【文档说明】2021北师大版数学必修第一册课时分层作业：1.3.2 第1课时　基本不等式的简单应用 .docx，共(6)页，107.062 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(八)基本不等式的简单应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设s＝a＋b2＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是()A．s≥tB．s>tC．s≤tD．s<tA[∵b2＋1≥2b.∴s≥t]2．不等式a2＋1≥2a中等号成立

的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0B[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是()A．ab≤a＋b22B．ab≤a2＋b22C．1ab

≥2a2＋b2D．1ab≤2a＋b2D[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由a＋b2≥ab得，ab≤a＋b22∴1ab≥2a＋b2，故选D.]4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②|x＋1x|≥2；③a＋bab≤2；④x2＋1x2＋1≥

1，其中正确的个数是()A．3B．2C．1D．0B[仅②④正确．]5．若0<a<1，0<b<1且a≠b，则在a＋b，2ab，a2＋b2和2ab中最大的是()A．a＋bB．2abC．a2＋b2D．2abA[由0<a<

1，0<b<1，得a2＋b2<a＋b，又2ab≤a＋b，2ab≤a2＋b2，则最大的是a＋b.]二、填空题6．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．12[因为a＋2b≥2a·2b.所以2a·2b≤2，所以ab≤12，当且仅当a＝2b＝

1时取等号．]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值a＋b2的大小关系为________．x≤a＋b2[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)

2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).∴1＋x＝（1＋a）（1＋b）≤1＋a＋1＋b2＝1＋a＋b2，∴x≤a＋b2.当且仅当a＝b时等号成立．]8．设a，b为非零实数，给出不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab

＋ba≥2.其中恒成立的不等式的序号是________．①②[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知，①正确；a2＋b22＝（a2＋b2）＋（a2＋b2）4≥a2＋b2＋2ab4＝（a＋b）24＝a＋b22，故②正确；对于③，当

a＝b＝－1时，不等式的左边为a＋b2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]三、解答题9．已知x，y，z是互不相等的正数，求证：x＋1y，y＋1z，z＋1x中，至少有一个大于2.[证明]∵x＋1

y＋y＋1z＋z＋1x＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z>2x·1x＋2y·1y＋2z·1z＝6∴x＋1y，y＋1z，z＋1x中，至少有一个大于2.10．设a、b、c均为正数，求证bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.[证明]∵

a、b、c均是正数，∴bca，cab，abc均是正数，∴bca＋cab≥2c，cab＋abc≥2a，abc＋bca≥2b，三式相加得：2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，∴bca＋cab＋abc≥a

＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．11．下列不等式一定成立的是()A．x＋1x≥2B．x2＋2x2＋1≥2C．ba＋ab≥2D．21a＋1b≤abB[x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2，故选

B.]12．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC．1a＋1b>2abD．ba＋ab≥2D[当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A不成立；当a，b均小于零时，B，C不成立；由ab>0，得ba，

ab均大于零，由基本不等式得ba＋ab≥2ba·ab＝2.]13．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，则x＋y≤a恒成立的a的最小值是()A．22B．2C．2D．22B[(x＋y)2＝1＋2xy≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝12时，取等号，所以a≥2，

故选B.]14．设a>0，b>0，称2aba＋b为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中

线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_____的长度是a，b的几何平均数，线段____的长度是a，b的调和平均数．CDDE[在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2＝AC·CB，故CD＝ab，即CD的长度为a，b的几何平均数，将OC＝a－a＋b2＝a－b2，CD＝

ab，OD＝a＋b2代入OD·CE＝OC·CD可得CE＝a－ba＋bab故OE＝OC2－CE2＝（a－b）22（a＋b），所以ED＝OD－OE＝2aba＋b，故DE的长度为a，b的调和平均数．]15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(1)1a＋1b≥4；(2)1a＋1b＋1ab≥8.[证明](1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4(当且仅当a＝b＝12时等号成立)，∴1a＋1b≥4，∴原不等式成立．(2)∵a>0，b>0，a＋b＝

1，∴1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝4＋2(ba＋ab)≥4＋4ba·ab＝8(当且仅当a＝b＝12时等号成立)，∴1a＋1b＋1ab≥8，∴原不等式成立．获得更多资源请扫码加入享学资

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