【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第11章 第3讲　二项式定理 含解析【高考】.doc，共(21)页，278.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第3讲二项式定理1．二项式定理的内容(1)(a＋b)n＝01C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*).(2)第k＋1项，Tk＋1＝02Cknan－kbk.(3)第k＋1项的二项式系数为03Ckn(k＝0,1，…，n)

.2．二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数04相等.这一性质可直接由Cmn＝Cn－mn得到．直线r＝n2将函数ƒ(r)＝Crn的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．(2)增减性与最大值因为Ckn＝n(n－1)…(n－k)(

n－k＋1)(k－1)！k＝Ck－1nn－k＋1k，即CknCk－1n＝n－k＋1k，所以，当n－k＋1k>1，即k<n＋12时，Ckn随k的增加而增大；由对称性知，当k>n＋12时，Ckn随k的增加而减小．当n是偶

数时，中间的一项05Cn2n取得最大值；当n是奇数时，中间的两项06Cn－12n与07Cn＋12n相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和2(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝082n；(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝092n－1；(3)C

1n＋C3n＋C5n＋…＝102n－1.1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．切实

理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CmnB．Cm＋1nC．Cm－1nD．(－1)m－1Cm－1n答案D解析(x－y)n

的展开式中，第m项为Tm＝Cm－1nxn－m＋1(－y)m－1＝(－1)m－1Cm－1nxn－m＋1·ym－1.所以第m项的系数为(－1)m－1Cm－1n.故选D.2.2x－134x6的展开式的中间项为()A．－40

B．－40x2C．40D．40x2答案B解析2x－134x6的展开式的中间项为C36(2x)3－134x3＝－40x2.故选B.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋

a4的值为()A．9B．8C．7D．6答案B3解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加，得2(a0＋a2＋a4)＝16，所以a0＋a2＋a4＝8.故选B.4．(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2

x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24答案A解析解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C34＋2C14＝12.故选A.解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x

3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.5．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为()A．500B．－500C．150D．－150答案C解析由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴

(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cr4·(5x)4－r(－x)r＝(－1)rCr454－r·x4－r2.令4－r2＝3，得r＝2，∴展开式中x3的系数为C24×52×(－1)2＝150.故选C.6．(2021·北京高考)

x3－1x4展开式中常数项为________.答案－4解析x3－1x4的展开式的通项Tr＋1＝Cr4(x3)4－r－1xr＝(－1)rCr4x12－4r，令12－4r＝0，得r＝3，则常数项为T4＝(－1)3C34＝－4.考向一求展开式中的特定项

或特定项系数4例1(1)x－13x18的展开式中含x15的项的系数为()A．153B．－153C．17D．－17答案C解析Tr＋1＝Cr18x18－r－13xr＝－1

3r·Cr18x18－32r，令18－32r＝15，解得r＝2，所以含x15的项的系数为－132C218＝17.故选C.(2)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B．12C．1D．2答案D解析x＋1

x10的展开式的通项为Tr＋1＝Cr10x10－r1xr＝Cr10x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C310；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为C210，所以(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为C31

0－aC210＝30，解得a＝2.故选D.(3)(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.答案1625解析二项展开式的通项为Tr＋

1＝Cr9(2)9－rxr，r∈N，0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C09(2)9x0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr＋1项写

出并化简．5(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.(3)代回通项公式得所求．2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合

思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．1.(2021·新高考八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()A．60B．80C．84D．120答案D解析(1＋

x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C22＋C23＋C24＋…＋C29，因为Cm－1n＋Cmn＝Cmn＋1且C22＝C33，所以C22＋C23＝C33＋C23＝C34，所以C22＋C23＋

C24＝C34＋C24＝C35，以此类推，C22＋C23＋C24＋…＋C29＝C39＋C29＝C310＝10×9×83×2×1＝120.故选D.2．(2020·全国Ⅰ卷)x＋y2x(x＋y)5的展开式

中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．20答案C解析(x＋y)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－ryr(r∈N且r≤5)，所以x＋y2x(x＋y)5展开式的项可表示为xTr＋1＝xCr5x5－ryr＝Cr5x

6－ryr或y2xTr＋1＝y2xCr5x5－ryr＝Cr5x4－r·yr＋2.在xTr＋1＝Cr5x6－ryr中，令r＝3，可得xT4＝C35x3y3＝10x3y3，该项中x3y3的系数为10，在y2xTr＋1＝Cr5x4－ryr＋2中，令r＝1，可得y2xT2＝C15

x3y3＝5x3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.3．(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________.答案926解析解法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(

1＋3x)5，所以x5的系数为C05C5535＋C15(－1)C4534＋C25(－1)2C3533＋C35(－1)3C2532＋C45×(－1)4C1531＋C55(－1)5C0530＝92.解法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2

]5＝C05(1＋2x)5＋C15(1＋2x)4(－3x2)＋C25(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C55(－3x2)5，所以x5的系数为C05C5525＋C15C34×23×(－3)＋C25C13×2×(－3)2＝92.

多角度探究突破考向二二项式系数与各项的系数问题角度二项展开式中系数的和例2(1)若二项式x2－2xn的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A．－1B．1C．27D．－27答案A解析由题意，得C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝8，即n＝3，所以

x2－2x3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.(2)(多选)若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022(x∈R)，则()A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝32021＋12C．a0＋a2＋a4＋…＋a202

2＝32022＋12D.a12＋a222＋a323＋…＋a202222022＝－1答案ACD解析由题意，当x＝0时，a0＝12022＝1，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2022＝(－1)2022＝1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＋a2022＝32022，所以a

1＋a3＋a5＋…＋a2021＝－32022－12，a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝32022＋12，a12＋a222＋…7＋a202222022＝a1×12＋a2×122＋…＋a2022×122022，当x＝12时，0＝a0＋a1×

12＋a2×122＋…＋a2022×122022，所以a1×12＋a2×122＋…＋a2022×122022＝－a0＝－1.故选ACD.赋值法的应用(1)对形如

(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anx

n，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．4.若(1－x)

5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．0B．1C．32D．－1答案A解析由(1－x)5的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr5xr，可得a1

，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.5．在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数

为________.答案90解析令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项为Tr＋18＝Cr5x5－r

3xr＝Cr53rx5－32r，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90.角度二项式系数的最值问题例3(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最

大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8答案B解析由题意，得a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，则13Cm2m＝7Cm2m＋1，∴13·(2m)！m！m！＝7·(2m＋1)！m！(m＋1)！，∴7(2m＋1)m＋1＝13，解得m＝6，经检验m＝6为原方程的解．故选B

.(2)二项式3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7答案D解析根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋13xn的

展开式的通项为Tr＋1＝Cr20(3x)20－r·13xr＝(3)20－rCr20x20－4r3，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数

的项共有7个．故选D.求二项式系数最大项(1)如果n是偶数，那么中间一项第n2＋1项的二项式系数最大．9(2)如果n是奇数，那么中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二

项式系数相等并最大．6.(多选)在(1＋2x)8的展开式中，下列说法正确的是()A．二项式系数最大的项为1120x4B．常数项为2C．第6项与第7项的系数相等D．含x3的项的系数为480答案AC解析因为n＝8，所以二项式系数最大的项为T5，T5＝C4

8(2x)4＝1120x4，A正确；(1＋2x)8展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(2x)r＝2rCr8xr，令r＝0，得常数项为1，B错误；第6项为T6＝25C58x5＝1792x5，第7项为T7＝26C68x6＝1792x6，第6项与第7项的系数相等，C正确；含x3的项为T4＝C

38(2x)3＝448x3，其系数为448，D错误．故选AC.7．若x＋2x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180B．120C．90D．45答案A解析由只有第6项的二项式系数最大，可知n＝10，于

是展开式的通项为Tr＋1＝Cr10(x)10－r·2x2r＝2rCr10x5－5r2，令5－5r2＝0，得r＝2，所以展开式中的常数项是22C210＝180.故选A.角度项的系数的最值问题例4(1)(2021·承德摸底)若(1＋

2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112<x<15B．16<x<1510C.112<x<23D．16<x<25答案A解析∵C162x>C06，C162x>C26(2x)2，∴x>112，0<x<15，即112<x<1

5.故选A.(2)(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________.答案64解析由题意可知C3n>C2n，C3n>C4n，∴n！3！(n－3)！>n！2！(n－2)！，n！3！(n－3)！>n！4！

(n－4)！.∴5<n<7.又n∈N*，∴n＝6.令x＝1，得(1＋x)6的系数和为26＝64.求展开式中系数最大项如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数

最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来．8.已知(x23＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3

)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n2n＝2n＝32，n＝5.11(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝2

70x223.(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，则由Tk＋1＝Ck5(x23)5－k(3x2)k＝3kCk5x10＋4k3，得3kCk5≥3k－1Ck－15，3kCk5≥3k＋1Ck＋15，∴7

2≤k≤92，∴k＝4，∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x23)(3x2)4＝405x263.考向三二项式定理的应用例5(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12答案D解析由于51＝52－

1，(52－1)2022＝C02022·522022－C12022522021＋…－C20212022521＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a，又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n

3分别为()A．9,0,4B．9,4,0C．9,2,0D．9,0,2答案A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010×110×(－0.01)0＋C110×19×(－0.01)1＋C210×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0

045＋…≈0.9045.故选A.二项式定理应用的题型及解法12(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋

nx.9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87答案B解析1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90

)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110×889＋…＋C910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)．答案1.172解析1.028＝(1＋0.02)

8≈C08＋C18×0.02＋C28×0.022＋C38×0.023≈1.172.二项式定理破解三项式问题1．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60答案C解析解法一：由二项展开式通项易知Tr＋1＝Cr5(x2＋x)

5－ryr，令r＝2，则T3＝C25(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，展开式的通项为Tt＋1＝Ct3(x2)3－txt＝Ct3x6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.解法二：因为(x2＋x＋y

)5＝(x2＋x＋y)(x2＋x＋y)…(x2＋x＋y)，即共有5个括号相乘，所以展开式中要得到含x5y2的项，只需5个括号中有2个括号里出y，同时剩余的3个括号中2个括号里出x2，另一个括号里出x便可，故含x5y2项的系数为C25y2C23(x2)2x＝C2

5C23x5y2.故x5y2的系数为C25C23＝10×3＝30.故选C.132.x2＋1x＋25的展开式中的常数项为________(用数字作答)．答案6322解析解法一：原式＝x2＋22x＋22x5＝132x5[(x＋2)2]5＝132x5(x＋2)10.求原式

的展开式中的常数项，转化为求(x＋2)10的展开式中含x5项的系数，即C510(2)5.所以所求的常数项为C510×(2)532＝6322.解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(2)5；②5个括

号中1个选x2，1个选1x，3个选2，这样得到的常数项为C1512C14C33(2)3；③5个括号中2个选x2，2个选1x，1个选2，这样得到的常数项为C25122C232，因此展开式中的常数项为(2)5＋C1512C14C33(2)3＋C25122

C232＝6322.答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为()A．－210B．210C．30D．－30答案A解析解法一：(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]

10＝C010(x2)10－C110(x2)9(x－1)＋…－C910x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以展开式中x3的系数为－C910C89＋C1010(－C710)＝－210.故选A.解法二：因为(x2－x＋1)10＝(x2－x＋1)·(x2－x＋1)…(x2－x＋1

)，即共10个括14号相乘，所以展开式中要得到x3的系数，只需分两类：第1类：从10个括号里选3个括号出(－x)，其余7个括号出常数项1，即C310(－x)3·17＝－C310x3；第2类：从10个括号里选1个括号出x2，从余下9个括号里选1个括号出(－x

)，其余括号全出常数项1，即C110x2C19·(－x)C8818＝－C110C19x3＝－90x3.故展开式中x3的系数是－C310－90＝－210.故选A.2.x2＋1x2－23的展开式中x2的系数是________(用数字作答)．

答案15解析解法一：因为x2＋1x2－23＝x－1x6，所以Tr＋1＝Cr6x6－r－1xr＝Cr6(－1)r·x6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，所以展开式中x2的系数是C26(－1)2＝15.解法二：因为x2＋1x2－23＝x2＋

1x2－2x2＋1x2－2x2＋1x2－2，所以展开式中要得到含x2的项，只需分两类：第1类：从3个括号里选1个括号出x2，其余括号都出常数项－2，即C13x2(－2)2＝12x2；第2类：从3个括号里选2个括号出x2，余下的那个括号出1x2，即C23(x2)2·

1x2＝C13x2＝3x2.故展开式中含x2的项是12x2＋3x2＝15x2，其系数为15.一、单项选择题1.3x－1x6的展开式中，有理项共有()A．1项B．2项C．3项D．4项答案D解析3x－1x6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(－1)r36－rx6－32

r，令6－32r为整数，求得r＝0,2,4,6，共4项．故选D.152．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中，一次项系数为()A．C2nB．C2n＋1C．Cn－1nD．12C3n＋1答案B解析1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2＝C2n＋1.故选B.3．在x－12

x6(x＋3)的展开式中，常数项为()A．－152B．152C．－52D．52答案A解析原式＝xx－12x6＋3x－12x6①，而x－12x6的通项为Tk＋1＝－12kCk6x6－2k，

当6－2k＝－1时，k＝72∉Z，故①式中的前一项不会出现常数项，当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项的常数项乘以3即为所求，此时原式常数项为3－123C36＝－152.故选A.4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋

C2n＋C3n＋…＋Cnn＝()A．63B．64C．31D．32答案A解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝26－C0n＝63.故选A.5．在x－1xn的展开

式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A．－126B．－7016C．－56D．－28答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，x－1xn的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCk8x8－32

k(k＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C38＝－56

.故选C.6．若x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为()A．－40B．－20C．20D．40答案D解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.2x－1x5的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)

5－r－1xr＝(－1)r25－rCr5x5－2r.令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23×C25＋(－1)3×22×C35＝80－40＝40.故

选D.7．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝()A．18B．24C．36D．56答案B解析(2x－1)4＝[1＋2(x－1)]4，故a2(x－1)2＝C24[2(x－1)]2＝4C24(x－1)2，a2＝

4C24＝24.故选B.8．(x2－x－a)5的展开式的各项系数和为－32，则该展开式中含x9项的系数是()A．－15B．－517C．5D．15答案B解析∵(x2－x－a)5的展开式的各项系数和为－32，令x＝1，可得(12－1－a)5＝－32，故(－a)5＝－32，解得a＝2，

故(x2－x－a)5＝(x2－x－2)5＝(x－2)5(x＋1)5.设(x－2)5展开式的通项为Ti＋1＝Ci5x5－i(－2)i，(x＋1)5展开式的通项为Mr＋1＝Cr5x5－r1r，则(x－2)5(x＋1)5展开式中含x9

项，即Ci5x5－i·(－2)iCr5x5－r1r＝Ci5Cr5(－2)ix5－rx5－i＝Ci5Cr5·(－2)ix10－i－r中x的幂是9，故10－i－r＝9，可得i＋r＝1，又0≤i≤5，0≤r≤5且i，r∈N，可得i＝0，r＝1或i＝1，r＝0.当i＝0，r＝1时，Ci

5Cr5(－2)i·x10－i－r＝C05C15(－2)0x9＝5x9；当i＝1，r＝0时，Ci5Cr5(－2)ix10－i－r＝C15C05(－2)1x9＝－10x9.该展开式中含x9项的系数为－10＋5＝－5.故选B.二

、多项选择题9．在x－1x6的展开式中，下列说法正确的有()A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0C．常数项为20D．二项式系数最大的项为第4项答案ABD解析所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确

；令x＝1得所有项的系数和为(1－1)6＝0，故B正确；常数项为C36x3－1x3＝－20，故C错误；展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D正确．故选ABD.10．(2021·南通学科基地考前模拟)若(x＋3)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8

，x∈R，则下列结论中正确的有()A．a0＝28B．a3＝8C31018C．a1＋a2＋…＋a8＝38D．(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝38答案AD解析(x＋3)8＝[2＋(x＋1)]

8＝28＋27C18·(x＋1)＋26C28(x＋1)2＋25C38(x＋1)3＋…＋(x＋1)8，对于A，令x＝－1，则(－1＋3)8＝28＝a0，故A正确；对于B，a3＝25C38＝1792，而8C310＝960，故B错误；对于C，

令x＝0，则38＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，于是a1＋a2＋…＋a8＝38－a0＝38－28，故C错误；对于D，令x＝－2，则1＝a0－a1＋a2－…＋a8.因为a0＋a1＋a2＋…＋a8＝38，所

以(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)(a0－a1＋a2－…＋a8)＝38，故D正确．故选AD.11．(2021·广东红岭中学模拟)若(1＋x)＋(1＋x)2＋…

＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是()A．n＝6B．a1＝21C．(1＋2x)n展开式中二项式系数和为729D．a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321答案ABD解析对

于A，因为(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝2(1－2n)1－2＝2n＋1－2，令x＝0，得n

＝a0，因为(1＋x)n中xn项为Cnnxn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n，解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋C12＋C13＋C14＋C15＋C16＝21，故B正确；对于C，(1＋2x)6展开

式中二项式系数和为26＝64，故C错误；对于D，令f(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，f′(x)＝1＋2(1＋x)＋…＋6(1＋x)5＝a1＋2a2x＋…＋6a6x5，令x＝1，得f′(1)＝1＋2×2＋3×22＋4×

23＋5×24＋6×25＝a1＋2a2＋…＋6a6＝321，故D正确．故选ABD.12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨19辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有()A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系

数相等”猜想：Cmn＝Cn－mnB．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Ckn＋1＝Ck－1n＋CknC．由“n行所有数之和为2n”猜想：C0n＋C1n＋C2n＋…＋

Cnn＝2nD．由“111＝11,112＝121,113＝1331”猜想：115＝15101051答案ABC解析由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A，B，C正确；115＝(10＋1)5＝C05105＋C15104＋C2510

3＋C35102＋C45101＋C55＝161051，故D错误．故选ABC.三、填空题13．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.答案3解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1

)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.14．(2021

·浙江高考)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.答案510解析(x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cr3x3－r

(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为Tk＋1＝Ck4x4－k，则a1＝C03＋C14＝1＋4＝5，a2＝C13(－1)1＋C24＝3，a3＝C23(－1)2＋C34＝7，a4＝C33(－1)3＋C44＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.2015．已

知二项式x＋124xn的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n＝________，展开式中的第5项为________.答案8358x解析二项式x＋124xn的展开式中，前三项的二项式系数之和为C0n＋C1n＋C2n＝1＋n＋n

(n－1)2＝37，则n＝8，故展开式中的第5项为C48·124x＝358x.16．S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数为________.答案7解析依题意S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C0

9×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9×(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，∴S被9除的余数为7.四、解答题17．(2021·锦州模拟)在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数

之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．设二项式x＋3x3n，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选条

件①，即只有第8项的二项式系数最大，则n＝14；若选条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14.二项式x＋3x314展开式的通项为Tk＝Ck－114(x)15－k3x3k－1＝3k－1Ck－114x21－7k2.

由21－7k＝0，得k＝3.21即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项．若选条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15.二项式x＋3x315展开式的通项为Tk＝Ck－115(x)16－k3x3k－1＝3k－1C

k－115x22－7k2.由22－7k＝0，得k＝227∉Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项．18．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数最小的m，n，求出此时x3的系

数；(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．解(1)根据题意得C1m＋C1n＝7，即m＋n＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝m(m－1)2＋n(n－1)2＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数

为m2－7m＋21＝m－722＋354，故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3，n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4，n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5.(2)f(0.

003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003≈2.02.