【文档说明】广东省六校2021届高三下学期第三次联考数学试题含答案.docx，共(17)页，603.308 KB，由小赞的店铺上传

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1广东省2021届六校第三次联考数学试题（满分150分。考试时间120分钟。）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效

。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2{|4},{|0},AxxBxx==则=B

A（）A.}20|{xxB.}2|{−xxC.}02|{−xxD.}40|{xx2.已知复数z满足)1()1(izi−=+，则复数z的模=z（）A.0B.1C.2D.23.做志愿者参与社区服务是学生参加社会公益活动的主要途径.某个星期日有4名学生志愿者随机平

均分配到A、B两个社区进行垃圾分类宣传活动，则其中甲乙两人都被分配到A社区的概率是（）A.21B.41C.61D.314.二项式62−xx展开式中常数项是（）A.B.C.D.5.使得“1x”成立的一个必要且不充分的条件是（）2A.B.C.11x

D.2x6.已知−−=2),2(20,sinlog)(2xxfxxxxf,则)(xf在()20，上的零点个数是（）A.3B.4C.5D.67.随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂。下表是近年来广东省的数据表

:用线性回归方程模型yabt=+拟合垃圾处理厂数量y与年份代号t的关系，用公式计算得,相关系数,,62081==iiy据此可估计2022年广东市辖区生活垃圾无害化处理厂数量为（）（结果四舍五入）A．118B.126C.129D.1348.已知抛

物线xy42−=的焦点为，过的直线与圆522=+yx交于NM,两点，则FNFM的值是（）A.4−B.5−C.4D.不确定的二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9

.已知空间中异面直线ba,所成的角为60，若过空间中某点A的直线与ba,所成的角都为，则（）A.满足直线有且只有1条B.满足的直线有且只有1条C.满足的直线l有且只有1条D.9030，310.已知函数)4co

s()4cos()(xxxf−+=，则（）A.)(xf是周期为的周期函数B.)(xf的值域是11，−C.将)(xf的图像向左平移4个单位长度后，可得一个奇函数的图像D.)(xf在20

，上单调递增11.若,20ab则（）A.aeebeeabba−+−+11B.bbeaaeab++C.bbaaab++lnlnD.bababa++sinsin12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十

”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,其前10项依次是,50,40,32,24,18,12,8,4,2,0,此数列记为na,其前n项的和记为nS，则（）A.20020=aB.42029=a

C.120019=SD.472030=S三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数xxxfcos2)(+=在点，2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_____.14.利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似右图所示的函数称为m型函数，写出一个

定义域为]2,2[−且值域4为]2,0[的m型函数是_____________.15.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD的四个直角三角形中，BD是RtBAD和RtBCD的斜

边，且所有直角三角形斜边长分别为5AD=，1314BCBD==，，它的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________.16.已知双曲线12222=−byaxE：的两焦点分别为21,FF，过右焦点2F的直线与双曲线E交于BA,两

点，若BFAF222=且1ABF为等腰三角形，则双曲线E的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在①242aa=,②423=−bb,③63=T这三个条件中任选一个

，补充在下面问题中，若问题中正整数k存在，求k的值；若问题中的正整数k不存在，说明理由.问题：已知等差数列na的前n项和为nS，各项为正的等比数列nb的前n项和为nT，2211==ST,23TS=,且_____________，是否存在正整数k使652TS

Tk成立?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）在ABC中,内角,,ABC的对边分别为,,abc，CbBcacossin3+=,点D为AB边上一点,22,7ADBDCD===.(1)求B;(2)求

ABC的面积.19.（12分）某企业办有甲乙两个工厂，为了解其工人的生产能力以及生产效益情况，现用分层抽样的方法，分别从甲乙两个工厂的工人中抽取100名、50名进行测评，并根据5项最重要的指标评分合计出每名工人的生产能力总分.由测评

可知，工人月生产效益与生产能5力密切相关，统计结果如下表：工人的生产能力总分测评结果统计如下：将生产能力总分落入相应组别的频率视为该工人对应生产能力的概率，假设每名工人生产能力相互独立.（1）若某工人生产能力总分不少于80分，则评定其为生产能手.现从甲工厂

随机选取一名工人，估计此工人是生产能手的概率；（2）随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，求X的分布列及数学期望；（3）该企业拟以月生产效益均值为标准对甲乙两个工厂的工人进行考察，并对生产效益相对较好的工厂工人进行奖励，

对生产效益较差的工厂工人进行技能培训，请依据抽测结果给出决策方案。20.（12分）如图，在四面体ABCD中，2,ABAD==2BCCDBD===，二面角CBDA−−是直二面角，O为BD的中点,点P为线段BC上一点，且BCOP⊥.（1）求证：⊥

BC平面AOP;（2）求平面AOP与平面ACD所成锐二面角的平面角的余弦值.生产能力总分(分)[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]月生产效益(元)1000015000200002500030000PODCBA621.（12分

）已知()().1ln1)(,)(++=+=+xxxgaxexfax（1）讨论)(xf的单调性;（2）若函数)()()(xgxfxF−=在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.22.（12分）已知),0,1(),2,2(BA−椭圆)0(1:2222=+ba

byaxC经过点A且焦距为4.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点的直线L与椭圆C交于NM,两点，求BNBM+的最小值；（3）右图是椭圆C旋转一定角度的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的位置，并在答卷的图中画出来,（不必说明

理由）.2021届六校第三次联考数学试题答案考试时间：120分钟满分150分一、单项选择题1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.B8.A二、多项选择题79.ACD10.AC11.ACD12.ABD三、填空题13.8214.)2(4

)(xxxf−=等15.314716.321333或部分详解：14.),22)(2(2)(−−=xxxxf或−+−−=.02),2(2,20),2(2)(xxxxxxxf或)2(4)(xxxf−=,....

其中之一均可.16.答：321333或有两种情况当AB＝AF1时，如左图，maAFmaBFmAFmBF22,2,2,1122+=+===33312114089444440coscos3,2222222222222121111==

===−++−+=+====aceacmccmmcmcmmcmAFFBFFmAFmBFmaAFAB当AB＝BF1时，如右图，maAFmaBFmAFmBF22,2,2,1122+=+===321370816444940coscos4,32222222221211

11====−++−+=+====aceaccaacacaacaAFFBFFmAFmBFmaBFAB四、解答题17.详解：8方案一：选①242aa=na是等差数列，其前n项和为nS，设其公差为d.111==Sa，dnd

naan)1(1)1(1−+=−+=1)1(231224=+=+=dddaa)1(21+==nnSnann...........................................................

.......................................4分等比数列nb的前n项和为nT，设其公比为q2211==ST,23TS=,46,22321211===+===bSbbTTbnnnqbbbbq221112====

−，()221111−=−−=+nnnqqbT............................................8分10,9,8*126)1(6222)1(2227665=+−+−kNkkkkkTSTk，所以存在正整数k使20212020+

kkTS,10,9,8=k..............................................10分方案二：选②423=−bb各项为正的等比数列nb的前n项和为nT，设其公比为0,0,qbqn.11111112222−−======nnnqqbbTb

ST,1,24224223−===−=−qqqqbb（舍去负的）nnb2=，()221111−=−−=+nnnqqbT.............................................................................

..4分na是等差数列，前n项和为nS，设其公差为d.111==Sa，dndnaan)1(1)1(1−+=−+=163321321323==+=+=++==dbbdaaaSTS)1(21+==

nnSnann...................................................................................................8分10,9,8*126)1(62265=

+kNkkkTSTk，所以存在整数k使20212020+kkTS,10,9,8=k..................................................10分9方案三：选③63=T各项为正的

等比数列nb的前n项和为nT，设其公比为0,0,qbqn.11111112222−−======nnnqqbbTbST,2,16222623213−===++=++=qqqqbbbT（舍去负的）2=nb，nnbTn21==.

....................................................................................4分na是等差数列，前n项和为nS，设其公差为d.111==Sa，dn

dnaan)1(1)1(1−+=−+=3143321321323==+=+=++==dbbdaaaSTS())5(61231+=+=nnSnann...........................................

...............................8分，36)5(3012)5(3110265++kkkkTSTk*),5()(Nkkkkf+=是单调递增的，且436)4(,24)3(===kff.所以存在唯一的正整数

4=k使652TSTk.......................................................10分18.详解:（1）已知CbBcacossin3+=，用正弦定理,2sinsinsinRCcBbAa===得:.

..................................................2分()分中，分分分6................................................................

...........633tancossin30sin),,0(,,sincossinsin35.............................................................sincoscossin4.............

.......................................).........sin(sinsin3...........................................

............cossinsinsin3sin====+=+=−=+=BBBBCCBAABCCBCBCBCBCBAACBBCA（2）在BCD中用余弦定理得BBDBCBDBCCDcos2222++

=..................8分,7,22===CDBDAD10分分10.........................................3200639.................................

..............................6cos21722==−−−+=BCBCBCBCBCBC又3=+=DBADAB分分12.....................................................2336sin33

22111.................................................................sin21===BABBCSABC19.详解：（1）根据所给甲工厂频率分布直方图可知，生产能力总分8

0—90的频率为0.02×10=0.2，生产能力总分90—100的频率为0.015×10=0.15，将测评生产能力总分落入各组频率视为概率，则从该工厂随机选取一名工人其生产能力总分超过80分概率是0.2+0.15=0.35，即他是生产能手的概率为0.35.......3分（

2）据甲厂频率分布直方图可知甲工厂工人在各组相应的频率如下表..................5分随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，则X的分布列：..........6分所以X的数学期望值E(X)=10000×0.1+

15000×0.25+20000×0.3+25000×0.2+30000×0.15=20250(元）.........................................8分（3）由（2）知

甲工厂工人月生产效益均值即数学期望E(X)=20250(元）根据频率分布直方图知乙工厂工人生产能力总分频率分布表：生产能力总分(分)[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.10.250

.30.20.15X(元）1000015000200002500030000概率0.10.250.30.20.15生产能力总分(分)[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]11由此可得乙工厂工人生

产效益Y的分布列：所以乙工厂工人月生产效益均值E(Y)=10000×0.04+15000×0.2+20000×0.4+25000×0.24+30000×0.12=21000（元）........................10分因为E(Y

)>E(X),所以推断乙工厂工人月均生产效益比甲的好,所以应对乙工厂工人进行奖励，对甲工厂工人进行技能培训.................12分20.详解：（1）证明：BDAB=,O为BD的中点BDAO⊥..................1分又因为直二面角CBDA−−即平面⊥ABD平

面BCD,平面ABD平面BDBCD=⊥AO平面BCD.....................................................2分BC平面BCDBCAO⊥....................

......................3分又因BCOP⊥,OAOOP=,OP平面AOP,AO平面AOP,⊥BC平面AOP.........................................

.............5分（2）连接OC2,2=====BDCDBCADAB，O为BD的中点BDAOBDCO⊥⊥,.由(1)⊥AO平面BCDCOAO⊥可以分别以OCODOA,,为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图。..........6分频率0.040.20.

40.240.12Y(元）1000015000200002500030000概率0.040.20.40.240.1212又2,2=====BDCDBCADAB3,1====OCODOBAO，)3,0,0(),0,1,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(CDBAO−..

..........................7分由(1)可知⊥BC平面AOPBC为平面AOP的一个法向量,()3,1,0=BC.......8分设平面ACD的一个法向量为),,(zyxn=，则==⊥⊥00ACnADnACnADn.........9

分()=+−=+−−=−=030)3,0,1(,0,1,1zxyxACAD,可取()1,3,3=n............10分设平面AOP与平面ACD所成锐二面角的平面角为，则nBCnBCnBC==,coscos.......................

...................11分()()()721133310133130222222=++++++=..............................12分21.详解：（1

）.,)('Rxaexfax+=+)('xf在R上单调递增.当,0)(',0xfa)(xf在()+−,上单调递增；当0a时,),ln(0)('aaxxf−+−==;)ln(0)(';)ln(0)('aaxxfaaxxf−+−−+−

)(xf在())ln(,aa−+−−上单调递减；在()+−+−),ln(aa上单调递增........3分（2）()()1ln1)(++−+=+xxaxexFax定义域是),1(+−；函数)(xF在定义域上单调递增的充要条件是)1(0)('−xxF恒成立..........4分

法一：)1(01)1ln()('−−+−+=+xxaexFax恒成立.................5分01)0('−+=aeFa令,1)(−+=xextx则)(01)('xtextx+=在R

单调递增，1300)(1,0)0(=−+=aataeta........................................7分当0a时，()分使存在唯一的；时；当时当上单调递增在记8..............................

................,.........011)(')(')('1.),1()('011)('1),(11)('),(')(00020=+−=+→+→−→−→+−++=−=

+−==+++xexGxxGxxGxxGxexhxxhxexGxFxGaxaxax事实上，取aex111+−=，aaaxaexeexea=+−+11,,01,11001110)11(')('1+−=aeGxG又'(0)10aGe=−,0)(',0,1100=

+−xGexa使存在唯一的()1ln,110)('00000+−=++==+xaxxexGax..................9分;0)(')(',;0)(')(',10000==−xGxGxxxGxGxx当当)(xG在()0,1x

−单调递减，在()+,0x单调递增.()()()0)('0.02221112221111111)1ln(10................................................................)........

.()()('00000000minmin0=+−+++−+++=−++++=−+−+===+xFaaaxxaxxaxaxxaexGxGxFax分综上可知0a为所求.......................................

............12分法二：)1ln()1ln(1)()1(01)1ln()(')1ln(++=+++++−−+−+=+++xexxaxexxaexFxaxax14max)()1ln()(.)1ln

())1(ln()()(,01)(',)(xSaxxxSaxaxxTaxTRtTetTtetTtt−+=+++++=+=恒成立上单调递增在令00)0()(.),0()0,1()(0)(',0;0)('01)1(111

1)('max==+−−−+−=−+=aSxSxSxSxxSxxxxxxS上单调递减上单调递增，在在时时法三：先证明01)(−−=xexhx，证明如下：0)()(0)0()(.)(0;)(0;0)('0;0)('0;0)(

'01)('minmin=====−=xhxhhxhxhxxhxxhxxhxxhxexhx单调递增时单调递减时时时时.0)1ln()1ln(ln011+−+++xxxexxexx即时()恒成

立则若)1(022)1ln(1)1ln(11)1ln()(',0−++−=−+−+++−+−+=+xaaxxxaaxxaexFaax0111ln)0('1,0+−=−−+=aeaeFeaaaa则若恒成

立时当且仅当0)('0xFa22.详解：（1）依条件知，椭圆C的焦点在x轴上，长半轴为a，短半轴为b，且焦距42=c.2=c，椭圆C的两焦点分别为)0,2(),0,2(21FF−.椭圆C经过点A()()()()分的方程是椭

圆3................................................148:,2,22.240222022222222222221=+=−===−+−−+−+−−−=+=yxCcabaAFAFa（2）法一：设()()2211,,,yxNyxM，线段M

N的中点为),(00yxP,则BPBNBM2=+...4分15①当直线L不垂直于x轴时，设直线L的斜率为k,则直线L方程为)2(−=xky,21021012122,2,yyyxxxxxyyk+=+=−−=，0000121221212122212222222121

204282048048148.148yxkkyxxxyyyyxxyyxxyxyx−==+=−−+++=−+−=+=+........................6分又中点),(00yxP在直线L（即MN）上，所以)2(00−=xky

，.......................................7分②当直线L垂直于x轴时，L过2F，此时)0,2(),2,2(),2,2(PNM−也满足上式.()()分的最小值为有最小值时，当9......................

.......................................................................2,2212120022.21222)1(2)0()1(2220

000202020020202020BNBMxxxxxyxxxxyxBPBNBM++−=+−=+−=+−+−=−+−==+（3）作图方案步骤如下：①先做两组平行的弦AB//CD，AE//DG;②再分

别作出四弦的中点M，N，P，Q；③再过每组平行弦中点作直线MN,PQ；④作直线MN,PQ的交点O，O即为所求.如图示..........12分理由如下（不必写出），设O为对称中心，则OPQMNPQOMNOkkkkabkkabkkabxxyyxxyybyyaxxbyaxbyaxONOMCDA

BCDONABOMBABABABABABABBAA===−=−=−=−−++=−+−=+=+同理，同理..0,1,122222222222222222222其他方案只要合理即可.02020000022)2(2xxyxyxy

+−=−−=16法二：设()()2211,,,yxNyxM，线段MN的中点为),(00yxP()()()()20202212212222yxyyxxBNBM+−=++−+=+.当直线L垂直于y轴时，L即x轴，),0,22(),0,22

(−NM2=+BNBM当直线L垂直于x轴时，此时),2,2(),2,2(,2−⊥NMBFMN2=+BNBM.当直线L不垂直于轴时，直线L过)0,2(2F，可设直线L方程为,2+=tyx由()22240442

.1482202212222+−=+−=+=−++=++=ttyttyytyytyxtyx()()()()()()()22.24224284244002022121212121202222121−−=+−=+−++−=++=+=++−=++=+xxyyyxxxxxx

tyytxtttyytxx()()().212,221222)1(44142002102000202020020有最小值时当得由BNBMxxxxxxxyxBNBMxy+=+=+−=−−−=+−=+法三：()().284444,844.2

844244444124441244422422424222222222222422442222221221有最小值有最大值有最小值时取等号，且当BNBMtttttttttttttttttttttty

yyytBNBM+++++==+++++−=++−=+++=+−+++−=++−++=+17