【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第四章第二节　平面向量的数量积 含解析【高考】.doc，共(10)页，322.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第二节平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第78页[基础梳理]1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ

≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫作向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影几何意义数量积

a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积3.数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ．(2)cosθ＝a·b|a||b|.(3)a·b≤|a||b|．4．数量积的运算律(1)交换律：

a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与

b的夹角为θ，则数量积a·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝__x21＋y21夹角cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝01．向量的夹角问题(1)“向量a与b的夹角为钝角”

等价于“a·b＜0且a，b不共线”．(2)“向量a与b的夹角为锐角”等价于“a·b＞0且a，b不共线”．(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝π－B，而不是角B.2．两种投影

-2-a在b上的投影为a·b|b|.b在a上的投影为a·b|a|.3．几个结论，对于向量a，b(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a，b同向时，a·b＝|a||b|，a，b反向时

，a·b＝－|a||b|.(4)O是△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→.(5)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则AB→·AC→＝c2＋b2－a22.[四基自测]1．(基础点：向量夹角)设a＝(3，

1)，b＝1，－33，则向量a，b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：B2．(基础点：数量积坐标运算)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，3)，则AB→·BC→

＝()A．－3B．－2C．2D．3答案：C3．(易错点：向量的投影)已知a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为()A.13B．135C.655D．65答案：C4．(基础点：求模)已知a与b的夹角为60°，|a|＝2

，|b|＝1，则|a＋b|＝__________．答案：7授课提示：对应学生用书第79页考点一平面向量数量积的运算挖掘1定义法、坐标法求数量积/自主练透[例1](1)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·

BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3[解析]∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，|BC→|＝1，∴12＋（t－3）2＝1，∴t＝3，∴BC→＝(1，0)，∴AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.故选C.-3-[答

案]C(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0[解析]a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.[答案]B(3)(2018

·高考天津卷)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为()A.2116B．32C.2516D．3[解析]如图所示，以D为坐标

原点建立直角坐标系．连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B(32，32)，C(0，3)，设E(0，y)(0≤y≤3)，则AE→＝(－1，y)，BE→＝－32，y－32，∴AE→·B

E→＝32＋y2－32y＝y－342＋2116，∴当y＝34时，AE→·BE→有最小值2116.故选A.[答案]A[破题技法]1.定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||

b|cosθ(θ是a与b的夹角)．2．坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．挖掘2用基底计算数量积/互动探究[例2](1)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2

，∠MON＝120°，BM→＝-4-2MA→，CN→＝2NA→，则BC→·OM→的值为()A．－15B．－9C．－6D．0[解析]如图，连接MN.∵BM→＝2MA→，CN→＝2NA→，∴AMAB＝13＝ANAC

，∴MN∥BC，且MNBC＝13，∴BC→＝3MN→＝3(ON→－OM→)，∴BC→·OM→＝3(ON→·OM→－OM→2)＝3(2×1×cos120°－12)＝－6.故选C.[答案]C(2)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点

E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________．[解析]法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，在△EAB中，AB＝23，∴EA＝E

B＝2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0，0)，D(5，0)，E(1，3)，B(3，3)，∴BD→＝(2，－3)，AE→＝(1，3)，∴BD→·AE→＝(2，－3)·(1，3)＝－1.法二：同

法一，求出EB＝EA＝2，以AB→，AD→为一组基底，则BD→＝AD→－AB→，AE→＝AB→＋BE→＝AB→－25AD→，-5-∴BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→－25AD→)＝AD→·AB→－AB→2＋25A

B→·AD→－25AD→2＝75×5×23×32－12－25×25＝－1.[答案]－1[破题技法]基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．考点二向量的模、夹角、垂直问题挖掘1向量的夹角/互动探究[例1](1

)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B．π3C.2π3D．5π6[解析]由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴c

os〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.故选B.[答案]B(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________.[

解析]由题意，得cos〈a，c〉＝a·（2a－5b）|a|·|2a－5b|＝2a2－5a·b|a|·|2a－5b|2＝21×4＋5＝23.[答案]23(3)(2020·石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|

b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π3B．2π3C.5π6D．π6[解析]设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝3，设向量a＋b

与a的夹角为θ，则cosθ＝a·（a＋b）|a|·|a＋b|＝a2＋a·b|a|·|a＋b|＝|a||a＋b|＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6，故选D.[答案]D-6-[破题技法]求向量夹角的方法方法解读适合题型定义法cos〈a

，b〉＝a·b|a||b|适用于向量的代数运算数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算[拓展]设〈a，b〉＝θ，当θ为锐角时，cosθ＞0，即a·b＞0，当θ为钝角时，cosθ＜0，即a·b＜0，反之不成立，要注意a

∥b的情况．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n与tm－n夹角为钝角，则实数t的取值范围是()A．t＜4B．t＜4且t≠0C．t≤4D．t≤4且t≠0解析：n与tm－n夹角为钝角等价于n·(tm－n)＜0且n与tm－n不共线，所以tm·n－n2＜0且t≠0，即t×

34n2×13－n2＜0，且t≠0，解得t＜4且t≠0.答案：B挖掘2向量模的计算/互动探究[例2](1)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若AB→＝(1，2)，CD→＝(2，t)，则|CD→|＝()A.5B．5C．25D．20[解析]由题意知AB→⊥CD→，∴1×2

＋2t＝0，∴t＝－1，∴|CD→|＝22＋（－1）2＝5.[答案]A(2)(2020·湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为()A．12B．10C.10D．2[解

析]设a与b的夹角为θ.由于b在a方向上的投影为－2，所以|b|cosθ＝a·b|a|＝－2，所以a·b＝－8，又|b|cosθ＝－2，所以|b|≥2，则|a－3b|＝a2－6a·b＋9b2＝64＋9b2≥64＋9×22＝10，即|a－3b|的最小值为

10，故选B.[答案]B(3)如图，在△ABC中，∠BAC＝π3，AD→＝2DB→，P为CD上一点，且满足AP→＝mAC→＋12AB→，若△ABC的面积为23，则|AP→|的最小值为()-7-A.2B．3C．3D．43[解析]∵AD→＝2DB→，∴AB→＝32AD→，∵AP→＝

mAC→＋12AB→，∴AP→＝mAC→＋34AD→，∵C，P，D三点共线，∴m＋34＝1，即m＝14，∴AP→＝14AC→＋12AB→，∴AP→2＝116AC→2＋14AB→2＋14AC→·AB→≥2×18|AC→||AB→|＋14|AC→||AB→

|cosπ3＝38|AC→||AB→|，∵S△ABC＝12|AC→||AB→|sinπ3＝23，∴|AC→||AB→|＝8，∴AP→2≥38×8＝3，∴|AP→|≥3，故选B.[答案]B[破题技法]求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝a·a及(a±

b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．挖掘3向量的垂直问题/互动探究[例3](1

)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.79，73B．－73，－79C.73，79D．－79，－73[解析]设c＝(m，n)，则a＋c＝(

1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，解得m＝－79，n＝－73.所以c＝－79，－73.[答案]D(2)(2019·高考北京卷)已知向量

a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．[解析]∵a⊥b，∴a·b＝(－4，3)·(6，m)＝－24＋3m＝0，∴m＝8.[答案]8-8-[破题技法]1.当已知两个向量的夹角为90°时，即a⊥b时，则a·b

＝0.反之也成立，(a≠0且b≠0)．2．如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.如图所示，|AB→|＝5，|AE→|＝5，AB→·AE→＝0，且AB→＝2AD→，AC→＝3

AE→，连接BE，CD交于点F，则|AF→|＝________．解析：由三点共线可知，AF→＝λAB→＋(1－λ)AE→＝2λAD→＋(1－λ)AE→(λ∈R)，①同理，AF→＝μAD→＋(1－μ)AC→＝μAD→＋3(1－μ

)AE→(μ∈R)，②则①②，得μ＝2λ，3－3μ＝1－λ，解得λ＝25，μ＝45，故AF→＝25AB→＋35AE→.∴|AF→|＝425|AB→|2＋925|AE→|2＋1225AB

→·AE→＝1455.答案：1455考点三数量积运算的最值或取值范围[例]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1[解析]法一：几何法第一步：画出图形，利用向量的平行四边形

法则化简PB→＋PC→.-9-如图，PB→＋PC→＝2PD→(D为BC中点)，则PA→·(PB→＋PC→)＝2PD→·PA→，第二步：确定P点的大致位置使PA→·PD→最小．要使PA→·PD→最小，需PA→，PD→方向相反，即P点在线段AD上，所以(

2PD→·PA→)min＝－2|PA→|·|PD→|，即求|PD→|·|PA→|最大值．第三步：利用基本不等式求最值．又|PA→|＋|PD→|＝|AD→|＝2×32＝3，则|PA→|·|PD→|≤|PA→|＋|PD→|22＝322＝34，所以(2PD→·

PA→)min＝－2×34＝－32.故选B.法二：坐标法．第一步：建立平面直角坐标系．以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)．第二步：设出P点的坐标(x，y)，将向量PA→，PB→，PC→表示出来．设P(x

，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，第三步：用x，y表示PA→·(PB→＋PC→)，转化为函数关系式求最值．∴PA→·(PB→＋PC→)＝2x2－23y＋2y2＝2x2＋

y－322－34，其最小值为2×－34＝－32，此时x＝0，y＝32.故选B.[答案]B[破题技法]求解平面向量数量积最值或取值范围问题的2个策略(1)图形化策略所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形

语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题．图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中．-10-利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用．如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“

僵局”．(2)代数化策略所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题．代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想．通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向

量问题的一般方法．平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，AB→·AD→＝4，点P在边CD上，则PA→·PB→的取值范围是()A．[－1，8]B．[－1，＋∞)C．[0，8]D．[－1，0]解析：由题意

得AB→·AD→＝|AB→|·|AD→|·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝π3.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(4，0)，C(5，3)，D(1，3)，因为点P在边CD上，所以不

妨设点P的坐标为(a，3)(1≤a≤5)，则PA→·PB→＝(－a，－3)·(4－a，－3)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，则当a＝2时，PA→·PB→取得最小值－1，当a＝5时，PA→·PB→取得最大值8，故选A.答

案：A