【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2023届高三下学期模拟试卷（一）（一模）数学含解析.docx，共(18)页，1.193 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2023届模拟试卷（一）数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题:本大

题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xyx=,xR},2,Byyxx==R∣,则AB等于A.{(0,0),(1,1)}B.{0}yy∣…C.{}xxR∣D.2.某工厂的一

台流水线生产质量稳定可靠,已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z（单位:μm）服从正态分布N（60,4）.甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习,甲、乙对各自抽取的5个零件测量内径尺寸（单位:μm）如下,甲

同学测量数据：59,60,62,63,65;乙同学测量数据:52,53,55,57,62,则可以判断A.甲、乙两个同学测量都正确B.甲、乙两个同学测量都错误C.甲同学测量正确,乙同学测量错误D.甲同学测量错误,乙同学测量正确3.函数3si

n()xfxxx=−在[?,0)(0,]−上的大致图象为A.B.C.D.4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“

圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时,平地的降雨量是A

.9寸B.6寸C.4寸D.3寸5.为调查某地区中学生每天睡眠时间,釆用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的

方差为A.0.94B.0.96C.0.75D.0.786.已知236mn==,则m,n不可能．．．满足的关系是A.4mn+B.4mnC.228mn+D.22(1)(1)2mn−+−7.已知,0,,sin(2)2sin?2

+=,则tan的最大值为A.12B.33C.22D.328.已知O为坐标原点,双曲线C:22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为62,点()11,Pxy是C的右支上异于顶点的一点,过F2作12FPF的平

分线的垂线,垂足是M,||2MO=,若双曲线C上一点T满足125FTFT=,则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为A.22B.23C.25D.26二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符

合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z=a+bi（a,bR）,其共轴复数为z,则下列结果为实数的是A.2zB.2zC.(1)(1)zz++D.2023()izz−10.平面内到两定点距离之

积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中,M（-2,0）,N（2,0）,动点P满足||||5PMPN=,则下列结论正确的是A.点P的

横坐标的取值范围是[-5,5]B.|OP|的取值范围是[1,3]C.△PMN面积的最大值为52D.||||PMPN+的取值范围是[25,5]11.已知函数()sinfxxx=,则下列说法正确的有A.()fx是偶函数B.()fx是周期

函数C.在区间,2上,()fx有且只有一个极值点D.（0,0）作y=()fx的切线,有无数条12.在直平行六面体1111ABCDABCD−中,160,2BADABADAA====,P为1

CC的中点,点Q满足1([0,1],[0,1])DQDCDD=+.下列结论正确的是A.若1+=,则四面体1ABPQ的体积为定值B.若AQ∥平面1ABP,则AQ的最小值为5C.若1ABQ△的外心为E,则11ABAE为定值2D.若17AQ=,则点Q的轨迹

长度为23三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(1,2),(2,)abt==,若||||abab+=−,则t的值为.14.已知a>0,若9290129()(1)(1)(1)xaaaxaxax+=+++++++,且a5=

126,则a=.15.已知函数sin()(0,(0,2))yx=+的一条对称轴为6x=−,且()fx在4,3上单调,则的最大值为.16.如图,椭圆()2211221110xyabab+=与双曲线()2222

22221,0xyabab−=有公共焦点1(,0)Fc−,2(,0)(0)Fcc,椭圆的离心率为1e,双曲线的离心率为2e,点P为两曲线的一个公共点,且123FPF=,则221213ee+=;若I为12FPF△的内心,1,,FIG三点共线,GPIP=0,x

轴上点A,B满足,AIIPBGGP==,则22+的最小值为.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=3.(1)当2sin2A+sin(2B+C)=si

nC时,求△ABC的面积;(2)求△ABC周长的取值范围.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,O为AB的中点,平面POC⊥平面ABCD.AD//BC,AB⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面PAB⊥平

面ABCD;(2)求二面角O-PD-C的余弦值.19.(12分)市教育局计划举办某知识竞赛,先在A,B,C,D四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加“赛区预赛”,预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的

具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手得20分,否则得0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;方式二:每轮必答3个问

题,共回答4轮,在每一轮答题中,若答对不少于2题,则该轮次中参赛选手得30分,如果仅答对1题,则得20分,否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为p(0<p<1).(

1)若12p=,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率;(2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.(12分)已知数列na满足14a=,当2n…时,144(1)nnnaann−−=−−.(1)求数列na的通项公式;(2)已知数列1nnbna=−,证明：12

11149nbbb+++.21.(12分)已知抛物线2:2(0)Eypxp=过点C(l,2),在E上任取不同于C的点A,直线AC与直线,y=x+3交于点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点B.(1)求证:直线AB过定点;(2)求△ABC面积的最小值

.22.(12分)已知函数11()ln,()ln(1)fxxaxgxxxaxxx=+−=+−+.(1)讨论函数()fx的单调性;(2)记()fx的零点为x0,()gx的极小值点为x1,当a(1,4)

时,判断x0与x1的大小关系,并说明理由.长郡中学2023届模拟试卷(一)数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BCBDACBABCDBCACABD1.B【解析】集合A,B都是数集,,{0}AByy==R∣…,则{0}AByy=∣…,故选B.2.C【解析】根据正

态分布的3原则,=60,=2,合格的内径尺寸范围是(54,66),则甲同学测量正确,乙同学测量错误,故选C.3.B【解析】[,0)(0,]x−,而33sin()sin()()()xxfxxxfxxx−−=−−=−−−,且()()fxfx−−,即函数()f

x既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点、y轴不对称,排除C、D;而()f=,排除A,故选B.4.D【解析】由已知天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸,由积水深9寸知水面半径为12(14+6)=

10寸,则盆中水体积为()22196106105883++=(立方寸),所以平地降雨量为258814=3(寸),故选D.5.A【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:8001200988.41200800120080

0+=++(小时),该地区中学生每天睡眠时间的方差为：2280012001(98.4)0.5(88.4)0.9412008001200800+−++−=++.故选A.6.C【解析】23236,log6,log6mnmn====,即6611

log2log31mn+=+=,即()mnmnmn+=.对于A,2,42mnmnmnmn++=+成立.对于B,2,4mnmnmnmn=+,成立.对于C,()222224,16()22

mnmnmnmnmn++=+++,即228mn+.对于D,222(1)(1)()22mnmn−+−=−+成立.故选C.7.B【解析】,0,,sin(2)2sin2+=,sin[()]2sin[()],

tan0,tan0++=+−,sin()coscos()sin2[sin()coscos()sin]+++=+−+,即3cos()sinsin()cos,tan()3ta

n+=++=,即tan()tantantan[()]1tan()tan+−=+−=++,所以22tan223tan113tan313tan23tantantan===++

„,当且仅当13tantan=,即3tan3=时,等号成立,tan取得最大值33.故选B.8.A【解析】设半焦距为c,延长2FM交1PF于点N,由于PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM,所以△NPF2

是等腰三角形,所以Q|PN|=|PF2|,且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知122PFPFa−=,即12NFa=,由于O是12FF的中点,所以MO是△NF1F2的中位线,所以11||22MONF

a===,又双曲线的离心率为62,所以3,1cb==,所以双曲线C的方程为2212xy−=.所以12(3,0),(3,0)FF−,双曲线C的渐近线方程为20xy=,设(,),TuvT到两渐近线的距离之和为S,则|2||2|33uvuvS+−=+,由

22212(3)(3)35FTFTuuvuv=−++=+−=,即u2+v2=8,又T在22:12xCy−=上,则2212uv−=,即2222uv−=,解得226,2uv==,由||2||uv,故2||222uS==,即距离之和为22.故选A.

9.BCD【解析】对于A,z2=a2-b2+2abi,不一定为实数;对于B,222zab=+R;对于C,22(1)(1)121zzzzzzaba++=+++=+++R;对于D,()506202320244()i2i2i2z

zbbb−===R.故选BCD.10.BC【解析】设点(,)Pxy,依题意得2222(2)(2)25xyxy++−+=,对于A,()2222222225(2)(2)(2)(2)4xyxyxx

x=++−++−=−…,当且仅当0y=时取等号,解不等式()22425x−„,得33x−剟,即点P的横坐标的取值范围是[3,3]−,则A错误;对于B,()()2222444425xyxxyx+++++−=,则22242516xyx++=

+,显然209x剟,因此222||25164[1,3]OPxyx=+=+−,B正确;对于C,.PMN△的面积115||||sin||||222SPMPNMPNPMPN==„,当且仅当90MPN=时取等号,当90MPN=时,点P在以线段MN

为直径的圆224xy+=上,由222224,42516,xyxyx+=++=+解得39,45,4xy==所以PMN△面积的最大值为52,C正确;对于D,点(3,0)在动点P的轨迹上,当点P为此点时,|PM|+|

PN|=5+1=6,D错误.故选BC.11.AC【解析】显然()()fxfx−=,A正确;B错误;对于C,()sincos,()2cossinfxxxxfxxxx=−=+,当,2x时,()0fx,则()fx单调递减,又10,()02ff==−

,故()fx在,2上只有一个解,C正确;对于D,设切点为(,())Ptft,则切线方程为sin(sincos)()ytttttxt−=+−,代入(0,0),有2cos0tt=,得t=0或,2tkk=+Z.若0t=,则切线方程为0y=;若

,2tkk=+Z,则切线方程为yx=,故有且仅有3条切线,D错误.故选AC.12.ABD【解析】对于A,因为1([0,1],[0,1]),1DQDCD=++=,所以1,,QCD三点共线,即点Q在CD1上,因

为CD1//A1B,CD1平面A1BP,A1B平面A1BP,所以CD1//平面A1BP,所以点Q到平面A1BP的距离为定值,因为△A1BP的面积为定值,所以四面体A1BPQ的体积为定值,A正确;对于B,取DD1,DC的中

点分别为M,N,连接AM,MN,AN,则AM//BP,因为AM平面A1BP,BP平面A1BP,所以AM∥平面A1BP,因为MN∥CD1,A1B∥CD1,所以MN∥A1B,因为MN平面A1BP,1AB平面A1BP,所以MN∥平面A1BP,因为MNAM=M

,MN,AM平面AMN,所以平面AMN∥平面A1BP,因为AQ∥平面A1BP,所以AQ平面AMN,又Q在平面CDD1C1上,故点Q在线段MN上,所以当AQ⊥MN时,AQ最小,因为160,2BADABADAA====,所以AM=5,MN=2,AN=2212cos1204

122172ADDNADDN=+−+−−=,所以222AMMNAN+=,所以Q,M重合,所以AQ的最小值为5,B正确;对于C,若1ABQ△的外心为E,过E作EH1AB⊥于H,因为2212222AB=+=,所以11ABAE=21142AB=,C错误;对

于D,过A1作111AOCD⊥于点O,因为DD1⊥平面1111ABCD,1AO平面1111ABCD,所以DD1⊥1AO,因为1111111,,CDDDDCDDD=平面11,DDCC所以1AO⊥平面11DDCC,111cos13ODAD==在DD1,D1C1上取点A3

,A2,使得13123,1DADA==,则1312327,732AAAAOAOA====−=,所以若A1Q7=,则Q在以O为圆心,2为半径的圆弧23AA上运动,因为1131,3DODA==,所以323AOA=,则圆弧23AA等于23,D正确.故选ABD.三、填空题1

3.-1【解析】(1,2),(2,)abt==,故可得2(3,2),||9(2)abtabt+=++=++,2(1,2),||1(2)abtabt−=−−−=+−,||||abab+=−,即229(2)1(2)tt++=+−,整理得88t=−,解得1t=−.14.2【解

析】因为9290129()(1)(1)(1)xaaaxaxax+=+++++++,将原式变形为9[(1)1]xa++−,通项为919C(1)(1)rrrrTxa−+=+−,5126a=对应5(1)x+的系数,故得到95,4rr−==,系数为449C(1)1260aa

−==或2.故正实数a的值为2.15.83【解析】函数sin()(0,(0,2))yx=+的对称轴可以表示为(),()6kxkfx=−Z在4,3上单调,则kZ,使得,6(1)4,63kk

−+−„…,解得62(1)73kk+剟,由62(1)73kk+„,得3k„,当3k=时,的最大值为83.16.41+32(第一空2分,第二空3分)【解析】不妨设P在第一象限,12,PFmPFn==,则1212122,2,,mnamnamaanaa+=−==+=−,在1

2FPF△中,()()()()22222121212124cmnmnaaaaaaaa=+−=++−−+−,即2222212122221231343,4aacaaeec+=++==.由12121121212,2FAFAFAFAAIcA

IIPeIPFPFPFPFPa+=======+,由0GPIP=,知PAPB⊥,又PA平分12FPF,可得出PB是12FPF的外角平分线,又BGGP=,121221212222BFBFBFBFBGceGPPFPFPFPFa−=

=====−,()2222222221121222221212311311313(423)14442eeeeeeeeee+=+=++=++++=+…,当且仅当22213ee=取得最小值.故最小值为312+.四、解答题17.【解析】（1）由ABC++=,

得4sincossin()sin()AABAAB++−=−−,即4sincossin()sin()AAABAB+−=+,即2sincoscossinAAAB=,当cos0A=时,,26AB==,得4323,33ab==;当cos0A时,si

n2sinBA=,由正弦定理得2ba=,联立224,2,ababba+−==.解得2343,33ab==,故三角形的面积为123sin23ABCSabC==△.（2）法一：由余弦定理可得:224abab+−=,由22()()43434ababab++

=++„得4ab+„,当且仅当a=b取等号.又abc+,即2,46ababc+++„.即ABC△周长的取值范围是（4,6］.法二:222,,,0,3333CABBAA=+==−,ABC△中,由正弦定理有24sinsin3sin3abAB===,4

422(sinsin)2sinsin333abcABAA++=++=++−31524sincos24sin,,226666AAAA=++=+++1sin1

,4626Aabc+++剟.即ABC△周长的取值范围是（4,6].说明:未分cosA=0,扣1分.18.q【解析】（1）//,,2,3ADBCABBCBCABAD⊥===,2225,10,5,OCODCDODOCDC====+,由勾股定理逆定理,OCCD⊥,又平

面POC⊥平面ABCD,又平面POC平面ABCD=OC,∴CD⊥平面POC,又PO平面POC,,,CDPOPAPBABO⊥==为AB的中点,POAB⊥,又AB,CD相交,:.PO⊥平面ABCD,∵PO平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABCD.（2）如图建立空间直角坐标系O-xyz,则

P（0,0,3）,D（-1,3,0）,C(l,2,0),(0,0,3),(1,3,0),(1,2,3),(2,1,0)OPODCPCD==−=−−=−.设平面OPD的一个法向量为()111,,mxyz=,平面PCD的一个法向量为()222,,nxyz=,则由0,0,OPmODm==

可得11130,30,zxy=−+=取11y=得113,0xz==,即(3,1,0)m=,由0,0,CPnCDn==可得22222230,20,xyzxy−−+=−+=取23x=,得2223,5yz==,即533(3,23

,5),cos,4||||1040mnnmnmn====,显然二面角O-PD-C为锐角,故二面角O-PD-C的余弦值为34.19.【解析】(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为X,则X可取值为0,20,30,且

32013311113(0),(20)28228PXCPXC======,2323331111(30).2222PXCC==+=记预赛得分为Y,432243244411313(100)(120)(110)(100)228

28PYPYPYPYCCC==+=+==++…59128=.所以该选手选择方式二答题晋级的概率为59128.(2)①该选手选择方式一答题：设每轮得分为,则可取值为0,20,且22(0)(1),(20)1(0)2PpPPpp

==−==−==−,()20(2)Epp=−.设预赛得分为Y1,则()116,(6)6()120(2)YEYEEpp====−.②该选手选择方式二答题：设每轮得分为,则可取值为0,20,30,且322

3(0)(1),(20)3(1),(30)3(1)PpPppPppp==−==−==−+,223()60(1)303(1)30(2)Eppppppp=−+−+=−.设预赛得分为Y2,则()224,(4)4(

)120(2)YEYEEpp====−.因为()()12EYEY=,所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.【解析】(1)当2n…时,144(1)nnnaann−−=−−,两边同除4n后得1111441nnnnaann−−−=−−,1212114412n

nnnaann−−−−−=−−−,…21211442aa−=−,上式累加得14,4nnnnaann==,又1n=时,14a=满足该式,故4nnan=.（2）由1111141,441344134nnnnnnnnbnab−−−−=−=−=−=+−…,11134nnb−

„,当1n=时,111439b=,当2n…时,2112111111113444nnbbb−+++++++1111414411394914nn−==−−.21.【解析】(1)法一：

由抛物线E：y2=2px(p>0)过点C(l,2),得p=2,.∴抛物线E：y2=4x,设()2000020024,2,,4214ACyyAyykyy−==+−∴直线04:2(1)2ACyxy−=−+,即0002422yyxyy=+++,与3yx=+联立解得交点00006212,

22yyPyy−−−−−,∴()()2002006212,22yyByy−−−−,当2012y时,()()220020642yyy−−,直线AB的方程为2000202434yyyyxy−−=−−,即()2000202412yyyxyy−−=−−,即()2

000202412yyyyxy−−=−−过定点Q(3,2);当2012y=时,()0002123,,3,2yAyBy−−,直线AB过定点Q(3,2).即直线AB过定点Q(3,2).法二：由抛物线2:2(0)Eypxp=过点C(1

,2),得p=2,∴抛物线2:4Eyx=,设直线:ABxmyt=+,与抛物线方程联立得:2440,Δ0ymyt−−=,设()()1122,,,AxyBxy,则12124,4yymyyt+==−,又()223,Pyy−,∵直线AP过定点C

(l,2),212122311yyyx−−=−−−,111212,(1)(24)(1)260xmytmyymytyt=+−−−++−−=,1(23)(246)0mtytm−+−++−=,即()1(23)20mty−+−−=对任意12y都成立,230mt−+−=,即

23tm=−+,∴直线:32(2)3ABxmymmy=+−=−+,即直线AB过定点Q(3,2).(2)由(l):(2)3ABxmy=−+,联立24yx=,消去x,得244(23)0,Δ0ymym−+−=,则12124,4(23)yym

yym+==−,∴当m=1时,ABC△面积的最小值为42.22.【解析】(1)由2221110,()axxxfxaxxx++++==,①若a…0,则()0,()fxfx在(0,)+上单调递增;②若a<0,令()0fx,则11402axa−−−,令()0

fx,则1142axa−−−,()fx在1140,2aa−−−上单调递增,在114,2aa−−−+上单调递减.(2)有01xx，证明：由21()ln(0)gxxaxx=−+,设

21()lnhxxax=−+则312()0,()hxhxxx=+在(0,+)上单调递增,即()gx在(0,+)上单调递增.又1(1)10,ln2402gaga=−=−−+,存在21,12x,使()20,()gxg

x=在()20,x单调递减,在()2,x+上单调递增,2x为()gx的极小值点,故21xx=.由()212112211110,,ln0,lngxxxxaaxxx==−+==−,()()111111112111111lnlnln

1lnfxxaxxxxxxxxx=+−=+−−=−,又()()()1211101,1,1ln02xxfxxxfx==−=,由（1）知a>0时,()fx在(0,+)上单调递增,01xx.获得

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