【文档说明】2023届新高考地区百强名校新高考数学模拟考试压轴题精编卷（五）（新高考通用）解析版.docx，共(54)页，3.676 MB，由小赞的店铺上传

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【百强名校】2023届新高考地区百强名校新高考数学模拟考试压轴题精编卷（五）（新高考通用）一、单选题1．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知过抛物线24yx=焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以AF，BF为直径的圆分别与

x轴交于异于F的P，Q两点，若2PFFQ=，则线段AB的长为（）A．52B．72C．92D．132【答案】C【分析】设2,AFmBFm==，通过几何分析可求得tan22BEAFPAE==，从而求出AB的方程，联立AB的方程和抛物线方程即可求弦长AB.【详解】

如图，过点,AB分别作准线=1x−的垂线，垂足为,CD,过B作AC的垂线，垂足为E，因为AF，BF为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，所以90APFBQF==,且AFPBFQ=,所以QFB

△与PFA相似，且相似比为:1:2FQPF=，所以2AFBF=,设2,AFmBFm==，所以CEBDBFm===，则AEm=，所以2222BEABAEm=−=，tan22BEAEBAE==，即tan22BEAFPAE

==,所以直线AB的斜率为22，所以AB的方程为22(1)yx=−，联立222(1)4yxyx=−=可得22520xx−+=，设1122(,),(,)AxyBxy，则有1252xx+=，所以1292ABxxp=++=，故选:C.2．（2023·黑龙江哈尔滨

·哈尔滨三中校考一模）在边长为3的菱形ABCD中，60BAD=，将ABD△绕直线BD旋转到ABD，使得四面体ABCD外接球的表面积为18π，则此时二面角ABDC−−的余弦值为（）A．13−B．12−C．13D．33【答案】A【分析】由已知条件，得出AEC是二面角ABDC−

−的平面角，作BCD△的中心F，//FGHA，//AGHC，AGGFG=，知四面体ABCD外接球的球心O在GF上，根据勾股定理求出6AH=，32=HE，进而可得二面角ABDC−−的余弦值．【详解】由题意可知，ABD△和

BCD△均为正三角形，设E为BD中点，延长CE，作AHCE⊥交CE于点H，可得AEC是二面角ABDC−−的平面角，作BCD△的中心F，则F在CE上，且2FCEF=，作//FGHA，//AGHC，AGGFG=，可知四面

体ABCD外接球的球心O在GF上，又24π18πR=，322R=，在RtAGO和RtCFO中，由323323CF==，32EF=，22222RCFOFOGAG=+=+，222AEAHHE=+，解得6AH=，32=HE，312cos3332AEH==，二面角ABDC−−的余弦值为13

−故选：A3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为矩形，SA⊥AB，SB=SC=2，SA=AD=1，则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为（）A．13π3B．

4πC．10π3D．3π【答案】A【分析】判断出球心的位置，利用勾股定理计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设外接球的半径为R，由于,,,,SAABABADSAADASAAD⊥⊥=平面SAD，所以AB

⊥平面SAD，由于AB平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAD.22213CDAB==−=，由于//CDAB，所以CD⊥平面SAD，由于SD平面SAD，所以CDSD⊥，所以()22231SDSAAD=−===，所以三角形SAD是等边三角形，设其外心为2O，设E是AD的中点

，则SEAD⊥，由于平面ABCD⊥平面SAD且交线为AD，SE平面SAD，所以SE⊥平面ABCD，设1ACBDO=，则1O是矩形ABCD的外心.连接1OE，由于1OE平面ABCD，所以1SEOE⊥，球心O在

1O的正上方也在2O的正上方，故四边形12OOOE是矩形，11322OEAB==，2323233OS==，所以222233132312ROS==+=，所以球的表面积为213π4π3R=.故选：A4．（20

23·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列na中，12a=，()2*113Nnnnaaan+++=，nS是数列12na+的前n项和，则2023S=（）A．2023111a−−B．2024111a−−C．2023111a−+D．2024111a−

+【答案】B【分析】把递推公式转化为1111211nnnaaa+=−+−−，再裂项相消即可求.【详解】由()2*113nnnaaan+++=N可得：21233nnnaaa++−=−，即()()()12131nnnaaa++−=−两边同时取倒数得：1111121nn

naaa+−=−+−，即1111211nnnaaa+=−+−−所以2023122311111111Saaaa=−+−−−−−2023202420241111111aaa++−=−−−−.故选：B．5．（2023·重

庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2223abc+=，则111tantantanABC+−=（）A．0B．1C．2D．12【答案】A【分析】易知结合余弦定理可得22cos2abCc=，然

后边化角后利用()sinsinABC+=展开，然后化简可得.【详解】由余弦定理以及2223abc+=可得：22cossin2cos2sinsincossinsinsinsinCCabCcABCCCAB===，又在三角形中

有()sinsinABC+=，即()sinsincoscossinABABAB+=+，所以cossincoscossincoscossinsinsinsinsinCABABBACABBA+==+故1110tantantanABC+−=.故选：A．6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔

滨三中校考一模）已知ln1.21a=，0.21b=，0.2e1c=−，则（）A．abcB．cabC．cbaD．bca【答案】C【分析】构造函数()()ln1fxxx=+−，利用导数研究其单调性，从而得到ab；再直接计算51.212.5937=，从而得到5e1.21，

进而得到cb；由此得解.【详解】令()()ln1fxxx=+−，)0,1x，则()11011xfxxx−=−=++，故()fx在)0,1上单调递减，所以()()0.2100ff=，即()ln1.210.210−，即()ln1.21

0.21，故ab；因为51.211.211.211.211.211.212.5937==，e2.718，所以5e1.21，故0.2e1.210.211=+，即0.2e10.21−，即cb；综上：cba.故选：C.【点睛】方法点睛：导函数中常用的

两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．7．（2023春·江苏南京·高三南

京师大附中校考开学考试）已知函数()()21eR2xfxxaxa=−−有两个极值点，则实数a的取值范围（）A．(),1−B．()0,1C．0,1D．()1,+【答案】D【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得

a的取值范围.公众号：高中试卷君【详解】()fx的定义域是R，()exfxxa=−−，令()()e,e1xxhxxahx=−−=−，所以()hx在区间()()(),0,0,hxhx−递减；在区间()()()

0,,0,hxhx+递增.要使()fx有两个极值点，则()()0010,1fhaa==−，此时()()ee0aafaaa−−−=−−−=，构造函数()()()11ln21,1xgxxxxgxxx−=−=−=，所以()gx在()1,+上递增，

所以()1ln20gx−，所以()ln2ln2eln2ln20afaaaaa=−−=−，所以实数a的取值范围()1,+.故选：D【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解

.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.8．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知函数()()131log332xfxx−=+−，若()()121fafa−+成立，则实数a的取值范围为（）A．(,2−−B．(

),20,−−+C．42,3−D．(4,2,3−−+【答案】C【分析】构造函数()()31log312xgxx=+−，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在)0,+单调递增，进而()fx关于直线2x=

对称，且在)2,+单调递增，结合条件可得12212aa−−+−，解不等式即得.【详解】因为()()()22331log31log332xxxgxx−=+−=+的定义域为R，又()()()223log33xxgxgx

−−=+=，故函数()gx为偶函数，又)0,x+时，231x，23xy=单调递增，故由复合函数单调性可得函数2233xxy−=+在)0,+单调递增，函数3logyx=在定义域上单调递增，所以()gx在)0,+单调递增，所以()()()123311log331log3122xx

fxxx−−=+−=++−()()()231log31222xxgx−=+−−=−，所以()fx关于直线2x=对称，且在)2,+单调递增．所以()()12112212fafaaa−+−−+−，两边平方，化简得()()2340aa+−，解得423a−．故选：C．【

点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()31log312xgxx=+−，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.公众号：高中试卷君9．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线()2222:10,0xyabab−=的左、右焦点，过1F的

直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，23CBFA=，2BF平分1FBC，则双曲线的离心率为（）A．7B．5C．3D．2【答案】A【分析】根据23CBFA=可知2//CBFA，再根据角平分线定理得到1,BFBC的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线

段用,,abc表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为23CBFA=，所以12FAF∽1FBC△，设122FFc=，则24FCc=，设1AFt=，则13BFt=，2ABt=．因为2BF平分1FBC，由角平分线定理可知，1

1222142BFFFcBCFCc===，所以126BCBFt==，所以2123AFBCt==，由双曲线定义知212AFAFa−=，即22tta−=，2ta=，①又由122BFBFa−=得2322BFtat=−=，所以2

22BFABAFt===，即2ABF△是等边三角形，所以2260FBCABF==．在12FBF中，由余弦定理知22212121212cos2BFBFFFFBFBFBF+−=，即22214942223tt

ctt+−=，化简得2274tc=，把①代入上式得7cea==，所以离心率为7．故选：A．10．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）若正实数a，b满足ab，且lnln0ab，则下列不等式一定成立的是（）

A．log0abB．11abba−−C．122abab++D．11baab−−【答案】D【分析】根据函数单调性及lnln0ab得到1ab或01ba，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B

选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为0ab，lnyx=为单调递增函数，故lnlnab，由于lnln0ab，故lnln0ab，或lnln0b

a，当lnln0ab时，1ab，此时log0ab；()11110ababbaab−−−=−−，故11abba−−；()()()1110ababab+−+=−−，122abab++；当lnln0ba时，01ba

，此时log0ab，()11110ababbaab−−−=−−，故11baab−−；()()()1110ababab+−+=−−，122abab++；故ABC均错误；D选项，11baab−

−，两边取自然对数，()()1ln1lnbaab−−，因为不管1ab，还是01ba，均有()()110ab−−，所以lnln11abab−−，故只需证lnln11abab−−即可，设()

ln1xfxx=-（0x且1x），则()()211ln1xxfxx−−=−，令()11lngxxx=−−（0x且1x），则()22111xgxxxx−=−=，当()0,1x时，()0gx，当()1,x+时，()0gx，所以()()10

gxg=，所以()0fx在0x且1x上恒成立，故()ln1xfxx=-（0x且1x）单调递减，因为ab，所以lnln11abab−−，结论得证，D正确故选：D二、多选题11．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）在一

次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的

比，则下列说法中正确的有（）A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率【答案】ABD公众号：高中试卷君【分析】根据表中数据，结合达

标率的计算公式对各选项逐一判断即可.【详解】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%，文科生达标率为70%，乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB正确；设甲校理科生有x人，文科生有y人，若

0.60.7xy=，即67xy=，则甲校总达标率为0.60.74265xyxy+=+，选项C错误；由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，当甲校文科生多于理

科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选项D正确；故选：ABD12．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别为接

CD，CB的中点，点Q为侧面11ABBA内部（不含边界）一动点，则（）A．当点Q运动时，平面MNQ截正方体所得的多边形可能为四边形、五边形或六边形B．当点Q运动时，均有平面MNQ⊥平面11AACC．当点Q为1AB的中点时，直线1AC∥平面M

NQD．当点Q为1AB的中点时，平面MNQ故正方体的外接球所得截面的面积为17π6【答案】BCD【分析】点Q运动时，平面MNO截正方体所得的多边形可能为五边形成六边形判断A，根据线面垂直即可判断B，根据线线平行可判断C，根据几何体外接球的性质可计算

长度求解半径即可判断D.【详解】如图2所示，当点Q运动时，平面MNO截正方体所得的多边形可能为五边形成六边形，故A错误；由于111,,,,BDACAABDACAAAACAA⊥⊥=平面11AAC,所以BD⊥平面11

AAC,由于//MNDB,故直线MN⊥平面11AAC，MN平面MNQ，平面MNQ⊥平面11AAC，故B正确；如图3所示，当点Q为1AB中点时，截面MNSER为五边形，直线MN与直线AC交于点T，易得：31ATTC=，又在平面11ABBA中，易得1131SBAESBEA==，所以

1ACET∥，1AC平面MNQ,ET平面MNQ,则直线1AC∥平面MNQ，故C正确；如图4所示，由C选项可知，3AGOG=，所以球心O到平面MNQ的距离等于点A到平面MNQ距离的三分之一，又由B选项可知，点A到直线ET的距离即是点A到平面MNQ的距离，

利用等面积法可得该距离为3326222332=，所以球心O到平面MNQ的距离166326d==，所以截面圆的半径22rRd=−=117366−=，所以截面圆的面积为17π6，故D正确，故选:BCD．【点睛】13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知抛物线2:4Cxy=，O

为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（）A．若点()2,3A，则PAPF+的最小值为4B．过点()3,2B且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线

上，则ODE的周长为83D．点H为抛物线C上的任意一点，()0,1G−，HGtHF=，当t取最大值时，GFH的面积为2【答案】AD公众号：高中试卷君【分析】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为1P.由抛物线定义，1PAPFPAPP+=+，据此可得最小值；B选项

，过点B且与抛物线只有一个公共点的直线有两类，抛物线的切线与斜率不存在的直线；C选项，设()()1122,，,DxyExy，由=ODOE及D，E两点在抛物线上可得12yy=，后可得ODE的周长；D选项，设()，H

xy，则()()22222141211xyytyyxy++==++++−，由基本不等式可得t取最大值时，1y=，后可得GFH的面积.【详解】A选项，过P点做准线1y=−的垂线，垂足为1P.则由抛物线定义，有1PFPP=.则1PAPFPAPP+=+，则当1，，APP三点共线时，PAPF+有

最小值4.故A正确；B选项，当过点B直线斜率不存在时，直线方程为3x=，此时直线与抛物线只有一个交点；当过点B直线斜率存在时，设直线方程为：()32ykx=−+，将直线方程与抛物线方程联立，则241280xkxk−+−=.令216483201kkk=−+==或2k=，则直线1yx=

−或24yx=−为抛物线切线.综上，过点()3,2B且与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故B错误；C选项，设()()1122,，,DxyExy，因三角形ODE为正三角形，则ODOE=22221122xyxy+=+，又22112244，xyxy==

，则()()()2212212121440yyyyyyyy−=−−++=.因120，yy，则21210yyxx=+=.又由图可得6πDOF=.则22222223433124xxyyxy====，则()()43124

312,，,DE−.得ODE的周长为243.故C错误；D选项，设()，Hxy，则()()22222141211xyytyyxy++==++++−4411211222yyyy=++=+++，当t取最大值时，1y=.取()21，H，则此时GFH的面积为1122222GFGx==.故

D正确.故选：AD14．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数()fx，()gx是定义域为R的奇函数，()1fx+的图像关于直线1x=对称，函数()21gx+的图像关于点()1,0对称，则下列结论正确的是（）A．函数

()fx的一个周期为8B．函数()gx的图像关于点()3,0对称C．若()()()133556ggg−−=，则()20231g=D．若()()88886fg+=，则()26g=【答案】ABC【分析】根据奇偶性及对称性得到()fx的周期性，令()()21uxgx=+，则()ux关于点()1,

0对称，即可得到()()110uxux++−=，从而得到()()330gxxg++−=，即可得到()gx的对称性，再根据()gx的奇偶性得到()gx的周期性，最后根据周期性判断C、D.【详解】解：对于A：因为()fx是定义域为R的奇函数，所以()()fxfx−=−，又

()1fx+的图像关于直线1x=对称，所以()()1111fxfx++=−+，即()()22fxfx+=−，所以()()()4fxfxfx+=−=−，则()()8fxfx+=，即函数()fx的一个周期为8，故A正确；对于B：令()()21uxgx=+，则()ux关于点(

)1,0对称，所以()()110uxux++−=，即()()()()0211211gxgx++−++=，即()()32320gxxg++−=，所以()()330gxxg++−=，即()gx的图像关于点()3,0对称，故B正确；对

于C：因为()gx是定义域为R的奇函数，所以()()gxgx−=−，又()gx的图像关于点()3,0对称，所以()()60gxgx++−=，所以()()6gxgx+=，即函数()gx的一个周期为6，所以()()()511ggg=−=−，又()03g=，()()()133556ggg−−=，所以(

)616g=，即()11g=，所以()()()20236337111ggg+===，故C正确；对于D：因为()fx是定义域为R的奇函数，所以()00f=，所以()()()()888881161446fgfg+=++=，即

()()046fg+=，所以()46g=，所以()()()2624ggg=−−−=−=，故D错误；故选：ABC15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知0,0ab且1b−，()()e1ln1a

abb=−+，则下列说法中错误的是（）A．abB．若关于b的方程1bma+=有且仅有一个解，则em=C．若关于b的方程1bma+=有两个解1b，2b，则122ebb+D．当0a时，11222abb++【答案】BC公众号：高中试卷君【分析】对于A，构

造(),0e1xxfxx=−，然后得到其单调性即可判断；对于B，转化为eaya=与ym=的交点问题；对于C，结合前面结论得到221121eeebbbbbtb−===，代入计算即可判断；对于D，转化为即11e122eaaa+−，即可

判断.【详解】因为()()e1ln1aabb=−+，化简可得()ln1e1abab+=−令(),0e1xxfxx=−，则()()()2e11e1xxxfx−−=−，令()()e11xhxx=−−，则

()()()e1e1exxxhxxx=−+−=−，故0x时，()0hx，函数()hx在(),0−上递增；0x时，()0hx，函数()hx在()0,+上递减；所以()()00e10hx

h=−=即()0fx，所以函数()fx单调递减，所以()ln1ab=+，且令()()e1xgxx=−+，则()e1xgx=−，令()0gx，得0x，则()gx递增；令()0gx，得0x，则()gx

递减；所以()()00gxg=，即e1xx+，所以e1aba=−成立，故A正确；由1eabmaa+==转化为eaya=与ym=的交点问题，则()2e1aaya−=，如图所示，当(),0a−时，0y，则eaya=递减，当0a时，0y，当()1,a+

时，0y，则eaya=递增，当()0,1a时，0y，则eaya=递减，即当1a=时，函数有极小值e，所以只有一个解时em=或0m，故B错误；由1eabmaa+==，由图易知，不妨设12bb，则1201bb，则有1212eebbbb=所以221

121eeebbbbbtb−===，所以21btb=，代入可得11etbbt−=，()11ebtt−=取对数可得()11ln1ln1tbttbt−==−，即21ln,11ttbtbtt==−所以()()121ln2e11ttbbtt++=−−是

否成立，即()()1ln2e1ttt+−，令()()()1ln2e1,1mttttt=+−−，取et=时，()()ee12ee10m=+−−不成立，故C错误；因为()11221abb++，即11e122eaaa+−211e1ea

aa+−2ee1e1aaaa+−所以()()22ee1e1e1aaaaa+−=−令()2e12e,0aazaaa=−−，只需证明()0za成立即可，()()()22e21e2ee10aaaazaaa=−+=−−

，所以()()00zaz=成立故D正确；【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的

值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性

时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名6y=，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：11ybxa=+，22ybxa=+，对应的相关系数分别为1r、2r，排名y对应的方差分别为21s、22s，则下列结论正确的是（）x12345y10m6n

2（附：()1221niiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−）A．12rrB．2212ssC．12bbD．12aa【答案】BD【分析】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当6m=、8m=

时的ˆˆ,ba、相关系数(r)和方差(2s)，进而比较大小即可.【详解】当6m=时，110662123453,655nxy++++++++====，解得16n=，则5111026iiixy==+36465274+++=，522222211234555iix

==++++=，18xy=，51()()iiixxyy=−−(13)(106)(23)(66)(33)(66)(43)(66)(53)(26)16=−−+−−+−−+−−+−−=−，221()()niiixxyy=−−2222222222(13)(106)(23)(66)(33)

(66)(43)(66)(53)(26)128=−−+−−+−−+−−+−−=，所以11222174518855535niiiniixynxybxnx==−−===−−−，得11545aybx=−=，11221()()162128()()niiiniiixxyyrxxyy==

−−−===−−−，2222222111(106)(66)(66)(66)(26)32()55niisyyn=−+−+−+−+−=−==；同理，当8m=时，2225342,12,17bar=−==−，228s=，所以2212121212,,,rrssbb

aa，故选：BD．17．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）如图，在五面体ABCDE中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD与四边形ABEF全等，且,//ABADABCD⊥，2

,1ABCD==，则下列说法正确的是（）A．ADBE⊥B．若G为棱CE中点，则DF⊥平面ABGC．若AD=CD，则平面ADE⊥平面BDED．若3AE=，则平面ADE⊥平面BCE【答案】ABC公众号：高中试卷君【分析】对于A，利用面面垂直的性质定理得到AD⊥平

面ABEF，从而得以判断；对于B，利用线面垂直的判定定理推得CE⊥平面ABG，由此判断即可；对于C，利用面面垂直的的判定定理，结合勾股定理即可判断；对于D，先证得EH与BE不重合，再推得平面HCE⊥平面ADE，从而得到矛盾，由此判

断即可.【详解】对于A，因为平面ABCD⊥平面ABEF，ABAD⊥，平面ABCD平面ABEFAB=，AD平面ABCD，所以AD⊥平面ABEF，因为BE平面ABEF，所以ADBE⊥，故A正确；对于B，取棱CE的中点G，连接,,,BGAGAEAC，如图①，.因为四边形ABCD与四边形ABEF全等

，所以,BCBEACAE==，因为G为棱CE中点，所以,BGCEAGCE⊥⊥，因为BGAGG=，,BGAG平面ABG，所以CE⊥平面ABG，由题意知////,ABCDEFCDEF=，所以四边形CDEF为

平行四边形，所以//DFCE，则DF⊥平面ABG，故B正确；对于C，连接,DEDB，如图①，由题意知,AFADCDAFEF==⊥，所以222AEAFEF=+=，又在直角梯形ABEF中易知2BE=，所以222AEBEAB+=，即EBAE⊥，由选项A知EBAD⊥，又,,ADAEAADA

E=平面ADE，所以EB⊥平面ADE，又EB平面BDE，所以平面ADE⊥平面BDE，故C正确；对于D，连接,AEDE，过点E作EHAE⊥交AB的延长线于点H，连接CH，如图②，.由3,1AEEF==，得

222AFAEEF=−=，所以221(2)3BE=+=，此时22233411cos232233AEBEABAEBAEBE+−+−===，所以6090AEB，故EH与BE不重合，因为AD⊥平面ABEF，E

H平面ABEF，所以ADEH⊥，又EHAE⊥，,,ADAEAADAE=平面ADE，所以EH⊥平面ADE，又EH平面HCE，所以平面HCE⊥平面ADE，假设平面BCE⊥平面ADE，因为EH与BE不重合，所以平面HCE与平面BCE不重合，又平面H

CE平面BCECE=，则CE⊥平面ADE，因为AD平面ADE，所以CEAD⊥，又//DFCE，所以DFAD⊥，这与ADAF⊥矛盾，所以假设不成立，故平面BCE与平面ADE不垂直，故D错误.故选：ABC.18．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知数列na满足1ee1nna

ana+=−，且11a=，nS是数列na的前n项和，则下列结论正确的是（）A．0naB．1nnaa+C．2021202320222aaa+D．20232S【答案】ACD【分析】对于选项A，B证明数列na为单调递减数列即得解；对于选项C，证明随着na减小，从而1nnaa+−增大，即

得解；对于选项D，证明112+nnaa，即得解.【详解】解：对于选项A、B，因为11a=，0na，所以11nnaaneea+−=，设()e1exxgxx=−−，g()eeeexxxxxxx==−−−当0x时，()0gx，()gx单调递减

，当0x时，()0gx，()gx单调递增，所以()(0)0gxg=，则ee1xxx−，所以ee1nnaana−，当0na时，1e1eennnaaana+−=，1nnaa+，当0na时，1e1eennnaaana+−=，1nnaa+，因为11a=

，所以这种情况不存在，则数列na满足当0na时，1nnaa+，为单调递减数列，故A选项正确，B选项错误；对于选项C，()1ln1lnenannnnaaaa+−=−−−令,(0,1]nxax=，设()()ln1ln,(0,]e1xfxxx

x=−−−则e111()10e1e1xxxfxxx=−−=−−−，所以函数()fx单调递减，所以随着na减小，从而1nnaa+−增大，所以2023202220222021−−aaaa，即2021202

320222aaa+，所以C选项正确，对于选项D，由前面得101nnaa+，下面证明112+nnaa，只需证明112e1ln11e111lne2e22nnnnaaaannnnnnnaaaaaaa+−−−，令enab=，则1eb，所以11122

21ln0lnbbbbbb−−−−，令1122()ln,(1,e]mbbbbb−=−−，则11()202mbbbb=+−，m()m(1)0b=成立，则112+nnaa所以2023122212202120211112222Saaaaaa++++=+−

()()2021112lne1lne122=+−−−所以D选项正确；故选：ACD.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.19．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶

段练习）在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，1BD与平面1ACD相交于点E，P为1ACD△内一点，且1113PBDACDSS=△△，设直线PD与11AC所成的角为，则下列结论正确的是（）A．1BDPE⊥B．点P的轨迹是圆C．点

P的轨迹是椭圆D．的取值范围是ππ,32【答案】ABD【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得1BD⊥平面1ACD，分析可得点E即为1ACD△的中心，结合1113PBDACDSS=△△可得13PEa=，从而可得点P的轨迹是以E为圆心，半径为13a的圆

，转化为PD是以底面半径为13a，高为33a的圆锥的母线，分析求得的范围即可得出结果.【详解】如图所示，1BD与平面1ACD相交于点E，连接BD交AC于点O，连接11BD；由题意可知1BB⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则1BBAC⊥；又因为ACBD⊥，11,BBBDBBBBD

=，平面11BDDB，所以AC⊥平面11BDDB，又1BD平面11BDDB，所以1ACBD⊥；同理可证11ADBD⊥，又1ADACA=，1,ADAC平面1ACD，所以1BD⊥平面1ACD；又因为111111ACADCDABBDBC=====，由正三棱锥性

质可得点E即为1ACD△的中心，连接1OD；因为O为AC的中点，1OD交1BD于点E，连接PE，由1BD⊥平面1ACD，PE平面1ACD，则1BDPE⊥，所以选项A正确；即PE为1PBD的高，设PEd=，由正方体棱长为a可知，13,2BDaACa=

=，且1ACD△的内切圆半径66rOEa==；所以112113133,2222222PBDACDSPEadSBDaaa====VV；又1113PBDACDSS=△△，即可得13dar=，所以点P的轨迹是以E为圆心，半径为13a的圆，所以B正确，C错误；由1BD⊥平面1ACD，1O

D平面1ACD，则11BDOD⊥，所以2233DEODOEa=−=，因此PD是以底面半径为13a，高为33a的圆锥的母线，如图所示:设圆锥母线与底面所成的角为，则33tan313aa==，所以π3=；即直线PD与平面1ACD所成的角为π3，又因为异面直线所成角的取值范围是π0,2

，直线AC在平面1ACD内，所以直线PD与AC所成的角的取值范围为ππ,32,又因为11//ACAC，所以直线PD与11AC所成的角的取值范围为ππ,32，即ππ,32；即D正确；故选：ABD【点

睛】关键点点睛：（1）通过比较PE与1ACD△的内切圆半径的大小，得出动点P的轨迹；（2）将直线PD与11AC所成的角的最小值转化为圆锥母线与底面所成的角.20．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知函数()sinln

fxxx=+，将()fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列nx，对于正整数n，则下列说法中正确的有（）A．()1ππnnxn−B．1πnnxx+−C．(21)π2nnx−−为递减数列D．()2(41)π1ln2nnfx−−+【答案】A

C公众号：高中试卷君【分析】()fx的极值点为()fx的变号零点，即为函数cosyx=与函数1yx=−图像在()0,+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC选项，由图

像可判断选项；D选项，注意到(41)π(41)π1ln22nnf−−=−+，由图像可得()fx单调性，后可判断选项.【详解】()fx的极值点为()1cosfxxx=+在()0,+上的变号零点.即为函数cosyx=与函数1

yx=−图像在()0,+交点的横坐标.又注意到()0,x+时，10x−，Nk时，()1212cosπ+ππ+πkk=−−，Nk，022222πππ,∪π,πxkk−++时，

cos0x.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到Nk时，120222ππππfkk+=+，()12102ππππfkk+=−++，31203222ππππfkk+=+.结合图像可知当21，Nn

kk=−，()()112π,ππ,πnxnnnn−−.当2，Nnkk=，()()()1112π,ππ,πnxnnnn−−−.故A正确；B选项，由图像可知325322π，πxx，则32πxx−，故B错误；C选项，(21)π2n

nx−−表示两点(),0nx与12π,0n−间距离，由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2nnx−−为递减数列.故C正确；D选项，由A选项分析可知，()241212π,π，Nnnxnn−−

，又结合图像可知，当()2412,πnnxx−时，1cosxx−，即此时()0fx¢>，得()fx在()2412,πnnx−上单调递增，则()2(41)π(41)π

1ln22nnnfxf−−=−+，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题21．（202

3·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足212aab=+，则2234ab−的最大值为_____________．【答案】2【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.【详解】由212aab=+得12baa=−，则222222113444abaaaa−=−−+=−+

+221242aa−+=，当且仅当221aa=时，此时1a=，12b=，或者1a=−，12b=−时等号成立，所以2234ab−的最大值为2．故答案为：2.22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知双曲线()222

210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过1F作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若21224OPPFFF==，则双曲线的离心率为_____________．【答案】233##323【分析】由21224OPPFFF==可得点P

,22cc，求得,ABPOkk,由点差法得2221ABPObkkea==−,可求得离心率.【详解】如图:()()12,0,,0FcFc−,由2122242OPPFFFc===,2OFc=,可得点P的坐标为,22cc，公众号：高中试

卷君则直线OP斜率为1OPk=,直线AB斜率为11232ABPFckkcc===+，另一方面，设()()1122,,,,AxyBxy则22112222222211xyabxyab−=−=,两式相减得2222121222xxyaby=−−,整理得()

()()()2121221212yyyybaxxxx−+=−+,即22ABPObkka=，故2222123133bcbeaaa===+=．故答案为:23323．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:()222210,0xyabab−=的左右焦点

，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为85c，若22AFBF=，则双曲线的离心率________【答案】153【分析】根据22AFB

F=得21MFF为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求解.【详解】设()()1122,,,AxyBxy,120,0yy，设AB的中点为()00,Mxy，由于22AFBF=，故2⊥MFAB,因此21MFF为直角三角形，故OMc=，由于1285cyy+=，

所以120425yycy+==，进而可得2204355ccxc=−=，故34,55ccM或34,55ccM−，由()()1122,,,AxyBxy在双曲线渐近线上，所以()()()()2

21122222221212012122222212120112202020ABxyyyyyyxxyybabkabaxxxxxxyab−=+−−−−===+−−=，进而2221OMABOMMFbkk

kak==−，当34,55ccM时，43OMk=,245235MFckcc==−−，所以222241151323bcbeaaa===+=，当34,55ccM−时，43OMk=−,2415325MFckcc==−−−，所以2283ba=−

不符合题意，舍去，综上：故离心率为153，故答案为：15324．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）设F为双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x

＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则ta的最大值为____________.【答案】54##1.25【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P

，Q共线，求得Q点坐标的横坐标表示出t,然后运用设参数m法化简ta,最后根据二次函数的性质求出最大值.【详解】设():PAykxa=+，()()22,,,0PxyAa−，联立()22221xyabykxa−==+整理得:()222232422220bakxakxa

kab−−−−=;所以3222222akaxbak−+=−，得到2322222abakxbak+=−，所以222222kabybak=−；过F作直线PA的垂线2211:()lyxabk=−−+与直线:lxt=交于Q，因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线2211:()lyxabk=−−+与BP

的交点，Q是()()22220:ybBPyxaxaxaka−=−=−−与2211:()lyxabk=−−+的交点所以得222222abaabtab++=+，所以22222222()1()1()bbtbaabaabaaba++++==++设21()bma=+则222211

11151()24tmmammmm+−==−++=−−+所以当112m=时，即m=2即时，取得最大值54.故答案为：54【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式

，表示出所求变量；（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.四、解答题25．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知双曲线()2222:1

0,0xyCabab−=的离心率为2，左、右焦点分别为1F，2F,点()0,1P与1F，2F构成的三角形的面积为2.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线:lykxm=+（0k，24k且23k）与双曲线C

交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M，若点2F在直线MN上，试判断直线l是否经过x轴上的一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【答案】(1)2213yx−=(2)直线l是否经过x轴上的一个定点1,02【分析】（1）结合双曲线的性质和三角形的面积公式即可

求解；（2）设直线l与x轴交于点(),0p，则直线l的方程为()ykxp=−，联立方程组，结合韦达定理表示出12xx+，12xx，再结合22MFFNkk=即可化简求解.【详解】（1）由题意，()0,1P，()1,0Fc−，()2,0Fc，所以1212122PFFScc=

==，又2cea==，所以1a=，所以2223bca=−=，所以双曲线C的方程为2213yx−=.（2）设直线l与x轴交于点(),0p，则直线l的方程为()ykxp=−，设()11,Mxy，()22,Nxy，则()11,Mxy−，

联立()2213ykxpyx=−−=，得()()222223230kxpkxpk−+−+=，由题可知230k−，()()()24222224433361210pkkpkkp=+−+=+−，所以212223pkxxk+=−，2212233pkxxk+

=−，因为点2F在直线MN上，所以22MFFNkk=，即121222yyxx−=−−，则()()122122yxyx−−=−，所以()()()()122122kxpxkxpx−−−=−−，因为0k，所以()()()()1221220xpxxpx−−+

−−=，所以()()12122240xxpxxp−+++=，所以()()2222223224033pkpkppkk++−+=−−，解得12p=，所以直线l是否经过x轴上的一个定点1,02.26．（2

023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知A，B分别为椭圆M：()222210xyabab+=的左，右顶点，00(,)Pxy为椭圆M上异于点A，B的动点，若6AB=，且直线AP与直线BP的斜率之积等于49−．(1)求椭圆M的标准方程；(2)过动点00(,)Pxy作椭

圆M的切线，分别与直线xa=−和xa=相交于D，C两点，记四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点N，问：是否存在两个定点1F，2F，使得12NFNF+为定值？若存在，求1F，2F的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)22194xy+=；(2)存在定点()

122,0F−，()222,0F，使得12NFNF+为定值6.【分析】(1)由题意可得3a=，()2220099ybx=−，再由线AP与直线BP的斜率之积等于49−，即可解出2b的值，从而即可得椭圆方程；(2)由题意求得切线CD的方程

为00194xxyy+=，进而求出C，D的坐标，从而可得直线AC，直线BD的方程，再求出N点的轨迹即可得结论.【详解】（1）解：由题知，3a=，00(,)Pxy在椭圆22219xyb+=上，即22220099bxyb+=，即()2220099ybx=−，斜率之积()

()()2222000022000099433999999APBPbxyyybkkxxxx−====−=−+−−−，所以24b=，所以椭圆M的标准方程为22194xy+=．（2）解：因为点00(,)Pxy在椭圆22194xy+

=上，则2200194xy+=，即22009364yx=−，又因为22244(1)(9)99xyx=−=−，取2293yx=−，所以2212213399xxyxx−==−−−，所以切线的斜率0202139xkx=−−，所以

切线方程为200000222000222111()333999xxxyyxxxxxx−=−−=−+−−−由22009364yx=−，可得2200994xy−=，假设00y，所以切线方程为：220000000

0022441133339922yxxxxxxyyyyy−++==−−，即222000000000044943649999yxyxyxxyyyyy+++====，所以切线CD的方程为00194xxyy+=，令3x=−得001243,3xDy+−，令3x=知：得00124

3,3xCy−，()30A−,，则直线AC：()006239xyxy−=+，①()3,0B，则直线BD：()006239xyxy+=−−，②由①×②知：()()2222020364199819xyxxy−=−

=−−−，点N的轨迹方程为2219xy+=，即存在定点()122,0F−，()222,0F，使得12NFNF+为定值6．27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距离的比为定值12．(1)求动点M的轨迹方

程；(2)设动点M的轨迹为曲线C，过点()1,0的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，垂足分别为1A、1B，判断是否存在常数t，使得四边形11AABB的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)22143yx+=(2)

存在，t=3，定点为()2,0【分析】（1）设(),Mxy，由题有：()221142xyy+−=−，化简后可得轨迹方程；（2）设过()1,0直线方程为：1xmy=+，将其与曲线C联立，由韦达定理可知12

12yymyy+=.又由对称性可知，若定点存在，其一定在x轴上，并设定点为D.后利用向量11，ABAD共线可得定点坐标.【详解】（1）设(),Mxy，由题有()221124xyy+−=−()()22222221341314443yxyxyyx−=+−+=+=.即动点M的轨迹方程为

：22143yx+=；（2）由题过()1,0直线斜率不为0，设过()1,0直线方程为：1xmy=+，将其与椭圆方程联立，221431yxxmy+==+，消去x得，()2234880mymy++−=.由题其判别式大于0，设()11,Axy，()22,Bxy，则()11,Aty，(

)12,Bty.则由韦达定理有：122843myym−+=+，122843yym−=+，得1212yymyy+=.若存在常数t，使得四边形11AABB的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x轴上，

设该定点为(),0Ds，则1A，B，D共线.又()1221,ABxtyy=−−，()11,ADsty=−−，则()()1221()yxtyyst−−=−−()()1221221222121211ymyytyxytyxytyyssyyyy−++−+−+=−

==−−()1212121221212121(1)2yyytymyyytytyyyyyyyy−+−+−−+−−===−−−.由s为定值，则11322，tts−===.同理，若A，1B，D共线，可得32，ts==.故存在常数t=

3，使得四边形11AABB的对角线交于一定点，该定点为()2,0【点睛】关键点点睛：本题涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，难度较大.本题求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；对于定点问题，常可由对称性确

定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.28．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数()()()22lnln1fxaxxxxax=−−+++，()gx为函数()fx的导函数(1)讨论()gx的单调性；(2)当1a=时，()()22lnhxxxx

fx=+−−，若0m，0n，且1mn，证明：()()0hmhn+.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求出()gx的解析式，再利用导数求出()gx的单调区间；（2）首先求出()hx的解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可得到①1mn或②01mn

两种情况，再分别证明即可.【详解】（1）解：因为()()()22lnln1fxaxxxxax=−−+++定义域为()0,+，则()()2ln2afxaxxx=−++，即()()2ln2agxaxxx=−++，所以()()()()2222221222xaxaxxaaagxxxxx+−−+

−−=+−==，当0a时()0gx恒成立，所以()gx在()0,+上单调递增，当0a时，令()0gx解得2ax，令()0gx解得02ax，所以()gx在,2a+上单调递增，在0,2

a上单调递减，综上可得，当0a时()gx在()0,+上单调递增，当0a时()gx在,2a+上单调递增，在0,2a上单调递减.（2）证明：当1a=时()2lnln1fxxxxxx=−+++，

所以()()22nl2n1lhfxxxxxxxx=−=+−−+−，()0,x+，所以()ln21hxxx−=+−，令()ln21xxxu−=+−，则()1212xxuxx−−+==，所以当12x时()0ux，当102x时()0ux

，即()ux在10,2上单调递减，在1,2+上单调递增，所以()1ln202uxu=，即()0hx，所以()hx在()0,+上单调递增，不妨设mn，因为1mn，

所以有①1mn或②01mn两种情况，当①1mn时，因为()hx在()0,+上单调递增，所以()()()10hnhmh=，所以()()0hmhn+，当②01mn时，由1mn，得1mn，所以()1hmhn，则()()()11ln1hnnnmhnhnn

nhn=−+−+++，由01mn，所以10nn−+，令()1lnxxxx=−+，()1,x+，则()()2222222131241111xxxxxxxxxxx−−+−−+−+−

=−−===，所以()0x，即()x在()1,+上单调递减，且当x趋向于1时()x趋向于0，则()0x，所以1ln0nnn−+，则11ln0nnnnn−+−+

，即()()0hmhn+，综上可得当0m，0n，且1mn时，()()0hmhn+.【点睛】关键点点睛：第一问中，根据()gx的结构，对a分类讨论；第二问中，对于②，在证明()()0hmhn+时，利用()1hm

hn将双变量变为单变量，再利用导数证明不等式.29．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知椭圆22195xy+=的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于,MN两点，连接AM，AN分别

交直线92x=−于,PQ两点，过点F且垂直于MN的直线交直线92x=−于点R．(1)求证：点R为线段PQ的中点；(2)记MPR△，MRN△，NRQ△的面积分别为1S，2S，3S，试探究：是否存在实数使得213SSS=+？若存在，请求出实数的值；

若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析.(2)存在，32=.公众号：高中试卷君【分析】（1）设设:2lxmy=−，()11,Mxy，()22,Nxy，联立椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出,PQ的坐标，计算PQyy+；继而求出直线RF的方程，求得

R点坐标，即可证明结论；（2）利用（1）的分析，求得MN，进而表示出1S，3S，计算13SS+的结果，再求得2S的表达式，即可求得13SS+与2S之间的关系，即可得出结论.【详解】（1）证明：由题意知()3,0A，()2,0F−，设:2lxmy=−，()111,(3)Mxyx

，()222,(3)Nxyx，联立222195xmyxy=−+=，得()225920250mymy+−−=，2900(1)0m=+，则1222059myym+=+，1222559yym−

=+，直线AM的方程为()1133yyxx=−−，令92x=−，得()111523yyx=−−，所以()11159,223yPx−−−，同理，()22159,223yQx−−−．所以()()121212121515152323255P

Qyyyyyyxxmymy+=−−=−+−−−−()()12122121225152525myyyymyymyy−+=−−++222222501001559595251002255959mmmmmmmmm−−++=−=

−−+++,直线():2RFymx=−+，令92x=−得52my=，所以95,22Rm−，则2PQRyyy+=，故点R为线段PQ的中点．（2）由（1）知，()222212222301201001

1595959mmMNmyymmmm+=+−=++=+++，又22295512222mmRF+=−++=，所以()()3222275112259mSRFMNm+==+．由（1）知点R为线段PQ的中点，故13121219191992222422SSPRx

QRxPQxx+=+++=+++()()()12121215151542525yymyymymy=−+++−−()()1212212127558525yymyymyymyy−=++−++()()32222222222230122517520595251008594

59255959mmmmmmmmmm+++=+=−++−+++，所以21332SSS=+．故存在32=，使得213SSS=+．【点睛】难点点睛：解答直线和圆锥曲线的位置关系类的题目时，解决问题的思路想法不是很困难，一般利用直线方程和圆锥曲线方程联立，可得根与系数的关系，结合题设进行化简求值

等，但难点在于计算的复杂性，以及计算量较大，并且大多为字母参数的运算，因此要十分细心.30．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()lnfxxnx=+.(1)若1n=，求函数()()

()()12gxfxkxk=−−的零点个数，并说明理由；(2)当0n=时，若方程()fxb=有两个实根12,xx，且12xx，求证：213e2e123bxxb−+−++.【答案】(1)3，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导数，

构造函数2()ln1khxxkx=+−+，利用导数研究单调性和图象的大致走势，结合零点存在定理和单调性可得答案；（2）先找出曲线()yfx=的两条切线，利用切线与yb=的交点证明213e232xbx−++

−，再利用割线与yb=的交点证明21e1xxb−+.【详解】（1）当1n=时，()()1lnfxxx=+，()()()()21ln11ln1kgxxxkxxxkx=+−−=++−+，显然1x=是()gx的一个零点，令2()ln1khxxkx=+−+，则(

)()()22222112()11xkxkhxxxxx+−+=−=++()0x；设()()2221xxkx=+−+()0x，因为2k，其对应方程的判别式()420kk=−，所以()0x=有两个根，设为12,xx，则1212220,1xxkxx+=−

=；不妨设1201xx，令()0hx，则()()120,,xxx+；令()0hx，则()12,xxx；所以()hx在区间()()120,,,xx+单调递增，在区间()12,xx单调递减，又1201xx，所以12()(1)0()hxhhx=；

又当x无限趋近于正无穷大时，()hx也无限趋近于正无穷大；当x无限趋近于0时，()hx无限趋近于负无穷大；根据零点存在定理和函数单调性、连续性可知()hx在()()120,,,xx+各有一个零点，所以()gx

总共有3个零点.（2）证明：先证右半部分不等式：213e232xbx−++−；因为()lnfxxx=，()ln1fxx=+，所以333(1)0,(e)3e,(1)1,(e)2ffff−−−==−==−；可求曲线()yfx=在3xe−=和1x

=处的切线分别为31:2elyx−=−−和2:1lyx=−；设直线yb=与直线1l，函数()fx的图象和直线2l交点的横坐标分别为1122,,,,xxxx则312e,1,2bxxb−+=−=+则332121ee23(1)()22bbx

xxxb−−+++−−=+−−=；因此213e232xbx−++−.再证左半部分不等式：21e1xxb−+.设取曲线上两点11(,),(1,0)eeAB−，用割线:OAyx=−，1:(1)e1AByx=−−来限制21xx−，设直线yb=与直线1(1)e1,yxyx=−−−=的

交点的横坐标分别为34,xx，则1342xxxx，且3xb=−，4(e1)1,xb=−+所以2143(e1)1()e1xxxxbbb−−=−+−−=+.综上可得213e2e123bxxb−+−++成立.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有

：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.31．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()elnxfxaxaxx=−−．(1)若不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范

围；(2)若函数()yfx=有三个不同的极值点1x，2x，3x，且()()()21233eefxfxfx++−，求实数a的取值范围．【答案】(1)ea(2)2eea【分析】（1）由()0fx分离常数a，利用构造函数法，

结合导数来求得a的取值范围.（2）首先根据()fx有3个不同的极值点求得a的一个范围，然后化简不等式()()()21233eefxfxfx++−，利用构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【详解】（1）函数()fx的定

义域为()0,+，不等式()0fx恒成立，即()elnxaxxx−在()0,+上恒成立，记()lnuxxx=−，则()111xuxxx−=−=，得到()ux在区间()0,1上()()0,uxux单调递减，在()1,+上()()

0,uxux单调递增，则()()min11uxu==，即()1ux在区间()0,+上恒成立，分离变量知：()2lnexagxxxx=−在()0,+上恒成立，则()minagx，()()()()()()222222ln2ln1

ln2ln1lnelneexxxxxxxxxxxxxgxxxxxxx−−−−−−++==−−()()()()()()2222211ln11lnlneelnxxxxxxxxxxxxxx−−−−−−==−−，由前面可知

，当()()0,11,x+时，()ln1uxxx=−恒成立，即1ln0xx−−，所以()gx在区间()0,1上()()0,gxgx单调递减，在区间()1,+上()()0,gxgx单调递增，所以()()min1egxg==，所

以ea．（2）()()()()()()2222e1e11e1xxxaxxxaxxxafxaxxxxx−−−−−=−−=−=，设曲线exy=图象上任意一点()(),e,eetxxt=，所以曲线exy=在点(),ett处的切线方程为()eettyxt−=−，将()0,0代入得

()0ee0,1tttt−=−=，故切点为()1,e，过()0,0的切线方程为()ee1,eyxyx−=−=，所以直线eyx=和曲线exy=相切，并且切点坐标为()1,e，所以当且仅当ea时，方程e0xax−=有两个不相等的实根1x，3x，并且1301xx，从

而当ea时，()fx有三个极值点1x，2x，3x，并且12301xxx=，11exax=，33exax=，取对数知：11lnlnaxx+=，33lnlnaxx+=，即11lnlnaxx=−，33lnlnax

x=−，则()()()()()31123113313eelnelnxxfxfxfxaxxaaxxxx++=−−+−+−−2lneln2lne3eeaaaaaaaaaa=−+−+−=−−−．构造()()2lneegaaaaa=−−，()()2ln11

2ln10gaaa=+−=+在ea时恒成立，则()ga在区间()e,a+上单调递增，且()22222eee2ln3eeeeg=−−=−，从而()()()()21232lne3eefxfxfxaaaga++=−−=−的解为2ea，综上所述2eea．【点

睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解.32．（2023·黑龙江哈尔

滨·哈尔滨三中校考一模）已知函数()2ln1fxxaxx=−++．(1)当a=0时，求函数()()exgxxfx=−的最小值；(2)当()yfx=的图像在点()()1,1f处的切线方程为y=1时，求a的值，

并证明：当*nN时，()211ln112knknk=++−．【答案】(1)0(2)a=1，证明见解析【分析】（1）当a=0时，()eln1xgxxxx=−−−．利用导数，可得在0xx=时，()gx有最小值，其中001xex=.据此可得答案；（2）由切线斜率为0，可得a；利用导

数研究()fx单调性，可得11ln11nnn++，从而可得11ln1knkk=+111123nn+++++.后利用当2，Nnn时，1121nnnn+−，可证得结论.【详解】（1）当a=0时，()eln1xgx

xxx=−−−．()gx定义域为(0,)+，()11()1e1(1)exxgxxxxx=+−−=+−令()()10e，,xhxxx=−+，则21()e0xhxx=+，故()hx在(0,)+上单调递增.因(1)e10h=−，1e202h=−，则

()hx在1,12上有唯一零点0x，即()0001e0xhxx=−=.则在()00,x上，()0hx，即()0gx，()gx在()00,x单调递减.在()0,x+上，()0hx，即()0gx，()gx在()0,x+上单调递增.故()

0min0000()e1lnxgxgxxxx==−−−，又001exx=00lnxx=−，则()000110gxxx=+−−=.即函数()gx的最小值为0；（2）由题，1()21fxaxx=−+，()01f=，则a=1；即2()

ln1fxxxx=−++，则(21)(1)()xxfxx−+−=故()fx在()0,1上单调递增，在(1,)+上单调递递减，则max()(1)1fxf==.则当(1,)x+时，2ln11xxx−++，即ln(1)xxx−ln1xxx−.取11xn=+，其中Nn，则1

ln1111nnn++11ln11nnn++.则()1111ln1ln112ln1ln12knknkn=+=++++++111123nn+++++

.又注意到1111111123123nn++++++++222121321nn+++++++−()12(21)(32)21nn=+−+−++−−21n=−.故211ln121

(1)2knknnnk=+−+=+−.【点睛】关键点点睛：本题涉及利用隐零点求函数最值及利用函数证明数列不等式，难度较大.本题最值点不能具体求出，但能证明其存在，后利用其满足等量关系可得最

值；证明数列不等式，关键为能利用题目函数找到合适的不等式，后通过改变不等式形式及不等式放缩可证明结论.33．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知关于x的方程ln0axx−=有两个不相等的

正实根1x和2x，且12xx.(1)求实数a的取值范围；(2)设k为常数，当a变化时，若12kxx有最小值ee，求常数k的值.【答案】(1)10,e(2)2e2ek=−【分析】（1）根据函数与方程的思想将方程有两个不相等的正实根转化成函数

图象有两个交点，通过构造函数研究其单调性求出值域即可求得实数a的取值范围；（2）首先通过转化变形写出1x和2x的表达式，求出12kxx有最小值ee的等价方程，再通过构造函数利用导函数研究其单调性，并证明方程有唯一解即可求得常数k的值.【详解】（1）由

ln0axx−=且0x，可得lnxax=.设()()ln,0,xFxxx=+，则()21lnxFxx−=，令()0Fx=，解得ex=.当0ex时，()0Fx，()Fx单调递增；当ex时，()0Fx，()Fx单调递减；函数()l

nxFxx=的图象如下：又x趋向于0时()Fx趋向−，x趋向于+时()Fx趋向0；要使()Fx图象与直线ya=有两个交点，则()0eaF，故a的取值范围是10,e.（2）因为()10F=，由（1）得1

21xex，则12221211lnlnln,lnxxxxaxxxx===，设()211xttx=，则11lnlnlntxtx+=，即12lnlnln,ln11tttxxtt==−−，由12kxx有最小值ee，即()12lnlnln1kttkxxt++=−有最小值e.设()()(

)()()()2ln11ln1,11kttgkkttktgttttt−+++=−−+−=−，记()()()()()22111ln1,1ttkkkkGtkttkGttttt−−+=−++−+−=−++=，由于1t，若1k

，则()0Gt，可得()Gt单调递增，此时()()10GtG=，即()()0,gtgt单调递增，此时()gt在(1,)+没有最小值，不符合题意.若1k，()1,tk时，()0Gt，则()Gt在()1,k单调递

减，(),tk+时，()0Gt，则()Gt在(),k+单调递增.又()10G=，()()10GkG=<，且t趋向于+时()Gt趋向+，故0,()tk+且唯一，使得()00Gt=.此时01tt时，()0Gt，即()0gt

，此时()gt在()01,t上单调递减；0tt时，()0Gt，即()'0gt，()gt在()0,t+上单调递增.所以1k时，()gt有最小值()0gt，而()00gt=，即()0001ln10kkttkt−++−+−=，整理得0000ln11ln1ttktt

−+−=+−此时()()()20000000lnln11ln1ktttgtttt+==−+−，由题意知()0egt=.设()()()()()222e20,e1e1xxxxxxxhxxhxxx−−−++−==+

−+−设()()()()2e2,1e1xxHxxxHxx−−=++−=−++.设()()(),e0xuxHxuxx−==，故()Hx递增，()()00HxH=.此时()Hx递增，有()()00HxH=，令e1xyx−=+−且0x，

则1e0xy−=−，即y在(0,)+上递增，故0|0xyy==，此时()0hx，故()hx在(0,)+递增，而()1eh=知，()ehx=的唯一解是1x=.故()0egt=的唯一解是0ln1t=，即0et=.综上所述，2e2

ek=−.【点睛】方法点睛：对于隐零点问题的解题思路是对函数零点设而不求，以隐零点为分界点，说明导函数的正负，通过整体代换和过渡，从而得到原函数最值或极值的表达式，再结合题目条件解决问题.34．（2023春·湖南长

沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知双曲线C：2213xy−=.(1)若点P在曲线C上，点A，B分别在双曲线C的两渐近线1l、2l上，且点A在第一象限，点B在第四象限，若APPB=，1,23，求AOB面积的最大值；(2)设双曲线C的左、右焦点分别为1F、2F，过左焦点1F作直线

l交双曲线的左支于G、Q两点，求2GQF△周长的取值范围.【答案】(1)433(2)163,3+公众号：高中试卷君【分析】（1）易得两渐近线1233:,:33lyxlyx==−，设()()11221003

3,,,,0,,33AxxBxxxPxy−，根据APPB=，将P点的坐标用12,,xx表示，再根据点P在曲线C上，可得12,,xx的关系，再根据1sin2AOBSOAOBAOB=△化简整理即可得解；（2）分

直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设()()3344,,,QxyGxy，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=+，根据线l交双曲线的左支于G、Q两点求出k的范围，再根据弦长公式求出QG，再根据2GQF△周长为2242QFGFQGaQG++=+，从而可得出结论.【详解】（1）双曲线C：

2213xy−=的两渐近线1233:,:33lyxlyx==−，设()()112210033,,,,0,,33AxxBxxxPxy−，由APPB=，得0101202033,,33xxyxxxxy

−−=−−−，所以()012001203333xxxxyxxy−=−−=−−，所以1201201331xxxxxy+=+−=+，因为点P在曲线C上，所以21

2212311331xxxx+−+−=+，整理得()212314xx+=，22221112221212,3333OAxxxOBxxx=+==+=，因为直线1233,33llkk==−，所以直线1l的倾斜角为π6，所以π3AOB=，()2121

13331sin22344AOBSOAOBAOBxx+====++，令()11,,23fxxxx=+，则()()()221111xxfxxx+−=−=，当113x时，()0fx，当12x时，()0fx¢>

，所以函数()fx在1,13上递减，在1,23上递增，又()1105,2332ff==，所以()max11033fxf==，所以当13=时，()max433AOBS=；（2）()12,0F−，设()()3344,,,QxyGxy，

若直线l的斜率不存在时，则:2lx=−，在2213xy−=中，令2x=−，得33y=，则233QG=，2GQF△周长为22163423QFGFQGaQG++=+=，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=+，联立()22213ykxxy

=+−=，消y得()222213121230kxkxk−−−−=，因为直线l交双曲线的左支于G、Q两点，所以()()()2222223422342130Δ1241312301201312301

3kkkkkxxkkxxk−=−−−−−+=−−−=−，得213k，2GQF△周长为2242QFGFQGaQG++=+22222212123432141313kkkkk−−=++−−−()()2222121432113kkk+=++−2214343

13kk+=+−221434331kk+=+−()22143133434331kk−+=+−216316313331k=+−，因为213k，所以2310k−，所以2163163116333313k+−，所以2GQF△周长的范围为163,3+，综上所述，

2GQF△周长的取值范围为163,3+.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、

几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要

特别注意自变量的取值范围.五、双空题35．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知数列na的前n项和为nS，1am=，22(1)nnnaSnn=+−，若对任意Nn，等式2nnSkS=恒成立，则m=_______，k=_________【答案】

12##0.514##0.25【分析】由22(1)nnnaSnn=+−，可得当2n时，有112(1)2(1)(2)nnnaSnn−−−=+−−，两式相减，整理得11nnaa−−=，从而得数列na

是以m为首项，1为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式可得2(21)2nnmnS+−=，222(21)nSnmn=+−，所以222(21)4(42)nnnmnnmnSS+−+−=，进而得4(21)(42)mm−=−，即可得答案.【详解】解：因为22(1)nnnaSnn=+−，所以当2

n时，有112(1)2(1)(2)nnnaSnn−−−=+−−，两式相减得1122(1)2()(1)(2)(1)nnnnnanaSSnnnn−−−−=−+−−−−，即有122(1)22(1)nnnnanaan−−−=+−，整理得：1(1)(1)(1)nnnanan−−−−=

−，所以11nnaa−−=，所以数列na是以m为首项，1为公差的等差数列，所以(1)11,namnmn=+−=+−Nn，2(1)(21)22nmmnnnmnS++−+−==，则22242(21)2(21)2nnmnSnmn+−==+−，所以22222(

21)(21)2[2(21)]4(42)nnnmnnmnnmnnmnSS+−=+−+−=+−，又因为对任意Nn，等式2nnSkS=恒成立，所以4(21)(42)mm−=−，解得12m=，所以14k=.故答案为：1

124；.36．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，椭圆()222210xyabab+=与双曲线()222210,0xymnmn−=有公共焦点()1,0Fc−，()2,0Fc()0c，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，点P为两曲线的一个公共点

，且1260FPF=，则221213ee+=______；I为12FPF△的内心，1,,FIG三点共线，且0GPIP=，x轴上点,AB满足AIIP=，BGGP=，则22+的最小值为______．【答案】4312+【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求

出12,PFPF，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I为12FPF△的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出1e=及2e=，代入22+中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为122FFc=，椭圆的长轴长为2a

，双曲线的实轴长为2m，不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PFPFm−=，由椭圆的定义：122PFPFa+=，可得：12,PFmaPFam=+=−，又1260FPF=，由余弦定理得：2222121224PFPFPFPFFFc+−==，即()()()()2224maammaa

mc++−−+−=，整理得：22234amc+=，所以：2222221231344amccee+=+=；②I为12FPF△的内心，所以2IF为12PFF的角平分线，则有11PFIPAFAI=，同理：22PFIPAFAI=，所以1212PFPFIPAFAFAI==，所以12

121212IPPFPFaAIAFAFce+===+，即1AIeIP=，因为AIIP=，所以AIIP=，故1e=，I为12FPF△的内心，1,,FIG三点共线，即1FG为1PFB的角平分线，则有2

121GBBFBFPGPFPF==，又21BFBF，所以1221222BGBFBFcePGPFPFm−===−，即2eBGGP=，因为BGGP=，所以BGGP=，故2e=，所以()222222121222121134eeeeee

+=+=++22221212222221213311313421442eeeeeeee=++++=+，当且仅当221221222133eeeeee==时，等号成立，所以22+的

最小值为312+，故答案为：4，312+.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，（1）直接法：由题意知道,ac利用公式求解即可；（2）一般间接法：由题意知道,ab或,bc利用,,abc的关系式求出,ac，在利用公式计算即可；（3）齐次式方程

法：建立关于离心率e的方程求解.37．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知双曲线()222210xyababE−=：的左、右焦点分别为()13,0F−，()23,0F、两条渐近线的夹角正切值为22，则双曲线E的标准方

程为______；若直线:30lkxyk−−=与双曲线E的右支交于,AB两点，设1FAB的内心为I，则1FAB与IAB△的面积的比值的取值范围是______.【答案】22163xy−=()2,6【分析】设双曲线E的一条渐近线byxa=的倾斜角为π,0,2，进而结合题意得2t

an2ba==，进而结合2223,cbac=+=即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得2F为1FAB的内切圆与边AB的切点，进而将问题转化为1462IAFABBSABS+=△，最后联立方程，求解弦长AB的范围即可得答案.【详解】解：设双曲线E的一条渐近线b

yxa=的倾斜角为π,0,2，由0ab得10ba，π20,2，所以，22tantan2221tan==−，解得2tan2=或tan2=−（舍）所以，22ba=，即2ab=，因为2223,cbac=+=，所以223,6ba==，

即双曲线E的标准方程为22163xy−=；由:30lkxyk−−=得():3lykx=−，故直线l过点()23,0F，所以，如图，设1FAB的内切圆与11,,AFBFAB分别切于DCE,,点，则11,,ADAEBCBEFCFD===，1111,ADFD

AFBCFCBF+=+=，由双曲线的定义得121226AFAFBFBF−=−=，所以1122AFBFAFBFADBCAEBE−=−=−=−，即22AFBFAEBE−=−，所以，点2,EF重合，即2F为1FAB的内切圆与边AB的切点，所以，2IF为1FAB的内切圆半径，因为

()121112FABSIFAFBFAB=++，212IABSIFAB=△所以1211246246462IABFABSBAAFBFABAFBFABABSABBABA+++++===++=△，设()(

)1122,,,AxyBxy，联立方程()223163ykxxy=−−=得()222212121860kxkxk−+−−=，所以，()()()42221444121862410kkkk=−−−−=+且2120−k，即22k，22121222121860,

02121kkxxxxkk++==−−，即2210k−所以()()2222121222213211362214262666212121kkABkxxxxkkk−++=++−===+−−−，所以，()14622,6IBABFASSAB=+△故1FAB与

IAB△的面积的比值的取值范围是()2,6.故答案为：22163xy−=；()2,6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到2F为1FAB的内切圆与边AB的切点，进而根据面积公式求解即可.获得更多

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