【文档说明】北京市丰台区2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.152 MB，由小赞的店铺上传

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丰台区2023～2024学年度第二学期期末练习高二数学2024.07考生须知1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名

，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字

体工整、字迹清楚．3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效．4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题

共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合04Axx=，13Bxx=−，则AB=（）A.(0,3B.0,3C.1,0)(

0,4−D.1,4−2.在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（）A.某商品的销售价格与销售量B.汽车匀速行驶时的路程与时间C.气温与冷饮的销售量D.人的年龄与视力3.已知命题p：1x，2

10x+>，则p是（）A.1x，210x+>B.1x，210x+C.1x，210x+D.1x，210x+4.已知复数11iz=−，则它的共轭复数z=（）A.11i22+B.11i22−C.11i22−+D.11i22−−5.下列

求导运算错误的是（）A.()32223566xxxx−+=−B.()cos2sin2xx=−C.()12xx=D.()()e1exxxx=+6.已知复数izxy=+（x，yR），则“0x=”是“复数z对应点在虚轴上”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条

件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()23cosfxxx=−，则（）A.()()()3eπfff−B.()()()πe3fff−C.()()()π3efff−D.()()()e3πfff−8.若0a，0b，且3abab=++，则ab的最小

值为（）A.1B.3C.9D.109.在同一平面直角坐标系内，函数()yfx=及其导函数()yfx=的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（）A.函数()exyfx=的最大值为1B.函数()exyfx=的最小值为

1C.函数()exfxy=的最大值为1D.函数()exfxy=的最小值为110.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从

这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（）A.44B.46C.52D.54第二部分（非选择题共110分）的的二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.612xx−的展开式中的常数项为_______．12.已知线性相关的两个变量x和y

的取值如下表，且经验回归方程为ˆˆ0.95yxa=+，则ˆa=______．x0134y2.24.3486.713.某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组

种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为______．14.能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则abc+”是假命题一组实数a，b，c的值依次为______．15.已知函数2()e(1)xfxaxx=−−（aR）．

给出下列四个结论：①当1a=时，若()fx的图象与直线ym=恰有三个公共点，则m的取值范围是25(e,)e−；②若()fx在2x=−处取得极小值，则a的取值范围是1(,)2−−；③aR，曲线()yfx=总存在两条互相垂直的切线；④若()fx存在最小值，则a的取值范围是(0,)+

．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时

空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法

？（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？17.在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：.的胜负情况甲球员上场情况获胜未获胜上场4

0场5场未上场2场3场（1）求甲球员上场时，该球队获胜的概率；（2）从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望()E．18.已知函数()2212xfxx+=+．（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求()fx的

极值．19.随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对A，B两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用A款软件的用户和仅使用B款软件的用户各500人，采用打分方式进行调查，情况如下图：根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：分数54

3满意非常满满不满度意意意假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立．（1）分别估计仅使用A款软件的全体用户和仅使用B款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；（2）从仅使用A款软件的全体用户中随机选取

2人，从仅使用B款软件的全体用户中随机选取1人，估计这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；（3）从仅使用A，B两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记X为仅使用A款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的

人数，Y为仅使用B款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较X，Y的方差()DX，()DY的大小．（结论不要求证明）20.已知函数()()()21lnfxxxax=+−−（aR）．（1）若()fx在区间)1,0−上单调递减，求a的取值范围；（2）当1a=−

时，求证：()0fx．21.已知集合1,2,,Mn=（*nN，且4n）．若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A，B具有性质P．条件（1）：AB=，ABM=，且A，B都至少含有两个元素；条件（2）：对任意不相等的1a，2aA，都有12aaA+，对

任意不相等的1b，2bB，都有12bbB．（1）当5n=时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有集合B；（2）若集合A，B具有性质P，且2B，3B，求证：14n；（3）若存在集合A，B具有性质P，求n的

最大值．的丰台区2023～2024学年度第二学期期末练习高二数学2024.07考生须知1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．2

．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．3．请严格按照答题卡上题号在相应

答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效．4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个

选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合04Axx=，13Bxx=−，则AB=（）A.(0,3B.0,3C.1,0)(0,4−D.1,4−【答案】D【解析】【分析】结合数轴，根据集合并集的定义，即可求解.【详解

】由题意，在数轴上表示出集合,AB，如图所示，则|14ABxx=−.故选：D.2.在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（）A.某商品的销售价格与销售量B.汽车匀速行驶时的路程与时间C.气温与冷饮的销售量D.人的年龄与视力【答案】C【解析】【分析】根据相关关系的概念逐项判定，即

可求解.【详解】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误.故

选：C.3.已知命题p：1x，210x+>，则p是（）A.1x，210x+>B.1x，210x+C.1x，210x+D.1x，210x+【答案】B【解析】【分析】直接根据命题取否定的通法得

到答案，或者根据原命题的实际含义取否定，通过语义选出答案.【详解】方法一：使用命题取否定的通法：将命题p的特称量词x改为全称量词x，论域()1,+不变，结论210x+>改为其否定的结论210x+.得到命题p的否定p是：1x，

210x+.方法二：命题p的含义是，存在一个()1,+上的实数x满足210x+>.那么要使该结论不成立，正是要让每个()1,+上的实数x都不满足210x+>.也就是对任意的()1,+上的实数x，都有210x+.所以p的否定p是：1x，210x+.故选：B.4.已知复数11iz=

−，则它的共轭复数z=（）A.11i22+B.11i22−C.11i22−+D.11i22−−【答案】B【解析】【分析】由复数除法法则化简后，根据共轭复数的定义判断．【详解】11i11i1i(1i)(1i)22z+===+−−+，∴11i22z=−，故选：B．5.下列求导运算错误的

是（）A.()32223566xxxx−+=−B.()cos2sin2xx=−C.()12xx=D.()()e1exxxx=+【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算法则判断．【详解】A，()32223566xxxx−+=−，正确；B，()cos22sin2xx=−，B错；C，(

)112211()22xxxx−===，C正确；D，()()eee1exxxxxxx=+=+，D正确．故选：B．6.已知复数izxy=+（x，yR），则“0x=”是“复数z对应的点在虚轴上”的

（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断．【详解】0x=时izy=，对应点在虚轴上，充分性成

立，当复数z对应的点在虚轴上，一定有0x=，必要性成立，“0x=”是“复数z对应的点在虚轴上”的充分必要条件．故选：C．的7.已知函数()23cosfxxx=−，则（）A.()()()3eπfff−B.()()()πe3fff−C.(

)()()π3efff−D.()()()e3πfff−【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，即可比较大小.【详解】函数()23cosfxxx=−的定义域为R，且()()()()223cos3cosfxxxxxfx−=−−−=−=，所以()23co

sfxxx=−为偶函数，又()6sinfxxx=+，令()()6singxfxxx==+，则()6cos0gxx=+，所以()gx（()fx）在定义域R上单调递增，又()00f=，所以当0x时()0fx¢>，所以()fx在()0,+上单调递增，因为e3π，所以()()()e3

πfff，又()()33ff−=，所以()()()e3πfff−.故选：D8.若0a，0b，且3abab=++，则ab的最小值为（）A.1B.3C.9D.10【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式变形求解．【详解】∵0,0ab，所以323ababab=+++，当且仅当ab=

时等号成立，(3)(1)0abab−+，所以9ab，当且仅当3ab==时取等号，故选：C．9.在同一平面直角坐标系内，函数()yfx=及其导函数()yfx=的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（）A.函数()exyfx=的最大值为1B.函数()ex

yfx=的最小值为1C.函数()exfxy=的最大值为1D.函数()exfxy=的最小值为1【答案】C【解析】【分析】AB选项，先判断出虚线部分为()yfx=，实线部分为()yfx=，求导得到()exy

fx=在R上单调递增，AB错误；再求导得到(,0)x−时，()exfxy=单调递增，当,()0x+时，()exfxy=单调递减，故C正确，D错误.【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，

判断可知，虚线部分为()yfx=，实线部分为()yfx=，故()()()()()0eeexxxyfxfxfxfx==++恒成立，故()exyfx=在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，()2()e()e()()eexxxxfxfxfxf

xy−−==，由图像可知(,0)x−，e()()0xfxfxy−=恒成立，故()exfxy=单调递增，当,()0x+，()()0exfxfxy−=，()exfxy=单调递减，所以函数()exfxy=在0x=处取得极大值，也为最大值，()010

ef=，C正确，D错误.故选：C10.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情

况种数为（）A.44B.46C.52D.54【答案】B【解析】【分析】甲、乙不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果，但

丙不是第2名，以上所有结果还要排除丙是第2名的所有情况，最后间接法得解.【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下3人有33A种排法，故共有3333A3332154=

=种不同的情况，假如丙是第2名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A种排法，故共有2222A22218==种不同的情况，由间接法得：满足题意的，5名同学可能的名次排列情况种数为54846−=种，故选：B.第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.612xx−的展开式中的常数项为_______．【答案】160−【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，将3r=代入通项中即可得到常数项.【详解

】612xx−展开式通项为：()()66621661C212CrrrrrrrrTxxx−−−+=−=−；令620r−=，解得：3r=，展开式中的常数项为()333612C160−=−.故答案为：160−.12.已知线性相关的两个变量x和y的取值如下

表，且经验回归方程为ˆˆ0.95yxa=+，则ˆa=______．x0134y2.24.34.86.7【答案】2.6【解析】【分析】求出样本中心，代入回归方程即可.详解】由已知可得013424x+++==，2.24.34.86.74.54y+++==，∴ˆˆ

4.50.9521.9aa=+=+∴ˆ2.6a=.故答案为：2.6.13.某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概

率为______．【答案】78【解析】【分析】直接由条件概率计算即可求解.【详解】由条件概率可得所求概率为70%780%8P==.故答案为：78.14.能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则abc+”是假命题的一组实数a，b，c的值依次为___

___．【答案】1,2,3−−−（答案不唯一）【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】从不等式的性质可知,ab中只要有一个非负，则abc+一定成立，因此当,ab均为负数时不等式可能不成立，如1,2,3abc=−=−=−，或2,4,5abc=−=−=−等，故答案为：1,

2,3−−−（答案不唯一）．【15.已知函数2()e(1)xfxaxx=−−（aR）．给出下列四个结论：①当1a=时，若()fx的图象与直线ym=恰有三个公共点，则m的取值范围是25(e,)e−；②若

()fx在2x=−处取得极小值，则a的取值范围是1(,)2−−；③aR，曲线()yfx=总存在两条互相垂直的切线；④若()fx存在最小值，则a的取值范围是(0,)+．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】当1a=时，求出

()fx的零点判断①；分类讨论函数的极值情况判断②；取12a=−，求出任意两点处的导数值乘积与1−比较判断③；按0,0aa分类讨论函数在(0,)+上的取值情况判断④圣母婊得答案.【详解】对于①，当1a=时，2()e(1)xfxxx=−−，由()0f

x=，解得152x=，则当0m=时，()fx的图象与直线ym=只有两个公共点，而250(e,)e−，①错误；对于②，函数2()e(1)xfxaxx=−−的定义域为R，求导得()e(1)(2)xfxaxx−+=，当0a时，<2x−，

()0fx，12xa−，()0fx，()fx在2x=−处取得极大值，不符合题意；当0a=时，<2x−，()0fx，2x−，()0fx，()fx在2x=−处取得极大值，不符合题意；当102a−时，12xa−，()0fx

，2x−，()0fx，()fx在2x=−处取得极大值，不符合题意；当12a=−时，()0fx，函数()fx在R上单调递减，无极值点；当12a−时，<2x−，()0fx，12xa−，()0fx，()fx在2x=−处取得极小值，符合题意，因此()fx在2x=−处取得极小值时

，a的取值范围是1(,)2−−，②正确；对于③，当12a=−时，21()e(2)2xfxx=−+，假定曲线()yfx=存在两条互相垂直的切线，设两条切线对应的切点分别为1122(,()),(,())xfxxfx，切线斜率分别为12(),()

fxfx，于是1222121211()()[e(2)][e(2)]022xxfxfxxx=−+−+与12()()1fxfx=−矛盾，③错误；对于④，当0a时，,()0x+，10,20,()0axx

fx−+，即()fx在(0,)+上单调递减，此时()exfx−，而函数exy=−在(0,)+的取值集合为(,0)−，则()fx在R上无最小值，当0a时，由()0fx，得<2x−或1xa，由()0fx，得12xa−，即函数

()fx在1(,2),(,)a−−+上单调递增，在1(2,)a−上单调递减，则函数()fx在2x=−处取得极大值，在1xa=处取得极小值，而当1x−时，210axx−−，则()0fx恒成立，因此()fx在1xa=处取得最小值，于是()fx存在最小值时，a的取值范围是(0,)+

，所以所有正确结论的序号是②④.故答案为：②④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的

图象，观察它们的公共点个数.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．（1）如果这4名同学选择观

看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？【答案】（1）24；（

2）16；（3）144.【解析】【分析】（1）直接全排列可得；（2）另外2人观影4部电影，用乘法原理计算可得；（3）先选2人观看同一部电影，然后再安排另外2人观看其余的3部电影．【小问1详解】因为4名同学观看

的影片均不相同，所以不同的选择方法共有44A24=种．【小问2详解】因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，所以不同的选择方法共有4416=种．【小问3详解】因为恰有2名同学选择观看同一部影片，所以不同的选择方法共有212443CCA646144==种．17.在

上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：胜负情况甲球员上场情况获胜未获胜上场40场5场未上场2场3场（1）求甲球员上场时，该球队获胜概率；（2）从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3

场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望()E．【答案】（1）89；的（2）分布列见解析，数学期望98.【解析】【分析】（1）运用古典概型求解概率即可；（2）运用超几何分布求解概率，进而得出的分布列和数学期望()E．【小问1详解】设事件A=“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜

”，则()4084059PA==+．【小问2详解】表中该球队未获胜的场次共有538+=场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场，则的可能取值为0，1，2，3．()835033CC50C28P===，()123538CC1

51,C28P===()213358CC152C56P===，()830353CC13C56P===．所以的分布列如下：0123P52815281556156所以()51515190123282856568E=+++=．18.已知函数()2

212xfxx+=+．（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求()fx的极值．【答案】（1）1y=；（2）极小值为12−，极大值为1．【解析】【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）由导数确定单调性即可解极值.【

小问1详解】由已知得()()()()()2222222222122422xxxxxfxxx+−+−−+==++，所以()10f=．因为()11f=，所以切点为()1,1，故曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为1y=．【小问2详解】由（

1）知，()()()()222212xxfxx+−=−+，xR．令()0fx¢>，得2<<1x−，令()0fx，得<2x−或1x，所以()fx的单调递增区间为()2,1−，单调递减区间为(),2−−，()1,+．所以()fx有极小值为

()122f−=−，极大值为()11f=．19.随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对A，B两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用A款软件的用户和仅使用B款软件的用户各500人，采用打分方

式进行调查，情况如下图：根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：分数543满意度非常满意满意不满意假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立．（1）分别估计仅使用A款软件的全体用户和仅使用B款软件的全体用户对所使用软件

的满意度为“非常满意”的概率；（2）从仅使用A款软件全体用户中随机选取2人，从仅使用B款软件的全体用户中随机选取1人，估计这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；（3）从仅使用A，B两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记X为仅使用A款软件的10人

中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，Y为仅使用B款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较X，Y的方差()DX，()DY的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）A款满意度35，B款满意度12；（2）825；（3）()()DXDY．

【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解；（2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解；（3）根据方差的实际意义判断.【小问1详解】设事件E=“仅使用A款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，事件F

=“仅使用B款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，则()30035005PE==，()25015002PF==；【小问2详解】设事件C=“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，则()212321218C5525225PC=

+=；【小问3详解】样本中使用A款软件不满意的概率为140750025=，使用B款软件不满意的概率为180950025=，且随机选取的10人进行电话回访，的随机变量X服从二项分布，7~10,25XB，即方差为()()7

725211012525125DXnpp=−=−=,随机变量Y服从二项分布，9~10,25YB，即方差为()()9928811012525125DYnpp=−=−=,()()DXDY

．20.已知函数()()()21lnfxxxax=+−−（aR）．（1）若()fx在区间)1,0−上单调递减，求a的取值范围；（2）当1a=−时，求证：()0fx．【答案】（1）1a；（2）证明见解析

.【解析】【分析】（1）由()0fx在[1,0)−上恒成立可得，再由导数确定()fx的单调性与最值后可得参数范围；（2）利用导数求得()fx的最大值，由这个最大值小球0可得证，为此需要对()fx的零点0x进行定性确定，然后利用

0x的性质写明0()0fx．【小问1详解】由已知得()()()2112ln2ln2xfxxaxaxx+=−+−=−++−，设()()12ln2gxxax=−++−，)1,0x−，因为()fx在区间)1,0

−上单调递减，所以)1,0x−时，()0gx恒成立．因为)1,0x−时，()2210gxxx=−，所以()gx在区间)1,0−上单调递减，所以()gx的最大值为()110ga−=−，即1a．当1a=时，符合题意．所

以1a．【小问2详解】当1a=−时，()()()21lnfxxxx=+−+，0x，则()()()2112ln12ln3xfxxxxx+=−++=−++．设()()12ln3,0hxxxx=−++，则()2210hxxx=−，所以()hx在区间(),0

−上单调递减．因为()120h−=，112ln202h−=−，所以011,2x−−，使得()()00012ln30hxxx=−++=，即()00031ln2xxx+−=−．当x变化时，()hx，()fx，()fx的变化如下表：x()0,x−0x()0,0x(

)hx＋0－()fx＋0－()fx单调递增极大值()0fx单调递减所以()fx的最大值为()()()000021lnfxxxx=+−+()()000031212xxxx++=−+()()0004112xxx++=−．因为011,2x−−

，所以0410x+，010x+，所以()00fx，故()0fx．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式()0fx，一般可利用导数求得最大值max()fx，再由max()0fx证得结论，此类题这里有一个难点，即0()0fx=的0x不易求得，我们可以进行定性分析，即证明

存在0x，使得0()0fx=，利用此等式可化简0()fx并证明出结论成立．21.已知集合1,2,,Mn=（*nN，且4n）．若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A，B具有性质P．条件（1）：AB=，ABM=，且A，B都至少含有两个元素；条

件（2）：对任意不相等的1a，2aA，都有12aaA+，对任意不相等的1b，2bB，都有12bbB．（1）当5n=时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有的集合B；（2）若集合A，B具有性质P，且2B

，3B，求证：14n；（3）若存在集合A，B具有性质P，求n的最大值．【答案】（1）2,4，3,4，3,5；（2）证明见解析；（3）32.【解析】【分析】（1）根据性质可得答案；（2）记“对任意不相等的1a，2aA，都有12

aaA+”为条件①，记“对任意不相等的1b，2bB，都有12bbB”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案；（3）一方面求出32n=时，可构造集合A、B使其具有性质P；一方面，当33n时，可证明不存在具有性质P的集合A，B可得答案.【小问

1详解】所有的集合B为2,4，3,4，3,5；【小问2详解】记“对任意不相等的1a，2aA，都有12aaA+”为条件①，记“对任意不相等的1b，2bB，都有12bbB”为条件②．由条件②得1A．由2B，3B和条件②得236B=，即6A．由条件①得615A−=，即5

B．由条件②得2510B=，即10A．由条件①得1064A−=，即4B．由条件②得248B=，即8A．由条件①得8614A+=，即14B．由条件①得817A−=，即7B．由条件②得2714B=，与14B矛盾，所以14M，即1

4n【小问3详解】n的最大值为32．证明如下：一方面，当32n=时，可构造集合1,2,4,7,10,15,18,24,27,30A=，3,5,6,8,9,11,12,13,14,16,17,19,20,21,22,23,25,26,28,29,31,32B=具有性质P；另一方面，当3

3n时，可证明不存在具有性质P的集合A，B．证明如下：由（2）知，1A，且当2B，3B时，14n，此时不存在具有性质P的集合A，B．由条件①得2，3不能同时属于集合A．下面讨论2和3一个属于集合A，一个属于集合B的情况：（1）当3A，2B时，由条件①得134A+=，即4B．由条

件②得248B=，即8A．由条件①得835A−=，817A−=即5B，7B．因为2B，4B，5B，7B，由条件②得2714B=，4520B=，即14A，20A．由条件①得1486A−=，20812A−=，即6B，12B．由条件②得

2612B=，与12B矛盾，此时不存在具有性质P的集合A，B．（2）当2A，3B时，由条件②得4，5不能同时属于集合A，下面分三种情形：情形一：若4A，5B，由条件①得246A+=，即6B．由条件②得3515B=，3618B=，即15A

，18A．由条件①得151833A+=，即33B．由条件①得15411A−=，即11B．由条件②得31133B=，与33B矛盾，此时不存在具有性质P的集合A，B．情形二：若5A，4B，由条件①得156A+=，257A+=，即6B，7B．由条件②得4728B=，

即28A．由条件①得52833A+=，即33B．由条件②得3412B=，即12A．由条件①得12111A−=，即11B．由条件②得31133B=，与33B矛盾，此时不存在具有性质P集合A，B．情形三：若4B，5B，由条件②得4520B=，即

20A．由条件①得20218A−=，即18B．由条件②得1836B=，即6A．由条件①得167A+=，即7B．由条件②得3721B=，即21A．由条件②得3515B=，即15A．由条件①得6

1521A+=，与21A矛盾，此时不存在具有性质P的集合,AB，综上，n的最大值为32．【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什

么意思；（2）由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.的