【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.1.3-4两条直线的位置关系　两条直线的交点【高考】.docx，共(11)页，223.999 KB，由小赞的店铺上传

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1．3两条直线的位置关系1．4两条直线的交点填一填1.两直线平行、垂直与斜率的关系两条不重合直线l1与l2的倾斜角分别为α1，α2，当斜率存在时，设直线方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则位置关系平行垂直斜率存在斜率不存在斜率存在一条斜率不存在前提条

件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°|α2－α1|＝90°α1＝0°α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1斜率为0，l2斜率不存在图示2.两条直线的交点两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程

组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是两条直线的交点，因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.判一判1.两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率

一定相等．(×)2．斜率相等的两条直线一定平行．(×)3．若两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1.(×)4．若k1·k2≠－1，则两直线必不垂直．(√)5．如果两直线垂直，则这两条直线的倾斜角可能相等．(×)6．两

条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的实数解．(√)7．若方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0

无解，则两直线没有交点，两直线平行．(√)8．直线x＝2与y＝3没有交点．(×)想一想1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？提示：在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相等；当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x

轴．2．判断两条直线是否平行的步骤是什么？提示：3．使用斜率公式判定两直线垂直的步骤是什么？提示：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率

的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．4．两条直线相交的判定方法是什么？提示：(1)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．(2)两直线斜率都存在且斜率不等．(3)两直线的斜率一个存在，另一个不

存在．思考感悟：练一练1.直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是()A．(－2，－1)B．(－1，－2)C．(1,2)D．(2,1)答案：B2．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是()A．平行B．相

交C．重合D．不确定答案：B3．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．ax－ay－a＝0D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0答案：B4．直线y＝kx与直线y＝2x

＋1垂直，则k＝________.答案：－125．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.答案：－23知识点一两条直线平行、垂直的判定1.判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝

0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解析：(1)l1：y＝－35x＋65，l2：y＝－3

5x－310.则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－310.∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.(2)l1：y＝12x＋73，l2：y＝－2x＋2.则k1＝12，k2＝－2，∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)∵直线l1，l2的

斜率均不存在，且2≠4，∴l1∥l2.(4)∵直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在，∴l1⊥l2.2．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则给出下面四个结论：①AB∥CD

，②AB⊥CD，③AC∥BD，④AC⊥BD.其中正确结论的序号是________．解析：因为kAB＝－35，kCD＝－35，kAC＝14，kBD＝－4，所以kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，所以AB∥C

D，AC⊥BD.答案：①④知识点二平行与垂直的综合应用3.已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.解析：若l1

⊥l2，则k1·k2＝－1，即－b2＝－1，∴b＝2；若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，∴b＝－98.答案：2－984．已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若AB⊥BC，求实数m的值．解

析：(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，则kBC＝kAB，即m2－m－22＝1m－2，解得m＝1或1－3或1＋3.(2)由已知，得kBC＝m2－m－22，且xA－xB＝m－2.①当m－2＝0，即m＝2时，直线A

B的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝1m－2，由kAB·kBC＝－1，得1m－2·m2－m－22＝－1.解得m＝－3.综上，可得实数m的值为2或－3.知识点三求两条直线的交点5.判断下列各对直线的位置关系，若

相交，求出交点．(1)l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋3y＋2＝0；(2)l1：3x－5y＋10＝0，l2：9x－15y＋30＝0；(3)l1：2x－6y＋1＝0，l2：y＝13x＋2.解析：(1)解方程组3x－y＋4＝0，

x＋3y＋2＝0，得x＝－75，y＝－15.所以这两条直线相交且垂直，交点是－75，－15.(2)解方程组3x－5y＋10＝0，①9x－15y＋30＝0，②可知，方程②能化为方程①，所以此方程组有无数多个解，所以这两条直线重合

．(3)l2的方程即x－3y＋6＝0，解方程组2x－6y＋1＝0，x－3y＋6＝0，可知方程组无解，所以这两条直线平行．6．若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为()

A．－24B．6C．±6D．24解析：方法一联立方程得2x＋3y－k＝0，x－ky＋12＝0，消去y得x＝k2－363＋2kk≠－32.由题意知k2－363＋2k＝0，解得k＝±6.方法二显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，令x＝

0，得y＝k3，在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝12k，由题意可得12k＝k3，解得k＝±6.答案：C知识点四过两直线交点的直线系方程的应用7.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．19x－3y

＝0D．3x＋19y＝0解析：方法一由x－3y＋4＝0，2x＋y＋5＝0，得x＝－197，y＝37，则所求直线方程为y＝37－197x＝－319x，即3x＋19y＝0.方法二设直线方程为x－3y＋4＋λ

(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x＋19y＝0.答案：D8．无论m、n取何实数，直线(3m－n)

x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为()A．(－1,3)B.－12，32C.－15，35D.－17，37解析：直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0整理为m

(3x＋y)－n(x－2y＋1)＝0，解方程组3x＋y＝0，x－2y＋1＝0，得交点坐标为－17，37.因此无论m，n取何实数直线必经过点－17，37.答案：D综合知识两条直线的位置关系及交点9.已知m∈R，试求方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0

所表示的直线恒过的定点P.解析：方法一当m＝－2时，方程变为－5y＋4＝0；当m＝3时，方程变为5x＋4＝0，解方程组－5y＋4＝0，5x＋4＝0，得x＝－45，y＝45，因此直线所经过的定点坐标为－45，45.经检验直线恒过该定点P－45，45

.方法二原方程可化为mx＋2x＋my－3y＋4＝0，即2x－3y＋4＋m(x＋y)＝0，它表示过直线2x－3y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点的直线系(不包括直线x＋y＝0)．无论m取何值，它都过这两条直线的交点

．由2x－3y＋4＝0，x＋y＝0，解得x＝－45，y＝45，所以直线必经过定点－45，45.10．已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D

(－2，m＋2)．(1)当m＝6时，试判断直线l1与l2的位置关系；(2)若l1⊥l2，试求m的值．解析：(1)当m＝6时，A(3,6)，B(5,2)，C(1,2)，D(－2,8)．kl1＝6－23－5＝－2，kl2＝2－81＋2＝－2，故kl1＝

kl2此时，直线l1的方程为：y－6＝－2(x－3)，经验证点C不在直线l1上，从而l1∥l2.(2)kl2＝m＋2－2－2－1＝－m3，l2的斜率存在．若l1⊥l2，当kl2＝－m3＝0时，m＝0，则A(3,0)，B(－1,2)，此时直线l2的斜率存在

，不符合题意，舍去；当kl2＝－m3≠0时，kl1＝m－24－m，故－m3·m－24－m＝－1，解得m＝3或m＝－4.综上：m＝3或m＝－4.基础达标一、选择题1．下列说法正确的是()A．若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2B．若直线的斜率kl1·kl2＝1

，则l1⊥l2C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2D．若直线l1，l2的斜率存在但不相等，则l1与l2不平行解析：直线l1，l2的斜率相等时，l1和l2可能重合，故A错；若kl1·kl2＝－1，则l1⊥l2，故B错；直线l1，l2的斜率都不存在时，

l1，l2可能重合，故C错；故选D.答案：D2．过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l平行，又直线l的斜率为1，则a与b满足()A．b－a＝1B．a－b＝1C．b＋a＝1D．b＋a＝－1解析：依题意，kAB＝b－a5－4＝1，

所以b－a＝1，故选A.答案：A3．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是()A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝0解析：设过直线交点的方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0，即(2＋λ)x－(1

＋λ)y＋4＋5λ＝0，∴其斜率为k＝2＋λ1＋λ，∵与直线x－2y＝0垂直，∴2＋λ1＋λ·12＝－1，∴λ＝－43，∴直线方程为2x＋y－8＝0，故选A.答案：A4．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则定点坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)

C．(3,1)D．(3，－1)解析：直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由x－y－4＝0，2x＋y－5＝0，解得x＝3，y＝－1，交点为(3，－1)．故选D.答案：D5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y

－2＝0平行，则m等于()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.答案：C6．两条直线l1：ax＋(1＋a)y＝3，l2：(a＋1)x

＋(3－2a)y＝2互相垂直，则a的值是()A．3B．－1C．－1或3D．0或3解析：因为两条直线l1：ax＋(1＋a)y＝3，l2：(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，所以a(a＋1)＋(1＋a)(3－2a

)＝0，解得a＝－1或a＝3.所以a的值是－1或3.故选C.答案：C7．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，则其形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D

．无法判断解析：∵kAB＝1－(－1)1－5＝－12，kBC＝3－12－1＝2，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，故选A.答案：A二、填空题8．已知直线l经过点P(－2,5)，且与直线4x＋3y＋2

＝0平行，则直线l的方程为________．解析：设直线l的方程为：4x＋3y＋m＝0，把点P(－2,5)代入可得：－8＋15＋m＝0，解得m＝－7.所以直线l的方程为4x＋3y－7＝0.答案：4x＋3y－7＝09．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点

M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.解析：因为l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－12，所以7－5x－3＝y－5－1－3＝－12，所以x＝－1，y＝7.答案：－1710．直线l1：x＋ay＋6＝

0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a等于________．解析：显然当a＝0时，l1与l2不平行当a≠0时，由l1∥l2可得－1a＝－(a－2)3，即a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.a＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3

y＋6＝0，l1与l2重合，不符合题意，舍去，经检验知a＝－1时l1∥l2.答案：－111．若直线y＝kx＋3与直线y＝1kx－5的交点在第一象限，则k的取值范围是________．解析：表示出交点，横纵坐标均大于0.答案：(0,1)12

．不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是________．解析：直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，根据k的任意性可得2x－y－1＝0，－x

－3y＋11＝0，解得x＝2，y＝3，所以不论k取什么实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都经过一个定点(2,3)．答案：(2,3)三、解答题13．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值．解析

：kAB＝1－(－1)1－5＝－12，kAC＝m－(－1)2－5＝－m＋13，kBC＝m－12－1＝m－1.若AB⊥AC，则有－12·－m＋13＝－1，所以m＝－7；若AB⊥BC，则有－12·(m－1)＝－1，所以m＝3；若AC⊥BC，则有－m＋

13·(m－1)＝－1，所以m＝±2.综上可知，所求m的值为－7，±2,3.14．已知△ABC的顶点坐标A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求顶点C的坐标，及直线

BC的方程．解析：因为AC⊥BH，所以由kBH＝12得kAC＝－2，因此AC方程为y－1＝－2(x－5)，化简得2x＋y－11＝0，与2x－y－5＝0联立，可解得C坐标为(4,3)，因为B在高BH上，所以设B坐标

为(2y＋5，y)，则AB中点M的坐标为y＋5，y＋12，而M在直线2x－y－5＝0上，所以2(y＋5)－y＋12－5＝0，解得y＝－3，因此B(－1，－3)，所以，由两点式可得BC方程为y＋33＋3＝x＋14＋1化简得6x－5y－9＝0.能力提升15.已知直线l1：ax＋3y＋1＝

0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，求满足下列条件的a的值；(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2；(3)当a取何值时，直线l2不过第四象限？解析：由题意可知A1＝a，B1＝3，C1＝1；A2＝1，B2＝a－2，C2＝a.(1)当l

1∥l2时，A1B2－A2B1＝a(a－2)－1×3＝0，B1C2－B2C1＝3a－(a－2)×1≠0，即a2－2a－3＝0，2a＋2≠0，解得a＝3.所以，当a＝3时，l1∥l2.(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝a×1＋3×(a－2)＝0，即4a－6＝0，解

得a＝32.所以，当a＝32时，l1⊥l2.(3)当a≠2时，直线l2的方程可转化为y＝－1a－2x－aa－2.由于直线l2不过第四象限，则－1a－2>0，－aa－2≥0，解得0≤a<2，当a＝

2时，直线l2的方程为x＝－2，不过第四象限，符合题意．综上所述，a的取值范围是[0,2]．16．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(2,1)，中心E(3,3)．(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形；(2)点P(x，y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动，求

yx的取值范围．解析：(1)因为平行四边形的对称线互相平分，所以由中点坐标公式得C(5,4)，D(4,5)．所以kAB＝－1，kBC＝1.所以kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，即平行四边形ABCD为矩形．又|AB|＝2，|BC|＝32，所以|AB|≠|BC|，即平

行四边形ABCD不是正方形．(2)因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动，所以yx的几何意义为直线OP的斜率．作出大致图像，如图所示，由图可知kOB≤kOP≤kOA，因为kOB＝12，kOA＝2，所以12≤kOP≤2，所以yx的取值范围为12，

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