【文档说明】湖南师范大学附属中学2024届高三摸底考试数学试题（高二期末）+含解析.docx，共(18)页，1.155 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2021级高三摸底考试试卷数学命题人：张汝波苏萍柳叶杨章远审题人：高二备课组时量：120分钟满分：150分得分：__________第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合*24,{12}xAxBxx==−NN∣∣，则AB等于（）A.{12}xx−∣B.{2}xx∣C.0,1D.12.若复数z满足2izz=+，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A.1B.-

1C.iD.i−3.函数()log1(01)afxxa=+的图象大致是（）A.B.C.D.4.快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测

算，如果在距离货运枢纽10km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（）A.5kmB.6kmC.7kmD.8km5.八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图

.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A.ABACABAD=B.0OAOBOCOF+=C.EG和HD是一对相反向量D.ABBCCDEFFGa−++−=6.已知2sin63−=，则4cos23−

等于（）A.59−B.59C.13−D.137.已知na是公差为3的等差数列，其前n项的和为nS，设甲：na的首项为零；乙：23S+是13S+和33S+的等比中项，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是

乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知函数()222xxfxx−=++，若不等式()()212faxfx−+对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A.()23,2−B.()23,23−C.()2,23−D.()2,2−二､多选题：本题

共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会

物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（）A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多B.20172022−这6年我国社

会物流总费用的70%分位数为14.9万亿元C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.3%D.2022年我国的GDP超过了121万亿元10.已知na是各项均为正数的等比数列，其前n项和为nS，且nS是等差数列，则下列结论正确

的是（）A.nnaS+是等差数列B.nnaS是等比数列C.2na是等差数列D.nSn是等比数列11.先将函数()2sinfxx=的图象向右平移6个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，则下列关于函数()gx的说法中正确的是

（）A.在5,612上单调递增B.当,2x时，函数()gx的值域是2,1−C.其图象关于直线56x=对称D.直线231yx=−为曲线()ygx=的切线12.如图，在棱

长为3的正方体1111ABCDABCD−中，点P是平面11ABC内的一个动点，且满足1213PDPB+=+，则下列结论正确的是（）A.1BDPB⊥B.点P的轨迹是一个半径为2的圆C.直线1BP与平面11ABC所成角为3

D.三棱锥11PBBC−体积的最大值为3622+第Ⅱ卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.高二年级体锻课时间提供三项体育活动，足球､篮球､乒乓球供学生选择.甲､乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们

的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为__________.14.正实数,xy满足142xy+=，且不等式24yxmm+−…恒成立，则实数m的取值范围为__________.15.已知三棱锥ABCD−中，2,22,22,BCCDBDA

CABD====是等边三角形，则三棱锥ABCD−的外接球的表面积为__________.16.在直角ABC中，,3,1ABACACAB⊥==，平面ABC内动点P满足1CP=，则APBP的最小值为___

_______.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知ABC中角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足2sincos2sincos3,cABbACaca+=.（

1）求角A；（2）若2,bABC=的面积23,D是BC边上的点，且3CDDB=，求AD.18.（12分）已知数列nx的首项为1，且1121212222nnnnnnxxnxxx−+−−++++=.（1）求数列nx的通项公式；（2）若()(

)1121,2nnnnbnxxS+=+−为nb前n项的和，求nS.19.（12分）如图，圆台12OO的轴截面为等腰梯形11111,224,AACCACAAACB===为下底面圆周上异于,AC的点.（1）在平面1BCC内，过1C作一条直线与平面1AAB平行，并说明理由；（2）

若四棱锥11BAACC−的体积为23，求平面1AAB与平面1CCB夹角的余弦值.20.（12分）甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一

方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为(1,0,0,0)++=…，且每局比赛结果相互独立.（1）若111,,236===，求甲

学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；（2）当0=时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望()EX的最大值.21.（12分）已知正项数列na满足：13a=，且()()22*1112

1,nnnnaaaan++−=−N.（1）设1nnnbaa=−，求数列nb的通项公式；（2）设221nnncaa=+，求数列nc的前n项和nT，并确定最小正整数n，使得nT为整数.22.（12分）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，点

O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于,AB两点.（1）当直线l与x轴垂直时，OAOB⊥，求C的离心率；（2）当C的焦距为2时，AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围.湖南师大附中2021级高三摸底

考试试卷数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CBAACACDADACDBCDACD1.C（原题）2.B【解析】设izab=+，则根据题意()i2iabab+=++，

有2222(2)abab+=++，得到1b=−，所以z的虚部是-1.故选B.3.A4.A【解析】设土地租金成本和运输成本分别为1W万元和2W万元，分拣中心和货运枢纽相距kms，则根据题意易知120Ws=，245Ws=，故1220420

42855WWssss+=+=…，当且仅当5s=时取等号.故选A.5.C【解析】A项，由于135ABCBCD==，明显有ABCD⊥，故0,AABACABADABDC−==正确；B项，()0OAOBOCOF

OAOBOAODOAOBOD+=+=+=，B正确；C项，EG和HD方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；D项，||||ABBCCDEFFGCDa−++−==，D正确.故选C.6.A（原题）【解析】4cos2cos2cos2cos23333

−=−+−=−−=−−22512sin12699=−−−=−−=−.故选A.7.C【解析】由na是公差为3的等差数列，可知11213133,326,3312S

aSaSa+=++=++=+.若23S+是13S+和33S+的等比中项，则()()()2111263312aaa+=++，解得10a=或13a=−（舍去，因为此时12330)SS+=+=，可见“10a=”是“23S+是13S+和33S+的等比中项”的充要条件.故选C.8

.D【解析】函数()222xxfxx−=++的定义域为R，且()()222xxfxxfx−−=++=，所以()fx为偶函数，又当0x…时，()2gxx=是增函数，令()22xxhx−=+，任取)12,0,xx+，且12xx，则()()()()12112212121

2212222222xxxxxxxxxxhxhx+−−+−−=+−+=−，因为)1212,,0,xxxx+，所以1212220,210xxxx+−−，所以()()120hxhx−，所以()22xxhx−=+在)0,+上是

增函数，即()yfx=在)0,+上是增函数，所以不等式()()212faxfx−+对任意xR恒成立，转化为212axx−+，即22212xaxx−−−+，所以210xax++和230xax−+在R上恒成立，①若210xax++在R上恒成立，则21Δ40a=−，解得22a−

；②若230xax−+在R上恒成立，则22Δ120a=−，解得2323a−；综上所述，实数a的取值范围是()2,2−.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AD【解析】由图表可知，2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为16.714.91.8−=万亿元，故A正确；因为670%4.2=，则70

%分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万伧元，故B错误；由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%14.6%0.2%−=，故C错误；由图表可知，2022年我国的GD

P为17.814.7%121.1万亿元，故D正确.故选：AD.10.ACD（此题为原题，见一轮复习资料6.3等比数列的练习题）【解析】由nS是等差数列，可得()121123232,aaaaaaaa+=+++=，na是各项均为正数的等比数列，22

aaq=，可得11,0nqaa==，()11,nnaSna+=+数列nnaS+是等差数列，因此A正确；2221,nnaaa=是常数列，为等差数列，因此C正确；10,nnSSann=是等比数列，因此D

正确；21,nnnnaSnaaS=不是等比数列，因此B不正确.故答案为ACD.11.BCD【解析】由题可得()2sin26gxx=−，当5,612x时，22,663x−

，故函数()gx在5,612上不单调，故A错误；当,2x时，()51112,,sin21,,2sin22,1666626xxgxx−−−=−−

，故B正确；当56x=时，3262x−=，故函数()gx的图象关于直线56x=对称，故C正确；因为()2sin26gxx=−，所以()4cos26gxx=−，若直线231y

x=−为曲线()ygx=的切线，则由()4cos2236gxx=−=，可得：xk=或6xk=+，当xk=时，()1gx=−，于是2311k−=−，解得:0k=，当6xk=+时，()1gx=，于是23116k+−=，此时无解.综上，直线231yx=

−为曲线()ygx=的切线.故D正确.故答案为BCD.12.ACD【解析】对于A选项，连接11,BD四边形1111ABCD为正方形，1111BDAC⊥，1DD⊥平面111111,ABCDAC平面1111111,

ABCDACDD⊥，111111,BDDDDAC=⊥平面11BDD，1BD平面11111,BDDBDAC⊥，同理可证1111111,,BDABABACABD⊥=⊥平面11ABC，PB平面111,,AABCPBBD⊥对；对于B选项，设1BD平面1

1ABCE=，11111111132,,ABBCACABBBBC=====三棱锥111BABC−为正三棱锥，22111113,33,23BEBBBEBDDEBDBE=−===−=，1BD⊥平面11,ABCPE平面111,ABCPEBD

⊥，即1,BEPEDEPE⊥⊥，221213,123213,0PDPBPEPEPE+=++++=+，解得1PE=，点P的轨迹是半径为1的圆，B错；对于C选项，1BE⊥平面111,ABCBP与平面11ABC所成的角为1BPE，且111tan3

,02BEBPEBPEPE==剟，故13BPE=，C对；对于D选项，点E到直线1BC的距离为1622BE=，点P到直线1BC的距离的最大值为612+，1BE⊥平面11,ABC三棱锥11BBPC−的高为1BE，三棱锥11PBBC−体积的最大值为()3321363,D

322++=对.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2314.1,2−【解析】由题可知，114142242424yyxyxxxyyx+=++=++…，当且仅当44x

yyx=时等号成立，所以要使不等式24yxmm+−…恒成立，即22mm−„，解得12m−剟.15.323【解析】如图，取BD的中点E，连接1,,22AECEBEEDBD===，设ABD的外心为G，2,22,22,BCCDBDACBCD====为等腰直角三角形，12

,2ECBDABD==是等边三角形，AEBD⊥，266,3AEGAGBGD====，在AEC中，222,ECAEACAEEC+=⊥，在GEC中，由222ECGEGC+=，可得263GCGAGBGD====，G为外接球的球心，该三

棱锥的外接球表面积为23243R=.故答案为：323.16.413−【解析】由题可知点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，,APACCPBPBCCP=+=+，()()()2APBPACCPBCCPACBCCPACBCCP=+

+=+++，()1,4CPAPBPCPACBC==++，又向量ACBC+是长度为13的一个向量，由此可得，点P在圆C上运动，当CP与ACBC+共线反向时，()CPACBC+取最小值，且这个最小值为一13，故APBP的最小值为413−.四､解答题：本题共6小题，共

70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）2sincos2sincos3cABbACa+=，由正弦定理得：2sinsincos2sinsincos3sin,sin0CABBACAA+=，()33sincossincos,sinsin,22CBBCABCca+==

+=，3A=.（2）方法一：由已知：1sin232ABCSbcA==，得4c=.()11134444ADABBCABACABACAB=+=+−=+22134916624143()4416161624ADACAB=+=++=，432AD

=.方法二：由已知：1sin232ABCSbcA==，得4c=.由余弦定理2222cos12,23abcbcAa=+−==.3333,,22CDDBBDCD===.设ADx=，在ABD中，23164cos322x

ADBx+−=；在ADC中，22744cos3322xADCx+−=；由coscos0ADBADC+=，解得432x=.432AD=.18.【解析】（1）因为1121212222nnnnnnxxnxxx−+−−++++=，用1n−替换上式的n，得

()()1212112222nnnnnxxxxn−−−−+++=….两式作差，即得()1111222nnnnnnnxxnx+−−−=−，整理后有()122nnxxn+=….在原式中令1n=，得122xx=，故12

nnxx+=对任意*nN都成立.而nx的首项为1，故0nx，所以nx是公比为2的等比数列.因此nx的通项公式是12nnx−=.（2）由（1）得112nnnxx−+−=，故()()()21112122nnnnb

nnxxn−+=++−=+.所以()()10323252212212nnnSnn−−−=+++−++.又()()012123252212212nnnSnn−−=+++−++，作差得()()1121132222212

nnnSn−−−=−−+++++()()112123212212nnn−−−=−−++−()21212nn−+=.19.【解析】（1）取BC中点P，作直线1CP即为所求.取AB中点H，连接1,AHPH，则有1,2PHACPHAC=∥，如图，在等

腰梯形11AACC中，112ACAC=，所以1111,HPACHPAC=∥，则四边形11ACPH为平行四边形，所以11CPAH∥，又1AH平面11,AABCP平面1AAB，所以1CP∥平面1AAB.（2）过点B作BOAC⊥于

O，在等腰梯形11AACC中，111224ACAAAC===，所以该梯形的高3h=，所以等腰梯形11AACC的面积为33S=，所以四棱锥11BAACC−的体积1233VSBO==，解得2BO=，所以点O与2O重合，以2O为原点，2221,,OBOCOO方向为,,xy

z轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,0,2,0,0,0,2,0,0,1,3,0,1,3CBAAC−−，()()()()110,1,3,2,2,0,0,1,3,2,2,0AAABCCBC===

−=−设平面1AAB的法向量为()111,,axyz=，所以111130,220.yzxy+=+=取11z=，则()3,3,1a=−.同理可得平面1CCB的法向量为()3,3,1b=，设平面1AAB与平面1CCB夹角为，则3311cos7331

331abab−+===++++.故平面1AAB与平面1CCB夹角的余弦值为17.20.【解析】（1）用事件,,ABC分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则()()()111,,236PAPBPC=====

=，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件,,,,ABAABAAAACCACACACCAA共5种，所以()()()()()()PNPABAAPBAAAPACCAPCACAPCCA

A=++++()()()()()()()()322111152323326248PBPAPAPAPCPCPAPA=+=+=.（2）因为0=，所以每局比赛结果

仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即1+=，由题意得X的所有可能取值为2,4,5，则()()()222PXPAAPBB==+=+，()()()()()()()224PXPABAAPBAAAPABBBPBABB

==+++=+++()222=+，()()()()()()2222222222514PXPABABPABBAPBABAPBAAB==+++=+++=.所以X的分布

列为X245P22+()222+224所以X的期望()()()2222222820EX=++++()()222221281220442=−+−+=++，因为12+=…，所以1

4„，当且仅当12==时等号成立，所以10,4，所以()2222113442(21)121144EX=++=++++=„，故()EX的最大值为134.21.【解析】（1）

因为()()2211121nnnnaaaa++−=−，且0na，2211112nnnnaaaa++−−=，即11112nnnnaaaa++−=−，12nnbb+=，又1111803baa=−=，nb是首项为83，公比为2的等比数列，2

11223nnnbb+−==.（2）因为222112nnnnncaaaa=+=−+，2221222212111nnnTaaaaaa=++++++22212121112nnaaanaaa=−+−++−+

()()222221644188886494442241233334127nnnnnn−−=+++++=+=−+−若nT为整数，因为()642,4127nn−ZZ，即()14127n−Z.0113322141(

31)1C3C3C3C3C3C1nnnnnnnnnnnnnn−−−−−=+−=++++++−01133221C3C3C3C3C3nnnnnnnnnn−−−−=+++++.221C3C3nnnn−−+能被27整除，()()2221133193C3C393222nnnnnnnnnnn−−−−−

+=+==.所以9n=时，221C3C3nnnn−−+能被27整除，n的最小值是9.22【解析】（1）当直线l与x轴垂直时，由对称性知OAB是等腰直角三角形，于是OFAFBF==，即222221cbcacbaaa−=−==，解得离心率512cea+==.（2）若C的焦距为2，则1c=，即(

)1,0F.由于直线l的斜率不为零，可设其方程为1xmy=+.结合221(01)baa=−，联立22221,1,1xmyxyaa=+−=−得()()()222222212110ammyma

ya+−+−−−=.设()()1122,,,AxyBxy.由韦达定理，()()()()212222221222221,11,1mayyammayyamm−−+=+−−−=+−由于,AB两点均在C的右支上

，故()22212010yyamm+−，即2221ama−.()()1212121211OAOBxxyymymyyy=+=+++()()2121211myymyy=++++()()()()()22222222221211111amam

mammamm−−−−=++++−+−()()222422221311maaaaamm−−+−=+−.由AOB恒为锐角，得2221ama−，均有0OAOB，即()222421310maaaa−−+−恒成立.由于()2210aa−，

因此不等号左边是关于2m的增函数，所以只需20m=时，42310aa−+−成立即可.解得515122a−+，结合01a，可知a的取值范围是51,12−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com