【文档说明】浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(29)页，2.386 MB，由小赞的店铺上传

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北仑中学2023学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（全年级+外高班使用）命题：高二数学备课组审题：高二数学备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.同时

抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（）A.18B.14C.38D.12【答案】C【解析】【分析】根据列举法求出古典概型的概率.【详解】同时抛掷3枚质地均匀的的硬币，因为每枚硬币均有正反两种情况，

故共有8种情况，如下：“正，正，正”，“正，正，反”，“正，反，正”，“反，正，正”，“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，“反，反，反”，其中出现的结果为“一正两反”的情况有“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，故出现的结果为“一正两反”的概率为3

8.故选：C2.点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（）A.(－a－1，－b－1)B.(－b－1，－a－1)C.(－a，－b)D.(－b，－a)【答案】B【解析】【分析】结合中点和斜率求得对称点的坐标.【详解】设对称点为(),mn，则()11111022nbmbm

anamanb−−=−=−−−=−−++++=.所以对称点的坐标为()1,1ba−−−−.故选：B.3.如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线MNOP⊥的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分

析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点(1,1,0)O，对于A，(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1)MNP，(

2,2,0),(1,1,1)MNOP=−=−，40MNOP=，MN与OP不垂直，A不是；对于B，(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1)MNP，(2,0,2),(1,1,1)MNOP=−=−，0MNOP=，MNOP⊥，B是；对于C，(2,2,2),(0,2,0),(2,0,1)M

NP，(2,0,2),(1,1,1)MNOP=−−=−，40MNOP=−，MN与OP不垂直，C不是；对于D，(0,0,2),(0,2,0),(2,1,2)MNP，(0,2,2),(1,0,2)MNOP=−=，40MNOP=−，MN与OP不垂直，D不是.故选：B4.国家射击运动员甲

在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（）A.7B.8C.8.5D.9【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.【详解】将数据从小到大排序为：4,5,5,6,7,

7,7,9,9,10，100.77=，所以第70百分位数为7982+=.故选：B5.若直线30xy−+=与圆22220xyxa+−+−=相切，则=a（）A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，再利

用圆的切线性质求解作答.【详解】圆22(1)1xya−+=−(1)a>的圆心(1,0)，半径1a−，依题意，22|103|11(1)a−+=−+−，解得9a=，所以9a=.故选：A6.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别为棱

AB，11CD的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误．．的是（）A.11PAPB=B.11AB∥平面1DAPC.11DPBC⊥D.1BPC是锐角【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.

【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()1112,0,2,2,2,2,,1,2,0,0,2,0,2,0ABPmmDC−，则()12,1,PAmm=−−，()12,1,PBmm=−

，()222121542PAmmmm=−++=−+，()222121542PBmmmm=−++=−+，所以11PAPB=，A正确；因为11AB∥AE，11AB平面1DAP，AE平面1DAP，所以11AB∥平面1DAP，B正确；()()11,1,,2,0,2DPmm

BC=−−=−−，所以()()11,1,2,0,2220DPBCmmmm=−−−−=−+=，所以11DPBC⊥，C正确；()()21122212,1,,1,2241cos245245245mmmmPBPCmmBPCmmPBPCmmmm−−−−+===−+−+−+()(

)22211213mm−−=−+，当221122m−+时，1cos0BPC，此时1BPC为钝角，故D错误.故选：D7.已知点12,FF是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右焦点，点M为椭圆

E上一点，点1F关于12FMF平分线的对称点N也在椭圆E上，若127cos8FMF=，则椭圆E的离心率为（）A.33B.39C.105D.1025【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的对称性以及

椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由图可知：12122MFMFNFNFa+=+=，由MP平分12FMF，则11212FMPFMF=，所以1211cossin2FMFFMP−=，由127cos8FMF=，

则解得11sin4FMP=，由N是M关于直线MP的对称点，则2,,NFM共线，1112FPNF=，1MPFN⊥，1MFMN=，所以114MFMNNFa++=，在1RtMFPV中，11111sin4FPMFFMPMF==，可得111

1112242MFMFFPMFMFa++=+=，解得185MFa=，225MFa=，在12FMF△中，由余弦定理，可得222121212122cosFFMFMFMFMFFMF=+−，代入可得：222644827422525558caaaa=+−，化简可得：2252ca=，所以其离心率1

05cea==.故选：C.8.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为2的正三角形，13AA=，N为棱11AB上的中点，M为棱1CC上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点1C时，点O的轨迹长度为（）A.π2B.πC.3π

2D.23π3【答案】B【解析】【分析】根据条件先判断出点O的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式求解即可.【详解】取AB中点P，连接PC，C1N，如图，因为PC⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面1PCCN，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面1PCCN，平面ABM∩平面1PCCN

=PM，过N作NO⊥PM，NO平面1PCCN，所以NO⊥平面ABM，当点M从点C运动到点C1时，O点是以PN为直径的圆Q(部分)，如图，当M运动到点1C时，O点到最高点，此时11π3,3,3PCCCCPC===，所以π6O

PQ=，从而2π3OQP=，所以弧长2π3π32l==，即点O的轨迹长度为π.故选:B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.口袋中装有大小质地完全相同的白球和

黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则（）A.()12PB=B.B与C互斥C.A与B相互独立D.A与D互为对立【答案】ACD【解析】【分析】利用古典概型

的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．【详解】设2个白球为12,aa，2个黑球为12,bb，则样本空间为：()()(

)()()()()()()()()()121112212122111212212221Ω,,,,,,,,,,,,aaababaaababbababbbababb=，，，，，，，，，，，，共12个基本

事件.事件()()()()12211221,,,,，，，=Aaaaabbbb，共4个基本事件；事件()()()()()()121112212122,,,,,,，，，，，=Baaababaaabab，共6个基本事件；事件()()()()()()

122111122122,,,,,,Caaaababababa=，，，，，，共6个基本事件；事件()()()()()()()()1112212211122122,,,,,,,,Dababababbabababa=，，，，，，，，共8个基本事件，对于A，由()61122PB==，故A正确

；对于B，因为BC，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为()41123PA==，()61122PB==，()21126PAB==，则()()()PABPAPB=，故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因AD=，AD=

，所以事件A与D互为对立，故D正确．故选：ACD．10.已知曲线C的方程为()22220axayxya+−−=R，则（）A.曲线C可能是直线B.当1a=时，直线30xy+=与曲线C相切C.曲线C经过定点D.当1a=时，直线20

xy+=与曲线C相交【答案】ACD【解析】【分析】当0a=时，写出曲线C的方程，可知表示直线，故A正确；将曲线C的方程转化为()2222axyxy+=+，令220220xyxy+=+=求出,xy，即可判断C选项；当1a=时，得曲线C的方程(

)()22112xy−+−=，可知此时曲线C表示圆，且圆心为()1,1C，半径2R=，利用点到直线的距离公式，分别求出()1,1C到直线30xy+=和到直线20xy+=的距离，并与2R=比较，从而可判断直线与圆的位置关系，即可判

断BD选项.【详解】解：当0a=时，曲线C的方程为：220xy−−=，表示直线，故A正确；由22220axayxy+−−=，得()2222axyxy+=+，令220220xyxy+=+=，得0xy==，所以曲线C经过定点()

0,0，故C正确；当1a=时，曲线C的方程为：22220xyxy+−−=，即()()22112xy−+−=，为此时曲线C表示圆，且圆心为()1,1C，半径2R=，因为()1,1C到直线30xy+=的距离14210d=，所以直线30xy+=与曲线C

不相切，故B错误；()1,1C到直线20xy+=的距离2325d=，所以直线20xy+=与曲线C相交，故D正确.故选：ACD.11.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，//,2224,,,ABCDABADDCCBEFG====分别为侧棱111,,BBDDAA上一点，12B

EDFAG===，则（）A.BDGF⊥B.1GEC可能为π2C.EGF的最大值为π3D.当183AA=时，1GECF//【答案】ACD【解析】【分析】由题设结合余弦定理可得π3BAD=，进而有ADBD

⊥，再由线面垂直判定、性质判断A；构建空间直角坐标系，应用线线角的向量求法求1GEC、EGF的余弦值或范围判断B、C；向量法直线位置关系判断D.【详解】由题设，四边形ABCD为等腰梯形，且πBCDBAD+=，由2222cosBDADAB

ADABBAD=+−222cosCDCBCDCBBCD=+−，的所以2016cos88cos4cos2cos3BADBCDBADBCD−=−−=，又coscos0BCDBAD+=，结合题

图知：1cos2BAD=，即π3BAD=，所以23BD=，则222BDADAB+=，即ADBD⊥，由题设1DD⊥面ABCD，BD面ABCD，则1DDBD⊥，1ADDDD=，1,ADDD面11ADDA，故BD⊥面11ADDA，GF

面11ADDA，所以BDGF⊥，A对；由1,,ADDBDD两两垂直，可构建如下图示的空间直角坐标系Dxyz−，若12AAm=，则1(2,0,2),(0,23,2),(1,3,)GmECm−−，所以1(2,23,

4),(1,3,2)GEmCEm=−−=−，则211221(3)3|cos,|||0||||4(2)16(4)GECEmGECEGECEmm−+==+−+−，所以1GEC不可能为π2，B错；由(0,0,2)F，则(2,0,4)GFm=−−，故2224(4)|

cos,|||||||4(4)16(4)GEGFmGEGFGEGFmm+−==+−+−，令24(4)4tm=+−，则11|cos,|[,1)212121tGEGFttt==++，所以π(0,

]3EGF，C对；183AA=时142(2,23,),(1,3,)33GECF=−=−−，显然12GECF=−，即1GECF//，D对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用已知及线面垂直的性质、判定确定1,,ADDBDD两两垂直，应用向量法判断其它各项为关键.12.已知()11,

Pxy，()22,Qxy是椭圆229144xy+=上两个不同点，且满足121292xxyy+=−，则下列说法正确的是（）A.1122233233xyxy+−++−的最大值为625+B.1122233233xyx

y+−++−的最小值为35−C.11223535xyxy−++−+的最大值为210255+D.11223535xyxy−++−+的最小值为1022−【答案】AD【解析】【分析】设,3xmyn==，设1122(,),(,)CmnDmn，可得11(,)OCmn=，22(,)ODmn=,可

得CD、两点均在圆224mn+=的圆上，且2π3COD=，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得112223323355xyxy+−+−+及1122353522xyxy−+−++的最值，可得答案.【详解】由229144xy+=，可得2294xy+=，

又()11,Pxy，()22,Qxy是椭圆2294xy+=上两个不同点,可得2222112294,94xyxy+=+=，设,3xmyn==，则224mn+=，设1122(,),(,)CmnDmn,O为

坐标原点，可得11(,)OCmn=，22(,)ODmn=,可得222211224,4mnmn+=+=，且12122mmnn+=−，所以2OCOD=−，1cos,2OCODOCODOCOD==−，又

,0,πOCOD，可得CD、两点均在圆224mn+=的圆上，且2π3COD=，设CD的中点为E，则π2cos13OE==,根据点到直线的距离公式可知：1122112252332332323555x

yxymnmn+−+−+−+−+=+为点CD、两点到直线230xy+−=的距离12dd、之和，设E到直线230xy+−=的距离3d，由题可知圆心到直线230xy+−=的距离为233521−=+，则12333622()2(1)2555dddEO=+=+=++，12333

622()2(1)2555dddEO=−=−=−+可得12dd+的最大值为625+，12dd+的最小值为625−；可得1122122332335()xyxydd+−++−=+，可得1122233233xyxy+−++−的最

大值为65(2)2565+=+，最小值为625−，故A正确，B错误；同理，112211222353555222xyxymnmn−+−+−+−++=+为点CD、两点到直线50xy−+=的距离45dd、之和，设E到直线50xy−+=的距离6d，由题可知圆心到直线50xy−+

=的距离为255211=+，则456522(1)5222ddd=+=++，456522(1)5222ddd=−=−+，可得11224535352()xyxydd−++−+=+，可得1122233233xyxy+−++−的最大值为1022+，最小值为1022−，故C错误，D正确.

故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1:10lxay+−=与2:210lxy++=平行，则1l与2l之间的距离为

_______【答案】355【解析】【分析】首先根据两条直线平行求出参数a，再有两平行线间的距离公式即可求解.【详解】由直线1:10lxay+−=与2:210lxy++=平行，则12a−=−，即12a=，故直线11:102+−=lxy，化为220xy+−=，又2:210lxy+

+=，故1l与2l之间的距离为22213355521−−==+，故答案为：355【点睛】本题主要考查两条直线平行斜率的关系以及两平行线间的距离公式，属于基础题.14.已知直线:10lxy−+=，若P为l上的动点，过点P作22:

(5)9Cxy−+=的切线PAPB、，切点为A、B，当||||PCAB最小时，直线AB的方程为__________.【答案】20xy−−=【解析】【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得2

||||29PCABPC=−，说明要使||||PCAB最小，则需||PC最小，此时PC与直线l垂直，写出PC所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PC为直径的圆的方程，再与圆C的方程联立

可得AB所在直线方程．【详解】解：22:(5)9Cxy−+=的圆心(5,0)C，半径3r=，四边形PAMB面积21||||2||||3||392PACSPCABSPAACPAPC=====−，要使||||PCAB最小，则需||PC最小，当PC与直线l垂直时，||PC最小，此时直线PC的方

程为5yx=−+，联立15yxyx=+=−+，解得(2,3)P，则以PC为直径的圆的方程为22739()()222xy−+−=，则两圆方程相减可得直线AB的方程为20xy−−=．故答案为：20xy−

−=．15.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据

相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设iA()1,2,3,4i=为独孤队第i局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：123AAA，1234AAAA，1234AAAA，1234AAAA，所以独孤队取胜的概率()()()()1231234123

41234PPAAAPAAAAPAAAAPAAAA=+++0.40.50.60.40.50.40.50.40.50.40.50.60.30.40.50.236=+++=．故答案为：0.23616.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，O为底面A

BCD的中心，,MN分别为棱11AD和1CC的中点，则四面体1−OMNB的体积为__________．【答案】748【解析】【分析】通过转换顶点法、割补法，结合三棱锥的体积公式求得正确答案.【详解】过O作AB的平行线，分别与棱AD，BC交于点,EF，连接BE，并取BF的中

点Q，连接,OQME，则//OQBE，根据正方体的性质可知11//,BBMEBBME=，所以四边形1BEMB是平行四边形，所以1//BEBM，所以1//OQBM，由于OQ平面1MNB，1BM平面1MNB，所以//OQ平面

1MNB，所以111OMNBQMNBMNQBVVV−−−==，又111111NQBBCCBNCBQCNQBBSSSSS=−−−13171416816=−−−=，所以111117348OMNBNQBVSAB−==故答案：748四、解答题

：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得重量（单位：kg）数据如下表：为分组)2.20,2.30)2.30,2.40

)2.40,2.50)2.50,2.60)2.60,2.70)2.70,2.80合计频数426a28102100频率0.04b（1）求出频率分布表中实数a，b的值；（2）若从重量范围在)2.60,2.80的工艺品中随机抽选2件，求被抽选2件工艺品重量均在范围)2.70,2.

80中的概率.【答案】（1）30a=，0.28b=（2）166【解析】【分析】（1）根据频数、频率的知识求得,ab.（2）利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】()1004262810230a=−++++=；280.28

100b==.【小问2详解】重量范围在)2.60,2.70的工艺品有10件，重量范围在)2.70,2.80的工艺品有2件，所以从重量范围在)2.60,2.80的12件工艺品中，随机抽选2件的方法数有2121211662C==（种），所以被抽选2件工艺品重量均在范围)

2.70,2.80中的概率为166p=.18.已知直线l过点(1,1)M，并且与直线2490xy++=平行．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆2260xyxym++−+=相交于,PQ两点，O为原点，且OPOQ⊥，求实数m的值．【答案】（1）230xy+−=；（2）

3m=【解析】.【分析】（1）利用点斜式即得所求直线l的方程；（2）将直线与圆的方程联立，利用韦达定理法，将OPOQ⊥转化为点的坐标，代入根与系数关系，从而求得参数m的值.【详解】（1）∵直线l与直线2490xy++=平行，∴直线l斜率为12−，其方程为11(

1)2yx−=−−，即直线l的方程为230xy+−=；（2）由2223060xyxyxym+−=++−+=，消去x得2520120yym−++=，设1122(,),(,)PxyQxy，则()()2121

2Δ20451204125myymyy=−−++=+=，∵OPOQ⊥，∴12120xxyy+=，∴1212(32)(32)0yyyy−−+=，即121256()90yyyy−++=，∴122490

+−+=m，解得3m=，满足0，∴3m=.19.在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别在棱PD，BC上且13PEPD=，13CFBC=．（1）证明：CE∥平面PAF；（2）若ADAP=，求直线CD与平面PAF所成角的正弦值．【答案】（1）证

明见解析（2）21313【解析】【分析】（1）在棱PA上取点G，使得13PGPA=，连接EG，FG，即可证明四边形FGEC为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明；（2）以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：如图，在棱PA上取点G，使得13PGPA=，连接EG，FG，因为13PEPGPDPA==，所以//GEAD且13GEAD=，由正方形ABCD，13CFBC=，得//CFAD

且13CFAD=，所以GE//CF且GECF=，所以四边形FGEC为平行四边形，所以//CEGF，又CE平面PAF，GF平面PAF，所以//CE平面PAF．【小问2详解】若ADAP=，则可设3ADAP=

=，所以3ABBC==．以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点()0,0,0A，()3,3,0C，()0,3,0D，()0,0,3P，()3,2,0F，则()3,0,0CD=−，

()0,0,3AP=，()3,2,0AF=，设平面PAF的法向量为(),,mxyz=，则由()()()(),,0,0,330,,3,2,0320mAPxyzzmAFxyzxy=====+=得0,

2,3zyx==−令3y=，得平面PAF的一个法向是为()2,3,0m=−，设直线CD与平面PAF所成角的大小为，则()()2,3,03,0,0213sin13133mCDmCD−−===，即直线CD与平面PAF所成角的正弦值为

21313．20.设x，Ry，向量i，j分别为平面直角坐标内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量()3=++axiyj，()3=−+bxiyj，且4+=ab.（1）求点(),Mxy的轨迹C的方程；（2）设椭圆E：221164xy+=，曲线C切线ykxm=+交椭圆

E于A、B两点，试证：OAB的面积为定值.【答案】（1）22141xy+=（2）证明见解析的【解析】【分析】（1）利用平面向量的模的几何意义、椭圆的定义、椭圆的标准方程运算即可得解.（2）利用直线与椭圆的位置关系、点到的直线距离公式、

三角形面积公式运算即可得解.【小问1详解】解：如上图，由题意，∵()3=++axiyj，()3=−+bxiyj，∴()223=++axy即为点,()Mxy与点()1,30F−的距离1MF，()223=−+bxy即为点,()Mxy与点()230,F的距离2MF，∴由4+=ab可得124

MFMF+=，∴由椭圆的定义可知点(),Mxy的轨迹C是以()1,30F−、()230,F为焦点的椭圆，且长轴长为24a=，3c=，则221bac=−=，∴由椭圆的标准方程知点(),Mxy的轨迹C的方程为22141xy+=.【小问2详解】

解：如上图，由题意，直线ykxm=+是曲线C：22141xy+=的切线，∴由22141ykxmxy=++=可得：()222148440kxkmxm+++−=，则()()222264414440kmkm=−+−=，化简得：221

4km+=.由题意，直线ykxm=+交椭圆E：221164xy+=于A、B两点，∴由221164ykxmxy=++=可得：()2221484160kxkmxm+++−=，设()11,Axy、()22,Bxy，则122

814kmxxk+=−+，212241614mxxk−=+，∴()222222222121128416416414141444−=+−=−−=−−++++xxxxxkmmkmxkkk，又∵2214km+=，∴2124314−=+mxkx.且由1122ykxmykxm=

+=+知1212yykxx−=−，∴()()12222212212413141−+−===++−+xxyykkmxxABk.又∵OAB中边AB上的高h即为点O到直线ykxm=+的距离，∴由点到直线距离公式得21mhk=

+，又∵2214km+=，∴222224311232322141411+===+++=OABmmmhkkSABkk，即OAB的面积为定值23.【点睛】方法点睛：直线与椭圆的相交弦长的求解方法：1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.2

.当直线的斜率存在时，斜率为k的直线与椭圆相交于()11,Axy、()22,Bxy两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种：（1）()()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−；（2）()21212122211114AByyyyyykk=+−=++−

（0k）.21.如图1，菱形ABCD中120ABC=，动点,EF在边,ADAB上（不含端点），且存在实数使EFDB=，沿EF将AEF△向上折起得到PEF!，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示．（1

）若BFPD⊥，设三棱锥PBCD−和四棱锥PBDEF−的体积分别为12,VV，求12VV；（2）当点E的位置变化时，平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；【答案】（1）95；（2）是，55.【解析】【分析】

（1）设OPx=，建立空间直角坐标系，由直线BF与PD垂直，即可列式求解；（2）设平面PEF与平面PBF的夹角为，求出平面PBF的法向量，平面PEF的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解．【小问1详解】在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM，因为EFDB

=即//EFBD，所以PEPF=,所以POEF⊥,又因为平面PEF⊥平面BCDEF，平面PEF平面BCDEFEF=，PO平面PEF，所以PO⊥平面BCDEF，由题意可知OMEF⊥,以O为原点，OF，OM，OP所在直线分别为,,xyz

轴，建立空间直角坐标系，设4AB=，,023OPxx=，则23OMx=−，所以()2,23,0Bx−，,0,03xF，()0,0,Px，()2,23,0Dx−−，所以()2,23,PDxx=−−−，2,23,03xBFx=−−，因为直线BF与PD垂直，所以()

()23230223xPDxBFx=−−−+−=，即210803xx−+=，解得：63x=（舍）或44333x==，所以2POOM=，2PEED=，所以图1中点E在靠近点D的三等分点处，所以59BDEFABDAEFBCDABD

SSSSS=−=，所以1295BCDBDEFSVVS==；【小问2详解】设平面PEF与平面PBF的夹角为，平面PEF的法向量()0,1,0n=，,0,3xPFx=−，2,23,03xBFx=−−，设平面PBF的法向量(,,)mabc=，则00PFmBFm=

=，即()0322303xaxcxaxb−=−+−=，取1a=，得33b=−，33c=,得331,,33m=−，所以353cos,5111133mn−==−++，所以5cos5=，所以无论点E的位置如何，平面PEF与

平面PBF的夹角余弦值都为定值55．22.椭圆E：22184xy+=的上顶点为P，圆C：222(1)(0)xyrr−+=在椭圆E内．（1）求r的取值范围；（2）过点P作圆C的两条切线，切点为,AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N

，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求ST的最大值，并计算出此时圆C的半径r．【答案】（1）03r（2）943−，23r=−【解析】【分析】（1）联立椭圆与圆的方程，消去y得到2212502xxr−+−=，再利用条件即

可求出结果；（2）先利用直线与圆的位置关系得出切线PA与PB的斜率间的关系212122244,11rkkkkrr−+==−−，再联立直线PA、PB与椭圆的方程，求出,MN两点坐标，再求出T的坐标，再利用直线AB是圆C和以(0,2)P为圆心，PA为半径的圆的公共弦，从而求出

S坐标，进而得到222618712rSrTr−+−−=，再利用基本不等式即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆E：22184xy+=，圆C：222(1)(0)xyrr−+=在椭圆E内，联立()22222118

4xyrxy−+=+=，消y得到2212502xxr−+−=，所以2144(5)02r=−−，解得23r，所以03r，【小问2详解】由题知，切线PA，PB的斜率均存在，不妨设过P与圆C相切的直线方程为2ykx=+，所以221krk+=+，整理得到222(1)440r

kkr−++−=，易知切线有两条，故22210Δ164(1)(4)0rrr−=−−−，即205r且21r，又由（1）知03r，所以(0,1)(1,3)r，不妨设切线PA，PB的斜率分别为12,kk，则由韦达定理知，212122244,11rkkkkrr−+=

=−−，由2211842xyykx+==+，消y，得到221(12)80kxkx++=，所以121812Nkxk=−+，2112124212NNkykxk−=+=+，故2112211824(,)1212kkNkk−−++，同理可得2222222824(,)1212kkMkk−−

++，则221222222222121212212122121221211212221224241212(24)(12)(12)(24)8()888(12)8(12)8()(12)121212MNkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk−−−++−+−+−−+====−+++−−−−+++,所以直线MN的方程为21211221121248()121212kkkkyxkkkk−+−=++−+，令0x=，得到21211221121248121212kkkkykkkk−+−=+−

+，整理得到232112121121222112112124482(24)(12)2(12)(12)(12)(12)(12)12kkkkkkkkkkykkkkkkkk++++++===+−+−−，又212241rkkr−=−，所以22222242(12)618147121rrryrrr−+−−=

=−−−−−，所以22618(0,)7rTr−−−，又因为(0,2)P，25PAr=−，所以，以(0,2)P为圆心，PA为半径的圆的方程为222(2)5xyr+−=−，又圆C：222(1)(0)xyrr−+=，两方程相减得22

14452xyr−−+=−，因为AB是两圆的公共弦，故直线AB方程为2210xyr−+−=，令0x=得到212ry−=，所以21(0,)2rS−，所以22222618724921277rSrrrTr−

−+=−=++−−，令()()277,66,4rt−=−−−−，则24249()922SttttT−=++=−++−，又24212432tt−+=−，当且仅当242tt−=−，即43t=−时取等号，

由2743r−=−，得到22743(23)r=−=−，所以23r=−，又43(7,6)−−−，所以943ST−，故ST的最大值为943−，此时圆C的半径为23−．【点睛】关键点晴，求出以(0,2)P

为圆心，PA为半径的圆的方程，再利用AB为两圆公共弦，求出直线AB的方程，得到S坐标，再联立直线与椭圆的方程得出,MN坐标，进而求出T的坐标，从而得出ST.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com