【文档说明】山东省日照市三校2021届高三高考数学联考试卷（2021.05） 含解析.doc，共(21)页，1.091 MB，由小赞的店铺上传

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2021年山东省日照市三校高考数学联考试卷（5月份）一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|0＜x＜9}，则A∩B＝（）A．（0，4）B．（4，9）C．（﹣1，4）D．（﹣1，9）2．若复数z满足iz＝2+3i，则z

的实部与虚部之和为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．33．若α为第二象限角，则（）A．sinα﹣cosα＜0B．tanα＜0C．sin（+2α）＞0D．cos（π﹣2α）＞04．尽管目前人类还无法准确预报地震，

但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系lgE＝4.8+1.5M．据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是2020年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍A．

lg4.5B．4.5C．450D．104.55．（x﹣1）（x﹣2）6的展开式中的x3的系数为（）A．80B．﹣80C．400D．﹣4006．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x，则a＝f（﹣2），b＝f（log29），c＝f（）的

大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c7．已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝﹣2是抛物线C的准线，点N（0，t）（t≠0），连接FN交抛物线C于M点，+＝，则△OFN的面积为（）A．6B．3C．2D．48．在棱长为+1的正方体ABCD﹣A1B1C1D

1中，球O同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A．O1B＝r1B．r1+r2＝6C．这两个球的体积之和的最小值

是D．这两个球的表面积之和的最小值是4π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面

，则（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每

个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一

尺等于十寸），则下列说法正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长11．若函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜）的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A．（﹣，0）是函数f（x）图象的

一个对称中心B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增D．函数f（x）的图像可由y＝Asin2x的图象向左平移个单位得到12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A1，A2是其左

、右顶点，F1，F2是其左、右焦点，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，下列结论正确的是（）A．||PF1|﹣|PF2||＝2aB．直线PA1，PA2的斜率之积等于定值C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且

仅有8个D．△PF1F2的面积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．14．已知点（a，b）在直线x+4y＝4上，当a＞0，b＞0时，的最小值为．15．已知定义在R

上函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0）振幅为2，满足x2﹣x1＝2，且f（x2）＝f（x1）＝，则在（0，102）上f（x）零点个数最少为．16．牛顿选代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集

上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点（x1，f（x1））作曲线y

＝f（x）的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般的，过点（xn，f（xn））（n∈N）作曲线y＝f（x）的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．设f（x）＝x3+x﹣1（x≥0）的零点为r，取x0＝0，则r的

2次近似值为；设，n∈N*，数列{an}的前n项积为Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，则整数λ的最小值为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．向量＝（2sinx，），＝（cosx，cos2x），已知函数f

（x）＝．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f（）＝，且sinB+sinC＝，求b+c的值．18．青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学

生体质，在课后延时服务中增设800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%，为试验某种训练方式，校方决定，从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：若这10人中至少有2人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，则认为该训练方式无效．（1）如果训练结束后有5人800米跑达到优秀

，校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望；（2）如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．（参考结论

：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）19．已知数列{an}中，a1＝﹣9，且是2与an（n∈N*）的等差中项．（1）求数列{|an|}的前n项和Gn；（2）设Tn＝a1a2a3…an，判断数列{Tn

}是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在说明理由．20．如图，在多面体ABCDE中，四边形BCDE是矩形，△ADE为等腰直角三角形，且∠ADE＝90°，B＝AD＝，BE＝2．（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；（2）线段CD上存在点P，使得二面角P﹣AE﹣D的大小为，试确定点P

的位置并证明．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点P（，1），且离心率为，⊙O：x2+y2＝r2的任意一条切线l与椭圆交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在⊙O，使得＝0，若存在，求△AOB的面积S的范围；不存在，请说明理由．22．已知

函数f（x）＝x3+axlnx﹣（a+）x．（1）若a≥0，讨论f（x）的单调性；（2）当a≥﹣1时，讨论函数f（x）的极值点个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|0＜x＜9

}，则A∩B＝（）A．（0，4）B．（4，9）C．（﹣1，4）D．（﹣1，9）解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜9}，所以A∩B＝（0，4）．故选：A．2．若

复数z满足iz＝2+3i，则z的实部与虚部之和为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．3解：∵复数z满足iz＝2+3i，则z＝＝3﹣2i，故z的实部与虚部之和3+（﹣2）＝1，故选：B．3．若α为第二象限角，则（）A．sinα﹣cosα＜0B．tanα＜0C．sin（+2α）＞0D．cos（π﹣2α

）＞0解：因为α为第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，故sinα﹣cosα＞0，故选项A错误；tanα＜0，故选项B正确；sin（+2α）＝cos2α＝sin2α﹣cos2α，故其符号

不能确定，故选项C错误；cos（π﹣2α）＝﹣cos2α，同选项C，符号不能确定，故选项D错误．故选：B．4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M

之间的关系lgE＝4.8+1.5M．据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是2020年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍A．lg4.5B．4.5C．450D．104.5解：设里氏8.0级和里氏5.0级地震，所释放的

能量分别为E1和E2，由lgE＝4.8+1.5M，可得lgE1＝4.8+1.5×8.0＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×5.0＝12.3，∴＝lgE1﹣lgE2＝4.5，∴＝104.5，故选：D．5．（x﹣

1）（x﹣2）6的展开式中的x3的系数为（）A．80B．﹣80C．400D．﹣400解：（x﹣2）6的展开式的通项为，令6﹣r＝2，得r＝4，则T5＝（﹣2）4x2＝240x2，令6﹣r＝3，得r＝3，则，故（x﹣1）（x﹣2）6的展开式

中的x3的系数为240+160＝400．故选：C．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x，则a＝f（﹣2），b＝f（log29），c＝f（）的大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c解：根据题意，

函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a＝f（﹣2）＝f（2）＝f（），当x＞0时，f（x）＝lnx+x，其导数为f′（x）＝+1，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由0＜＜＜3＝log28＜log29，则f（）＜f（2）＜f（log29），故有b＞a＞c，

故选：D．7．已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝﹣2是抛物线C的准线，点N（0，t）（t≠0），连接FN交抛物线C于M点，+＝，则△OFN的面积为（）A．6B．3C．2D．4解：∵x＝﹣2是抛物线C的准线，∴，即p＝4，则抛物线C：y2＝8x，

焦点F（2，0），∵+＝0，M，N，F三点共线，∴M为NF的中点，又∵F（2，0），N（0，t），∴，将点代入抛物线y2＝8x，可得|t|＝，所以△OFN的面积为|OF|•|ON|＝×2×4＝4．故选：D．8．在棱长为+1的正方体ABCD﹣A1

B1C1D1中，球O同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A．O1B＝r1B．r1+r2＝6C．这两个球的体积之和的最小值是D．这两个球的表面积之和的最小值是4

π解：由对称性作过正方体对角面的截面图如下，可得O2，O1，B，D1四点共线，且，故A错误；，则（）r1+（）r2＝BD1＝×（+1），从而r1+r2＝，故B错误；这两个球的体积之和为：π（）＝π（r1+r2）（），∵r1+r2＝，∴（r

1+r2）（）＝（3−3r1r2）≥[3−3×]＝，即π（）≥π，当且仅当r1＝r2＝时等号成立，故C正确；这两个球的表面积之和S＝4π（）≥4π•＝6π，当且仅当r1＝r2＝时等号成立，故D错误．故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共

20分．在每小题给出的选项中，有多项符题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n解：

对于A，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质可得m∥n，故A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；对于C，若m∥α，则α有直线n与m平行，又m⊥β，则n⊥β，故α⊥

β，故C正确；对于D，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n的关系为平行、相交或异面，故D错误．故选：AC．10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节

气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．

小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d'＝﹣10，故大寒与小寒相邻，小寒比

大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1+6d'＝135﹣60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1+6d＝15+60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1+10d＝15+100＝115

，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1+3d＝15+30＝45，b4＝b1+3d'＝135﹣30＝105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选：ABD．11．若函数

f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜）的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A．（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增D．函数f（x）的图像可由y＝Asin2x的图象向左平移个单位得到解：根据

函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜）的部分图像，可得A＝2，结合五点法作图可得2×+φ＝π，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故A正确；令

x＝，求得f（x）＝1，不是最值，可得x＝是函数f（x）图象的一条对称轴，故B错误；在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故C错误；由y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）＝f（x）的图象

，故D正确，故选：AD．12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A1，A2是其左、右顶点，F1，F2是其左、右焦点，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，下列结论正确的是（）A．||PF1|﹣|PF

2||＝2aB．直线PA1，PA2的斜率之积等于定值C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个D．△PF1F2的面积为解：由双曲线定义可知，||PF1|﹣|PF2||＝2a，故A正确；设P（x，y），y≠0，由＝1，得，∴＝，故B正

确；由双曲线的对称性可知，要使△PF1F2为等腰三角形，则F1F2必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P使得|PF1|＝2c，|PF2|＝2c﹣2a，此时△PF1F2为等腰三角形；有且仅有一个点P′使得|P′F2|＝2c，|P′F1

|＝2c+2a，此时△P′F1F2为等腰三角形．同理可得，第二、第三、第四象限每个象限也有且仅有两个点，一共8个，故C正确；记|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，不妨设P在第一象限，则r1﹣r2＝2a，在△PF1F2中，由余弦定理得：F1PF2，配方得整理得：，∴，由任

意三角形的面积公式得：＝，可得，而0＜＜＜，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝﹣．解：因为f（x）＝，则f（f（））＝f（log3）＝f（﹣1）＝sin（﹣）＝﹣

．故答案为：﹣．14．已知点（a，b）在直线x+4y＝4上，当a＞0，b＞0时，的最小值为16．解：由题意得a+4b＝4，a＞0，b＞0，则＝（）（a+4b）＝（40+）＝16，当且仅当且a+4b＝4，即a＝1，b＝时

取等号，此时的最小值16．故答案为：16．15．已知定义在R上函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0）振幅为2，满足x2﹣x1＝2，且f（x2）＝f（x1）＝，则在（0，102）上f（x）零点个数最

少为16．解：因为振幅为2，所以A＝2，因为x2﹣x1＝2，且f（x2）＝f（x1）＝，要使零点个数最少，周期就要越大，所以x2，x1应为两个相邻的在f（x）＝直线上的点，即，所以，即，周期T＝＝12，为了使区间内零点最少，将第1个零点放在原点，所以102

÷12＝8T+T，最后1个零点恰好在x＝102处，不在区间（0，102）中，只计区间内的个数，所以零点个数为2×8＝16个．故答案为：16．16．牛顿选代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤

如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为

x2，称x2为r的2次近似值．一般的，过点（xn，f（xn））（n∈N）作曲线y＝f（x）的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．设f（x）＝x3+x﹣1（x≥0）的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为

；设，n∈N*，数列{an}的前n项积为Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，则整数λ的最小值为2．解：f′（x）＝3x2+1，设切点为（xn，+xn﹣1），则切线斜率k＝3xn2+1，所以切线方程为y＝（3xn2+1

）（x﹣xn）++xn﹣1，令y＝0，可得xn+1＝﹣+xn＝，因为x0＝0，所以x1＝1，x2＝，即r的2次近似值为，因为xn+1＝，所以＝＝an，所以Tn＝a1a2…an＝••…•＝＝，因为函数f（x）＝x3+x﹣1（x≥0）为

增函数，f（）＝﹣＜0，f（1）＝1＞0，由零点存在定理可得r∈（，1），所以→∈（1，2），因为任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，所以λ≥2，即λ的最小整数为2．故答案为：；2．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．向量＝（2sinx，），＝（co

sx，cos2x），已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f（）＝，且sinB+sinC＝，求b+c的值．解：（1）f（x）＝＝，＝，＝，∴f（x）的最小正周期

为：，又∵，∴，∴f（x）的单调递减区间为，（2）f（）＝，即sinA＝，∵a＝7，由正弦定理可得＝（R为△ABC外接圆的半径），∵，．18．青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时服务中增

设800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%，为试验某种训练方式，校方决定，从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：若这10人中至少有2人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，则认为该训练方式无效．（1）如果训练结束后有5人800米跑达到优秀，

校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望；（2）如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．（参考结论：通常认为发生

概率小于5%的事件可视为小概率事件）解：（1）X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列如下：X012P则E（X）＝0×+1×+2×＝1；（2）该训练方式无效的情况有：10人中有1人800米跑达到优秀；10人中

有0人800米跑达到优秀，所以通过试验该训练方式被认定无效的概率p＝＝5%，故可认为该训练方式无效事件是小概率事件，从而认为该训练方式有效，故该试验方案合理．19．已知数列{an}中，a1＝﹣9，且是2与an（n∈N*）的等差中项．（1

）求数列{|an|}的前n项和Gn；（2）设Tn＝a1a2a3…an，判断数列{Tn}是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在说明理由．解：（1）数列{an}中，a1＝﹣9，且是2与an（n∈N*）的等差中项．整理得an+1﹣an＝2（常数），故数列{an}是以﹣9为首项，

2为公差的等差数列；所以an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．当n≥6时，an＞0，当n≤5时，an＜0，所以当n≤5时，Gn＝|a1|+|a2|+...+|an|＝﹣（a1+a2+...+an）＝，

当n≥6时，Gn＝|a1|+|a2|+|a5|+|a6|+...+|an|＝﹣2（a1+a2+...+a5）+（a1+a2+...+an）＝25+（n﹣5）2．故．（2）根据数列的通项公式an＝2n﹣11，可知：a1，....，a5各项都为负值，当n≥

6时，an＞0，所以T2＞0，T4＞0，故{Tn}max＝{T2，T4}max，{Tn}min＝{T1，T3，T5，Tn}min，由于T2＝63，T4＝945，所以最大项为第4项，最大值为945．由于T5＝﹣945，T6＝﹣945，当n≥7时

，an＞1，所以Tn没有最小值，20．如图，在多面体ABCDE中，四边形BCDE是矩形，△ADE为等腰直角三角形，且∠ADE＝90°，B＝AD＝，BE＝2．（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；（2）线段CD上存在点P，使得二面角P﹣

AE﹣D的大小为，试确定点P的位置并证明．【解答】（1）证明：在等腰直角△ADE中，AD＝，所以AE＝2，又，则AE2+BE2＝AB2，所以AE⊥BE，又DE⊥BE，且AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BE⊥平面ADE，

又BE⊂平面ABE，所以平面ADE⊥平面ABE；（2）解：点P为线段DC的中点，使得二面角P﹣AE﹣D的大小为．证明如下：以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则E（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0）

，D（1，0，1），设P（x，y，z），因为（λ＞0），则有（x﹣1，y，z﹣1）＝λ（0，2，0），解得x＝1，y＝2λ，z＝1，故P（1，2λ，1），，设平面AEP的法向量为，则有，即，令b＝1，则c＝﹣2λ，故，平面ADE的一个法向量为，因为二面角P﹣AE﹣D

的大小为，所以，解得或（舍），所以点P为线段DC的中点，使得二面角P﹣AE﹣D的大小为．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点P（，1），且离心率为，⊙O：x2+y2＝r2的任意一条切线l与椭圆交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程

；（2）是否存在⊙O，使得＝0，若存在，求△AOB的面积S的范围；不存在，请说明理由．解：（1）依题意，，解得，∴椭圆C的方程为；（2）假设存在，⊙O：x2+y2＝r2满足题意，①当切线l的斜率存在时，设切线l方程为y＝kx+m，将其代入椭圆方程化简并整理可

得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，依题意，△＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，即4k2﹣m2+2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，又，故，化简得3m2﹣4k2﹣4＝0，且，点O到直线l的距离为，∴，

满足题意，∴存在圆，使得，此时＝，而＝，（i）当k≠0时，|AB|＝，当且仅当时等号成立，又k2＞0，则，故，则；（ii）当k＝0时，；②当切线l的斜率不存在时，直线与椭圆交于或，易知存在圆，使得，且；综

上，．22．已知函数f（x）＝x3+axlnx﹣（a+）x．（1）若a≥0，讨论f（x）的单调性；（2）当a≥﹣1时，讨论函数f（x）的极值点个数．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x2+alnx﹣，令g（x）＝x2+alnx﹣，g′（x）＝x+＝，因

为a≥0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）①当a≥0时，由（1）可知f（x）

在（0，+∞）上有唯一极小值f（1），所以极值点个数为1个．②当﹣1≤a＜0时，令g′（x）＝＝0，得x＝，当x∈（0，）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）

min＝g（）＝﹣+aln（）﹣，令h（a）＝﹣+aln（）﹣，h′（a）＝ln（﹣a），因为﹣1≤a＜0，所以h′（a）≤0，即h（a）在[﹣1，0）上单调递减，所以h（a）max＝h（﹣1）＝0，（ⅰ）当a＝﹣1时，g（x）min＝h（﹣1）

＝0，在（0，+∞）上，g（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）无极值点；（ⅱ）当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，h（a）＜0，即g（x）min＜0，易知0＜＜，g（）＝+aln﹣＝+＞0，所以存在唯一x0∈（，）使得g（x0）＝0，

且当0＜x＜x0时，g（x）＞0，当x0＜x＜时，g（x）＜0，则f（x）在x＝x0处取得极大值；又g（1）＝0，所以当≤x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，即f（x）在x＝1处取得极小值，故此

时极值点个数为2．综上所述，当a＝﹣1时，f（x）的极值点个数为0；当﹣1＜a＜0时，f（x）的极值点个数为2；当a≥0时，f（x）的极值点个数为1．