【文档说明】北京市门头沟区2021届高三下学期3月一模考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，599.359 KB，由小赞的店铺上传

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北京市门头沟区2021届高三一模数学试题数学2021.3考生须知1.本试卷共5页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。2.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3.请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作

答。4.考试时间120分钟，试卷满分150分。一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数z＝i（1－i）的模|z|＝（A）2（B）2（C）1（D）2.集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2},则A∩B＝（A）R（B）[

－2,＋∞）（C）（0,2]（D）（0,＋∞）3.二项式522xx−展开式中，x4的系数是（A）40（B）10（C）40（D）－104.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（A）2（B）22（C）4（D）235.数

列{an}中，a1＝1,an＋1＝－2an，数列{bn}满足bn＝|an|，则数列{bn}的前n项和Sn＝（A）1(2)3n−−（B）123n+（C）21n−（D）(2)1n−−6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米

，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（A）10分钟（B）12分钟（C）14分钟（D）16分钟7."ln(x＋1)＜0"的一个必要而不充分条件是（A）－1＜

x＜1e−（B）x＞0（C）－1＜x＜0（D）x＜08.在平面直角坐标系xOy中，角a与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若25cos5=，则cos（a－β）＝（A）35−（B）35（C）1（D）349.已知抛物线

C:y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝（A）1（B）2（C）9（D）1810.在平面直角坐标系中，从点P（－3,2）向直线kx－y－2－k＝0作垂线，垂足为M，则点Q（2,4）与点M的距离|MQ|的最小值是（A）

522−（B）42（C）62（D）17二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。11.在△ABC中，∠B＝23，AB＝1，BC＝2，则AC的长为.12.在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是该正方体表

面及其内部的一动点，且BM//平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是.13.已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（2,3），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C,该条件的序号是；满足该条件的双曲线C的标准方程是.条件①:双曲线C的离心率e＝2；条件②:双曲线C的渐近线方程为y＝3x

；条件⑧:双曲线C的实轴长为2.14.函数23()sincos3cos(0)2fxxxx=+−在区间,62上单调，且062f+=，则的最小值为_________.15.正

△ABC的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，AMAB=，ANAC=，BDDC=.给出下列四个结论：①1133AOABAC=+②若2ANNC=，则14ADNC=−③11+不是定值，与直线1的位置

有关④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为49.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题共12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家

口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人

数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀。（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少?（I

I）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望。17.（本小题共15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面4BCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD,∠ABC3=，E是PC上任一点，AC∩BD＝O.（I）求证：平面EBD

⊥平面PAC；（II）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.18.（本小题共13分）己知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，满足b2＝12,b5＝30.再

从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求解下列问题：（I）求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn；（II）若对任意n∈N*不等式kSn≥bn恒成立，求k的取值范围.条件①22nnnaaS+=条件②a1＝9

，当n≥2，a2＝2，an+1＝an＋2注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。19.（本小题共15分）曲线C上任一点M(x,y)到点F1(-1,0)，F2(-1,0)距离之和为22，点00(,)Pxy是曲线C上一点，直线l过点P且与直线00220xxyy+−=垂直

，直线l与x轴交于点Q.（I）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点00(,)Pxy的坐标表示）；（II）比较12PFPF与12QFQF的大小，并证明你的结论.20.（本小题共15分）已知函数21()2xfxeax=−()aR.（I）若曲线

y＝f(x)在（0,＋∞）上单调递增，求a的取值范围；（II）若f(x)在区闻（0,＋∞）上存在极大值M，证明：M＜2a.21.（本小题满分15分）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①{(,)|,}DabaAbA；②,(,)aAaaD；③,,abA，若(,

)abD且(,)baD，则a＝b；④,,abcA，若(,)abD且(,)bcD，则(,)acD，则称集合D为A的一个偏序关系。（I）设A＝{1,2,3}，判断集合D＝{(1,1),(1,2)

(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（II）证明：R≤＝{(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系：（III）设E为集合A的一个偏序关系，a,b∈A.若存在c∈A

,使得（c,a）∈E,（c,b）∈E，且dA，若(,)daE，(d,b)∈E，一定有(d,c)∈E，则称c是a和b的交，记为c＝a∧b.证明：对A中的两个给定元素a,b,若a∧b存在，则一定唯一.北京市门头沟区20

21届高三一模数学试题参考答案一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.解答：答案选A.211i1=+=+=zz2.解答：答案选C.3.解答：由通项公式得：24310)2()2()(31055251=

=−−=−=−−−+rrxCxxCTrrrrrrrr含有4x的系数是40)2(225=−C，答案选A.4.解：答案D.根据直观图不难得出最长的棱长为32222222=++5.解答：数列}{nb为等比数列，2,11==qb，数列}{nb的前n项和122121

−=−−=nnnS答案选C.6.解：答案B.法一：角速度为9182=，22)1234(44=−−=OC，3π=BOC，最佳观赏期的圆心角为3π43π2π2=−，在运行的一圈里最佳观赏时长为129π3π4=法二：角速度为9182=，点P到从最下端开

始运动，运行中到地面距离为)180(56)29sin(44)(+−=tttf1536729634)(−−tttf，最佳观赏期的时长为12分钟.7.解答：答案为D.设"ln(1)

0"x+的解集为}01{−=xxM，它的必要条件的集合为N，则M是N的真子集.8.解答：答案B.由题意得：sinsin,coscos−==，代入得：2223cos()cossin2cos15−=−=−=，快速解法（口算的水平）：由三角函数定义、二倍角公式可得

531cos2)cos(,54cos22=−=−=9.解：由题意可知，当B在焦点F的右侧时，2p)2p3(212p32p3,2p3=+=−−=+=FDAF当B在焦点F的左侧时，同理可得18P=，此时点B在x轴的负

半轴，不合题意.10.解：答案A.直线02=−−−kykx过定点)2,1(−N，可知点M是在以PN为直径的圆8)1(:22=++yxC上，5)04()12(22=−++=QC，可得：225min−=MQ，答案为A.二、填空题（本大题共5小题，每小题

5分，满分25分.）11.由余弦定理得：7=AC12.解：答案为32.平面11CBA平行平面1ACD，所以点M的轨迹是BCA11三角形及其内部.所以11ABC△的面积为32)22(432==S13.解：①③不能唯一确定双曲线C，②能唯一确定双曲线C，设双曲线为=−322yx

，点)3,2(P代入得：13122=−=yx注：第一空2分，第二空3分.14.解2313π()sincos3cossin2cos2sin(2)2223fxxxxxxx=+−=+=+由题意得：3π=x是它的一个称

中心，ππ2π23133kk+==−，Zk最小值为1.15.其中所有正确结论的序号是①②④.解：①211()()323AGABACABAC=+=+，可得①正确41)()(21−=++=

ANBAACABBNAD，显然②正确③11,33AMABANACAOAMAN===+，又因为，NMO,,三点共线所以，11111333+=+=是定值，可得③不正确④设11,3AMABANAC==+=，由

均值不等得49AMNABCAMANSSABAC==,由③得：94311=+，当且仅当32==时，④正确.本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分.三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明

、演算步骤或证明）16.解：（Ⅰ）设恰好2名学生都是优秀这一事件为A…………………………1分953)(22024==CCAP………………………………………………………………2分注：如果没有设，给出了答也给1分（Ⅱ）设每名同学为优秀这一事件为B，由题意可得51204)(==B

P……2分X可取0，1，2………………………………………………………………1分251)51()2(,258)511(51)1(,2516)511()0(22212202====−===−==CXPCXPCXP…………………………

…………………………………………………………3分X012P2516258251……………………………………………………………………………………1分52512==EX……………………………………………………………………2分17.解：（Ⅰ）PAABCDPABD⊥⊥平

面（1）…………………………………1分底面ABCD菱形，可得ACBD⊥（2）………………………………………1分又PAACA=由（1），（2）可得，PACBD平面⊥…………………………………………2分EBDBD平面，平面EBD⊥平面PAC………2分（Ⅱ）若E是PC的中点，连结OE，则ABCDOE

PAOE平面⊥//……1分所以，OEOCOB,,两两垂直，建立如图所示的坐标系………1分不妨设2AB=，则)1,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,3(ECDB−…2分设平面EBC的法向量为),,(zyxn=→，)3,3,1(0,0===→→→→→nBCnBEn…1

分直线DE的方向向量2(3,0,1)n→=…………………………………………1分721,cos212121==→→→→→→nnnnnn……………………………………2分直线ED与平面EBC所成角的正弦值为721…………………………1分18.选择①解：（Ⅰ）得：当1=

n时，11=a………………………1分当2n时，11212−−−=+nnnSaa（1）nnnSaa22=+（2）两式相减得：1212−−+=−nnnnaaaa……………………………………………………………2分而0na，可得：11=−−nnaa

，数列}{na为等差数列……………………1分，nnan=−+=1)1(1…………………………………………………………1分(1)2nnnS+=……………………………………………………………………1分（Ⅱ）设1(1)nbbnd=+−，

2512,30bb==，代入得：6nbn=…………2分由nnkSb得：1212(1)1=++nknnn………………………………………1分设121=+ncn，则{}nc是递减数列……………………………………2分所以，当11262==c，nc达到最大…1分

所以，k的取值范围为[6,)+………………………………………1分选择②解：（Ⅰ）当2n≥，1122nnnnaaaa++=+−=，…………………………………1分当2n≥，2(2)222nnaanan=+−=−……………………………1分所以，91222nn

ann==−………………1分212(1)(222)992nnnnSaaann−+−=+++=+=−+………2分（Ⅱ）设1(1)nbbnd=+−，2512,30bb==，代入得：6nbn=…………2分由nnkSb得：

269nknn−+………………2分设26666996151nncnnnn===−+−+−，65k………………………3分综上所述，k的取值范围6[,)5+……………………………1分19.解：（Ⅰ）由题意可知，曲线C是焦点在x轴上的椭

圆，1=c，2=a，……2分曲线C的方程为：2212xy+=……………………………………………2分当00y=时，直线l与x轴重合，不合题意当00x=时，直线l与y轴重合，点Q是原点，(0,0)Q………………………1分当000,0xy时，由题意得：002lykx=，直线l的方程：00002

0yxxyxy−−=…2分得0(,0)2xQ……………………………………………………………………1分综上所述，点0(,0)2xQ…………………………………………………………1分（Ⅱ）点00(,)Pxy满足方程：220012xy+=………………1分2200122200

(1)(1)xyPFPFxy++=−+………………………………………………1分将220012xy=−代入整理得：2200001222000012(1)2212(1)22xxyxPFPFxxyx++++===−

−+−………2分001020122212xxQFxQFx++==−−……………………………………………………1分所以，12PFPF=12QFQF…………………………………………………………1分20.解：（Ⅰ）axxfx−=e)(/……………………

……………………1分由题意得：xaaxxfxxe0e)(/−=………………………………1分设xxgxe)(=，求导得：2/e)1()(xxxgx−=………………………………1分)(xg在区间)1,0(上减，在区间),1(+上增，)(xg的最小值为e)1(=g……1

分所以，ea………………………………………………………………1分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当ea时，函数)(xf在),0(+上递增，无极大值……1分所以，ea………………………………………………………………………1分设axxfxhx−==e)()(

/，则axaxhxln0e)(/==−=…………………………1分)(/xf在)ln,0(a上减，在),(ln+a上增，)(/xf的最小值0)ln1()(ln/−=aaaf…1分而01)0(/=f，0e

)1(/−=af，)ln2()(ln2/aaaaf−=，设e)(ln2)(−=xxxxt，求导得：02)(/−=xxxt02e)e()(−=txt，所以，0)ln2()(ln2/−=aaaaf…2分由零点存在定理得：)(/

xf在)ln,0(a，),(ln+a上分别有一个零点21,xx，即11/10)(axexfx==，22/20)(axexfx==，且101x……1分)(xf在),0(1x上增，在),(21xx减，在),(2+x上增，)(xf极大值为Mxf=)(1…1

分)2(212121)(112112111xaxaxaxaxexfMx−=−=−==，由匀值不等式得，2aM…2分21.解：（Ⅰ）集合D满足①②③，但不满足④，因为DD)3,2(,)2,1(由题意D)3,

1(，而D)3,1(，所以不满足④，集合D不是集合A的偏序关系………2分)}3,3),2,2(),2,1(),1,1{(（=D（开放性）……………………………………2分注：（Ⅰ）如果只给出结果，扣1分（Ⅱ）证：{(,)|,,}RabaRbbRa=显然满足①②…………1分baD

ba),(，且abDab),(，则ba=，满足条件③……1分,,abcR，若(,)abR且(,)bcR，则,abbc，所以ac，所以(,)acR，满足条件④…2分综上所述，{(,)|,,}RabaRb

bRa=是实数集R的一个偏序关系…1分（Ⅲ）反证法。假设对A中的两个给定元素ba,，且ab存在，但不唯一。设1cab=，2cab=，且12cc则1(,)caE，1(,)cbE，2(,)caE，2(,)cbE，其中E为集合A的一个偏序关系。……………………………2

分且dA，若(,)daE，(,)dbE，一定有1(,)dcE，所以21(,)ccE，…………………………………………………………………………………2分同理12(,)ccE，则21cc=，与12cc矛盾。………………………………1分所以，对A中的两个

给定元素ba,，若ab存在，则一定唯一。……1分