【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期开学暑期检测数学试题+含答案.docx，共(13)页，1.021 MB，由小赞的店铺上传

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衡阳市八中2024届高三暑期检测数学试题注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．若2(1i)22iz−=+，则z=（）A．1i+B．1i−C．1i−

+D．1i−−2．已知Ra，则“1a”是“21a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数()()2log2,02,0xxxfxkx−=−，若()()23ff−=，则k=（）A．1−B．0C．1D．

24．已知()sin68m−=，则cos11=（）A．12m+B．12m−C．12m+D．12m−5．若双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线被圆22420xyy+−+=所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．2336．八卦是

中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A．ABACABAD=B．0OAOBOCOF+=C．EG和HD是一对相反向量D．ABBCCDEFFGa

−++−=7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:0,1x时，1,(,N,)()0,0,1(0,1)ppxpqqqqRxx+==

=为既约真分数和内的无理数.若数列1,NnnaRnn+−=，则下列结论:①()Rx的函数图像关于直线12x=对称；②1nan=；③1nnaa+；④11ln2niina=+；⑤1112niiiaa+=.其中正确的是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤8

．已知函数()24e1ln2xfxx=+，则不等式()2exfx的解集是（）A．()0,1B．11,2e4C．1,1eD．11,2e2二、多选题（本大题共4小题，

每题5分，共20分）9．根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是（）A．2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B．可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C．2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数

D．2019年我国研究生在校总人数不超过285万10．函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．23=−B．函数()fx的零点为()6kkZ−+C．函数()fx图象的对称轴为直线()7212kxkZ=+

D．若()fx在区间2,3a上的值域为,3A−，则实数a的取值范围为133,12211．如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，G分别是棱1,,ADDDCD的中点，

则（）A．直线11,AGCE为异面直线B．113DBEFV−=C．直线1AG与平面11ADDA所成角的正切值为24D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为912．已知O为坐标原点，12,FF分别为双曲线()2222100xyabab−=，的左、右焦点，点P在双

曲线右支上，则下列结论正确的有（）A．若2POPF=，则双曲线的离心率2eB．若2POF是面积为3的正三角形，则223b=C．若2A为双曲线的右顶点，2PFx⊥轴，则222=FAFPD．若射线2FP与双曲线的一条渐近线交于点Q，则122−QFQFa第II卷（

非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知展开式()()2*01221nnnxaaxaxaxnN−=++++中，所有项的二项式系数之和为64，则12naaa+++=．（用数字作答）14．已知a，b为单位向量，且a在b方向上的投影为12−，则2ab+=．15．

已知抛物线24yx=的焦点为F，点,PQ在抛物线上，且满足π3PFQ=，设弦PQ的中点M到y轴的距离为d，则1PQd+的最小值为．16．若函数()()22gxxxtxt=−−−在区间0,2上是严格减函数，则实数t的取值范围是.四、解答题（本题共6个小题，

共70分）17．已知数列na的前n项和为nS，满足1110,1nnnaSa+++==.(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnnbSS+=，数列nb的前n项和为nT，证明：1nT.18．如图，已知平面四边形ABCD存在外接

圆，且5AB=，2BC=，4cos5ADC=．(1)求ABC的面积；(2)求ADC△的周长的最大值．19．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PDCD⊥，底面ABCD是直角梯形，//,ABDC90,ADC=1,ABADPD

===2CD=．（1）求证：BC⊥平面PBD：（2）设E为侧棱PC上异于端点的一点，PEPC=，试确定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为63．20．甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0

分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为(1,0,0,0)++=，且每局比赛结果相互独立.(1)若111,,236=

==，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；(2)当0γ=时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望()EX的最大值.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=左焦点为F，离心率为12，以坐标原点O为圆心，OF为半径作圆使之与直

线20xy−+=相切.(1)求C的方程；(2)设点()4,0,,PAB是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求AEF△的内切圆半径的范围.22．已知函数32()(0)fxaxbxcxa=++，且60ab+=，(1)4fa=．(1)讨论()fx的单调性；(2)若[0,3]x

，函数()()exFxfxx−=−有三个零点1x，2x，3x，且123xxx，试比较123xxx++与2的大小，并说明理由．参考答案：一、单选题12345678DACBACDD1．D2．A3．C4．B【详解】由()sin68

m−=，有sin68(0)mm=−，得cos22m=−，可得22cos111m−=−，所以1cos112m−=.故A，C，D错误.故选：B.5．A【详解】双曲线C的渐近线方程为byxa=，圆的标准方程为()2222xy+−=，圆心坐标为()0,2，半径为2r=，所以，圆心到

直线byxa=的距离为2222111drba=−==+，解得3ba=，因此，双曲线C的离心率的值为2212cbeaa==+=.故选：A.6．C【详解】A项，由于135ABCBCD==，明显有ABCD⊥，故0,AABACABADABDC

−==正确；B项，因为每个边对应的中心角为45，则OCOFOAOD=，所以()OAOBOCOFOAOBOAODOAOBOD+=+=+，又OBODOC+=()R，且OAOC⊥，所以0OAOBOCOF+=，B正确；C项，EG和HD方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，

C错误；D项，因为ABEFBCFG=−=−，，所以||||ABBCCDEFFGCDa−++−==，D正确.故选：C.7．D【详解】对于①：若0x=，则110122−=−，()()01RR=，关于12x=对称，若x为无理数，则1x−也是无理数，()()10RxRx=−=，也关于1

2x=对称，若,,Npxpqq+=，并且pq是既约的真分数，则qp，并且,pq是互质的，0qpq−，1pqpqq−−=也是真分数，若qpq−不是既约分数，则qp−与q必定存在公约数()1,Nttt+，不妨假设()(),N

,,Nqpntnqmtm++−==，则有()pqntmtntmnt=−=−=−，即,pq存在大于1的公约数，与题设矛盾，故1pqpqq−−=也是既约分数，11ppRRqqq=−=，即关于12x=对称，故①正确；对于②，N,1nn+=时，()11001aR==

，故②错误；对于③，当2n时，有1nan=，111,1nnnaaan++=+，但当1n=时12102aa==，故③错误；对于④，123111123niniaaaaan==++++=+++，()2n，

构造函数()e1xgxx=−−，()0x，则()'e10xgx=−，()gx单调递增，()()00gxg=，即当0x时e1xx+，11132111e1,e1,,e123nn+++，11123345111111e,ln2342232nnnnnn++++++

=+++，当1n=时，110niiaa===，11ln02+=，11ln2niina=+，故④正确；对于⑤，11223341111111123341niinniaaaaaaaaaann++==++++=++++11

1212n=−+，故⑤正确；故选：D.8．D【详解】不等式2241ln2xxx+ee可整理为221ln22xxxx+ee，令()exgxx=，定义域为()0,+，则原不等式可看成()()1ln22gxgx+，()()2e1xxgxx−

=，令()0gx，解得1x，令()0gx，解得01x，所以()gx在()0,1上单调递减，()1,+上单调递增，令()1ln22hxxx=+−，则()1122xhxxx−=−=，令()0hx，则102x，令()0hx，则12x，所

以()hx在10,2上单调递增，1,2+上单调递减，且102h=，所以()0hx，即1ln220xx+−，即1ln22xx+，当102x时，1ln21x+，21x，所以1l

n2201ln21021xxxx++，解得1122xe；当12x时，1ln21x+，21x，所以1ln22xx+，不成立；综上可得，不等式()2xfxe的解集为11,2e2

.故选：D.二、多选题9101112ABCACDBCAB9．ABC【详解】对选项A，从2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A正确；对选项B，由于2010-2019年，我国研究生在校女

生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故B正确；对选项C，2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C正确；对选项D，144.8286.1660.506，故2019年我国

研究生在校总人数超过285万，故D项错误.故选：ABC10．ACD【详解】由函数的图象可知，2A=，374126T=−−，则T=，2w=，由772sin2126f=+=，解得22()3kkZ=−+，因为，所以23=−，

()22sin23fxx=−，所以A正确.令22()3xkkZ−=，解得()23kxkZ=+，故B错误.令22()32xkkZ−=+,解得()7212kxkZ=+，

所以C正确.对于D，2,3xa，则2222,2333xa−−，值域为2,3−，所以2272333a−，解得133122a，即实数a的取值范围为133,122

，故D正确.11．BC【详解】对于A，连接11,,EGACAC，由题意可知//EGAC，因为11//ACAC，所以11//EGAC，所以11,AGCE共面，故选项A错误；对于B，连接11,,,,DEFBEBEFDB，由题意可知111DFED==，，所以1111111112

3323DBEFBDEFDEFVVSAB−−====，故选项B正确；对于C，连接1AD，由正方体的性质可知DG⊥平面11ADDA，所以1GAD即为直线1AG与平面11ADDA所成的角，则1112tan422DGGADAD===，故选项C正确；对于D，

连接11,,,EFFCEBBC，根据正方体的性质可得1//EFBC，且112EFBC=，所以平面1EFCB即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底2，下底为22，高为322，所以截面面积为()1329222222S=+

=，故选项D错误；12．AB【详解】由题意，对于选项A，因为2POPF=，所以2OF的中垂线2xc=与双曲线有交点，即有2ca，解得2e，故选项A正确；对于选项B，因为2212====PFOFOFc，解得123PF=，所以12312−==−P

FPFa，所以22223bca=−=，故选项B正确；对于选项C，由题意可得2222,=−=bFAcaFPa显然不等，故选项C错误；对于选项D，若P为右顶点时，则Q为坐标原点，此时120<2aQFQF=−，故选项D错误.三、填空题13．0【详解】由已知条件可知二项式系数和为

264n=，可得6n=，令()()621fxx=−，则()()1212610110naaaaaaff+++=+++=−=−=.故答案为：0.14．3【详解】由题得a在b方向上的投影为1||cos,2aab=−，又因为a，b为单位向量，则||1a=，所以1cos,2ab

=−，所以222|2|4414cos,43abaabbab+=++=++=，即|2|3ab+=．故答案为：3．15．1【详解】由抛物线24yx=可得准线方程为=1x−，设|||,0,,|(0)PFaQFbab==，由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ

PFQFPFQFPFQabab=+−=+−,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF，Q到准线的距离等于||QF，M为PQ的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线=1x−的距离为11(||||)()22PFQF

ab+=+，则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12dab=+−，故2222222||()344(1)()()PQababababdabab+−+−==+++，又2()0,20,4,ababababab++，则222223()()||441(1)()ababP

Qdab++−=++，当且仅当ab=时，等号成立，所以1PQd+的最小值为1，故答案为：116．(,2][6,)−−+．【详解】因为2222222222(),2,()2()2(),32,xxtxtxtxtxtgxxxtxtxx

txtxtxtxt−−+−=−−−==+−−+，当0=t时，[0,2]x时，2()gxx=单调递增，不合题意；当0t时，[0,2]x时，2222()2()2gxxtxtxtt=+−=+−，函数()gx在区间0,2上是严格减函数，则2t−，即2t−；

当2t时，[0,2]x时，22()32gxxtxt=−+，函数()gx在区间0,2上是严格减函数，则23t，即6t；当02t时，22222,2()32,0xtxttxgxxtxtxt+−

=−+，0t−，因此222yxtxt=+−在[],2t是单调递增，不合题意；综上，t的范围是(,2][6,)−−+．故答案为：(,2][6,)−−+．四、解答题17．(1)1,1,21(1)nnannn==−−(2)证明见解析

【详解】（1）因为11nnnaSS++=−，则110nnnaS+++=化为()110nnnnSSS++−+=，即()11nnnSnS++=，所以()110nnnSnS++−=，所以nnS是首项为111Sa==，

公差为0的等差数列，所以()1101nnSSn=+−=，解得1nSn=，当2n时，()111111nnnaSSnnnn−=−=−=−−−，1n=不满足上式，所以1,1,21(1)nnannn==

−−.（2）结合（1）得，1111(1)1nnnbSSnnnn+===−++，所以11111111122311nTnnn=−+−++−=−++，因为101n+

，所以1nT．18．(1)3(2)35152+【详解】（1）因为平面四边形ABCD存在外接圆，所以πABCADC=−，4coscos5ABCADC=−=−，又()0,πABC，所以2243sin1cos155ABCABC=−=−−=，所以ABC的面积113si

n523225ABCSABBCABC===△．（2）在ABC中，由余弦定理得2222242cos52252455ACABBCABBCABC=+−=+−−=，解得35AC=．在ADC△中，由余弦定理得2222cosACDADC

DADCADC=+−，即()2228184555DADCDADCDADCDADC=+−=+−()()2221815210DADCDADCDADC++−=+．由此得152DADC+，当

且仅当1522DADC==时，等号成立，所以()max152DADC+=，故ADC△的周长35152pACCDDA=+++．19．（1）证明见解析（2）13=【详解】（1）证明：因为侧面PCD⊥底面ABCD，PDCD⊥，所以PD⊥

底面ABCD，所以PDAD⊥．又因为90ADC=，即ADCD⊥，因此可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0),A(1,1,0),B(0,2,0),C(0,0,1)P，(1,1,0),DB

=(1,1,0)BC=−，所以0DBBC=，所以DBBC⊥．由PD⊥底面ABCD，可得PDBC⊥，又因为PDDBD=，所以BC⊥平面PBD．（2）因为(0,2,1)PC=−，又PEPC=，设()000,,Exyz，则()000

,,1(0,2,)xyz−=−，所以(0,2,1),E−(0,2,1)DE=−．设平面EBD的法向量为(,,)nabc=，因为(1,1,0)DB=，由00nDBnDE==，得02(1)0abbc+=+−=，令1a=-，则可

得平面EBD的一个法向量为21,1,1n=−−，112nBC=+=，2642||1n−+=−，||2BC=，代入63||||nBCnBC=，化简得23210+−=，解得13=或1=−，又由题意知(0,1)，故13=．20．(1)5

48(2)分布列见解析，134【详解】（1）用事件,,ABC分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则()()()111,,236PAPBPC======，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件,,,,AB

AABAAAACCACACACCAA共5种，所以()()()()()()PNPABAAPBAAAPACCAPCACAPCCAA=++++()()()()()()()()23PBPAPAPAPCPCPAPA=+3221111523326248

=+=.（2）因为0γ=，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即1+=，由题意得X的所有可能取值为2,4,5，则()()()222PXPAAPBB==

+=+，()()()()()4PXPABAAPBAAAPABBBPBABB==+++()()22=+++()222=+，()()()()()5PXPABABPABBAPBABAPBAAB==+++22222222224=+++=.所以

X的分布列为X245P22+()222+224所以X的期望()()()2222222820EX=++++()()222221281220442=−+

−+=++，因为12+=，所以14，当且仅当12==时等号成立，所以10,4，所以()2222113442(21)121144EX=++=++++=，故()EX的最大值为134.21．(1)22143xy+=(

2)30,4.【详解】（1）依题意22221212cOFcaabc=====+，解得2,3ab==，所以C的方程为22143xy+=.（2）因为AE不与x轴重合，所以设AE的方程为()0xmytm=+，设点()

()()11122,0,,AxyyExy，则()11,Bxy−联立22143xmytxy=++=，得()2223463120mymtyt+++−=，则()222121222631248340,,3434mttmtyyyymm−−=

−++==++因为点,,PBE三点共线且斜率一定存在，所以2112114yyyxxx+−=−−，所以()1221124xyxyyy+=+，将1122,xmytxmyt=+=+代入化简可得121224yymyyt+=−，故2264312mmttt−=−−，解得1t=，满足()

248330m=+所以直线AE过定点()1,0Q，且Q为椭圆右焦点设所求内切圆半径为r，因为1442AEFSarr==，所以()22121212214312444434FQAFQEAEFAQyyyyyySSSmrm−+−++=====+令21(1)umu=+，

则221mu=−，所以2331313uruuu==++，因为1u，对勾函数13yuu=+在()1,+上单调递增，所以134uu+，则304r.所以内切圆半径r的范围为30,4.2

2．(1)答案见解析(2)1232xxx++，理由见解析【详解】（1）由(1)4fa=，得30abc−−=，又6ba=−，所以9ca=，则32()69fxaxaxax=−+，所以()3(1)(3)fxaxx=−−，0a．当0a时，令()0fx，得1x或3x；令()0fx

，得13x；所以()fx在(,1)−和(3,)+上单调递增，在(1,3)上单调递减；当0a时，令()0fx，得13x；令()0fx，得1x或3x；所以()fx在(,1)−与(3,)+上单调递减，在(1,3)上单调递增．（2）1232x

xx++，理由如下：因为322()69(3)fxaxaxaxaxx=−+=−，由()0Fx=，得2(3)e0xaxxx−−−=，解得0x=或2(3)e0xax−−−=．因为[0,3]x，所以10x=，2x，3

x是2(3)e0xax−−−=的正根，则12323xxxxx++=+，又()2ln3xaxlnex−−==−，所以()22ln2ln3axx+−=−，()33ln2ln3axx+−=−，两式相减得()()()()2332232ln32ln333xxxxxx−−−=−=−

−−．令223xt−=，333xt−=，则2330tt，得23232ln2lntttt−=−，则23232lnlntttt−=−．令23(1,)tut=+，则23323(1)2lnlnlntttuttu−−==−，所以32ln(1)1u

tuu=−，232ln1uututu=−=，可得232(1)ln1uuttu++=−232ln2(1)ln4(1)4(1)4(1)11uuuuttuuuu+−−+−=+−=−−．设()2(1)ln4(1)guuuu=+−−，则1()2ln1guuu=+−，再

设()1()ln11huuuu=+−，则22111()0uhuuuu−=−=，所以()hu在(1,)+上为增函数，则()(1)0huh=，即1()2ln10guuu=+−，则()2(1)ln4(1)guuuu=+−−在(

1,)+上为增函数，从而()(1)2(11)ln14(11)0gug=+−−=，所以2340tt+−，即()()()232333420xxxx−+−−=−+，所以232xx+，即123232xxxxx++=+．【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键是利用换元法

，将()()()()2332232ln32ln333xxxxxx−−−=−=−−−转化为23232ln2lntttt−=−，从而再利用导数处理双变量的方法求解即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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