【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第9章 第7讲　双曲线（一） 含解析【高考】.doc，共(24)页，368.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第7讲双曲线(一)1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|

＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当04a<c时，M点的轨迹是双曲线；(2)当05a＝c时，M点的轨迹是两条06射线；(3)当07a>c时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a

2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥08a或x≤09－a，y∈Rx∈R，y≤10－a或y≥11a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c

)2渐近线12y＝±bax13y＝±abx离心率e＝ca，e∈14(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的15实轴，它的长|A1A2|＝162a；线段B1B2叫做双曲线的17虚轴，它的长|B1B2|＝182b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的

关系19c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3．等轴双曲线实轴和虚轴20等长的双曲线叫等轴双曲线．1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1

|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.4．若P是双曲线x

2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距

离的等比中项．1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C．2D．2答案C3解析由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝2.故选C．2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点

，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|

＝17，故选B.3．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A．73B．54C．43D．53答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，点(3，－4)在渐近线上，∴ba＝43，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋169

a2＝259a2，∴e＝ca＝53.故选D．4．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x216－y29＝1的一条渐近线的距离为()A．95B．85C．65D．45答案A解析由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲

线的一条渐近线方程为y＝34x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式，得点(3,0)到双曲线4的一条渐近线的距离为|3×3－4×0|32＋(－4)2＝95.故选A．5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b>0)经过点(3,4)

，则该双曲线的渐近线方程是________.答案y＝±2x解析因为双曲线x2－y2b2＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1(b>0)，解得b＝2，即双曲线方程为x2－y22＝1，其渐近线方程为y＝±2x.6．已知曲线方

程x2λ＋2－y2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________.答案λ<－2或λ>－1解析∵方程x2λ＋2－y2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.考向一双曲线的定义例1(1)(2020·全国Ⅰ

卷)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．72B．3C．52D．2答案B解析双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|OP|＝2＝12|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P

为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－5|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16

－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝3.故选B.(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆

C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.答案x2－y28＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC

1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距

离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双

曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．1.已知动点M(x，y)满足(x＋2)2＋y2－(x－2)2＋y2＝4，则动点M的

轨迹是()A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支答案A6解析设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A．2．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|P

F|＋|PA|的最小值为________.答案9解析设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点P在线段AF1上时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|

PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.考向二双曲线的标准方程例2(1)(2021·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是()A．7x216－y212＝1B．y23

－x22＝1C．x2－y23＝1D．3y223－x223＝1答案C解析因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以可设双曲线的方程为x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C．(2)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝

1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A．x24－y22＝1B．x23－y22＝1C．x24－y28＝1D．x2－y22＝1答案D7解析由题意可知|PF1|＝43c3，|PF2|＝23c3，2b＝22，

由双曲线的定义可得43c3－23c3＝2a，即c＝3a.又b＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y22＝1，故选D．(3)经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________

.答案y225－x275＝1解析设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹

是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n

2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线的设法(ⅰ)

已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；(ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；(ⅲ)已知渐近线方程为xm±yn＝0的双曲线，可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)．③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断

．8④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．3.(2021·北京高考)双曲线C：x2a2－y2b2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B．x23－y2＝1C．x2－3y23＝1D．3x

23－y2＝1答案A解析∵e＝ca＝2，∴c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此，双曲线的方程为x2

－y23＝1.故选A．4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－x248＝1(y≤－1)B．y2－x248＝1C．y2－x248＝－1D．x2－y24

8＝1答案A解析由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵在双曲线中，c＝7，a＝1，∴b2＝48

，∴轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．多角度探究突破9考向三双曲线的几何性质角度双曲线离心率问题例3(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|

PF2|，则C的离心率为()A．72B．132C．7D．13答案A解析由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos60°，所以C的离心率e＝ca＝72.故选A．(2)若斜率为2的直线与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是

()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(1，3)D．(3，＋∞)答案D解析因为斜率为2的直线与双曲线x2a2－y2b2＝1恒有两个公共点，所以ba>2，则e＝ca＝1＋b2a2>1＋2＝3，所以双曲线离心率的

取值范围是(3，＋∞)，故选D．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．5.(多选)已

知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(26，0)，点P的坐标为(0,1)，点Q为双曲线C左支上的动点，且△PQF的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为()10A．3B．23C．5D．3答案AC解析设双曲线C的左焦点为F′

，则|QF|－|QF′|＝2a，即|QF|＝|QF′|＋2a，故|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|PQ|＋2a≥|PF′|＋2a.由题意可得|PF′|＝|PF|＝24＋1＝5，所以|PQ|＋|QF|＋|PF|≥2|PF|＋2a≥14，所以a≥2

，则双曲线C的离心率e＝ca＝26a≤6.因为e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围为(1，6]．故选AC．6．(2022·广东湛江模拟)已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点

F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)答案D解析依题意，得0<∠AF2F1<π4，故0<tan∠AF2

F1<1，则b2a2c＝c2－a22ac<1，即e－1e<2，e2－2e－1<0，(e－1)2<2，又e＞1，所以1<e<1＋2，故选D．角度双曲线的渐近线问题例4(1)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C

的渐近线方程为()A．y＝±13xB．y＝±33xC．y＝±3xD．y＝±3x答案B解析由题可知双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，圆心为(2,0)，半径为1，11易知圆心到渐近线的距离d＝2ba2＋b2＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，则ba＝33，

故双曲线C的渐近线方程为y＝±33x，故选B.(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，|PF1→|＝2|PF2→|＝2m(m＞0)，PF1→·PF2→＝m2，则双曲线C的渐近线方

程为()A．y＝±12xB．y＝±22xC．y＝±xD．y＝±2x答案D解析因为|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1→|＝2|PF2→|＝2m，所以m＝2a.由PF1→·PF2→＝m2可得4a·2aco

s∠F1PF2＝4a2，所以∠F1PF2＝60°，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即有4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×12＝12a2，即c2＝a2＋b2＝3a2，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选D．(1)渐近

线的求法：求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0y＝±bax.(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜

率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.7.(2021·湖南3月联考)赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史．赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为7.23米．设拱弧(假设桥

拱的曲线是圆弧)的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值．已知双曲线C：x2a2－y2192＝1(a>0)的焦距为r，则C的离心率为(参考数据：127.232＋18.852≈407.6)()A．5B．6C．7D．8答案C解析

由题意知，R2＝37.722＋(R－7.23)2，∴14.46R＝7.232＋18.852≈407.6，∴R≈28.19，∴r＝28，∵a2＋192＝r22＝142＝196，∴a＝2，∴离心率e＝r2a＝142＝

7.故选C．8．(多选)(2021·山东烟台模拟)已知双曲线C过点(3，2)且渐近线方程为y＝±33x，则下列结论正确的是()A．C的方程为x23－y2＝1B．C的离心率为3C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D．直线x－2y－1＝0与C有两个公共点答案AC解析因为

渐近线方程为y＝±33x，所以可设双曲线方程为x29－y23＝λ，将(3，2)代入，得λ＝13，所以双曲线方程为x23－y2＝1，A正确；该双曲线的离心率为233≠3，B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，C正确；把x＝2y＋1代入双曲线方程，

得y2－22y＋2＝0，解得y＝2，故直线x－2y－1＝0与曲线C只有一个公共点，D不正确．139．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.答案y＝±3x解析因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0

)的离心率为2，所以e＝c2a2＝a2＋b2a2＝2，所以b2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.一、单项选择题1．“k<9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析

∵方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．2．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为(

)A．±512，0B．0，±512C．(±5,0)D．(0，±5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为x219－y2116＝1，所以c2＝19＋116＝25144，所14以c＝512，所以焦点坐标为±512，0.

3．(2021·重庆一中模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±12xB．y＝±2xC．y＝±4xD．y

＝±14x答案A解析设F(－c,0)(c>0)，由题知，一条渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0.因为d＝|－bc|b2＋a2＝b＝12a，所以ba＝12，故渐近线方程为y＝±12x.故选A．4．(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C：x2a2－y2b

2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50°D．1cos50°答案D解析由题意可得－ba＝tan130°，所以e＝1＋b2a2＝1＋tan2130°＝1＋sin2130°cos2130

°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D．5．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为()A．3B．6C．9D．12答案B解析圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心

为C(2,0)，半径r＝1.双15曲线的渐近线方程为y＝±bax，不妨取y＝bax，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝|2b|a2＋b2＝1，所以3b2＝a2.由x2a2－y23＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选

B.6．(2021·济南模拟)许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝2010米，上底直径C

D＝202米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为()A．10米B．20米C．103米D．105米答案B解析以最细处平行于CD的直径所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知D(－102，20)，B(

1010，－60)，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∴200a2－400b2＝1，1000a2－3600b2＝1，解得a2＝100，b2＝400，∴a＝10，∴|EF|＝2a＝20，故选B.7．已知

F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|16＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．45答案C解析由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝

2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34.8

．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析∵ca＝5，∴c＝5a，根据双曲线的定义可得||F1P|－|F2

P||＝2a，∵S△PF1F2＝12|F1P|·|F2P|＝4，∴|F1P|·|F2P|＝8.∵F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝(2c)2，∴(|F1P|－|F2P|)2＋2|F1P|·|F2P|＝4c2，即(2a)2＋2×8＝4(5a)2，解得

a＝1，故选A．9．(2021·浙江高考)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是()A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线答案C解析因为函数f(x)＝ax2

＋b，所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，所以[f(s)]2＝f(s－t)f(s＋t)，即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[

a(s＋t)2＋b]，化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，得t＝0或2as2－at2＝2b，易知点(s，t)的轨迹是直线和双曲线．故选C．1710．(2022·北京海淀模拟)如图，已知双曲线C：x2a2－y2a＋2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，

且直线F2M与y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N.若|MN|＝2，则双曲线C的离心率为()A．52B．5C．2D．2答案D解析设△AMF1的内切圆在边AF1，AM的切点分别为E，G，则|AE|＝|AG|，|EF1|＝|F1N|，|MN|＝|MG|.又

|MF1|－|MF2|＝2a，则|EF1|＋|MG|－|MF2|＝2a，由对称性可知|AF1|＝|AF2|，即|EF1|＋|AE|＝|MF2|＋|MG|＋|AG|，化简可得|MN|＝a，则a＝2，a＋2＝4，所以双曲线C的离心

率为22＋42＝2.二、多项选择题11．已知曲线C的方程为x2k2－2－y26－k＝1(k∈R)，则下列结论正确的是()A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋15B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为3C．对任意实数k，曲线C都不可能为焦点在y轴上的双曲线D．当k＝

3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切答案BC解析对于A，当k＝8时，曲线C的方程为x262＋y22＝1，该曲线为椭圆，焦距2c＝262－2＝415，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为x22－y24＝181，该曲线为双曲线，则a＝2，c＝6，其离心率e＝ca＝3

，B正确；对于C，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则6－k＜0，k2－2＜0，无解，故不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C正确；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为x27－y23＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y＝±217x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线

的距离d＝|±421|21＋49＝4310≠3，所以双曲线C的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选BC．12．(2021·山东日照三模)已知曲线C：x29＋y2m＝1，F1，F2分别为曲线C的左、

右焦点，则下列说法正确的是()A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝π2D．若m＝3，P为C上一个动点

，则△PF1F2面积的最大值为32答案ABD解析对于A，当m＝－3时，曲线C：x29－y23＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y＝±33x，故渐近线的倾斜角分别为π6，5π6，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3，故A正确；对于B，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，

a＝3，e＝2，故c＝6，所以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B正确；对于C，若m＝3，则曲线C：x29＋y23＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，3)，则cos∠F1MF2＝a2＋a2－

4c22a2＝－618＝－13<0，故∠F1MF2为钝角，所以曲线C上存19在点P，使得∠F1PF2＝π2，故C错误；对于D，若m＝3，则曲线C：x29＋y23＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，P为C上

一个动点，则△PF1F2面积的最大值为Smax＝12×2c×b＝12×26×3＝32，故D正确．故选ABD．三、填空题13．(2021·全国乙卷)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.答案5解析由题意可知，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，由

点到直线的距离公式得距离d＝|3＋2×0－8|12＋22＝5.14．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________.答案4解析双曲线x2m－y

2＝1(m>0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.15．(

2022·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2b2a，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为____

____.答案5＋125－1220解析由F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2b2a，可得2c＝2b2a＝2c2－2a2a，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝1＋52.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1

|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝12|PF1|·r，S△IPF2＝12|PF2|·r，S△IF1F2＝12·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，得12|PF1|·r＝12·|PF2|·r＋λcr，故λ＝|PF1|－|PF2|

2c＝ac＝11＋52＝5－12.16．点P是椭圆x2a21＋y2b21＝1(a1＞b1＞0)和双曲线x2a22－y2b22＝1(a2＞0，b2＞0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2＝π3，则b

1b2的值是________.答案3解析不妨设P是第一象限内的交点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可知m＋n＝2a1，①由双曲线定义可知m－n＝2a2，②由①②得m＝a1＋a2，n＝a1－a2.在△F1PF2中，由余弦定理的推论可得，cos∠F1P

F2＝m2＋n2－(2c)22mn＝12，即m2＋n2－mn＝4c2，∴(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，即a21＋3a22＝4c2，又知a21－b21＝c2，a22＋b22＝c2，∴b21＋c2＋3(c2－b22)＝4c2，∴b21

＝3b22，又知b1>0，b2>0，∴b1b2＝3.四、解答题17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且21过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1→·M

F2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．解(1)因为e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线的方程为x2－y2＝6.(

2)证明：设MF1→＝(－23－3，－m)，MF2→＝(23－3，－m)．所以MF1→·MF2→＝(－23－3)×(23－3)＋(－m)2＝－3＋m2，因为点M在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝

0，所以MF1→·MF2→＝0.(3)因为△F1MF2的底边长|F1F2|＝43.由(2)知m＝±3.所以△F1MF2的高h＝|m|＝3，所以S△F1MF2＝12×43×3＝6.18．(2022·江苏南京摸底)

已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.(1)求此双曲线的方程；(2)若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．2

2解(1)依题意得ab＝2，2×0＋c5＝1，a2＋b2＝c2，解得a＝2，b＝1，故双曲线的方程为y24－x2＝1.(2)证明：因为点M55，m在双曲线上，所以m24－15＝1.所以m2＝245.不妨设F1在x轴下方，则F1(0，－5)，F2(0，5)，所以MF1

→·MF2→＝－55，－5－m·－55，5－m＝－552－(5)2＋m2＝15－5＋245＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．19．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F

2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两个曲线的方程；(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知c＝13，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.则a－

m＝4，7·13a＝3·13m，解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.所以椭圆的方程为x249＋y236＝1，双曲线的方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6

，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，又|F1F2|＝213，23所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.20．(2021·新高考八省联考)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的

左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.解(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，Bc，±b2a，因为|AF|＝|BF|，故b2a＝a＋c，故c2－ac－2a2

＝0，即e2－e－2＝0，又e>0，故e＝2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.因为e＝2，故c＝2a，b＝3a，故双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以∠BAF∈0，π3，∠BFA∈0，2π3.

当∠BFA＝π2时，由题意易得∠BAF＝π4，此时∠BFA＝2∠BAF.当∠BFA≠π2时，因为tan∠BFA＝－y0x0－c＝－y0x0－2a，tan∠BAF＝y0x0＋a，所以tan2∠BAF＝2y0x0＋a1－y0x0＋a2＝2

y0(x0＋a)(x0＋a)2－y2024＝2y0(x0＋a)(x0＋a)2－b2x20a2－1＝2y0(x0＋a)(x0＋a)2－3a2x20a2－1＝2y0(x0＋a)(x0＋a)2－3(x20－a2)＝2y0(x0＋a)－3(x0－a)＝－y0x0－2a＝tan∠BF

A，因为2∠BAF∈0，2π3，故∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.