【文档说明】天津市双菱中学2022届高三下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.111 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第二学期高三（下）数学开学考试卷一、单选题1.已知集合6AxNNx=，27100Bxxx=−+，则AB=（）A.2,3B.2,5C.25xxD.25xx2.“x为整数”是“21x+为整数”的条件（）A.充分不必

要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要3.函数()21xxeefxx−−=−的图象大致是（）A.B.C.D.4.设1153a=，1315b=，151log3c=，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.acbC.cabD.cba

5.已知2243xy==，则3yxxy−的值为（）A.1B.0C.－1D.26.设双曲线C：()222210,0xyabab−=的左焦点为F，直线43200xy−+=过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，OPOF=，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（）A.

221169xy−=B.221916xy−=C.221421xy−=D.22124yx−=7.战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为

（）A.33cm3+B.33cm33+C.333cm4+D.333cm34+8.已知函数()2sincos3cos23fxxxx=−−，则下列结论中正确的是（）A.函数()fx的最小正周期为2B.3x=时()fx取得最大值C.(

)fx的对称中心坐标是,0()26kkZ+D.()fx在0,3上单调递增9.已知函数2log,0()53sincos,03xxfxxxx=−−，若方程()fxa=恰有四个不同的实数解，分别记为1x，2x，3x，4x，则1234xxx

x+++的取值范围是（）A.119,612−B.219,312−C.517,24D.81782,343−−二、填空题10.已知复数z满足()12i43iz+=−.（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为___

___.11.若21nxx−展开式中的所有二项式系数和为512，则n=______；该展开式中9x的系数为______.12.已知点()3,1M在圆C：222(1)(1)(0)xyrr−++=内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则r=______.13.某公司

新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为______.（用数字作答）14.已知lg(2)lglgxyxy+=+，则22xyxyy++的最小值为_____

_.15.如图，RtABC△中，ABAC=，4BC=，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则BPAD的最小值为______.16.（本小题14.0分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知6a=，

2bc=，1cos4A=−.（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求()sin2AB−的值.17.（本小题15.0分）如图，PD⊥平面ABCD，ADCD⊥，ABCD∥，PQCD∥，222ADCDDPPQAB=====，

点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.（1）求证：EF∥平面CPM；（2）求平面QPM与平面CPM夹角的大小；（3）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为6，求N到平面CPM的距离.18.（本小题15.0分）已知数列na的前n项和为nS，()2*nS

nnN=，数列nb为等比数列，且21a+，41a+分别为数列nb第二项和第三项.（1）求数列na与数列nb的通项公式；（2）若数列11nnnnncabaa+=+，求数列nc的前n项和nT.19.（本小题15.0分）已知椭圆()222210xyab

ab+=的一个顶点为()0,3A−，右焦点为F，且OAOF=，其中O为原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OCOF=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.20.（本小题16.0分）已知函数2()xfxeax=−

，曲线()yfx=在1x=处的切线方程为1ybx=+.（1）求a，b的值；（2）求函数()fx在0,1上的最大值；（3）证明：当0x时，(1)ln10xeexxx+−−−.答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵1

,2,3,6A=，25Bxx=，∴2,3AB=.故选：A.可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可.本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力

，属于容易题.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.分别判断充分性和必要性是否成立即可.【解答】解：当x为整数时，21x+也是整数，充分性成立；当21x+为整数时，x不一定是整数，如12x=时，所以必要性不成立，即是充

分不必要条件.故本题选A.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性以及极限思想是解决本题的关键，属于中档题.先求出函数的定义域，解条件先判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想以及排除法进行排除即可.【解

答】解：由210x−得12x，即12x，即函数的定义域为12xx，()()2121xxxxeeeefxfxxx−−−−−==−=−−−−，即函数()fx是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x→+，()fx→+，排除A，当102

x时，210x−，0xxee−−，此时()0fx，排除D，故选：C.4.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数及幂函数及特值0比较大小.本题考查三个数比较大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数

及幂函数的性质的合理运用.【解答】解：∵15151loglog103c==，又∵111153303315，即0ab；∴cab，故选：C.5.【答案】C【解析】解：∵2243xy==，∴2log3x=，24log3y=，∴33333113lo

g2log24log13yxxyxy−=−=−==−，故选：C.利用指数幂以及对数的运算性质即可得出结论.本题考查了指数幂以及对数的运算性质，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由左焦点F在直线43200xy−+=上，令0y=，可得5x=−，由题意可得5c=，设右焦

点为F，连接PF，PO，PF，由OPOFOFc===，故PFF△为直角三角形，因为直线43200xy−+=的斜率为43，设直线倾斜角为，则4tan3=，2FFc=，则65PFc=，85PFc=

，由双曲线定义，则225PFPFca−==，所以1a=，双曲线C的方程为22124yx−=，故选：D.由题意左焦点F的直线上，可得焦点F的坐标，再由OPOF=可得PFN△为直角三角形，可得a的值，进而求出b的值，求出双曲线的方程.本

题考查双曲线的方程的求法及双曲线的性质的应用，属于中档题.7.【答案】A【解析】解：由已知可得，正三棱锥的底面正三角形边长为2，设正三角形内切圆半径为r，则1122sin60(222)22r=++，解得33r

=，∴其内切圆半径为33，由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：23113322313cm32233V=+=+.故选：A.求出正三棱锥的底面正三角形内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积

与圆柱体积公式求解.本题考查几何体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.8.【答案】D【解析】解：()2sincos3cos23sin23cos232sin233fxxxxxxx=−−=−−=−−，对于A，最小

正周期22T==，即A错误；对于B，令2232xk−=+，kZ，则512xk=+，kZ，故当512xk=+，kZ，()fx取得最大值，即B错误；对于C，令23xk−=，kZ，则62kx=

+，kZ，所以()fx的对称中心坐标为,362k+−，kZ，即C错误；对于D，令22,2322xkk−−+，kZ，则5,1212xkk−+，kZ，故

()fx的单调递增区间为5,1212kk−+，kZ，而50,,31212−，所以()fx在0,3上单调递增，即D正确.故选：D.化简可得()2sin233fxx=−−，

再根据正弦函数的图象与性质，逐一判断选项即可.本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.9.【答案】A【解析】解：()2log,053sincos,03xxxxfxx

−−=.当503x−时，()3sincos2sin6fxxxx−=−=，令362x−=−，解得43x=−，当53x=−时，552sin1336f−=−−=，当0x时，()2logfxx=，令()2fx=，解得4x

=或14x=，令()1fx=，解得2x=或12x=，函数()yfx=的图象如下所示：因为方程()fxa=恰有四个不同的实数解，即()yfx=与ya=恰有四个交点，所以12a，不妨令1234xxxx，则123410242xxxx

，且1x与2x关于43x=−对称，所以1283xx+=−，又2324loglogxx=，即2324loglogxx−=，所以2324loglog0xx+=，即341xx=，所以341xx=，所以123444813xxxxxx+++=−++，因为1yxx=+在

)2,4上单调递增，所以441517,24xx+，所以1234119,612xxxx+++−.故选：A.当503x−时利用辅助角公式化简函数解析式，再画出函数图象，不妨令12

34xxxx，则123410242xxxx，且1x与2x关于43x=−对称，再根据对数的运算得到341xx=，最后转化为关于4x的函数，结合对勾函数的性质计算可得.本题考查了三角恒等变化、二次函数的性质、对数函数的性质、数形结合思想、转化思想，属于

中档题.10.【答案】－2【解析】解：由22(12i)43i4(3)5z+=−=+−=，得255(12i)5(12i)12i12i(12i)(12i)14iz−−====−++−−，则复数z的虚部为－2.故答案为：－2.把已知等式变形，利用复数代数形

式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.11.【答案】9，－84【解析】解：由已知可得2512n=，解得9n=，则921xx−的展开式的通项为18319(1)rrrrTCx−+=−，令

1839r−=，解得3r=，∴展开式中9x的系数为339(1)84C−=−.故答案为：9，－84.由二项式系数和为2512n=，即可求解n的值，利用通项公式即可求得展开式中9x的系数.本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数，及展开式中特定项的求法，考查学

生的计算求解能力，属于中档题.12.【答案】26【解析】解：由点()3,1M在圆C：222(1)(1)xyr−++=内，所以222(31)(11)r−++，又0r，解得22r，过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为CM，

又()1,1C−，∴22CM=，所以2228228rCMr=−=−，解得26r=，故答案为：26.根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.本题考查直线与圆的位置关系，考查学

生的运算能力，属于中档题.13.【答案】36【解析】解：当甲、乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：233318CA=；当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：133318CA=，所以专家甲、乙需到同

一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：181836+=，故答案为：36.根据甲、乙两人组成一组和甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组二种情况分类讨论求解即可.本题考查了排列组合的混合问题，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题.14

.【答案】442+【解析】解：因为lg(2)lglglg()xyxyxy+=+=，所以2xyxy+=，0x，0y，所以2xxyy=−，211xy+=，则22222212222()xyxyxyxyyyxyxyyyxy+++−+==+−=++22224

224442xyxyyxyx=−=+++=+，当且仅当2xyyx=，且211xy+=时取等号，此时22xyxyy++的最小值442+.故答案为：442+.由已知结合对数的运算性质可得2xxyy=−，211xy+=，然后结合乘1法配凑基本不等式应用条件，然后结合基本不等式

可求.本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了对数的运算性质，解题的关键是应用条件的配凑.15.【答案】25−【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0B−，()0,2A，()1,0D，设(),Pxy，故()2,BPxy=+，()1,2AD=−，所

以22BPADxy=−+.令22xyt−+=，根据直线的几何意义可知，当直线22xyt−+=与半圆相切时，t取得最小值，由点到直线的距离公式可得215t−=，25t=−，即BPAD的最小值是25−.故答案为：25−.建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,

0B−，()0,2A，()1,0D，设(),Pxy，故()2,BPxy=+，()1,2AD=−，所以22BPADxy=−+.令22xyt−+=，根据直线的几何意义可知，即可求解.本题考查了向量的坐标

运算，考查了向量的数量运算，属于中档题.16.【答案】解：（1）因为6a=，2bc=，1cos4A=−，由余弦定理可得222222461cos244bcaccAbcc+−+−===−，解得：1c=；（2）

1cos4A=−，()0,A，所以215sin1cos4AA=−=，由2bc=，可得sin2sinBC=，由正弦定理可得sinsinacAC=，即61sin154C=，可得10sin8C=，所以1010sin2sin284BC===；

（3）因为1cos4A=−，15sin4A=，所以11515sin22sincos2448AAA==−=−，217cos22cos121168AA=−=−=−，10sin4B=，可得6cos4B=，

所以15671010sin(2)sin2coscos2sin84848ABABAB−=−=−−−=，所以()sin2AB−的值为108.【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题.（1）由余弦定理及题中条

件可得c边的值；（2）由正弦定理可得sinC的值，再由2bc=及正弦定理可得sinB的值；（3）求出2A及B的正余弦值，由两角差的正弦公式可得2AB−的正弦值.17.【答案】解：（1）证明：连接EM，因为ABCD∥，PQCD∥

，所以ABPQ∥，又因为ABPQ=，所以四边形PABQ为平行四边形，因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以EMAB∥且EMAB=，因为ABCD∥，2CDAB=，F为CD的中点，所以CFAB∥且CFAB=，可得EMCF∥且EMCF=，即四

边形EFCM为平行四边形，所以EFMC∥，又EF平面MPC，CM平面MPC，所以EF∥平面MPC.（2）因为PD⊥平面ABCD，ADCD⊥，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意可得

()0,0,0D，()2,0,0A，()2,1,0B，()0,2,0C，()0,0,2P，()0,1,2Q，()1,1,1M，()1,1,1PM=−，()0,1,0PQ=，()1,1,1CM=−，()0,2,2PC=−，设(),,nxyz=为平面PQM

的法向量，则00nPMnPQ==，即00xyzy+−==，不妨设1z=，可得()1,0,1n=，设(),,mabc=为平面PMC的法向量，则00mPCmCM==，即2200bcabc−=−+=，不

妨设1c=，可得()0,1,1m=.所以1cos,2mnmnmn==，设平面PQM与平面PMC夹角为，所以213sin122=−=，即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为32.（3）设(01

)QNQC=，即(0,,2)QNQC==−，则()0,1,22N+−.从而()0,1,22DN=+−.由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为()1,0,1n=，而直线DN与平面PMQ所成的角为6，所以sincos,6DNnDNnDNn==，即2212(1)(22222

)=++−−，整理得231030−+=，解得13=或3=，因为01，所以13=，所以13QNQC=，1533QNQC==，所以线段QN的长为53.【解析】（1）连接EM，证得EFMC∥，利用线面平行判定定理即可证明EF∥平面MPC；（2）根据条件建立空间直角坐

标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）设QNQC=，则(0,1,22)N+−，从而(0,1,22)DN=+−，由（2）知平面PMQ的法向量为()1,0,1n=，利用向量的夹角公式

，得到关于的方程，即可求解.本题考查了线面平行的证明，向量法求解面面角问题，向量法求解线面角问题，方程思想，属于中档题.18.【答案】解：（1）因为：数列na的前n项和为nS，()2*nSnnN=，∴11,11,121,221,2nnnSnnanSSnn

n−=====−−−；∵数列nb为等比数列，且21a+，41a+分别为数列nb第二项和第三项；∴24b=，38b=；∴2q=；12b=；∴2nnb=；（2）∵数列111(21)2(21)(21)nn

nnnncabnaann+=+=−+−+111(21)222121nnnn=−+−−+；令123123252(21)2nAn=++++−；①∴23412123252(21)2nAn+=+

+++−，②①－②得：12312222222(21)2nnAn+−=++++−−2122222(21)212nnn+−=+−−−；1(32)26nn+=−−.∴1(23)26nAn+=−+.令

111111111111232352212122121nBnnnn=−+−++−=−=−+++；∴数列nc的前n项和1(23)2621nnnTnn+=−+++.【解析】（1）利用前n项和与通项之间的关系即可求出数列

na的通项公式，进而得到数列nb的通项公式；（2）利用错位相减求和以及裂项求和对其整理即可.本题主要考查由数列的前n项和与通项之间的关系求出数列的通项，数列求和的错位相减法以及裂项求和法，考查了转化能力和分析能力，是对数列知识的综

合考查，属于中档题目.19.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得3b=，记半焦距为c，由OFOA=可得3cb==，由222abc=+，可得218a=，∴椭圆的方程为221189xy+=.（Ⅱ）∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P，∴ABCP⊥，

根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为3ykx=−，由方程组2231189ykxxy=−+=，消去y可得()2221120kxkx+−=，解得0x=，或21221kxk=+

，依题意可得点B的坐标为2221263,2121kkkk−++，∵P为线段AB的中点，点A的坐标为()0,3−，∴点P的坐标为2263,2121kkk−++，由3OCOF=，可得点C的坐标为()1,0，故直线CP的斜率为22233216261121kkkkk−+=−+−+

，∵ABCP⊥，∴231261kkk=−−+，整理可得22310kk−+=，解得12k=或1k=，∴直线AB的方程为132yx=−或3yx=−.【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，向量与椭圆的综合问题，考查了推理能力和计算能

力，属于拔高题.（Ⅰ）根据题意可得3cb==，由222abc=+，可得218a=，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为3ykx=−，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的

知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程.20.【答案】解：（1）由2()xfxeax=−，得()2xfxeax=−，由题意，得(1)2(1)1feabfeab=−==−=+，解得1a=，2b=−；（2）

由（1）知()2xfxex=−，2()xfxex=−，因为01x时，1xex+（当且仅当0x=时取等号），所以()21210xfxexxxx=−+−=−，所以()fx在0,1上单调递增，max()(1)1fxfe==−；（3）证明：由()01f=及

（2）可知，()fx在1x=处的切线方程为()21yex=−+，令()()()21gxfxex=−−−，0x，则()22xgxexe=−−+，()2xgxe=−，易得()gx在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+上单调递增，又(0)30ge=−，(1)0g=，0ln2

1，所以(ln2)0g，所以存在()00,ln2x，使得()00gx=，当00xx或1x时，()0gx，()gx单调递增；当01xx时，()0gx，()gx单调递减，因为()()010gg==，所以()

0gx，当且仅当1x=时取等号，所以(2)1xeexxx+−−，0x，因为1xex+，所以()ln1xx+，当1x=时取等号，所以(2)1ln(1)xeexxxx+−−+，所以(2)1lnxeexxxx+−

−+，即当0x时，(1)ln10xeexxx+−−−.【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程建立关于a，b的方程求解；（2）结合导数判断函数的单调性，再求出函数()fx

在0,1上的最大值；（3）令()()()21gxfxex=−−−，0x，对其求导，利用导数求出函数的最值，再结合函数性质及零点判定定理证明即可.本题主要考查了导数几何意义，导数与单调性关系在最值求解中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题.