【文档说明】四川省泸州市2022-2023学年泸县第四中学高三二诊摸拟考试数学（理）试题 含答案.docx，共(10)页，687.565 KB，由小赞的店铺上传

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泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回。第I卷选择题（60分）一．选择题：本大题共1

2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2AxRx=，1BxRx=，则AB=A．(,2−B．22−,C．(1,2D．)2,1−2．图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z所表示的复数

z满足1()1ziz−=，则复数1z=A．2455i−+B．2455i+C．2455i−D．2455i−−3．甲､乙两台机床生产同一种零件，根据两台机床每天生产零件的次品数，绘制了如下茎叶图，则下列判断错误的是A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的众数大于乙的众数C．甲的方差

大于乙的方差D．甲的性能优于乙的性能4．已知某几何体的三视图如图所示（图中网格纸上小正方形边长为1），则该几何体的体积为A．403B．15C．563D．205．已知是第四象限角，3sin5=−，则tan()4−=A．5−B．5C．7−D．76．设{}

na是公比为的等比数列，则“”是“{}na为递增数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在如图所示的计算1592024++++L程序框图中，判断框内应填入的条件是A．2024?iB．

2024?iC．2023?iD．2023?i8．已知函数()()sinxfxxR+=，，其中0−，≤.若函数()fx的最小正周期为4，且当23x=时，()fx取最大值，是A．()fx在区间

2−−，上是减函数B．()fx在区间0−，上是增函数C．()fx在区间0，上是减函数D．()fx在区间02，上是增函数9．若log3log30ab，则A．01abB．01baC

．1abD．1ba10．已知函数()fx在()0,+上单调，且函数()1yfx=−的图象关于1x=对称，若数列na是公差不为0的等差数列，且()()5051fafa=，则na的前100项的和为A．200−B．100−C．0D．5

011．已知点(),0(0)Fcc−是双曲线22221xyab−=的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆222xyc+=交于点P，且点P在抛物线24ycx=上，则该双曲线的离心率的平方为A．352+B．5C．512−D．152+12．关于x的不等式eln101

++−xaax对任意x>1恒成立，则a的取值范围是A．(e,)+B．21,e+C．1,e+D．1,e+第II卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．曲线ecosxyx=在0x=处的切线方程为_____．

14．3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______．15．若实数,xy满足0xy，且22loglog1xy+=，则22xyxy−+的最大值为______.16．如图，在四边形ABCD中，60DA

B=，60ABC=，3DA=，6AB=，4BC=，点P是线段DC上的一个动点，则APBP的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，

考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）已知正项等比数列na的前n项和为nS，若1a，3a，210a+成等差数列，3210Sa−=．（1）求na与nS；（2）设()2log2nnnbSa=+，数列nb的前n项和记为nT，求nT．18．（12分）某超市从2014年甲、

乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互

独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s，22s，试比较21s与22s的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于

20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19．（12分）如图，1O，2O分别是圆台上下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，122ABOO=，点P是

下底面内以2AO为直径的圆上的一个动点（点P不在2AO上）.（1）求证：平面1APO⊥平面12POO；（2）若122OO=，PAB45=，求二面角1APOB−−的余弦值.20．（12分）已知抛物线2:2(0)Cxpyp=，

直线1:22lyx=−，过点()1,2P作直线与C交于A，B两点，当//ABl时，P为AB中点.（1）求C的方程；（2）作AAl⊥，BBl⊥，垂足分别为A，B两点，若BA与AB交于Q，求证：////PQAABB.21．（12分）已知函数()xfxeax

=−有两个零点1x，()212xxx.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：21122xxx−−.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）选修

4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1xtcosytsin==+，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A（0

，1），若曲线C1方程中的参数是t，0＜α＜π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求11APAQ+的最大值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|fxx=+.（1）解不等式()6|2|fxx−−；（2）已知4(,0)mnmn+=，若11||

()xafxmn−−+(0)a恒成立，求函数a的取值范围.泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试数学（理工类）参考答案：1．A2．B3．D4．C5．D6．D7．A8．B9．B10．C11．D12．B

13．10xy−+=14．223515．1416．928−17．解：（1）设正项等比数列na的公比为q(0q)，由12332102,{10,aaaSa++=−=解得12aq==，所以2nna=，()12122212nnnS+−==−−．（2）由（1）

得()()122log2log22(1)2nnnnnnbSan+=+==+，所以()2322324212nnTn=+++++，①()2312223212nnTn+=++++，

②①-②得()2231222212nnnTn+−=++++−+()()212121221212nnn−+−=+−+−12nn+=−，所以12nnTn+=．18．（1）由各小矩形的面积和为1可得：(0.0100.0200.0250.03)101a++++=，解之的0.015a=；由频

率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030−箱，故2212ss．（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里

，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则()0.200.100.3PA=+=，()0.100.200.3PB=+=．所以()()()()()0.42PCPAPBPAPB=+=．（3）由题意可知，X的可能取

值为0，1，2，3．0033(0)0.30.70.343PXC===，1123(1)0.30.70.441PXC===，2213(2)0.30.70.189PXC===，3303(3)0.30.70.027PXC===．所以X的分布列为X0123P0

．3430．4410．1890．027所以X的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX=+++=．19．解：（1）由题意，12,OO分别是圆台上下底面的圆心，可得12OO⊥

底面2O，因为AP底面2O，所以12APOO⊥，又由点P是下底面内以2AO为直径的圆上的一个动点，可得2APOP⊥，又因为1222OOOPO=，且122,OOOP平面12POO，所以AP⊥平面12POO

，因为AP平面1APO，所以平面1APO⊥平面12POO.（2）以2O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为122OO=，则1224ABOO==，PAB45=，可得1(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)ABOP−−，所以1(1,1,0),

(0,2,2)APAO==，设平面1APO的法向量为1111(,,)nxyz=ur，则100nAPnAO==，即11110220xyyz+=+=，令11y=，可得121,1xz=−=−，所以1(1,1,1)n=−−，又由1

(1,1,2),(1,3,0)POPB=−=−，设平面1APO的法向量为2222(,,)nxyz=，则100nPOnPB==，即222222020xyzxy−++=−+=，令21y=，可得223,1xz==，所以2(3,1,1)n=，所以121212333cos,11311nnn

nnn−===−，因为二面角1APOB−−为钝角，所以二面角1APOB−−的余弦值为3311−.20．（1）设()11,Axy，()22,Bxy，当//ABl时，AB的方程为()1212yx−=−即1322yx=+,由221322xpyyx==

+可得230xpxp−−=，0，∵P为AB的中点，∴12122xxp+==，∴2p=，C的方程为24xy=；（2）证明：当//ABl时，则四边形ABBA为矩形，Q为AB的中点，由（1）可知P为AB的中点，∴PQ为ABB的中位线，PQAABB////

；当AB与l不平行时，设AB与l相交于()00,Mxy，不妨设从左至右依次为点A、B、M，如图，由题意//AABB显然成立，只要证PQBB//，即证||||||APAQPBQB=，又//AABB，∴||||||AQAMQBBABMAB==，∴只要证|

|||||||APAMPBBM=，即证01120211xxxxxx−=−−−，即证()()0121202210xxxxxx+−++=.设直线AB的方程为()12ykx=−+，则12k，由(1)2122ykxyx=−+=−

，解得02821kxk−=−.由2(1)24ykxxy=−+=可得24480xkxk−+−=，0，∴124xxk+=，1248xxk=−，∴()()012120416282218164102121kkxxxxxxkk

kk−−+−++=+−−+=−−，得证；综上，PQAABB////.21．（1）解：()fx的定义域为R，()'xfxea=−.①当0a时，()'0xfxe≥，所以()fx在R上单调递增，故()fx至多有一

个零点，不符合题意；②当0a时，令()'0fx，得lnxa；令()'0fx，得lnxa，故()fx在(),lna−上单调递减，在()1,na+上单调递增，所以()()()minlnln1lnfxfaaaaaa==−=−（i）若0ae，则()()min

1ln0fxaa=−≥，故()fx至多有一个零点，不符合题意；（ii）若ae，则ln1a，()()min1ln0fxaa=−，由（i）知0xeex−，∴lnlnln0aeeaaa−=−≥，∴2lnln0aaaea−−…，()()22ln2ln2ln0

faaaaaaa=−=−.又∵()010f=，0ln2lnaa，故()fx存在两个零点，分别在()0,lna，()ln,2lnaa内.综上，实数a的取值范围为(),e+.（2）证明：由题意得1212xxeaxeax==，令210txx=−，两式相

除得212111xxtxxteexx−+===，变形得11ttxe=−.欲证21122xxx−−，即证()212tett−−，即证2222ttte++.记()()2220ttthtte++=，()()()222

2'220tttttettethtee+−++==−，故()ht在()0,+上单调递减，从而()()02hth=，即2222ttte++，所以21122xxx−−得证.方法2：由题意得：121

2xxeaxeax==由（1）可知1x，20x，令211xtx=，则21xtx=，则1111xtxeaxeatx==，两式相除得()11txet−=，1ln1txt=−，2ln1ttxt=−，欲证2

1122xxx−−，即证()21ln2lnttt−−，即证()2ln2ln220ttt+−+.记()()()2ln2ln221gttttt=+−+，()()2ln112'2ln2ttgttttt−+=+−=，令()()ln11htttt=−+，

()11'10thttt−=−=，故()ht在()1,+上单调递减，则()()10hth=，即()'0gt，∴()gt在()1,+上单调递减，从面()()10gtg=，∴()2ln2ln220tt+−+得证，即21122xxx−−得证.22．（1）∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2

的直角坐标方程为∴（x﹣1）2+y2＝1，∵α是曲线C1：1xtcosytsin==+的参数，∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝t2，∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|2=−1或|t|2=+1，∴C

1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝（21−）2或x2+（y﹣1）2＝（21+）2（2）∵t是曲线C1：1xtcosytsin==+的参数，∴C1是过点A（0，1）的一条直线，设与点P，Q相对应的参数

分别是t1，t2，把1xtcosytsin==+，代入（x﹣1）2+y2＝1得t2+2（sinα﹣cosα）t+1＝0，∴12122241ttsintt+=−−=∴121111APAQt

t+=+=|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝22|sin（α4−）|≤22，当α34=时，△＝4（sinα﹣cosα）2﹣4＝4＞0，11APAQ+取最大值22.23．（1）不等式()62|fxx−−，即3226xx++−.当23x−时，即3226xx−−−+，

得3223x−−；当223x−时，即3226xx+−+，得312x−；当2x时，即3226xx++−，无解.综上，原不等式的解集为3,12−.（2）()111114mnmnmn+=

++=11114nmmn+++.令()()gxxafx=−−=32xax−−+=222,32{42,,322,.xaxxaxaxaxa++−−−+−−−−结合函数()gx的图象易知：当23x=−时，()max23gxa=+.要使不等式恒成立，只需(

)max213gxa=+，即103a，故所求实数a的取值范围是10,3.