【文档说明】2025届高考数学一轮复习试题 阶段滚动检测（五）Word版含解析.docx，共(19)页，259.067 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。阶段滚动检测(五)120分钟150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.1.(2024·武汉模拟)过点(1,0)且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x-y-2=0D.2x+y-1=0【解析】选C.由直线x+2y-2=0可得其斜率为-12,则与其垂直的直线斜率为2,故过点(1,0)

且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为y=2(x-1),即:2x-y-2=0.2.(2024·湛江模拟)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬,置水盆于下,则见四邻矣.”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例,体现了传统文

化中的数学智慧.在平面直角坐标系xOy中,一条光线从点(-2,0)射出,经y轴反射后的光线所在的直线与圆x2+y2-2x-2y=0相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-1B.-1或1C.1D.2【解析】选C.易知(-2,0)关于y轴的对称点为(2,0),由平面镜反射原理

,反射光线所在的直线过(2,0)且与该圆相切,将圆x2+y2-2x-2y=0化简后可得(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆心为(1,1),易知(2,0)在该圆上,所以(2,0)即为切点,因此圆心与切点连线与反射光线垂直,设反射光线所在直线的斜率为k,即0-12-1×k=-1,

解得k=1.3.(2024·盐城模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为()A.2√2B.2√5C.4D.2【解析】选A.由题意知圆O1:x2+y2-2x-3=0,即圆O1:(x-1)2+y2=4

,圆心为O1(1,0),半径r1=2,圆O2:x2+y2-2y-1=0,即圆O2:x2+(y-1)2=2,圆心为O2(0,1),半径r2=√2,则r1-r2<|O1O2|=√12+12=√2<r1+r2,即

两圆相交,将圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的方程相减,可得直线AB的方程为x-y+1=0,则O1(1,0)到直线x-y+1=0的距离为|2|√2=√2,故弦AB的长为2√𝑟12-(√2)2=2√2.4.过双曲线C:𝑥

2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的右顶点A作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P,△OAP的面积为√34(O为坐标原点),离心率为2,则点A到渐近线的距离为()A.√32B.√3C.12D.1【解析】选A.双曲线的右顶点为A(a,0

),双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,由对称性,不妨令过A的直线与y=𝑏𝑎x平行,则该直线方程为y=𝑏𝑎(x-a),由{𝑦=𝑏𝑎(𝑥-𝑎)𝑦=-𝑏𝑎𝑥,解得{𝑥=𝑎2�

�=-𝑏2,即P(𝑎2,-𝑏2),则S△OAP=12|OA|·|yP|=14ab=√34,又e=𝑐𝑎=2,a2+b2=c2,解得a=1,b=√3,所以点A(1,0)到渐近线y=±√3x的距离为d=√3√12+(√3)2=√32.5.(2023·全国甲卷)已知双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2�

�2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=()A.15B.√55C.2√55D.4√55【解析】选D.由e=√5,得𝑐2𝑎2=𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏2𝑎2=5,解得𝑏𝑎=2,所以双曲线的一条渐近线不妨取y

=2x,则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|2×2-3|√22+1=√55,所以弦长|AB|=2√1-15=4√55.6.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-2,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和

l2距离之和的最小值是()A.3√55+1B.2C.165D.3【解析】选D.由题可知x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),所以动点P到l2的距离等于P到x=-1的距离加1,即动点P到l2的距离等于

|PF|+1.所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离加1,即其最小值是|4-0+6|5+1=3.7.(2024·重庆模拟)椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)

的左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上不在坐标轴上的一点,点M,N满足=,2=+,若四边形MONP的周长等于4b,则椭圆C的离心率e=()A.12B.√22C.√32D.√63【解析】选C.因为=,所以点M为线段PF1的中点,因为2=+,所以-=-,即=,所以点N为线段PF2的中点,又因为点O

为线段F1F2的中点,所以OM∥PF2且|OM|=12|PF2|,ON∥PF1且|ON|=12|PF1|,所以四边形MONP的周长为|PF1|+|PF2|,又因为点P为椭圆上不在坐标轴上的一点,所以|PF1|+|

PF2|=2a,所以2a=4b,即𝑏𝑎=12,故椭圆C的离心率e=𝑐𝑎=√1-𝑏2𝑎2=√32.8.(2024·贵阳模拟)我们通常称离心率为√5-12的椭圆为“黄金椭圆”,称离心率为√5+12的双曲线为“黄金双曲线”,

则下列说法正确的是()A.正△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则以B,C为焦点,且过D,E的椭圆是“黄金椭圆”B.已知ABCDEF为正六边形,则以A,D为焦点,且过B,C,E,F的双曲线是“黄金双曲线”C.“黄金椭圆”上存在一点,该点与两焦点的连线互相垂直D.“黄金双曲线

”的实半轴长,一个焦点到一条渐近线的距离,半焦距能构成等比数列【解析】选D.对于A,以BC的中点为原点,建立直角坐标系如图所示,设△ABC的边长为2,以B,C为焦点,且过D,E的椭圆方程设为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>

0),所以|CD|=√3,椭圆的离心率为2𝑐2𝑎=|𝐵𝐶||𝐷𝐶|+|𝐷𝐵|=2√3+1=√3-1,故A错误;对于B,以AD的中点为原点,建立直角坐标系如图所示,设正六边形ABCDEF的边长为2,|AD|=4,|FD|=2√3,以A,D为焦点,且过B,C,E,F的

双曲线方程设为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),离心率为2𝑐2𝑎=|𝐴𝐷||𝐹𝐷|-|𝐹𝐴|=42√3-2=√3+1,故B错误;对于C,设“黄金椭圆”的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a

>b>0),椭圆上的点P(x0,y0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),由𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1,可得𝑦02=b2(1-𝑥02𝑎2),=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),又因为“黄金椭圆”的离心率𝑐𝑎=√

5-12,所以(𝑐𝑎)2=(√5-12)2=3-√52,c2=3-√52a2,·=(-c-x0)(c-x0)+𝑦02=𝑥02+𝑦02-c2=b2(1-𝑥02𝑎2)+𝑥02-c2=𝑐2𝑥02𝑎2+a2-2c2=3-√

52𝑥02+(√5-2)a2>0,所以“黄金椭圆”上不存在一点,与两焦点的连线互相垂直.故C错误.对于D,设“黄金双曲线”的方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),实半轴长为a,一个焦点到一条渐近线的距离为b,半焦距为c,因为离心率𝑐�

�=√5+12,b2-ac=c2-a2-ac=(√5+12)2a2-a2-√5+12a2=0,所以b2=ac,a,b,c成等比数列.故D正确.【加练备选】(2024·武汉模拟)已知a,b∈R,ab<0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t

)依次成等比数列,则平面Oxy上的点(s,t)的轨迹是()A.直线和焦点在x轴的椭圆B.直线和焦点在y轴的椭圆C.直线和焦点在x轴的双曲线D.直线和焦点在y轴的双曲线【解析】选D.由题意可知,f(s-

t)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(s-t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,对其整理变形:(as2+at2+b-2ast)(as2+at2+b+2ast)=(as2+b)2,(as2+a

t2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=0,(2as2+at2+2b)at2-4a2s2t2=0,at2(-2as2+at2+2b)=0,因为ab<0,所以t=0或-2as2+at2+2b=0,即t=0或𝑡2-2𝑏𝑎-𝑠2-𝑏�

�=1.所以点(s,t)的轨迹为直线和焦点在y轴的双曲线.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知直线l1:4x+3y-2=0,l2:(m+2)

x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R),则()A.直线l2过定点(2,3)B.当m=10时,l1∥l2C.当m=-1时,l1⊥l2D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为3【解析】选ABD.l2:(m+2)x+

(m-1)y-5m-1=0(m∈R)变形为m(x+y-5)+2x-y-1=0,由{𝑥+𝑦-5=0,2𝑥-𝑦-1=0,则{𝑥=2,𝑦=3,因此直线l2过定点(2,3),故A正确;当m=10时,l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,所以412=39≠-2-51,

故两直线平行,故B正确;当m=-1时,l1:4x+3y-2=0,l2:x-2y+4=0,因为4×1+3×(-2)≠0,故两直线不垂直,故C错误;当l1∥l2时,则满足𝑚+24=𝑚-13≠-5𝑚-1-2,解得m=10,此时l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,即4

x+3y-17=0,则两直线间的距离为|-2-(-17)|√42+32=3,故D正确.10.(2024·西安模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l:mx+ny+3=0,则下列说法正确的是()A.当n=√3m≠0时,直线l的倾斜角为5π6B.当

m=n=1时,直线l与圆O相交C.圆O与圆E:(x-2)2+(y-3)2=1相离D.当m=0,n=-1时,过直线l上任意一点P作圆O的切线,则切线长的最小值为3【解析】选AC.对于A:当n=√3m≠0时,直线l为mx+√3my+3=0,所以直线的斜率为-𝑚√3𝑚=-√33,

设倾斜角为α,则tanα=-√33,因为α∈(0,π],所以α=5π6,故A正确;对于B:当m=n=1时,直线l为x+y+3=0,由x2+y2=4,可得:圆心O(0,0),半径r=2,所以圆心到直线l的距离d=|3

|√12+12=3√2=3√22>2,所以圆与直线相离,故B错误;对于C:因为圆E:(x-2)2+(y-3)2=1,所以圆心E(2,3),半径R=1,因为|OE|=√22+32=√13>r+R=3,所以两圆相离,故C正确;对于D:当m=0,n=-1时,直线l为y

=3,过直线l上任意一点P作圆O的切线,设切点为Q,则切线长|PQ|=√|𝑃𝑂|2-𝑟2=√|𝑃𝑂|2-4,所以当|PO|取得最小值时,|PQ|最小,因为点P在直线l:y=3上,所以当OP⊥l时,|OP|最小,此时|OP|min=3,

所以|PQ|min=√32-4=√5,故D错误.11.(2024·海南模拟)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B(0,√2),离心率为√22,M,N为C上关于原点对称的两

点(与C的顶点不重合),则()A.C的方程为𝑥24+𝑦22=1B.1|𝑀𝐹1|+4|𝑁𝐹1|≥52C.△MNF2的面积随周长变大而变大D.直线BM和BN的斜率乘积为定值-12【解析】选AD.由题易知b=√2,𝑐𝑎=

√22,2+c2=a2,解得c=√2,a=2,故椭圆方程为𝑥24+𝑦22=1,故A正确;连接MF1,MF2,NF1,NF2,由椭圆对称性知MF1NF2为平行四边形,|MF1|+|NF1|=|MF1|

+|MF2|=2a=4,1|𝑀𝐹1|+4|𝑁𝐹1|=1|𝑀𝐹1|+4|𝑀𝐹2|=14(1|𝑀𝐹1|+4|𝑀𝐹2|)(|MF1|+|MF2|)=14(1+4+|𝑀𝐹2||𝑀𝐹1|+4|𝑀𝐹1||𝑀𝐹2|)≥54+14×2√|

𝑀𝐹2||𝑀𝐹1|·4|𝑀𝐹1||𝑀𝐹2|=94,当且仅当|MF1|=43,|MF2|=83时等号成立,故B错误;对选项C:由选项B可知:|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|=4,设M(x1,y1),则|

OM|=√𝑥12+𝑦12=√4(1-𝑦122)+𝑦12=√4-𝑦12,△MNF2的面积为2𝑆△𝑂𝑀𝐹2=2×12×√2|y1|=√2|y1|,由对称性,不妨设M在第一象限,故|OM|随y1的增大而减小,△MNF2的面积随y1的增大而增大,即△MNF2的面积随周长变大而变小,C错

误;对选项D:设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),又B(0,√2),所以kBM·kBN=𝑦1-√2𝑥1·-𝑦1-√2-𝑥1=𝑦12-2𝑥12,因为点M(x1,y1)在椭圆上,结合选项C,𝑥12=4-2𝑦12,所以kBM·kB

N=𝑦12-2𝑥12=-12,故D正确.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·长沙模拟)已知圆A:x2+(y-3)2=1,过动点P作圆A的切线PB(B为切点),使得|PB|=√3,则动点P的轨迹方程为______________.答案:x2+(y-3)2=4【解析】

设P(x,y),由|PB|=√3得|PB|2=3,则x2+(y-3)2-1=3,即x2+(y-3)2=4.13.(2024·茂名模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,直线l1,l2均过点F分别交抛物线C于A,B,D,E四点

,若直线l1,l2斜率乘积的绝对值为8,则当直线l2的斜率为________时,|AB|+|DE|的值最小,最小值为________.答案:±2√218【解析】由题意,抛物线C:y2=8x的焦点坐标为F(2,0),设直线l1的方程为y=k1

(x-2),联立方程{𝑦=𝑘1(𝑥-2),𝑦2=8𝑥,整理得𝑘12x2-(4𝑘12+8)x+4𝑘12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以|AB|

=x1+x2+p=4𝑘12+8𝑘12+4=8𝑘12+8,设直线l2的斜率为k2,同理可得|DE|=x3+x4+p=4𝑘22+8𝑘22+4=8𝑘22+8,可得|AB|+|DE|=8𝑘12+8+8𝑘22+8=8𝑘12+8𝑘22+16,又由|k1·k2|

=8,得|AB|+|DE|=16+8𝑘12+8𝑘22≥16+8×2×1|𝑘1·𝑘2|=16+8×2×18=18,当且仅当|k1|=|k2|=2√2时,等号成立,所以|AB|+|DE|的最小值为18,此时|k2

|=2√2,k2=±2√2.14.(2024·福州模拟)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出,如图1,一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭

圆Γ与双曲线Ω构成,Γ与Ω的离心率之比为3∶4,现一光线从左焦点F1发出,依次经Ω与Γ反射,又回到了点F1,历时t1秒;若将装置中的Ω去掉,如图2,此光线从点F1发出,经Γ两次反射后又回到了点F1,历

时t2秒,则𝑡2𝑡1=________.答案:8【解析】由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a1①,|AF2|-|AF1|=2a2②,①-②得,|BF1|+|AF1|+|BF2|-|AF2|=|BF1|

+|AF1|+|BA|=2a1-2a2,即△ABF1的周长为2a1-2a2,由椭圆定义知△CDF1的周长为4a1,因为光线的速度相同,且双曲线与椭圆共焦点,所以𝑡2𝑡1=4𝑎12𝑎1-2𝑎2=21-𝑎2𝑎1=21-𝑒1𝑒2=21-34=8.【方法规律】

本题解答的关键是注意到光线的速度相同,且双曲线与椭圆共焦点,利用椭圆和双曲线的定义求解两个三角形的周长由此即可顺利得解.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15

.(13分)(2024·资阳模拟)已知☉O的圆心为坐标原点,☉O上的点到直线l:x+y-2√2=0的距离的最小值为1.(1)求☉O的方程;【解析】(1)由题意,☉O的圆心O(0,0)到直线l:x+y-2√2=0的距离d=|2√2|√12+12=2,设☉O的半径为r,则☉O上的点到直

线l距离的最小值为d-r=2-r,由2-r=1,解得r=1,所以☉O的方程为x2+y2=1.(2)过点P(4,2)作☉O的两条切线,切点分别为A,B.求四边形OAPB的面积.【解析】(2)由题可知,PA⊥OA,PB⊥OB,连接OP,则四边形OAPB的面积S=2S△POA=2×12×1×|PA|=|

PA|,又|OP|2=42+22=20,则|PA|=√|𝑂𝑃|2-|𝑂𝐴|2=√20-1=√19,所以四边形OAPB的面积S=√19.16.(15分)(2024·武汉模拟)已知点M(-2,2)在抛物线C:y2

=2px(p>0)的准线上,过点M作直线l与抛物线C交于A,B两点,斜率为2的直线与抛物线交于A,D两点.(1)求抛物线C的标准方程;【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-𝑝2,依题意,-𝑝2

=-2,解得p=4,所以抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)①求证:直线BD过定点N;②若△ABN的面积为S,且满足S≤20√5,求直线l斜率的取值范围.【解析】(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),

显然AB不垂直于y轴,设直线AB方程为x+2=m(y-2),由{𝑥+2=𝑚(𝑦-2),𝑦2=8𝑥,消去x得:y2-8my+16(m+1)=0,由Δ=64m2-64(m+1)>0,得m<1-√52或m>1

+√52,y1+y2=8m,y1y2=16(m+1),即y1+y2=12y1y2-8,直线AD的斜率kAD=𝑦3-𝑦1𝑥3-𝑥1=𝑦3-𝑦118𝑦32-18𝑦12=8𝑦3+𝑦1=2,

即y1+y3=4,同理直线BD的斜率kBD=8𝑦2+𝑦3,直线BD的方程为y-y2=8𝑦2+𝑦3(x-x2),整理得(y2+y3)y=8(x-x2)+y2(y2+y3),即(y2+y3)y=8x-8x2+𝑦22+y2y3,又𝑦

22=8x2,于是(y2+y3)y=8x+y2y3,由y1+y3=4及2y1+2y2=y1y2-16,得y2y3=2(y2+y3)-24,则(y2+y3)y=8x+2(y2+y3)-24,因此直线BD:(y2+

y3)(y-2)=8(x-3)过定点N(3,2),所以直线BD过定点N(3,2).②显然MN∥x轴,S△ABN=S△BNM-S△ANM=12|MN||y1-y2|=52|y1-y2|=52√64𝑚2-64(𝑚+1)=20√

𝑚2-𝑚-1≤20√5,则0<m2-m-1≤5,解得-2≤m<1-√52或1+√52<m≤3,而直线l斜率的k=1𝑚,则-√5+12<k≤-12或13≤k<√5-12,所以直线l斜率的取值范围是(-√5+12,-12]∪[13,√5-12).

17.(15分)(2024·新余模拟)如图,椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,已知椭圆C的离心率为2√23,直线√2x-2y-√6=0与圆O相切.(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)直线√2x-2y-

√6=0与圆O相切,则b=|√2×0-2×0-√6|√(√2)2+(-2)2=1,由椭圆的离心率e=𝑐𝑎=√1-𝑏2𝑎2=2√23,解得a2=9,椭圆的标准方程为𝑥29+y2=1;(2)椭圆C的上顶点为B,EF是圆O的一条直径,EF不与坐标轴重合,直线

BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P,Q,求△BPQ的面积的最大值.【解析】(2)由题意知直线BP,BQ的斜率存在且不为0,BP⊥BQ,不妨设直线BP的斜率为k(k>0),则直线BP的方程为y=kx+1.由{𝑦=𝑘𝑥+1𝑥2

9+𝑦2=1,得{𝑥=-18𝑘9𝑘2+1𝑦=1-9𝑘29𝑘2+1或{𝑥=0𝑦=1,所以P(-18𝑘9𝑘2+1,1-9𝑘29𝑘2+1).用-1𝑘代替k,得Q(18𝑘𝑘2+9,𝑘2-9𝑘2+

9),则|PB|=√(0+18𝑘9𝑘2+1)2+(1+9𝑘2-19𝑘2+1)2=18𝑘9𝑘2+1·√1+𝑘2,|BQ|=√(0-18𝑘𝑘2+9)2+(1+9-𝑘2𝑘2+9)2=189+𝑘2·√1+𝑘2,S△BPQ=12|PB|·|BQ|=1

2·18𝑘9𝑘2+1·√1+𝑘2·189+𝑘2·√1+𝑘2=162𝑘(1+𝑘2)(9+𝑘2)(1+9𝑘2)=162(𝑘+𝑘3)9𝑘4+82𝑘2+9=162(1𝑘+𝑘)9𝑘2+82+9𝑘2,设k+1𝑘=μ,则S△BPQ=162𝜇82+9(𝜇2-2)

=1629𝜇+64𝜇≤1622√9𝜇·64𝜇=278.当且仅当9μ=64𝜇,即k+1𝑘=μ=83,即k=4±√73时取等号,所以(S△BPQ)max=278.【加练备选】(2024·合肥模拟)已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2

𝑏2=1(a>b>0),离心率为√32,点(√3,12)在椭圆上.(1)求E的方程;【解析】(1)由题意𝑐𝑎=√32,3𝑎2+14𝑏2=1,解得a=2,b=1,则E的方程为𝑥24+y2=1.(2)过K(-1,0)作互相垂直的两条直线l1与l2,设l1交E于A,B两点,

l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.探究:△OMN与△KMN的面积之比是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.【解析】(2)△OMN与△KMN的面积之比为定值,定值为4,理由如下:设直线AB的方程:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),讨论:①

当m≠0,且m≠±1时,联立{𝑥=𝑚𝑦-1𝑥24+𝑦2=1,可得(m2+4)y2-2my-3=0,Δ=16m2+48>0,则y1+y2=2𝑚𝑚2+4,所以yM=𝑦1+𝑦22=𝑚𝑚2+4,xM=myM-1=m·𝑚𝑚2

+4-1=-4𝑚2+4,所以M(-4𝑚2+4,𝑚𝑚2+4),设直线CD的方程:x=-1𝑚y-1,同理可得N(-4𝑚24𝑚2+1,-𝑚4𝑚2+1).所以kMN=-𝑚4𝑚2+1-𝑚𝑚2+4-4�

�24𝑚2+1+4𝑚2+4=54×𝑚𝑚2-1(m≠0,且m≠±1),所以直线MN:y-𝑚𝑚2+4=54×𝑚𝑚2-1(x+4𝑚2+4),即y=𝑚𝑚2-1(54x+1),所以直线MN恒过定点T(-45,0);②当m

=±1时,不妨设直线l1:y=x+1;l2:y=-x-1,可发现MN⊥x轴,且MN过T(-45,0),③当m=0时,直线MN依然过T(-45,0),但无法形成三角形.综上,直线MN恒过点T(-45,0),设点O,K到直线MN的

距离分别是d1,d2,𝑆△𝑂𝑀𝑁𝑆△𝐾𝑀𝑁=12|𝑀𝑁|×𝑑112|𝑀𝑁|×𝑑2=𝑑1𝑑2=|𝑂𝑇||𝐾𝑇|=45∶15=4.18.(17分)(2023·新高考Ⅱ卷)在双曲线C中,O为坐标原点,左焦点为(-2√5,0),离心率为√5.(1)求C的方程;【

解析】(1)由题意c=2√5,e=√5=𝑐𝑎,则a=2,b2=16,双曲线C的方程为𝑥24-𝑦216=1.(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点B(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA

2交于P,证明:P在定直线上.【解析】(2)方法一:设过点B的直线为x=ty-4,M(x1,y1),N(x2,y2),联立双曲线得(4t2-1)y2-32ty+48=0,则y1+y2=32𝑡4𝑡2-1,y1y2=484𝑡2-1,设直线MA1:�

�-𝑦1𝑦1=𝑥-𝑥1𝑥1+2,设直线NA2:𝑦-𝑦2𝑦2=𝑥-𝑥2𝑥2-2,联立消去y得(𝑥-𝑥1𝑥1+2+1)y1=(𝑥-𝑥2𝑥2-2+1)y2,代入根与系数的关系得x=-1,即P在直线x=-1上.方法二:①当l⊥y轴时,不符合题意.②设直线

l:x=ty-4,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),联立方程组{𝑥=𝑡𝑦-4,𝑥24-𝑦216=1,则(4t2-1)y2-32ty+48=0,因为直线与双曲线的左支有两个交点,即{4𝑡2-1≠0,𝛥>0,𝑦1𝑦2<0

,则y1+y2=32𝑡4𝑡2-1,y1y2=484𝑡2-1,又因为MA1与NA2相交于点P,则{𝑦0𝑥0+2=𝑦1𝑥1+2,𝑦0𝑥0-2=𝑦2𝑥2-2,⇒𝑥0-2𝑥0+2=𝑦1(𝑥2-2)𝑦2(𝑥1+2)=𝑦1(𝑡𝑦2-6)𝑦2

(𝑡𝑦1-2)=𝑡𝑦1𝑦2-6𝑦1𝑡𝑦1𝑦2-2𝑦2=𝑡𝑦1𝑦2-6(𝑦1+𝑦2)+6𝑦2𝑡𝑦1𝑦2-2𝑦2=-3.即x0=-1,所以点P在定直线x=-1上.方法三:设过点B的直线为y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2),联立双曲线得(4-k2

)x2-8k2x-16-16k2=0,则x1+x2=8𝑘24-𝑘2,x1·x2=-16(1+𝑘2)4-𝑘2,所以x1·x2+52(x1+x2)=-4,即(x1+52)(x2+52)=94(*),设直线MA1:𝑦𝑦1=𝑥+2𝑥1+2,设直线NA2:𝑦𝑦2=

𝑥-2𝑥2-2,联立消去y得:(𝑥+2𝑥1+2)(x1+4)=(𝑥-2𝑥2-2)(x2+4),即𝑥+2𝑥-2=(𝑥1+2)(𝑥2+4)(𝑥1+4)(𝑥2-2),代入(*)式,化简得𝑥+2𝑥-2=(𝑥1+2)(𝑥2+4)(𝑥1+4)(𝑥2-2)

=(94𝑥2+10-12)(𝑥2+4)(94𝑥2+10+32)(𝑥2-2)=(-2𝑥2+4)(𝑥2+4)(6𝑥2+24)(𝑥2-2)=-13,解𝑥+2𝑥-2=-13,得x=-1,即P在定直线x=-1上.19.(17分)(2024·吉

安模拟)已知点A(4,7),集合S={(x,y)|𝑥216+𝑦212≤1},点P∈S,且对于S中任何异于P的点Q,都有·>0.(1)试判断点P关于椭圆𝑥216+𝑦212=1的位置关系,并说明理由

;【解析】(1)P在椭圆𝑥216+𝑦212=1上,理由如下:记C:𝑥216+𝑦212=1,若P不在C上,则在C内.因为4216+7212>1,所以A在C外,设线段PA与C有一交点Q1,此时和共线反向,·<0,不合题意,

因此P在C上.(2)求P的坐标;【解析】(2)·>0等价于·>·=.记在上的投影向量为,则条件等价于||||>,即||>||,这表明P是C上与A距离最小的点.设P(x0,y0),则3𝑥02+4𝑦02=48,=(4-x0)2+(7-y0)2.因为(ad-bc)2+(ac+bd)2

=(a2+b2)(c2+d2),故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),当且仅当ad=bc时取等号.所以(4-x0)2+(7-y0)2=15[(4-x0)2+14(14-2y0)2](1+4)≥15(18-

x0-2y0)2,又(x0+2y0)2≤(3𝑥02+4𝑦02)(13+1)=64,故-8≤x0+2y0≤8,故≥15×(18-8)2=20,当且仅当x0+2y0=8且2(4-x0)=1×(7-y0)且

3x0=2y0时取等号,解得x0=2,y0=3,故此时P(2,3).(3)设椭圆𝑥216+𝑦212=1的焦点为F1,F2,证明:∠APF1=∠APF2.[参考公式:(ad-bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2

)(c2+d2)]【解析】(3)因为A(4,7),P(2,3),设直线AP与x轴交于B(b,0),则7-34-2=3-02-𝑏,解得b=12.故B(12,0),则要证∠APF1=∠APF2即证∠BPF1=∠BPF2.又F1(-2,0),F2(2,0),故PF2⊥x轴,故|𝑃𝐹1|

|𝑃𝐹2|=|𝐵𝐹1||𝐵𝐹2|=53.在△PF1B和△PF2B中,由正弦定理,sin∠𝑃𝐵𝐹1sin∠𝐵𝑃𝐹1=sin∠𝑃𝐵𝐹2sin∠𝐵𝑃𝐹2,又∠PBF1和∠PBF2互补,所以sin∠B

PF1=sin∠BPF2,从而有∠BPF1=∠BPF2.所以∠APF1=∠APF2.