【文档说明】河南省四市（安阳市、鹤壁市、新乡市、商丘市）2022-2023学年高三下学期开学考试（理科）数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.095 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前高三数学考试（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1．设全集1,0,1,2,3U=−，集合22,AxxxU=，则UA=ð（）．A．2B．3C．2,3D．0,2,32．设复数z满足()()i3i10z−−=，则z的共轭复数为（）．A．32i−B．32i+C．32i−−

D．32i−+3．已知向量()4,amm=+，()3,1b=，且ab∥，则m=（）．A．1B．2C．3D．44．下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速表，由图可以知道下列结论正确的是（

）．2016～2022年我国跨境电商交易规模、增速A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％5．函数()23cos

631xxxfx=−的图象大致为（）．A．B．C．D．6．将函数()π2sin26fxx=−的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()gx的图象，下列说法正确的是（）．A．()gx为奇函数B．()gx在0,π3

上单调递减C．()gx在ππ,66−上的值域为0,3D．点π,06−是()gx图象的一个对称中心7．设椭圆()2222:10xyCabab+=的半焦距为c，若4ac−=，6b=，则C的离心率为（）．A．512B．35C．513D．12

138．在正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，则异面直线1AC与1BE所成角的余弦值为（）．A．105B．155C．55D．2559．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3coscostan3bCcBaC+=−，2ba=，ABC△的面积为23，则c=（）．A．22

B．23C．32D．2710．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知9cmAB=，3cmCD=，则该青铜器的体积为（）．A．3873πcm2B．3873πcm4C．3433πcmD．3433πc

m211．定义函数()()()()()()()(),min,,fxfxgxfxgxgxfxgx=，()2min1,22hxxxaxa=−−++，若()0hx=至少有3个不同的解，则实数a的取

值范围是（）．A．1,2B．2,3C．3,4D．4,512．已知函数()fx，()gx的定义域均为R，()fx，()gx连续可导，它们的导函数分别为()fx，()gx．若()fx的图象关于点()2,0对称，()cosπgxx=，且()10g=，()fx与()gx图象

的交点分别为()11,xy，()22,xy，…，(),mmxy，则下列说法错误的是（）．A．()2yfx=+是奇函数B．()fx的图象关于直线2x=对称C．()gx的图象关于直线32x=对称D．()14miiixym=+=第Ⅱ卷二、填空题：本大题

共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．设x，y满足约束条件325012xyxy−−，则2zxy=−+的最小值为__________．14．已知5π2tan43+=−，则tan=__________．15．某居民小

区前有9个连成一排的车位，现有4辆不同型号的车辆要停放，则恰有2辆车停放在相邻车位的概率是__________．16．已知抛物线2:2Cxy=，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线1l，2l，若12ll⊥，且1l与2l交于点M，则MAB△的面积的最小值为_________

_．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等

比数列na的前n项和2nnS=+，为常数．（1）求的值与的通na项公式；（2）设21lognnnbaa+=，数列nb的前n项和为nT，求nT．18．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，60BAD=，E

B⊥平面ABCD，FDEB∥，4FDABEB==．（1）证明：ACEF⊥．（2）求平面AEF与平面BCE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏

规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为1p，2p．（1）若112p=，223p=，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率．（

2）若2165pp+=，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时1p，2p的值．20．（12分）已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率为2，且点()2,1A在C上

．（1）求双曲线C的方程；（2）若点M，N在双曲线C上，且AMAN⊥，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值．21．（12分）已知函数()212xfxxeax=+，()fx为它的导函数．（1）若2a

=−，求函数()fx的单调区间；（2）若关于x的方程()xfxe=有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角

坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos3sinxy==（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知A，B是曲线C上的两点，且π4AOB=

，求2211OAOB+的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()11fxxx=++−．（1）求不等式()6fx的解集；（2）若0,2x，不等式()fxxa−恒成立，求实数a的取值范围．高三数学考试参考答案（理科）1．C【解析】本题考查集合的运算，考查数

学运算的核心素养．因为1,0,1A=−，所以U2,3A=ð．2．A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养．因为()()i3i10z−−=，所以10i32i3iz=+=+−，则32iz=−．3．B【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养．因为ab∥，所以

43mm+=，解得2m=．4．D【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为5.56.37.18.039.711.512.18.07++++++万亿元．A错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，B错误；这

7年我国跨境电商交易规模的极差为12.15.56.6−=万亿元，C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为14.513.113.82+=％％％，D正确．5．C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养．易知()fx的定义域为0xx，由()23cos6cos6313

3xxxxxxfx−==−−，得()()fxfx−=−，所以()fx是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B．在π0,12内，cos60x，330xx−−，所以()cos6033xxxfx−=−，排除D．故选C．6．D【解析】本题考查三角函数的性质，考查数

学运算的核心素养．()π2sin23gxx=+，A错误；因为π30,x，ππ,π233x+，()gx在0,π3上先增后减，所以B错误；因为ππ,66x−，

π2π0,332x+，()0,2gx，所以C错误；因为ππ63sin20−+=，所以点π,06−是()gx图象的一个对称中心，D正确．7．C【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养．因为4ac−=，所以()222246acc=+=+

，解得52c=，132a=．故513ca=．8．B【解析】本题考查立体几何初步的知识，考查直观想象的核心素养．如图所示，取AD的中点F，连接1AF，EF，CF．因为E，F分别为BC和AD的中点，所以11EFABAB∥∥，且11EFABAB==，所以四边形11ABEF为平行四边形，从而1

1BEAF∥，所以1FCA为异面直线1AC与1BE所成的角．设2AB=，则15AFCF==，123AC=，所以1cs155oFCA=．9．D【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养．因为3coscostan3bCcBaC+=−，所以3sincoscoss

insintan3BCBCAC+=−，整理得3sinsintan3AAC=−，因为sin0A，所以tan3C=−．又()0,πC，所以2π3C=．因为ABC△的面积为23，2ba=，所以12π2sin2323aa=，解得2a

=，4b=，所以222124224282c=++=，则27c=．10．A【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象与数学运算的核心素养．因为23393ππ23cm22V==圆柱，()223π393933

3393πcm32222V=+++=组合体，所以该青铜器的体积393π783π873πcm222V=+=．11．B【解析】本题考查函数的新定义，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．令()1fxx=−，()222gxxaxa=−++

，依题意2220xaxa−++=有解，则()24420aa=−+，得1a−或2a．当0a时，必须满足()1130aga=−，解得13a；当0a时，必须满足()11330aga−−=+

，无解．综上，23a，即实数a的取值范围是2,3．12．D【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养．因为()fx的图象关于点()2,0对称，所以()2yfx=+为奇函数，故A正确；因为()fx的图象关于点()2,0对称，所以()()4fxfx=−−，对其两边取导数

，得()()4fxfx=−，所以()fx的图象关于直线2x=对称，故B正确；因为()cosπgxx=，所以()1sinππgxxC=+（C为常数），由()10g=，得0C=，即()1sinππgxx=，令πππ2xk=+，kZ，解得12xk=+，kZ，所

以()gx的图象关于直线32x=对称，故C正确；因为()fx，()gx的图象都关于点()2,0对称，所以()11140222mmmiiiiiiimmxyxym===+=+=+=，故D错误．13．4−【解析】本题

考查线性规划的知识，考查数学运算与直观想象的核心素养．画出可行域（图略）知，当直线2zxy=−+过点()3,2时，z取得最小值4−．14．5−【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．因为tan121tan3+=−−，所以ta

n5=−．15．1021【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学抽象与数学建模的核心素养．9个车位要停放4辆车，基本事件的总数为49A，其中4辆车中恰有2辆车停放在相邻车位包含的基本事件的个数为2346AA，所以所求概率2346491021AAPA==．16．1【解析】本题考查抛物线的性质，考

查直观想象与数学运算的核心素养．抛物线C的方程可化为212yx=，所以yx=．设()11,Axy，()22,Bxy，则()21111:2xlyxxx−=−，()22222:2xlyxxx−=−，因为12ll⊥，所以121xx=−．设直线l的方程为ykxm=+，与抛物线C的方

程联立得22ykxmxy=+=，消去y得2220xkxm−−=，()2420km=+，所以122xxk+=，1221xxm=−=−，解得12m=，即1:2lykx=+．联立方程21122222xyxx

xyxx=−=−，解得12xky==−，即1,2Mk−．因为点M到直线l的距离222111kdkk+==++，()()()22212121421ABkxxxxk=++−=+，所以()()32222121112Skkk=++=

+，显然当0k=时，MAB△的面积取得最小值1．17．解：（1）因为2nnS=+，所以112aS==+，（1分）当2n时，()()111222nnnnnnaSS−−−=−=+−+=，（3分）因为na为等比数列，所以121a=+=

，解得1=−，（5分）所以12nna−=．（6分）（2）因为11212log2log22nnnnnnbaan−−+===，（7分）所以01211222322nnTn−=++++L，12321222322nnTn=++++L，（9分）两式相减得231122222

nnnTn−−=+++++−L，（10分）即()12212112nnnnTnn−−=−=−−−，（11分）所以()121nnTn=−+．（12分）评分细则：【1】第一问，写出112aS==+，得1分，写出()122nnan−=，累计得3分，证出na是等比数列，且求出1=−，累

计得5分，写出na的通项公式，累计得6分．【2】第二问，求出12nnbn−=，累计得7分，求出231122222nnnTn−−=+++++−L，累计得10分，直到给出正确结论得12分．18．（1）证明：连接BD．因为四边形ABCD是

菱形，所以ACBD⊥．（2分）又EB⊥平面ABCD，所以ACEB⊥．（3分）因为BDBEB=，所以AC⊥平面BDE．（4分）又FDEB∥，所以平面BDE就是平面BDFE，因为EF平面BDFE，所以ACEF⊥．（5分）（2）解：设AC，BD相交于点O，以O为坐标原点，

OA，OB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．（6分）设平面AEF的法向量为(),,mxyz=，13,1,2AE=−，()3,1,2AF=−−，则1302320mAExyzmAFxyz=−++==−−+=，取43z=，可得()5,33,43m

=．（10分）取BC的中点G，连接DG．易证平面BCE⊥平面ABCD，因为BCD△是正三角形，所以DGBC⊥，从而DG⊥平面BCE，即DG是平面BCE的一个法向量．因为()0,1,0D−，31,,022G−，所以33,,022DG=−

，（11分）所以231cos,5103mDGmDGmDG===，所以平面AEF与平面BCE所成锐二面角的余弦值为15．（12分）评分细则：．【1】第一问，证出ACBD⊥，得2分，证出ACEB⊥，累计得3分，第一问全部证完，累计得5分．【2】第二问，建立空间直角坐标系，累计得6分，写

出相关点和相关向量的坐标，累计得8分，计算出平面AEF的法向量，累计得10分，写出平面BCE的一个法向量，累计得11分，直至正确求出锐二面角的余弦值，累计得12分．19．解：（1）由题可知，可能的情况有①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；

③甲投中2次，乙投中2次．（2分）故所求概率为2222211221212112423233239CC++=．（4分）（2）他们在一轮游戏

中获得“神投小组”称号的概率()()()1221222221121222121212121123pCppppCpppppppppp=−+−+=+−，（6分）因为1265pp+=，所以2212121235p

pppp=−，因为101p，201p，1265pp+=，所以1115p．（7分）又22121116395525ppppp=−+=−−+，所以1219525pp．（9分）令12tpp=，则19525t，设()21235phttt==−+，当925t=

时，max297625p=，（10分）他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足(),xBnp，由297np=，则297297625297625np==，所以理论上至少要进行625轮游戏．（11分）此时1265pp+=，12925pp

=，1235pp==．（12分）评分细则：【1】第一问，会进行分类，得2分，正确求出概率，累计得4分．【2】第二问，求出他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率()2212121223ppppppp=+−，累计得6分，求出1219525pp，累计得9分，求出ma

x297625p=，累计得10分，整个题完全正确得12分．20．（1）解：因为2e=，所以()22221ba=+，解得ab=．（2分）所以双曲线C的方程为22221xyaa−=，把点()2,1A的坐标代入22221xy

aa−=，得22411aa−=，解得3a=，（3分）所以双曲线C的方程为22133xy−=．（4分）（2）证明：设()11,Mxy，()22,Nxy．设直线MN的方程为ykxm=+，代入22133xy−=，得()2221230kxkmxm−−−−=，于是1

2221kmxxk+=−，212213mxxk−−=−．①（6分）由AMAN⊥，得0AMAN=，则()()()()121222110xxyy−−+−−=，整理得()()()22121212250kxxkmkxxmm++−−++−+=．（8分）将①代入上式，可得()()

()()22222132214011kmkmkmkmkk−−−−−++−+=−−，整理得()()28422221120kkmmkkm−−−+=+−−=．（10分）因为()2,1A不在直线MN上，所以210km+−，所以210k+=，解得12k=−．即直线M

N的斜率k为定值．（12分）评分细则：【1】第一问，正确写出ab=，得2分，写出3a=，累计得3分，求出C的方程，累计得4分．【2】第二问，根据韦达定理写出12221kmxxk+=−，212231mxxk−−=−，累计得6分，写出()()28422221120kkm

mkkm−−−+=+−−=，累计得10分，算出12k=−，累计得12分．21．解：（1）当2a=−时，()2xfxxex=−，则()()12xfxxex=+−．（1分）令()()()12xgxfxexx==+−，得()()22xgxxe=+−，再令()()()22xxgxxe==+

−，则()()3xxxe=+，易知()gx在(),3−−上单调递减，在()3,−+上单调递增．（2分）又()00g=，所以当(),0x−时，()0gx，当()0,x+时，()0gx，（3分）故()fx的单调递减区间为(),0−，单

调递增区间为()0,+．（4分）（2）由()xfxe=，得()21102xxeax−+=，令()()2112xhxxeax=−+，得()()xhxxea=+．（5分）①当0a=时，()()1xhxxe=−，()0hx=只有一个根1x=，不符合题意．（6分）②当0a时，0xea+，易

知此时()hx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，所以()()min01hxh==−．又()102ah=，所以当0x时，存在()00,1x，使得()00hx=，即()0hx=在()0,+上有一个根．（7分）当0x时，1xe，则()1

1xxex−−，所以()()22111122xhxxeaxaxx=−++−，取11120axa−−+=，则()21111102hxaxx+−=，所以()()100hxh，方程()0hx=在()1,0x上有一零点，所以

()0hx=有两个不同的根，符合题意．（8分）③当0a时，由()()0xhxxea=+=，得0x=或()lnxa=−．当()ln0a−，即1a−时，由()0hx，得()lnxa−或0x，所以()hx在(),0−，()()ln,a−+上

单调递增，在()()0,lna−上单调递减，因为()hx的极大值()01h=−，所以()0hx=至多有一个根，不符合题意．（9分）当()ln0a−=，即1a=−时，()hx在R上单调递增，所以()0hx=至多有一个根，不符合题意．（10分）当

()ln0a−，即10a−时，由()0hx，得()lnxa−或0x，所以()hx在()(),lna−−，()0,+上单调递增，在()()ln,0a−上单调递减．因为当0x，0a时，()()21102xhxxeax=−+，所以()()ln0ha−．又()01h=−，所以(

)0hx=至多有一个根，不符合题意．（11分）综上，0a，即实数a的取值范围为()0,+．（12分）评分细则：【1】第一问，写出()()12xfxxex=+−，得1分，正确判断出()gx的单调区

间，累计得2分，第一问都正确，累计得4分．【2】第二问，写出()()xhxxea=+，累计得5分，每正确进行一次讨论，得1分，第二问都正确，累计得8分．【3】第三问，后续每讨论一种情况得1分，直至求

出正确答案，累计得12分．【4】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．22．解：（1）先将曲线C的参数方程2cos3sinxy==（为参数）化为普通方程，得22143xy+=，（2分）再转化成极

坐标方程22223cos4sin120+−=，进一步化简得22123sin=+．（4分）（2）不妨设点A的极坐标为()11,，点B的极坐标为21π,4+，（5分）所以2112213sin7co

s2111224OA+−===，211222π3sin7sin21141224OB+++===，（7分）所以()112211114sin2cos224OAOB+=+−，（8分）所以122111π142sin2244OAOB+=+−

，（9分）所以2211OAOB+的最大值为14224+．（10分）评分细则：【1】第一问，曲线C的极坐标方程写成22223cos4sin120+−=或22124cos=−都不扣分，得4分．【2】第二问，写出A，B的极坐标方程，累计得5分，写出1217cos2124−

=，1227sin2124+=，累计得7分，写出122111π142sin2244OAOB+=+−，累计得9分，求出最大值为14224+，累计得10分．23．解：（1）不等式()6fx等价于1116xxx−−−−+或1111

6xxx−+−+或1116xxx++−，（1分）因为1116xxx−−−−+的解集为)3,1−−，（2分）11116xxx−+−+的解集为1,1−，（3分）1116x

xx++−的解集为(1,3，（4分）所以不等式()6fx的解集为3,3−．（5分）（2）若1,2x，不等式()fxxa−等价于2xxa−，即22320xaxa+−，（6分）令()2232gxxaxa=

+−，则()()1020gg，所以6231aaaa−−或或，即6a或2a−．（8分）若)0,1x，不等式()fxxa−等价于2xa−，即2xa+或者2xa−，所以20a+或者21a−，解得2a−或者3a．（9分

）综上，2a−或者6a，即实数a的取值范围是(),26,−−+．（10分）评分细则：【1】第一问，把不等式转化成不等式组，得1分，每求出一个不等式组的解集，得1分，正确做完第一问，累计得5分．【2】第二问，第一个讨论，并求出解集，累计得8分，直至最后写出正确结果，累计得10分．