbBAac−=−+则cabbaac−=−+，222abcab+−=，所以2221cos222abcabCabab+−===，而(0,)C，故3C=.（2）由222abcab+−=且3c=，2()29ababab+−−=22()933

()2,ababab++−=ab22()93()2,abab++−2()36ab+所以6ab+，又3abc+=，所以+ab的取值范围是(3,6).【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦

定理，基本不等式等在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90

,95),第5组[95,100],得到的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方

图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.【答案】（1）中位数为86.67，平均数为87.25（2）300【解析】【分析】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,mn,因为前2组的频率之和为0.40.5,因为前3

组的频率之和为0.70.5,所以8590m,求出,mn即可求得答案;(2)因为样本中90分及以上的频率为()0.04+0.025=0.3,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图,即可估

计该校高一学生数学成绩达到人数.“优秀”等次的人数【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,mn因为前2组的频率之和为0.40.5,因为前3组的频率之和为0.70.5,所以8590m,由

0.40.06(85)0.5m+−=,得86.67m=.77.550.0182.550.0787.550.0692.550.0497.550.0287.25n=++++=所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67,87.25(2)因为样本中9

0分及以上的频率为()0.04+0.025=0.3,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为0.31000=300人.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率

.再求出学生数,属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,ABBCAAACBCEF⊥===分别是11,ACBC的中点．（1）求证:平面ABE⊥平面11BBCC；（2）求证:1CF∥平面ABE；（3）求三棱锥EABC−体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33．【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱111A

BCABC−中，1BB⊥底面ABC，所以1BB⊥AB，又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面11BBCC，因为AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面11BBCC.（2）取AB中点G，连结EG，FG，因为E，F分别是11AC、BC的

中点，所以FG∥AC，且FG=12AC，因为AC∥11AC，且AC=11AC，所以FG∥1EC，且FG=1EC，所以四边形1FGEC为平行四边形，所以1//CFEG，又因为EG平面ABE，1CF平面ABE，所以1//CF平面ABE.（3）因为1AA=AC=2，BC=

1，AB⊥BC，所以AB=223ACBC−=，所以三棱锥EABC−的体积为：113ABCVSAA==1131232=33.考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推

理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为2，过点21,2−.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点(2,0)P，过点F且斜率不为零的直

线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q，试探究在x轴上是否存在一定点M，使直线BQ恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）存在；定点为3,02【解析】【分析】（1）首先根据题

意列出方程组22222221112cababc=+==+，再解方程组即可.（2）首先设11(,)Axy，22(,)Bxy，l的方程为：1xmy=+.联立22112xmyxy=++=，利用韦达定理，

结合AQPQ⊥求出直线BQ，再令0y=即可得到直线BQ恒过的定点.【详解】（1）由题知22222221112cababc=+==+，解得22a=，21b=，所以椭圆C的方程为2212xy+=.（2）设11(,)Axy，22

(,)Bxy，因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1xmy=+由22112xmyxy=++=得22(2)210mymy++−=则12222myym+=−+，12212yym=−+，因为以AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q，所以AQPQ⊥，则

1(2,)Qy.则2122BQyykx−=−，故BQ的方程为：2112(2)2yyyyxx−−=−−.令0y=，则1212121212121(2)(1)222yxymymyyyxyyyyyy−−−−−+=+=+=+−−−而12

222myym+=−+，12212yym=−+，所以1212222yymmyym+−==−+，所以121211322222yyyxyy+−+=+=−+=−.故直线BQ恒过定点，且定点为3,02【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方

程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21.已知函数()()22ln43fxxaxx=+−+．（1）若43a=，求()fx的单调区间；（2）证明：（i）ln1xx−；（ii）对任意(),0a−，()0fx对32,axa−+恒成立．【答案】（1）()fx的单

调递增区间为10,2，3,2+，()fx的单调递减区间为13,22.（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）将43a=代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断()fx的单调区

间；（2）（i）构造函数()()ln1gxxx=−−并求得()gx，利用()gx的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii）由（i）可知将不等式变形可得()()()22143fxxaxx−+−+成立，构造函数()()()22143hxxaxx=−+−+，因式分解后解一

元二次不等式即可证明()0fx对32,axa−+恒成立．【详解】（1）若43a=，()()()()22123242433xxfxxxx−−=+−=（0x），令()0fx′，得32x或102x，则()fx的单调递

增区间为10,2，3,2+.令()0fx′，得1322x，则()fx的单调递减区间为13,22.（2）证明：（i）设()()ln1gxxx=−−，则()1xgxx−=（0x），令()

0gx，得01x；令()0gx，得1x.故()()max10gxg==，从而()()ln10gxxx=−−„，即ln1xx−.（ii）函数()()22ln43fxxaxx=+−+由（i）可知ln1xx−即()2ln21xx−，所以()()()222ln4

32143xaxxxaxx+−+−+−+，当1x=时取等号；所以当1x时，则()()()22143fxxaxx−+−+若(),0a−，令()()()22143hxxaxx=−+−+则()()()()()()23221

431231ahxxaxxxaxaaxxa−=−+−+=−+−=−−，当32,axa−+时，()3210aaxxa−−−.则当32,axa−+时，()0fx，故对任

意(),0a−，()0fx对32,axa−+恒成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立问题，构造函数法的应用，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系

xOy中，曲线1C的参数方程为32cos22sinxy=+=+，（为参数），直线2C的方程为33yx=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2C与曲线1C交于P，Q两点，求O

POQ的值.【答案】（Ⅰ）223cos4sin30−−+=（Ⅱ）3【解析】【分析】（Ⅰ）先把曲线1C的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程．（Ⅱ）把直线方程转化为极坐标方程，与曲线1C的极坐标方程联立，根

据根与系数的关系，求得结果．【详解】（Ⅰ）曲线1C的普通方程为()()22324xy−+−=，则1C的极坐标方程为223cos4sin30−−+=（Ⅱ）设()1P，，()2Q，，将6=代入223cos−4sin30−+=，得2530−+

=所以123=，所以3OPOQ=.【点睛】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根的应用，属于基础题型．23.已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，

求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）[-2，-23]；（Ⅱ）0＜m＜1【解析】【分析】（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组

后在相并可得；（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|⇔f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．再利用分段函数的单调性求得f（x）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1

|的最大值，然后将问题转化为f（x）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．【详解】（Ⅰ）当m=1时，|x-1|-|2x+2|≥1⇔x1x31−+或1x13x11−−−或x1x31−−，解得-2≤x≤-23，所以原不等式的解集为[-2，-23]．（Ⅱ）f（x

）+|t-1|＜|t+1|⇔f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．∵f（x）=x3mxm3xmmxmx3mxm+−−−−−−，，＜＜，，根据分段函数的单调性可知：x=-m时，f（x）取得最大值f（-m）=2m，∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1

）-（t-1）|=2，∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2．所以问题转化为2m＜2，解得0＜m＜1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．