【文档说明】《精准解析》安徽省名校联盟2023届高三下学期开学模拟考试数学试题（解析版）.docx，共(29)页，1.311 MB，由小赞的店铺上传

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2023届高三年级模拟考试数学注意事项；1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号，座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再

写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,4,5,1,3,4,4,5UAB===，则()

UAB=ð（）．A.{3}B.{1，3}C.{3，4}D.{1，3，4}【答案】B【解析】【分析】先求出集合B的补集，再求()UABð【详解】解：因为1,2,3,4,5U=，4,5B=，所以

1,2,3UB=ð，因为1,3,4A=，所以()1,3UAB=ð，故选：B.2.已知i为虚数单位，则复数()()1i2i−−=（）A.13i−−B.13i−+C.13i−D.13i+【答案】C【解析】【

分析】根据复数乘法的运算性质进行求解即可【详解】()()1i2i2i2i113i−−=−−−=−，故选：C3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝2π3，点D在线段BC上，且3ACDABDSS=，则ABAD的值为（）A.72B.52C.32D.12−【答

案】B【解析】【分析】根据3ACDABDSS=确定3CDBD=，从而可得3144ADABAC=+，从而用向量数量积的运算律即可求解.【详解】设等腰△ABC在BC边上的高为h，因为3ACDABDSS=，所以11322CDhBDh=，所以3CD

BD=,所以1113144444ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，所以231314444ABADABABACABABAC=+=+2315cos442ABABACBAC=+

=.故选:B.4.古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋

转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即Vsl=（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形ABCD，已知,,4,2ADBCABA

DADBC⊥==，则重心G到AB的距离为（）A.149B.43C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意，用式子分别表示出圆台体积、梯形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求解答案.【详解】直角梯形绕AB旋转一周所得的圆台的体积为()128π16π4π8π33hVh=++=；梯形ABC

D的面积()14232shh=+=，故记重心G到AB的距离为h，则()28π2π33hhh=，则149h=，故选：A5.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的焦点关于渐近线的对

称点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（）A.2B.52C.5D.2【答案】C【解析】【分析】根据对称性的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合双曲线的定义及双曲线的离心率的公式即可求解.【详解】1F关于渐近线OM的对称点P在双曲线上，如图

所示，则12OPOFOF==.所以21,PFPFOM⊥是12FFP的中位线，所以2//OMPF,1OMMF⊥.所以()1,0Fc−到渐近线0bxay+=的距离为()220bcabcdbcba−+===+，即1MFb=，在1RtFOM中，1OFc=，1MFb=，所以222211OMO

FMFcba=−=−=，进而1FMMObaa−=−=,所以离心率2215cbeaa==+=.故选：C.6.已知数列na满足1212nnnaaa++=−，1212,4aa=−=,则na的前n项积的最大值为（）

A.14B.12C.1D.4【答案】C【解析】【分析】先通过递推关系推出数列的周期为3，然后3个数为一组，分别计算33132,,kkkTTT++的表达式*kN后进行研究.【详解】由1212nnnaaa++=−可知，*nN，0na，亦可得：12312nn

naaa+++=−，两式相除得：31nnaa+=，即3nnaa+=，所以数列na是以3为周期的周期数列，由1212,4aa=−=得：312112aaa=−=.记数列na的前n项积为nT，结合数列的周期性，当*kN，则31231()2kkkTaaa==−，记12kkb

=−，为了让kb越大，显然需考虑k为偶数，令*2()ktt=N，结合指数函数的单调性，则2111112444ttkb=−==，即314kT；类似的3112341

1()22122kkkTaaaa+==−−−−=，12321234511111()22224kkkkTaaaaa++==−−=−−=.综上所述，na的前n项积的最大

值为1.故选：C.7.若函数()fx在其定义域内存在实数x满足()()fxfx−=−，则称函数()fx为“局部奇函数”.知函数()933xxfxm=−−是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A.22,3−

B.3,3−C.(,22−D.)2,−+【答案】D【解析】【分析】根据题意得()()fxfx−=−有解，即933(933)xxxxmm−−−−=−−−有解，利用换元法讨论二次函数在给定区间有解即可.【详解】根据“局部奇函数”定义知：()()fxfx−

=−有解，即方程933(933)xxxxmm−−−−=−−−有解，则99(33)60xxxxm−−+−+−=即2(33)(33)80xxxxm−−+−+−=有解；设33xxt−=+，则2t（当且仅当0x=时取等号），方程等价于280tmt−

−=在2t时有解，8mtt=−2t时有解；8ytt=−在)2,+上单调递增，82,2tmt−−−，即实数m的取值范围为)2,−+.故选D.8.如图，在三棱锥111AABC−中，1AA⊥平面111ABC，11190ABC=，11111222ABAABC==

=，P为线段1AB的中点，,MN分别为线段1AC和线段11BC上任意一点，则5PMMN+的最小值为（）在A.352B.52C.5D.2【答案】C【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理可得111AAAB⊥，又11190ABC=可得11BC⊥平面11AA

B，所以111BCAB⊥.再根据三角形面积相等可得出5PMMN+的表达式即可确定其最小值。【详解】根据题意1AA⊥平面111ABC可知，111111,AAABAABC⊥⊥，又11111222ABAABC===可得2112115AAA

ABB==+；由11190ABC=可知，1111ABBC⊥，所以可得11BC⊥平面11AAB，即111BCAB⊥；在11ABC△中，11155122ABCS==，111sin15sin522AMBMPBSPMMPBPM==，1111sin11sin22MBCMNCSMNMN

CMN==又11111ABCAMBMBCSSS=+，即11sinsin55222MPBMNCPMMN=+所以1155sinsinPMMPBMNMNC=+，由11sin1,sin1MPBMNC得1155sinsin5PMMPBMNMNCPMMN

=++，所以55PMMN+，当且仅当11sin1,sin1MPBMNC==时等号成立，即1190,90MPBMNC==时，此时,MN分别为线段1AC和线段11BC的中点，5PMMN+取得最小值5；综上可知，5PMMN+的最小值为5

.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0ab，则下列说法正确的是（）A.33bbaa++B.3223abaabb++C.2aabb−+D.lg

lglg22abab++【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A，因为()()330,033babbabaaaa−+−=++，所以33bbaa++，故A错误；对于B，因为0ab，所

以22ab，所以()()()()()2223223320232323baabbaababaabbabbabb−+−++−==+++，即3223abaabb++，故B正确；对于C，因为0ab，所以,abaab−，所以2

aabb−+，故C错误；对于D，因为0ab，所以lglglglg22ababab++=，故D正确.故选：BD.10.已知函数()3sincos(03)fxxx=+满足()π2fxfx+=−，其图象向右平移()*Nss

个单位后得到函数()ygx=的图象，且()ygx=在ππ,66−上单调递减，则（）A.1=B.函数()fx的图象关于5π,012对称C.s可以等于5D.s的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】对于A，先由()π2fxfx+=−推得π是()fx的一个周期

，再利用辅助角公式化简()fx，从而得到2k=，由此得解；对于B，利用代入检验法即可；对于C，利用正弦函数的单调性，结合数轴法得到s关于k的不等式组，结合*Ns与Zk即可得到s的一个取值为5，由此判断即可；对于D，结合选项C中的结论，

分析k的取值范围即可求得s的最小值.【详解】对于A，因为()π2fxfx+=−，所以()()ππ2fxfxfx+=−+=，则π是()fx的一个周期，因为()π3sincos2sin6fx

xxx=+=+，所以2πT=是()fx的最小正周期，故()2ππZkk=，则2k=，又03，故2=，故A错误；对于B，由选项A得()π2sin26fxx=+，所以5ππ2sin2sinπ065π162f=+

==，故5π,012是()fx的一个对称中心，故B正确；对于C，()fx的图象向右平移()*Nss个单位后得到函数()()π2sin26gxxs=−+的图象，则()π2sin226gxxs=+

−，因为()gx在ππ,66−上单调递减，所以()πππ222π662Zππ3π222π662skksk−+−++−+，解得()ππππZ23kskk−−−−，当2k=−时，3π5π23

s，因为*Ns，所以5s=，故C正确；对于D，因为*Ns，所以ππ03k−−，则13k−，又Zk，故1k−，当1k=−时，π2π23s，可知min2s=，故D正确.故选：BCD.11.已知O为坐标原点，点F为抛物线2:4

Cyx=的焦点，点()4,4P，直线l：1xmy=+交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）A.1FAB.存在实数m，使得π2AOBC.若2AFBF=，则24m=D.若直线PA与PB的倾斜角互

补，则2m=−【答案】CD【解析】【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可知1FA可判断A错误；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，π2AOB恒成立，所以B错误；根据2AFBF=可知A，B两点的纵坐

标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得24m=，即C正确；由直线PA与PB的倾斜角互补，可知0PAPBkk+=，利用韦达定理联立方程即可求出2m=−，即D正确.【详解】由题意可知，抛物线焦点为(1,0)F，准线方程

为=1x−，直线1xmy=+恒过(1,0)F，如下图所示：设1122(,),(,)AxyBxy，作1AA垂直于准线=1x−，垂足为1A，根据抛物线定义可知，111AAFAx==+，易知10x，所以1

11FAx=+，但当1FA=时，此时A与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此1FA，所以1FA>，即A错误；联立直线1xmy=+和抛物线2:4Cyx=方程得2440ymy−−=；所以124yy=−，22121

2144yyxx==，此时1212cos30OAOBOAOBAOBxxyy==+=−<，所以cos0AOB，即π2AOB，所以不存在实数m，使得π2AOB，故B错误；若AF＝2FB，由

几何关系可得122yy=−，结合124yy=−，可得22y=或22y=−，即1(,2)2B或1(,2)2B−，将B点坐标代入直线方程可得24m=，所以C正确；若直线PA与PB的倾斜角互补，则0PAPBkk+=

，即121244044yyxx−−+=−−，整理得12122(43)()240myymyy−+++=，代入124yy=−，124yym+=解得2m=−或34m=，当34m=时，直线过点()4,4P，A与P点重合，不符合题意，所以2m=−；即D正确.故选：CD12.已知定义在R上的

函数()fx的图像连续不间断，当0x时，()()121fxfx+=−，且当0x时，()()110fxfx++−，则下列说法正确的是（）A.()10f=B.()fx在(,1−上单调递增C.若()()1212,xx

fxfx，则122xx+D.若12,xx是()()cosπgxfxx=−在区间()0,2内的两个零点，且12xx，则()()2112fxfx【答案】ABD【解析】【分析】A选项通过赋值法令0x=可以解决，B选项对()()1

21fxfx+=−两边同时求导，结合()()110fxfx++−以及函数图像连续不断的性质进行判断，C选项分12,xx和1的大小关系，分情况进行讨论，D选项先说明()()12fxfx，在结合题目条件说明另一个不等号是否成立的问题.【详解】对于A，在()()121fxfx+=−中令0x=

，则()()10210ff+=−，所以()10f=，故A正确；对于B，当0x时，()()121fxfx+=−，对()()121fxfx+=−两边求导，则()()()()112112fxfxfx+=−=−−−，所以0x时，()

()()0111fxfxfx−++−−=，故(1)0fx−，而0x时11x−，即()fx在(),1−上单调递增，注意到()fx图像连续不间断，故也有()fx在(,1−上单调递增，故B正确；对于C，由B知，()fx在(,1−上单调递增，()

()()()112112fxfxfx+=−=−−−，故当0x时，()()2011fxfx=−+−，即()fx在()1,+上单调递减.由()()1212,xxfxfx知12,xx不可能均大于等于1，否则211xx，则()()12fxfx，这与条件矛盾，舍去.

①若121xx，则()()12fxfx，满足条件，此时，122xx+；，②若121xx<<，则221x−，由()()121fxfx+=−，取21xx=−，则()()2222fxfx−=，则的()

()()222022(1)fxffxfx−=−−=所以()()()()221222fxfxfxfx−−，而121,21xx−，所以122xx−，即122xx+，故C错误；对于D，由()fx在(,1−上单调

递增，()1,+上单调递减，知()()10fxf=，注意到11330,(1)(1)110,(1)02222gfgfgff==+===，根据零点存在定理，所以121

3,1,1,22xx，若()()12fxfx，根据C选项，则122xx+，则()()()111222cosπcosπcosπ*cosπfxxxxfxx==，由()12122ππ2xxxx−−，()

12πππ2π2xx−，根据余弦函数单调性，()122cosππ2cosπxxx=−，与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211fxfxfxfx，在0x时，()()121fxf

x+=−中，令()()111122xxfxfx=−−=，而由122122xxxx+−，由2112xx−，()fx在()1,+上单调递减，所以()()()()212122fxfxfxfx−，所以()(

)212fxfx，于是()()2112fxfx，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆222:(0)Cxyrr+=，若过定点()1,1P有且仅有一条直线被圆C截得弦长为2，则r可以是__________．（只需要写出其中一个

值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）【答案】1或3（写出其中之一即可）【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系可得，当弦长为直径时或者弦长最短时满足题意，利用弦长公式即可计算得出r的值.【详解】根据直线和圆的位置关系可知，若过定点()1,1P有且仅有一条直线被圆C截得弦长

为2，则该弦的长为直径或者此时弦长最短；当该弦长为直径时，即22r=，得1r=；当该弦长最短时如下图所示：此时2OP=，弦长2AB=，所以1PB=，半径213rOB==+=；故答案为：1或3（写出其中之一即可）14.已知在四面体VABC−中，3,2,4VAVBVCABACB=====，则该四

面体外接球的表面积为__________.【答案】92##9π2【解析】【分析】先判断出V在平面ABC的射影为三角形ABC的外心,求出四面体外接球的半径，即可求出四面体外接球的表面积.【详解】3VAVBVCV===在平面ABC的射影为三角形A

BC的外心.又π2,4ABACB==，所以由正弦定理得：三角形ABC的外接圆的半径21π2sin4r==；设四面体外接球的半径为()22,21RRR−=−.解得：324R=.所以外接球的表面积为22329π4π4π(

)42R==.故答案为：9π2.15.已知函数()()243,0,23,0xxxfxgxkxxx−+==++，若函数()()()hxfxgx=−的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是__________

.【答案】22,3−【解析】【分析】易得直线2ykx=+过定点()0,2P，函数()hx过四个象限等价于()fx与()gx在y轴的左右两边有异号交点，根据导数的几何意义求函数()2430yxxx

=−+的切线方程，求出切点，结合图象即可得出答案.【详解】解：直线2ykx=+过定点()0,2P，函数()hx过四个象限等价于()fx与()gx在y轴的左右两边有异号交点，过()0,2P作()243

0yxxx=−+的切线，设切点为()2000,43Mxxx−+，024,24yxkx=−=−，切线方程为()()()200004324yxxxxx−−+=−−，切线过()0,2，解得01x=或01x=−（舍去），此时2k=−，当30x−时，()3fxx=+，线段所在直线斜率为1

；当3x−时，()3fxx=−−，射线所在直线斜率为1−，3yx=+与x轴交于()23,0,3PNNk−=，由图象知满足题意的k的范围是：223k−.故答案为：22,3−.16.已知

数列na满足111,ln2nnaaa+==+，记1[]nniiTa==（其中x表示不大于x的最大整数，比如0.51,22−=−=），则2023T=__________.（参考数据：0.8ln20.6931,ln31.0

986,ln51.6094,e2.718,e2.2255）【答案】6064【解析】【分析】设()ln2(0)hxxxx=+−，由导数确定函数单调性，然后确定[]na的值，再求和．【详解】设()ln2(0)hxxxx=+−，则()

1xhxx−=，01x时,()0hx,1x时,()0hx,所以()hx在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，又()()()10,30,40hhh，所以存在()03,4x使得()00hx=，即00ln2xx+=，且当)

01,xx时，()000,ln2ln2hxxxx++=，所以当)01,nax时，10nnaax+，12341,2,ln222.6931,ln2.693123aaaa===++，又40

.82ea+，所以5lne23a+，综上，12345620231,2,3aaaaaaa========，所以123320196064nT=++=.的故答案为：6064.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.17.已知正项数列na的前n项和为nS，242nnnSaa=+.（1）求数列na的通项公式；（2）设12()()32121nnnanaab+=−−，数列nb的前n项和为nT，证明：13nT.【答案】（1）2nan=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS

−=−计算整理，可得12nnaa−−=，再利用等差数列的通项公式得答案；（2）将nb变形得1411114nnnb+=−−−，利用裂项相消法可得nT，进一步观察可得证明结论.【小问1详解】242nnnSaa=+①，当2n时，211142nnnSaa−−−=+②，①-②得(

)2211422nnnnnaaaaa−−=++−，整理得()()1120nnnnaaaa−−−−+=，0na，12nnaa−−=，又当1n=时，21111442aSaa==+，解得12a=，数列na是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan=；【小问2详解】由（1）得222222213

211112121212111()()44nnnnnnnnb+++==−=−−−−−−−，2231111111111414141414141341nnnnT++=−+−++−=−−−−−−−−，141n+

，即11041n+−13nT.18.在①5coscoscos4aCcAbB+=，②π5sin()5sin()12BB++−=，③π(0,)2B，13cos2cos25BB=−．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并

作答．已知ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且________．（1）求tan2B的值;（2）若1211tan,54Ac=−=，求ABC的周长与面积．【答案】（1）247（2）周长为11，面积为338【解析】【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出4cos5B

=，再求出tanB，由正切的二倍角公式即可求出tan2B的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出sinB，tanB，再由正切的二倍角公式可求出tan2B的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出4cos5B=

，再求出tanB，由正切的二倍角公式可求出tan2B的值；（2）由12tan5A=−，求出cos,sinAA，由正弦定理求出,ab，最后根据三角形的面积公式和周长即可得出答案.【小问1详解】若选①:由正弦定理得5sincossinc

ossincos4ACCABB+=，故5sin()sincos4ACBB+=，而在ABC中，sin()sin(π)sinACBB+=−=，故5sinsincos4BBB=，又(0,π)B，所以sin0B，则4cos5B=，则23sin3sin1cos,tan5cos4BBBBB=−=

==，故22tan24tan21tan7BBB==−．若选②:由π5sin()5sin()12BB++−=，化简得1cossin5BB−=，代入22cossin1BB+=中，整理得225sin5sin120BB+−=，即(5sin3)(

5sin4)0BB−+=，因为(0,π)B，所以sin0B，所以3sin5B=，则4sin3cos,tan5cos4BBBB===，故22tan24tan21tan7BBB==−．若选③:因为13cos2co

s25BB=−，所以2132cos1cos25BB−=−，即2122coscos025BB−−=，则34(2cos)(cos)055BB+−=．因为π(0,)2B，所以4cos5B=，则23sin3sin1cos,tan5cos4BBBBB=−=

==，故22tan24tan21tan7BBB==−．【小问2详解】因为sin12tancos5AAA==−，且22sincos1,(0,π)AAA+=，所以512cos,sin1313AA=−=．由（1）得43cos,si

n55==BB，则1245333sinsin()sincoscossin13513565CABABAB=+=+=−=，由正弦定理得65sinsinsin12abcABC===，则135,4ab==．故ABC的周长为11abc++=，ABC的面积为11133333sin

5224658ABCSabC===V．19.由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论

青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015Bxy合计已知在被调查的100名观众中随

机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有

关系．（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++，20()PKk0．050．0100．0010k

3．8416．63510．828【答案】（1）从A地抽取6人，从B地抽取7人.（2）没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.（3）分布列见解析，期望为2.【解析】【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.（2）补全22列联表，再根据

独立性检验求解即可.（3）由题意知233(),XB～，进而根据二项分布求解即可.【小问1详解】由题意得0.35100x=，解得35x=，所以应从A地抽取20306100=（人），从B地抽取20357100=（人）．【小问2详解】完成表格如下：非常

喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为0H：观众的喜爱程度与所在地区无关.22100(30203515)1000.13.841653545551001K−==，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程

度与所在地区有关系．【小问3详解】从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为302453=，从A地区随机抽取3人，则233(),XB～，X的所有可能取值为0，1，2，3，则311(0)327PX=

==，1213212(1)C339PX===，2123214(2)C339PX===，328(3)327PX===．所以X的分布列为X0123P1272949827方法1

：1248()01232279927EX=+++=．方法2：2()323EXnp===.20.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，AFDE∥，AFEF⊥，222AFDEEF===，2AD=.（1）证明：ADCF⊥；

（2）若面ADEF⊥面ABCD，且直线BE与平面ABF所成角的正弦值为13，求此时矩形ABCD的面积.【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】(1)根据线面垂直的的判定定理证明线面垂直，进而可得线线垂直；(2)由面面垂直可得线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，利用空

间向量的坐标运算表示线面夹角的正弦值，即可求出AB长度，从而可求解矩形ABCD的面积.【小问1详解】证明：由题意得，四边形ADEF为直角梯形，又1DEEF==，2AF=，易知2DF=，2AD=，所以222DFADAF+=，所以ADDF⊥.又因为ADDC⊥，DCDF

D=，,DCDF平面DCF，所以AD⊥平面DCF，CF平面DCF，所以ADCF⊥.【小问2详解】因为平面ADEF⊥平面ABCD且交线为AD，ADDF⊥,DF平面ADEF，所以DF⊥平面ABCD.以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立如图所示坐标系，设ABa=，()2,0

,0A，()2,,0Ba，()0,0,2F，122,0,222DEAF==−，22,0,22E−，所以322,,22BEa=−−，设平面ABF的法向量(),,nxyz=，()0,,0ABa=，()2,0,

2AF=−，则00nABnAF==，得0220ayxz=−+=，设1x=则0,1yz==，所以()1,0,1n=.设直线BE与平面ABF所成角为，则221sincos,325BEnBEnBEna====+.

解得2a=，所以2AB=.所以22ABCDS=矩形.21.已知椭圆2222:1(0)xyTabab+=，斜率为12−的直线1l与椭圆T只有一个公共点31,2P（1）求椭圆T的标准方程；（2）过椭圆右焦点F的直线与椭圆T相交于,AB两点，点C在直线2:4lx=上，且//BC

x轴，求直线AC在x轴上的截距.【答案】（1）22143xy+=（2）52【解析】【分析】(1)根据点在椭圆上可得221914ab+=，又因为直线与椭圆只有一个交点，可得判别式等于零得到方程22144ba+=即

可求解；(2)设出直线,AB的方程，利用韦达定理，再表示出AC在x轴上的截距关于,AB坐标的等量关系，即可求解.【小问1详解】依题意，直线1l的方程为13(1)22yx=−−+，即122yx=−+，由22221221y

xxyab=−++=，消去y得2222222()2404abxaxaab+−+−=.由于直线1l与椭圆T只有一个公共点P，故Δ0=，即22144ba+=，因为31,2P在椭圆上，所以221914ab+=，即2219116aa+=−，整理得428160aa−+=，解得22

4,3ab==，故椭圆T的标准方程：22143xy+=.小问2详解】方法一：依题意直线AB斜率不为0，可设直线AB为11221,(,)(,)xtyAxyBxy=+，则()24,Cy，联立椭圆方程22143xy+=，可得()2234690tyt

y++−=223636(34)0tt=++，由韦达定理得12122269,3434tyyyytt+=−=−++，进而，有()121232tyyyy=+由直线AC的方程为1221(4)4yyyxyx−=−+−，得【直线AC在x轴上的截距为122212

11212123()3(4)(3)524442yyyyxyyxyyyyyy+−−−−=+=−+=−+=−−−故直线AC在x轴的上截距为52.方法二：设()()1122,,AxyBxy，则()24,Cy，则直线AC的方程为1221(4)4yyyxyx−=−+−，则直线AC在x轴的截距为21

12(4)4yxxyy−=−+−，若AB垂直于x轴，则111(1,),(1,),(4,)AyByCy−−，所以直线AC与x轴交点为5,02N，截距为52.若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为()1

,0ykxk=−.与椭圆方程22143xy+=联立，得()()2222348430kxkxk+−+−=，4226416(34)(3)0kkk=−+−由韦达定理有()22121222438,3434kkxxxxk

k−+==++.直线AC在x轴的截距为22121211121212(1)(1)(44)(4)4(4)44(1)(1)kxxxxxxxxxkxkxxxxx−−−−−−−+=−+=−+=+−−−−−又因为()22121222438,3

434kkxxxxkk−+==++所以21212221314(1),()534234kxxxxkk−−=+=++所以121211(1)()152xxxx−−++=，所以121254()2xxxx+=+所以

121212121212121253()4()(44)5224442xxxxxxxxxxxxxxxx−+++−−−−−++=+=+=−−−故直线AC在x轴上的截距为52.方法三：右焦点为()1,0F，直线2:4lx=与x轴相交于点E为()4,0,EF的中点为5,02N若AB垂直于x轴，

则111(1,),(1,),(4,)AyByCy−−，所以直线AC与x轴交点为5,02N，截距为52.若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为11222(1),0,(,),(,),(4,)ykxkAxyBxyCy=−与椭圆方程22143xy+=联立，得()()2

222348430kxkxk+−+−=，4226416(34)(3)0kkk=−+−由韦达定理有()22121222438,3434kkxxxxkk−+==++又12x，得1502x−，故直线,ANCN的斜率分别为11

2122112(1)2,(1)55253422ykxykkkxxx−====−−−−所以121121212113(1)(1)(25)225()8232525xxxkxxxxkkkxx−−−−−++−−==−−.因为2222212122224(3)88(3)408(

34)25()8258343434kkkkkxxxxkkk−−−+−+−++−=−+−=+++所以120kk−=，即12kk=，故,,ACN三点共线.因为对于任意直线,ABN点都是唯一确定的，所以，直线AC与x轴交点为5,02N，即直线AC在

x轴上的截距为52.22.已知函数()2e14xxfx=−−，()()ln1gxax=+（1）证明：当1a=时，()()fxgx；（2）0x时，设()()()hxfxgx=−，讨论()hx零点的个数【答案】

（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先将1a=带入函数解析式中，然后将不等式右边移到左边，构造新函数()x，即证()0x，对函数()x求导，求得函数的单调性及最值即可证明()()fxgx；（2）将()(),fxgx代入()hx中求得()hx的解析式，对()hx

求导，及对a分类讨论，判断单调性，利用隐零点即可求得()hx零点的个数.【小问1详解】当1a=时，令()()()()2e1ln14xxxfxgxx=−=−−−+()1e21xxxx−=−+，令()()'mxx=则()()211'e21xmxx=−++当0x

时，e1x，当10x−时，()2111x+，∴()'0mx得()x在()1,−+内单调递增，由()00=，得当10x−时，()0x，()x在()1,0−内单调递减，当0x时，()0x

，()x在()0,+内单调递增，∴()()00x=，即()()fxgx【小问2详解】()()()()2e1ln14xxhxfxgxax=−=−−−+，当1a时，由0x，得()ln10x+，∴()()ln1ln1xax++，由（1）可得()()()00hxx

=；当1a时()e21xxahxx=−−+，令()()'nxhx=，则()()21e21'xnaxx=−++由0x得()'0nx，∴()hx在()0,+内单调递增由()010ha=−，()1e10212121aaaaaahaaaaa=−−+−−=

++++∴()00,xa，使得()00hx=，则当00xx时，()0hx，()hx在()00,x内单调递减，当0xx时，()0hx，()hx在()0,x+内单调递增，由()00h=得()00

hx，()()2222222e1ln2141210ahaaaaaaaa=−−−+−−−=−，∴()00,2xa，使得()00hx=，综上，当1a时()hx在()0,+内无零点；当1a时()hx在()0,+内有一个零点；获得更多资源请扫码加入

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