【文档说明】广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学2020届高三上学期期末联考理科数学【精准解析】.doc，共(25)页，2.265 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

华附、省实、广雅、深中2020届高三上学期期末联考理科数学一、选择题1.集合1|,24kMxxkZ，1|,42kNxxkZ，则（）A.MN=B.MNC.NM

D.MN【答案】B【解析】【分析】首先求出集合M、N中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】121|,,244kkMxxkZxxkZ，12|,,424kkNxxkZxkZ，2kZ可表示全体

整数，21k表示全体奇数，MN，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题.2.原命题为“若12,zz互为共轭复数，则12=zz”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，

真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数1zabi，则21zzabi，所以2212zzab，故原命题为真；逆命题：若12zz，则12,zz互为共轭复数；如134zi，243zi

，且125zz，但此时12,zz不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,zz不互为共轭复数，则12zz；如134zi，243zi，此时12,zz不互为共轭复，但125zz，故否命题为假；原命题和逆否命题的

真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.3.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a(a+2b),=0，化简得到ab=﹣2，再根据投影的定义即

可求出．【详解】∵平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),∴a(a+2b),=0，即2·20aab即ab=﹣2∴向量b在向量a方向上的投影为·22aba=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的

方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.平面∥平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线a，a∥，a∥B.存在一条直线a，a⊂，a∥C.存在两条平行直线a，b，a⊂，b⊂，a∥，b∥D.存在两条异面直线a，b，a⊂，b⊂，a∥，b

∥【答案】D【解析】试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故

C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确考点：空间线面平行的判定与性质5.函数2()log3sin()2fxxx零点的个数是（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【详解】令2()log3sin()2fxxx=0，可得

2log3sin()2xx，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log,3sin()2yxyx的图象，由图可得交点个数为3，所以函数2()log3sin()2fxxx零点的个数是3，故选C．6.已知函数sin

2cos2fxaxbx（a，b为常数，0a，xR）在12x处取得最大值，则函数3yfx是（）A.奇函数且它的图象关于点,02对称B.偶函数且它的图象关于点,02对称C.奇函数且它的图象关于x对称D.偶函数且它的图

象关于x对称【答案】A【解析】【分析】首先根据已知可得22sin2fxabx，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k，再化简函数3yfx，从而求解问题.【详解】22sin2cos2sin2fxaxbxabx

，在12x处取得最大值，22122kkZ，则23k，22sin23fxabx，2222sin23sin2abxabxyfx，3yfx奇函数且它的图

象关于点,02对称.故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.7.已知函数fx的图象连续且在2,上单调，又函数2yfx

的图象关于y轴对称，若数列na是公差不为0的等差数列，且42016fafa，则na的前2019项之和为（）A.0B.2019C.4038D.4040【答案】C【解析】【分析】由函数2yfx的图象关于y轴对称，

平移可得yfx的图像关于2x对称，由题意可得420164aa，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和.【详解】函数2yfx的图象关于y轴对称，且函数fx的图象连续且在2,上单调，可得yfx的图像关于2x对称，由数列na是公差不为0的等

差数列，且42016fafa，可得420164aa，又na是等差数列，可得42016120194aaaa，所以na的前2019项之和为120192019201940328aaS故选：C【点睛】本题考查了函数的平移变换

、等差数列的性质以及等差数列的前n项和，需熟记公式与性质，属于基础题.8.函数2sincos2fxxx在,22上的单调减区间为（）A.,26和06,B.

,06和,62C.,26和,62D.,66【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化为22sin2sin1fxxx，进而可

得2132sin22fxx，根据,22x，利用复合函数的单调性即可求解.【详解】22132sincos22sin2sin12sin22fxxxxxx

，令sintx，由,22x，则0,1t所以213222yt，在10,2上单调递增，在1,12单调递减又sintx在,26

上单调递减，在,62上单调递增，此时1,12t，利用复合函数的单调性可得函数fx在,62上单调递减；sintx在,06上单调递减，在06,上单调递增，此时10,2t，利用复合函数的单调性可得

函数fx在,06上单调递减；故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.9.函数f(x)＝2112xx的值域为()A.[－4

3,43]B.[－43,0]C.[0,1]D.[0,43]【答案】C【解析】令cos,[0,π]x，则sin1()()cos2fxg的几何意义是单位圆(在x轴及其上方)上的动点(cos,sin)M与点

(2,1)A连线的斜率k，由图象，得01k，即函数()fx的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用21x的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sin1cos2的形式联想到过两点的直线的斜

率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.10.已知圆221xy，点()1,0A，ABC内接于圆，且60BAC，当B，C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A.2212xyB.2214xyC.221122xyx

D.221144xyx【答案】D【解析】【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD，从而得BC中点的轨迹方程.【详解】设BC中点为D，圆心角等于圆周角的

一半，60BAC，60BOD，在直角三角形BOD中，由1122ODOB，故中点D的轨迹方程是：2214xy，如图，由BAC的极限位置可得，14x.故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，

属于基础题.11.F是双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2AFFB，则C的离心率是（）A.233B.143C.

2D.2【答案】A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AFbBFbABbOAaOBa，因此222222224(2)(3)33()3aababcaee233，选A.考点：双曲线离心

率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．12.

若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是A.一条线段B.一个点C.一段圆弧D.抛物线的一段【答案】A【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是.因为正三棱锥的体积为定值，

所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值．二、填空题13.在区间0,2上分别任取两个数m，n

，若向量,amn，1,1br，则满足1ab的概率是______.【答案】4【解析】【分析】由已知向量的坐标求出满足1ab的,mn所满足的条件，结合,0,2mn，数形结合得出答案.【详解】由,amn，1,1br，得1,1abmn由1ab，得

22111mn，即22111mn，,mn满足0202mn，作出图像如图：圆22111mn的面积为，正方形OABC的面积为4.则1ab的概率是4.故答案为：4【点睛】本题考

查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题.14.已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nA和nB，且311nnAnBn，则25837aaabb______.【答案】215【解析】【

分析】由等差数列的性质，258537532aaaabbb，结合等差数列的前n项和公式得到9595AaBb，在311nnAnBn中取9n即可得出答案.【详解】数列na、nb为等差数列

，且前n项和分别为nA和nB，则258537532aaaabbb，且1955919559922922aaaaAbbbbB，又311nnAnBn，595939114915aAbB，所以2

5853753314212255aaaabbb.故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.15.已知随机变量~(2,)XBp，2~(2,)YN

，若(1)0.64PX，(02)PYp，则(4)PY__________．【答案】0.1【解析】∵随机变量服从~2,XBp，∴202111p0.64PXC，解得：0.4p.又2~2,YN，∴400.

5020.1PYPYPY故答案为0.116.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22222bac，当tanBA取最大值时，角A的值为______.【答案】6【解析】【分析】利

用正弦定理以及二倍角公式将22222bac化为2cos2cos2sin0BAAB，再由两角和与差的公式将式子化为sincos3cossinBABA，由此可得tan3tanBA，代入tanBA

的展开式，利用基本不等式即可求解.【详解】由22222bac，2222sin2sinsinBAC，21cos21cos2sinBAAB，2cos2cos2sin0BAAB，2coscossin0

BABABABAAB，2sin2sinsinABABBA，sin2sinABBA，即sincos3cossinBABA，tan3tanBA，由三角形ABC为锐角三角形，所以2tantan

2tan23tan11tantan13tan33tantanBAABABAAAA，当且仅当13tantanAA，即3tan3A，6A取等号故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟

记公式，综合性比较强，属于中档题.三、解答题17.已知数列na满足：12a，1422nnaann.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb满足：1233721nnnbbbba，求数列nb的通项公式.【答案】（Ⅰ）2nan；

（Ⅱ）221nnb【解析】【分析】（Ⅰ）由1422nnaann可化为12220nnanan，令2nncan，推出1nncc，根据nc的特征即可求出.（Ⅱ）根据题意可得1

1231137221nnnanbbbb，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解.【详解】（Ⅰ）由1422nnaann可化为12220nnanan.令2nncan，则10nncc，即1nncc.因为12a，所以1120ca，

所以0nc，即20nan，故2nan.（Ⅱ）由1233721nnnbbbba，可知11231137221nnnanbbbb，两式作差得12122nnnnbaan，即2221nnbn.又当1n时，也112ba

满足上式，故221nnb.【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及nS与na的关系，属于中档题.18.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4

天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）∴0.06;（2）见解析.【解析】试题分

析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事

件A．则1000.002500.006500.4Px，1500.005500.25Px，∴22240.40.250.06PAC．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P，则~4,0.6B，于是440.60.4

0,1,2,3,4kkkPkCk，则分布列为01234P166259662521662521662581625∴169621621681012342.4625625625625625E．【点睛

】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19.如图，AB是圆O的直径

，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PCAB，求二面角ElC大小的取值范围.【答案】（Ⅰ）//l平面PAC，证明见解析；（Ⅱ

）,42【解析】【分析】（Ⅰ）证出//EF平面ABC，由线面平行的性质定理可证出//EFl，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC是二面角ElC的平面角，1tancosFCABFBCBCBCABC，根

据ABC的范围即可求解.法二：以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF的法向量与平面BCD的法向量，利用向量的数量积即可求解.【详解】（Ⅰ）证明如下：∵//EFAC，AC平面ABC

，EF平面ABC，∴//EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，∴//EFl.而l平面PAC，EF平面PAC，∴//l平面PAC.（Ⅱ）解法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连结DE，FB.由（Ⅰ）

知，//BDAC，而ACBC，∴BDBC.∵PC平面ABC，∴PCBD.而PCBCC，∴BD平面PBC，又∵FB平面PBC，∴BDBF，∴FBC是二面角ElC的平面角.1tancosFCABFBC

BCBCABC.注意到02ABC，∴0cos1ABC，∴tan1FBC.∵02FBC，∴,42FBC，即二面角ElC的取值范围是,42.解法二

：由题意，ACBC，以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设2AB，02BCtt，则0,,0Bt，0,0,2F，24,,0Dtt，0,,2BFt，24,0,0BDt.设平面DBF的法向量为,,mxyz，

则由00mBFmBD得22040tyztx，取2y得0,2,mt.易知平面BCD的法向量0,0,1n，设二面角ElC的大小为，易知为锐角，2212cos0,2441mntmntt，∴42

，即二面角ElC的取值范围是,42.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.20.已知椭圆C：2222

10xyabab的离心率为22，过左焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为21,33.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M为C上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为1l，过点F与MF垂直的直线为2l，求证：1l与2l的交点在定直线上

，并求出该定直线的方程.【答案】（Ⅰ）2212xy；（Ⅱ）证明见解析，2x，【解析】【分析】（Ⅰ）设11,Axy，22,Bxy，根据点A，B都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式

、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设00,Mxy，由对称性，设00y，由2212xy，得椭圆上半部分的方程为212xy，从而求出直线1l的方程，再由过点F与MF垂直的直线为2l，求出2l，两方程联立，消去y，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题可知,0Fc，直线AB的斜率存

在.设11,Axy，22,Bxy，由于点A，B都在椭圆上，所以2211221xyab①，2222221xyab②，①-②，化简得2221222212yybaxx③又因为离心率为22，所以2212ba.又因为直线AB过焦点F，线段AB的中点为21,33

，所以1243xx，1223yy，12121323yyxxc，代入③式，得1213324233c，解得1c.再结合222acb，解得22a，21b，故所求椭圆的方程为2212xy.（Ⅱ）证明

：设00,Mxy，由对称性，设00y，由2212xy，得椭圆上半部分的方程为212xy，22142212'xxxxy，又1l过点M且与椭圆只有一个公共点，所以100200242lxxkyx，所以1l：00

002xyyxxy，④因为2l过点F且与MF垂直，所以2l：11xyxy，⑤联立④⑤，消去y，得220000122xxxyxx，又220012xy，所以002202xxx，从而可得2x，所以1l与2

l的交点在定直线2x上.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数lnfxxax，aR.（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）当1,2x时，

都有0fx成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点1,3P可作多少条直线与曲线yfx相切？并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln2；（Ⅲ）见解析，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a的取值范围；当

0a时，当0a时，分析fx的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a是否在区间1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使min0fx即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为000,lnxxax，求出切线方程0000ln1ayxaxxxx

，从而可得001ln120axx，令1ln120axxxxg，讨论a的取值范围，分析函数gx的的单调性以及0gx在0,上的零点即可求解；法二：设切点为000,lnxxax

，求出切线方程0000ln1ayxaxxxx，从而可得001ln120axx，分离参数可得12ln1xxa，令1ln1xgxx，讨论

gx的单调性求出函数gx的值域，根据值域确定2a的范围即可求解.【详解】（Ⅰ）函数fx的定义域为|0xx，'1axafxxx.（1）当0a时，'0fx恒成立，函数fx在0,上单调递增；（

2）当0a时，令'0fx，得xa.当0xa时，'0fx，函数fx为减函数；当xa时，'0fx，函数fx为增函数.综上所述，当0a时，函数fx的单调递增区间为0,

.当0a时，函数fx的单调递减区间为0,a，单调递增区间为,a.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a时，即1a时，函数fx在区间1,2上为增函数，所以在区间1,2

上，min11fxf，显然函数fx在区间1,2上恒大于零；（2）当12a时，即21a时，函数fx在1,a上为减函数，在,2a上为增函数，所以minlnfxfaaaa.依题意有minln0fxa

aa，解得ae，所以21a.（3）当2a时，即2a时，fx在区间1,2上为减函数，所以min22ln2fxfa.依题意有min2ln20fxa，解得2ln2a，所以22ln2a.综上所述，当

2ln2a时，函数fx在区间1,2上恒大于零.另解：当1x时，显然ln10xax恒成立.当1,2x时，ln0xax恒成立lnxax恒成立lnxax的最大值.令lnxmxx，则21ln'

0lnxmxx，易知lnxmxx在1,2上单调递增，所以mx最大值为22ln2m，此时应有2ln2a.综上，a的取值范围是2,ln2.（Ⅲ）设切点为000,lnxxax

，则切线斜率01akx，切线方程为0000ln1ayxaxxxx.因为切线过点1,3P，则00003ln11axaxxx.即001ln120axx.①令

1ln120axxxxg，则22111'axaxxxgx.（1）当0a时，在区间0,1上，'0gx，gx单调递增；在区间1,上，'0gx

，gx单调递减，所以函数gx的最大值为120g.故方程0gx无解，即不存在0x满足①式.因此当0a时，切线的条数为0.（2）当0a时，在区间0,1上，'0gx，gx单调递减，在区间1

,上，'0gx，gx单调递增，所以函数gx的最小值为120g.取211axee，则2211121120aagxaeaea.故gx在1,上存在唯一零点.取2121axe

e，则22112211224aagxaeaeaa21221aaea.设211tta，2tutet，则'2tute.当1t时，'220tutee恒成立.所以ut在1,

单调递增，120utue恒成立.所以20gx.故gx在0,1上存在唯一零点.因此当0a时，过点1,3P存在两条切线.（3）当0a时，fxx，显然不存在过点1,3P的切线.综上所述，当0a时，过点

1,3P存在两条切线；当0a时，不存在过点1,3P的切线.另解：设切点为000,lnxxax，则切线斜率01akx，切线方程为0000ln1ayxaxxxx.因为切线过点1,3P，则000

03ln11axaxxx，即001ln120axx.当0a时，020无解.当0a时，12ln1xxa，令1ln1xgxx，则21'xgxx，易知当

01x时，21'0xgxx；当1x时，21'0xgxx，所以gx在0,1上单调递减，在1,上单调递增.又10g，且0limlimxxgxgx，故当20a时有两条切线，当20a时无切

线，即当0a时有两条切线，当0a时无切线.综上所述，0a时有两条切线，0a时无切线.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.22.已知直线l的参数方程为cossinxmtyt（t

为参数，0），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos，射线,444，4分别与曲线C交于、、ABC三点（不包括极点O）.(Ⅰ)求证：2OBOCOA；(Ⅱ)当12

时，若BC、两点在直线l上，求m与的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m.【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点ABC、、的极径，即得到,,OAOBOC，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12可求得点B,C的极坐标，转化为

直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得m与的值．试题解析：（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．23.已知函数222

fxxaxa.(Ⅰ)若13f，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若不等式2fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)2433，；(Ⅱ)26,,55.【解析】试题分析：（Ⅰ）由13f可得123a

a，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得fx的最小值为(1)2af，由(1)22af可得实数a的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由可得，，①当时，不等式化为，解得，∴；②当时，不等式化为，解得，∴；③当时，不等式化为，解得，∴.综上实数的取值范围是．

（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式2fx恒成立，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是.