【文档说明】湖北省云学部分重点高中联盟2025届高三上学期10月一模联考数学试卷 Word版含答案.docx，共(14)页，989.934 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考数学试卷命题学校：孝感高中命题人：柴全中王燕霞张翔李丽审题人：褚卫战考试时间：2024年10月8日15：00-17：00时长：120分钟满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.1.已知集合()2log1Axyx==−∣，集合2xByy−==∣，则AB=（）A.()0,1B.()1,2C.()1,+D.()2,+2.若tan2=，则sincos2sincos=+（）A.65−B.25−C.25D.653.数列

na是公差不为零的等差数列，它的前n项和为nS，若918S=且346,,aaa成等比数列，则3a=（）A.13B.23C.53D.24.已知函数()()π3sin06fxx=+，对任意的xR，都有()()30fxfx++=成立，

则的可能取值是（）A.π4B.π2C.π6D.π35.对于平面凸四边形ABCD，若()()4,3,1,2ACBD==，则四边形ABCD的面积为（）A.52B.53C.552D.大小不确定6.已知函数()cosfxxax=−在区间π0,6单调递增，则

实数a的取值范围是（）A.1,2−−B.3,2−C.1,2+D.3,2−+7.在平面直角坐标系中，双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左､右焦点分别为12,,FFA为双曲线右支上一点，连接1

AF交y轴于点B，若2ABAF=，且12AFAF⊥，则双曲线的离心率为（）A.12+B.22+C.5D.68.已知函数()1lnfxxaxx=−−有两个极值点12,xx，则()12fxx+的取值范围是（）A.30,ln24

−B.3ln2,2−+C.30,2ln22−D.3ln2,4−+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，

部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知事件,AB发生的概率分别为()()11,23PAPB==，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则()23PAB+=B.若A与B相互独立，则()23PAB+=C.若()13PAB=，则A与B相互独立D.若B发生时A一定发生，则()16PAB=10

.已知abc，且20abc++=，则（）A.0,0acB.2caac+−C.0ac+D.21acab+−+11.设,是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（）A.sinsin1+B.t

antan1C.coscos2+D.()1tantan22−−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z满足2iizz=−+，则z=__________.13.若()ππsin3sin63fxaxx=+++

是偶函数，则实数a的值为__________.14.在如图所示的直角梯形ABCD中，AB∥,1,2,.CDABBCCDABBCP===⊥为梯形ABCD内一动点，且1AP=，若APABAD=+，则2+的最大值为_____

_____.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列na的前n项和为2,1nSa=且()*12nnSSnn+=+N.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足()2log1nnba=+，数列n

b的前n项和为nT.求2341111nTTTT++++.16.（15分）在ABC中，三个内角ABC､､所对的边分别为abc､､.设向量()()2,cos,,cosmacCnbB=−=，且m∥n.（1）求角

B的大小；（2）设D是边AC上的一点，使得ABD的面积是DBC面积的2倍，且sinsin14ABDDBCac+=，求线段BD的长.17.（15分）已知,ab为实数，函数()e1xfxaxb=−+−（其中e2.71828=是自然对数的底数）.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若对任意

的(),0xfxR佰成立，求ab+的最小值.18.（17分）如图，在四棱锥PABCD−中，2,1,ADACBCAPPA====⊥底面ABCD，90CADACB==，平面PBC与平面PAD的交线为l.（1）求证：l⊥平面PAC；

（2）设M为PCD内一动点，且79MCMD=−，求线段PM长度的最小值；（3）在（2）的条件下，当线段PM的长最小时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.19.（17分）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又

被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为()()*1,2,3,,,innPXip==N，定义信息熵：()12211(),,,log,1,1,2,,nnnniiiiiHXHppppppin==

==−==（1）若2n=，且12pp=，求随机变量X的信息熵；（2）若121111,,2,2,3,,222kknnppppkn+=+===，求随机变量X的信息熵；（3）设X和Y是两个独立的随机变量，求证：()()()HXYHXHY=+.参考答案：题号1234567891011答案CADA

DABBABABDAD12.312−13.314.96.解析：4,PAPBPCPQ===⊥面ABC且Q是ABC外心，222464π232,(23)4,,4π33PQQAQBQCRRRSR====−+====7.解析：四边形ACBM面积21||12SMCABMAACMC===−，222||11

21||MCABMCMC−==−，()()()222222||(1)e,(1)e,212exxxMCxfxxfxx=−+=−−++=单增，又()()2minminmin00,()02,|2,|2ffxfMCAB=====，2min2

ππ22S==8.解析：11223311,11,11xxxxxx=+=+=+'''，则1233,4,.15xxx++='''，所以有22232232314331415CCCCCCC455+++=+++==

9.解析：函数()sin3cosfxxx=+的定义域为R，有()()()()sin3cossin3cosfxxxxxfx−=−+−=+=∣，即函数()fx是偶函数，又()()()()πsinπ3cosπsin3cosfxxxxxfx+=+++=+=，则π是函数

()fx的一个周期，也是最小正周期，A正确当π02x时，()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，显然函数()fx在π0,6上递增，在ππ,62上递减，π02x−时，由偶函数的性质知，函数()fx在ππ,26−−

上递增，在π,06−上递减，即当π02x时maxminππ()2,()162fxffxf====，即函数()fx在π0,2的取值集合为1,2，从而函数()fx在π,02−的取值集合为

1,2，即在ππ,22−上的值域为1,2，因此函数()fx在R上的值域为1,2，B正确；如图：()fx不关于直线π6x=对称，所以不关于直线7π6x=对称，故C错()fx在5ππ,62−−上单调性同ππ,62

，所以递减，故D对.11.解析：对()()2221fxfx=+两边求导得()()()422fxfxfx=即()()()22fxgxgx=，故A对()()()22210,21gxfxfx=−，即恒成立，()()()()2

12001,01,02ffff=+==−（舍），故B错.()gx是奇函数，()fx是偶函数，()()()1,1,fxgxgx为增函数，()fx为增函数，又()00f=，故C错.()()36xFxgxx=−

+，()()()221122xxFxgxfx=−+=−+，()()()Fxfxxgxx−==−为增函数，()()()()()()00,00,00FxFFxFFxF=

==，故D对.14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ=，则π2ABQ=−.过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则π3,,2ACBDCPABAQDPBABQ====

==−.在直角三角形ACP中，sinsinACCPAAP==，所以3sinsinACAP==.同理：3πcossin2BDBP==−.所以33π,0sincos2ABAPBPU=+=+

.因为331232662sincossincossin2AB=+=（当且仅当sincos=且π4=时等号成立）.所以62AB.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾

斜后能通过的最大长度为22223(62)39mAB=+=+=15.解析：（1）在ABCD中，π2,2,4ABBCABC===，由余弦定理得2222cos2ACABBCABBCABC=+−=，则222ABACBC+=，有ABAC⊥，又平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC

=，,AFACAF⊥平面ACEF，则AF⊥平面ABCD，直线,,ABACAF两两垂直，以点A为原点，直线,,ABACAF分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0ABC，()()()2,2,0,0,2,1,0,0,1DEF−设()0,

,1,02Mtt，则()()0,2,1,2,2,1AEDMt==−，由AEDM⊥，得()2210AEDMt=−+=，解得22t=，即12FMFE=，所以当AEDM⊥时，点M为线段EF的中点.（2）由（1）可得()22,,1,2,2,02BMBC=−=−

，设平面MBC的法向量为(),,mxyz=，则2202220mBMxyzmBCxy=−++==−+=，取2y=，得()2,2,2m=，平面ECD的法向量为()0,1,0n=，设平面MBC与平面ECD的夹角为，则210coscos,5442mnmn

mn====++，所以平面MBC与平面ECD的夹角的余弦值为105.16.解析：（1）易知函数()()0exaxfxa=的定义域为R.所以()()1exaxfx−=，当0a时，由()0fx，得1x，由()0fx，得1x.所以()fx的单调增区

间为(),1−，单调减区间为()1,+；当0a时，由()0fx，得1x，由()0fx，得1x.所以()fx的单调增区间为()1,+，单调减区间为(),1−.（2）()ln1xfxxmx++即31lnexxxmxx++在()0,x+上恒成

立，令()31lnexxxhxxx=++，易知函数()hx的定义域为()0,+.所以()()2222313e3e11lnln.eexxxxxxxxhxxxx−−−=−+=−当01x时，()231ln0,0exxxx−，故()0h

x；（11分）当1x时，()231ln0,0exxxx−，故()0hx.（13分）所以()hx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，所以1x=时，()hx在()0,+上取得最大值()311eh=+.所以3

1em+，所以实数m的取值范围是31,e++.17.解析：（1）由mn‖可得，()()()sinsinsinbaAbcBC−=+−，由正弦定理该式化为()()()baabcbc−=+−，整理得：222bacab+−=，即：222122bacab+−=，即1cos2C=，因为C为三角

形的内角，所以π3C=.（2）令CDx=，由题意：2CDCACB=+，平方得：2224xbaab=++，由正弦定理23sinsinsin3abCABC===，则：2323sin,sin33aAbB==，代

入上式得：2224444sinsinsinsin333xBAAB=++2242π442πsinsinsinsin33333AAAA=−++−4π1cos2441cos242π3sinsin323233A

AAA−−−=++42π5cos2333A=−+因为三角形是锐角三角形，所以π0πππ2ππ222ππ62333032AAAA−−−，2

π142π57cos2,1,cos2,3323333AA−−+，即274,33x，213,62x，因此，CD的取值范围为213,62.18

.解析：（1）由题意，有232233abac=+=，解得231abc===即椭圆标准方程为：221143xy+=（2）设过点R的切线方程为()()122ykxkxk=−+=+−()222222(2)ykx

kkxk=+−+−联立2234120xy+−=，有()()22243824(2)120kxkkxk++−+−−=由于想切，令Δ0=，()(222224(2)43,(2)343kkkkk−=+−−+()223433(2)kk+=−23410kk+−=即求得1213kk=−（3）设()()000,0,

RxyyRK延长线交x轴于K点，PQ､两点处切线斜率分别是1k和2k，有0022xIKAKJKBKx+==−，设椭圆上P或Q两点切线方程为()00ykxxy=−+联立有，()()000022143y

kxxykxkxyxy=−+=−−+=()()()22200004384120kxkkxyxkxy+−−+−−=()()()22220000Δ0,64443412kkxykkxy=−=+−−有()2220000423

0xkxyky−−+−=20001212220023,44xyykkkkxx−+==−−()()10020022IJykxyykxy=−−+=−+要证明IKAIJKBJ=，需证明()()100002002222

kxyxxkxy−−++=−−+即要证()()()()22200010004242kxyxkxyx−++=−+−，()()212001042kkxykkx++=+()()21200042kkxxy+−=其中，0012202

4xykkx+=−显然，即证IKAIJKBJ=（17分）19.（1）①()()(),1,,1,,3acc②处于位置(),3c时，得3分，21124=，处于位置(),1a时，得1分，21124=，处于位置(),1c时，得分1分，2112

22=，所以最终得分的分布列为：得分X的期望()313131.5442EX=+==.X13P3414（2）将棋盘按如图所示编号：123456789123456789将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4

或8，记做：438−−；从8可以连接3或1，记做：381−−；然后将他们串联起来：4381−−−.依次类推，可以串联出环状回路：438167294−−−−−−−−−−，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､

7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为14为了转化问题，现规定d=“两棋子之间的最短节点数”，例如：特别规定两棋子重合时，0d=.并统计四种运动模式下d会如何改变

假设3号棋子顺时针走过x个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y个节点也可以与之重合.为了简化问题，不妨假设xy，于是有下表：（顺，顺）（顺，逆）（逆，顺）（逆，逆）0d=0d=1d=1d=0d=1d=1d=0d=3d=1d=3d=3d=1d=1d=3d=设np=

“n回合后，0d=的概率”，nq=“n回合后，1d=的概率”，nR=“n回合后，3d=的概率”，则有111111111241111,22221142nnnnnnnnnnppqqpqRRqR−−−−−−−=+=++==+1111111,28

424nnnnpppp−−=+−=−显然，11110,44pp=−=−，所以1111442nnp−−=−，所以解得：11142nnp+=−.