【文档说明】2023届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学（理）试卷 含解析.docx，共(13)页，1.296 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题

卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z在复平面内对应的点为()1,2，z是z的共轭复数，则zz=A．34i55−+B．34i55−−C．34i55+D．34i55−2．已知集合1,2,3A=，

20Bxxxm=−+=，若2AB=，则B=A．2,1B．2,4C．2,3D．2,1−3．已知命题P的否定为“xR，211x+”，则下列说法中正确的是A．命题P为“xR，x2+1>1”且为真命题B．命题P为“xR，211x

+”且为假命题C．命题P为“xR，211x+”且为假命题D．命题P为“xR，211x+”且为真命题4．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，

哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为A．14B．27C．13D．255．执行如

图所示程序框图，则输出的S的值是A．45B．56C．67D．786．下列函数中，定义域和值域不相同的是A．yx=−B．yx=C．2yx=D．2,02,0xxyxx−=+7．已知向量()2cos75,2sin

75a=，()cos15,sin15b=−，且)()2(baba−⊥+，则实数的值为A．8B．8−C．4D．4−8．已知焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是A．233B．2C．62D

．529．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为2πSRH=，球缺的体积公式为()21π33VR

HH=−，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:2，则这两个球缺的体积之比为A．19B．1120C．720D．31010．已知关于x的方程230xkxk−++=有两个正根

，那么两个根的倒数和最小值是A．-2B．23C．89D．111．为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连

线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用2tanhDd=+表示.若图中106D=，14d=，且10sin211cos21=+，则h=A．44B．66C．88D．11012．曲线2222:19033xyxy−−+−=，要使直线()ymm=R与曲线有四个不同的交

点，则实数m的取值范围是A．()()()3,33,33,3−−−B．()()3,33,3−−C．()3,3D．()3,3−二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．总体由编号为01，02，…，1

9，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．7816657208026314070

243691128059814．在等比数列na中，3a、7a是函数()3214413fxxxx=−+−的极值点，则5a＝_______．15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．16．若直线1(1)1ykx=+−与曲线exy=相

切，直线21)1(ykx=+−与曲线lnyx=相切，则12kk的值为___________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22

、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．(12分)已知nS为等差数列na的前n项和，49a=，315S=．(1)求na的通项公式；(2)若11nnnbaa+=，nb的前n项和为nT，证明：

16nT．18．(12分)某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；(2)从3月1日至3月7日中任选两天

，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这

是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．19．(12分)已知O为坐标原点，F为抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点，抛物线C过点(6,6)M−．(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且OAO

B⊥，证明：直线l过定点．20．(12分)如图，线段1AA是圆柱1OO的母线，BC是圆柱下底面O的直径.(1)弦AB上是否存在点D，使得1OD平面1AAC，请说明理由；(2)若2BC=，30ABC=，点1A，A，B，C都在半径为2的球面

上，求二面角1CABA−−的余弦值.21．(12分)已知函数1211()(1)xfxadtxt+=++()1x−.（1）若()fx在1x=处有极值，问是否存在实数m，使得不等式2214()mtmefx++−对任意1,xee−及1,

1t−恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e=；（2）若1a=，设2()()(1)Fxfxxx=−+−.①求证：当0x时，()0Fx；②设*111()12(1)nanN

nnnn=+++++++，求证：ln2na（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，

曲线C的参数方程为xtyt==（t为参数，常数)0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为πsin26−=.(1)写出C的极坐标方程和l的直角坐标

方程；(2)若直线()π12=R和C相交于,AB两点，以AB为直径的圆与直线l相切，求的值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()3fxxaxa=+++．(1)当1a=−时，求不等式()4fx的解集；(2)若()fx的最小值为2，且()(

)24amamn−+=，求221nm+的最小值．2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1．答案：A解析：依题意，12zi=+，则12iz=−，所以12i(12i)(12i)34i34i1

2i(12i)(12i)555zz+++−+====−+−−+.故选：A2．答案：D解析：由题意可知，2B，即2220m−+=，所以2m=−，所以，2202,1Bxxx=−−==−.故选：D.3．答案：C解析：命题P的否定

为特称命题，P：xR，211x+，当0x=时，211x+=，P为假命题，ABD错误，C正确.故选：C.4．答案：B解析：不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数

27C21n==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P==.故选：B5．答案：B解析：由题意可知，流程图的功能为计算111111223344556S=++++的值，裂项求

和可得：111111111122334455566S=−+−+−+−+−=.故选：B.6．答案：D解析：对于A：函数2yx=−+的定义域为R，值域也为R，不符合题意；对于B：函数yx=的定义域和值域都为)0,+，不符合题意；对于C

：2yx=的定义域和值域都为0xx，不符合题意；对于D：2,02,0xxyxx−=+的定义域为R；当0x时，22yx=−−；当0x时，22yx=+；所以值域为((),22,−−+，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D

．7．答案：A解析：因为()2cos75cos152sin75sin152cos15750ab=−=+=，2a=，1b=.所以()()222280ababab+−=−=−=.所以8=.故选：A8．答案：A解析：由题意设一条渐近线的倾斜角为π,(0,)2

，则另一条渐近线的倾斜角为5，由双曲对称性可得π5π,=6+=，则一条渐近线的斜率为π3tan63=，设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则33ba=，故离心率为21231()133bea=+=+=，故选：A9．答案：C解析：设小球缺的高为1h

，大球缺的高为2h，则122hhR+=，①由题意可得：122π12π2RhRh=，即：212hh=，②所以由①②得：123Rh=，243Rh=，所以小球缺的体积23112228ππ333381RRRVR

=−=，大球缺的体积23214480ππ333381RRRVR=−=，所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081RVRV==.故选：C.10答案：B解析：由题意

可得2()4(3)0kk=−−+…，解得6k…或2k−，设两个为1x，2x，由两根为正根可得12120·30xxkxxk+==+，解得0k，综上知，6k….故两个根的倒数和为12121211x

xxxxx++=1331kkk==++，6k…，1106k„，3102k„，故33112k+„，12331k+…，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B11．答案：B解析：10sin211cos21=+，即220sincos10tan112cos==，所以11ta

n10=，22111061410hhDd==++，解得66h=，故选：B.12．答案：B解析：由题意得：2290xy+−，即229xy+，即曲线上的点(),xy为圆229xy+=上或圆229xy+=外的点，由222219033xyxy−−+−=

得：22133yx−=或229xy+=，由22221339xyxy−=+=得：63xy=−=或63xy=−=−或63xy==或63xy==−，由此可得曲线的图象如下图所示，由图象可知：当()

()3,33,3m−−时，直线ym=与曲线有四个不同交点；实数m的取值范围为()()3,33,3−−.故选：B.二、填空题13．答案：11解析：由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答

案为：1114．答案：2解析：()284fxxx=−+，由题37aa，是方程2840xx−+=的两个不等实根，则由韦达定理373740,80aaaa=+=，所以370,0aa又5a是37aa，的等比中项且5a与37aa，同号，则25

55402aaa==,.故答案为：2.15．答案：60解析：如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE，BE．由正方体可得//CEAD且CEAD=，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE//DC．∴BAE或其补角是异

面直线AB与CD所成的角．由正方体可得：ABAEBE==，∴ABE是等边三角形，∴60=∠BAE．∴异面直线AB与CD所成的角是60°．故答案为：60°16．答案：1解析：设()xfxe=，则()exfx=，设切点为11(,)xy，则11exk=，则切线方

程为111e()xyyxx−=−，即111ee()xxyxx−=−，直线1(1)1ykx=+−过定点(1,1)−−，所以1111ee(1)xxx−−=−−，所以11e1xx=，设()lngxx=，则1()gxx=，设切点为22(,)xy，则221kx=，则切线方程为2221()y

yxxx−=−，即2221ln()yxxxx−=−，直线1(1)1ykx=+−过定点(1,1)−−，所以22211ln(1)xxx−−=−−，所以22ln1xx=，则12,xx是函数()fxex=和()lngxx=的图象与曲线1yx=交点的横坐标，易知()fx与()gx的图象关于直线yx

=对称，而曲线1yx=也关于直线yx=对称，因此点1122(,),(,)xyxy关于直线yx=对称，从而12exx=，12lnxx=，所以1122e1xkkx==．故答案为：1.三、解答题17．答案：(1)21nan=+

；(2)详见解析.解析：（1）由设数列{}na的公差为d，则11393315adad+=+=解得2d=，13a=，所以na是首项为3，公差为2的等差数列，所以21nan=+；（2）由21nan=+，可得111111()(21)(23)22123nnnbaannnn+===−+

+++，所以12nnTbbb=+++1111111()()()235572123nn=−+−++−++11111()2323646nn=−=−++,又1046n+，故.18．答案：(1)12(2)分布列见解析，()87E

X=(3)3月3日解析：（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162PA=

=.（2）由（1）知：0,1,2X=，()2327C10C7PX===，()113427CC41C7PX===，()2427C22C7PX===，X的分布列为：X012P174727()14280127777EX=++=（3）根据频率分步直方图知：微信

记步数落在20,25，)15,20，)10,15，)5,10，)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530=人，2000.2550=人，2000.360=人，2000.

240=人，2000.120=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在500

0到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．答案：(1)26yx=(2)证明见解析解析：（1）因为抛物线C过点(6,6)M−，∴2(6)26p−=，解得3p=，∴抛物线C的标准方程为26

yx=．（2）设()()1122,,,AxyBxy，直线l的方程为,(0)myxtt=−，联立26myxtyx=−=，化为2660ymyt−−=，236240mt=+，∴12126,6yymyyt+=

=−，∵OAOB⊥，∴()212121236yyOAOBxxyy=+=12661036tyyt−+=−+=，0t，16nT解得6t=，满足236240mt=+，∴直线l的方程为6myx=−，∴直线过定点()6,0．20．答案：(1)存在，理由见

解析(2)25719解析：（1）当点D为AB的中点时，1OD平面1AAC，证明如下：取AB的中点D，连接OD，∵O，D分别为BC，AB的中点，则ODAC，OD平面1AAC，AC平面1AAC，∴OD平面1AA

C，又∵1OO1AA，1OO平面1AAC，1AA平面1AAC，∴1OO平面1AAC，1OOODO=，1,OOOD平面1OOD，∴平面1OOD平面1AAC，由于1OD平面1OOD，故1OD∥平面1AAC.（2）∵BC是O的直径，可得90BAC

=，即ABAC⊥，且2BC=，30ABC=，故3AB=，1AC=，又∵1AA⊥平面ABC，且,ABAC平面ABC，∴11,AAABAAAC⊥⊥，即AB，AC，1AA两两垂直，且点1A，A，B，C都在半径为2的球面上，

可知该球为以AB、AC、1AA为长、宽、高的长方体的外接球，则()2222122ABACAA++=，可得12AA=，以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则()0,0,0A，()3,0,0B

，()0,1,0C，()10,0,2A，得()13,0,2AB=−，()10,1,2AC=−，设(),,nxyz=r为平面1ABC的一个法向量，则1132020nABxznACyz=−==−=，令2x=，则23,3yz==，可得()2,23,3

=rn，且()0,1,0AC=为平面1AAB的一个法向量，设二面角1CABA−−为，则23257coscos,19119ACnACnACn====uuurruuurruuurr，所以二面角1CABA−−的余弦值为25719.21．答案：（1）存在，22m−；（2）①证

明见解析；②证明见解析.解析：由题可知2()ln(1)(1)fxaxx=+++，()221afxxx=+++.（1）由()01f=，可得2202a++=，8a=−.又当8a=−时，()()()2311xxfxx+−=+，故()fx在区间()0,

1单调递减，在()1,+单调递增.故函数()fx在1x=处取得极值，所以8a=−.∵11e−，82(1)(3)()2211xxfxxxx−−+=++=++.∴()0fx，当1,xee−时，由上述讨论可知，()fx单调递增，故2min(

)(1)8fxfee=−=−+不等式2214()mtmefx++−对任意1,xee−及1,1t−恒成立，即：22222min14()148mtmefxmtmee++−++−−+，即：260mtm+−对1,1t

−恒成立，令2()6gtmmt=+−，(1)0g−，(1)0g即260mm−−，且260mm+−，整理得()()320mm−+，且()()320mm+−，解得：22m−，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)Fxfxxxxx=−+−=+−，()1xFxx−=+当0x

时，()0Fx，()Fx在(0,)+上单调递减，()(0)0FxF=即证.②由①可得：ln(1)(0)xxx+令：11xk=+，得11ln(1)11kk+++，即：12ln()11kkk+++1112322lnlnln12(1)1221nnnnnnnnnn

++++++++++++++++=ln2即证.22．答案：(1)C的极坐标方程为2sin22=，ππ,Z2kk+，l的直角坐标方程为340xy−+=(2)1=解析：（1）将曲线C的参数方程xtyt

==消去t，得C的普通方程为xy=，且因为0t，所以0x，将cos,sinxy==，ππ,Z2kk+，代入xy=，得2sincos=，即2sin22=，ππ

,Z2kk+，即为C的极坐标方程，由直线l的方程πsin26−=化简得31sincos222−=，化简得340xy−+=，即为l的直角坐标方程.（2）将直线π12=代入2sin2

2=，得24=，即122,2==−.故以AB为直径的圆圆心为O，半径2r=.圆心O到直线l的距离4213d==+，由已知得22=，解得1=.23．答案：(1)(0,4)(2)9解析：（1）当1

a=−时，()4fx等价于|1||3|4xx−+−，当1x时，13420xxx−+−−，则01x，当13x时，13424xx−+−，则13x，当3x时，134244xxx−+−−，则34x，综上所述，不等式()4fx的解集为(0,4

)．（2）()3(3)2fxxaxaxaxaa=++++−+=，当且仅当()(3)0xaxa++等号成立，min()|2|2fxa==，即21a=，24()()amamn−+=，22241amn=+

=，2222222211445()5249()nnmmnmmnmn+=++=+++=，当且仅当224()()mnmn=，即2()2mn=，即213m=，26n=时，等号成立，故221nm+的最小值为9.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号w

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