【文档说明】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第三次大练习数学试题含答案.docx，共(12)页，734.986 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-401cd71fd2fea0b90d4b1fe5101a1778.html

以下为本文档部分文字说明：

湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期第三次大练习数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z满足2zizi=−，则下列结论中正确的是（）

A.z的虚部为iB.2z=C.2z为纯虚数D.1zi=−+2.设集合21log0Axx=+，124Bxx=，则()RABð等于（）A.1,22B.11,42C.10,4D.11,24−3.已知na为等比数列，且

2312aaa=，4a与72a的等差中项为54，则5a=（）A.1B.2C.31D.124.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有两个空盒的放法种数有（）A.24B.84C.16D.565.已知ABC△

的外接圆圆心为O，半径为2，0OAABAC++=，且||||OAAB=，则CA在CB方向上的投影为（）A.-3B.12−C.12D.36.()6221xxx+−的的展开式中含2x项的系数为（）A.-160B.-100C

.20D.1007.已知函数()fx在定义域[2,2]−上是奇函数，在区间[0,2]上是减函数，则(1)(2)fafa−−成立的必要条件为（）A.3,2a+B.3,2a−C.3,32aD.30,2a8.已

知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线的右支上，且125PFPF=，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A.5B.53C.52D.32二、多项选择题：本

题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分.9.抛物线的方程为22yx=，直线AB过抛物线的焦点且与抛物线交于点()11,Axy，()22,Bxy，则下列结论正确的是（）A.焦

点到准线的距离为1B.过焦点与对称轴垂直的弦长为2C.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切D.12116xx=−10.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//m，//，则//m；B.若//mn

，m⊥，n⊥，则//；C.若m⊥，//，则m⊥；D.若m，n，⊥，则mn⊥；11.若正实数a，b满足1ab+=，则下列选项正确的是（）A.ab有最大值14B.ab+有最小值2C.11ab+有最小值4D.22ab+有最大值1212

.已知函数()xfxe=，1()ln22xgx=+的图像分别与直线(0)ymm=交于A，B两点，则AB的值可为（）A.212e+B.2ln2+C.12ln22+D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知

函数()yfx=图象在点(1,(1))Mf处的切线方程是25yx=−，则(1)(1)ff+=______.14.已知3sin65+=−，02−，则cos=______.15.已知()23()3n

fxxx=+展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大4032，则展开式中二项式系数最大的项为______.16.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O的表面上.若球O

的表面积为56，则该三棱柱的侧面积为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）某年级800名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求这

次考试学生成绩的众数、中位数和平均数；（2）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[50,60)中的概率.18.（本小题满分12分）已知数列na满足：()*21212nnaaann+++=−N.（1）求数列n

a的通项公式；（2）设22nnnnba−=，求数列nb的前n项和nS.19.（本小题满分12分）在ABC△中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知ab，3c=，22coscos3sincos3sincosABAABB−=−.（1）求角

C的大小；（2）若3sin5A=，求ABC△的面积.20.（本小题满分12分）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//CDAB，90ABC=，224ABBCCD===，侧面PAD⊥平面ABCD，2APD==.（1）求证：BDPA⊥

；（2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角PDCN−−的余弦值为33?若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点为2(2,0)F

，且点61,2P在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）若点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点M是直线4x=上任意一点，MA、MB分别交椭圆E于C、D两点，求四边形ACBD面积的最大值.22.已知函数2()xfxeaxax=−−（e为自然常数）.（1）若1

a=，且关于x的不等式4()5fxm+对于任意(0,)x+恒成立，求整数m的最大；（2）当0a时，设1x，2x是函数()fx两个不同的极值点，证明：12ln(2)2xxa+.参考答案：湖南师大附中2020—2021学年度高二第一学期第三次大练

习数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C【解析】由2zizi=−，得22(1)11(1)(1)iziiii+===+−−+，则z的虚部为1，||

2z=，22zi=为纯虚数，1iz=−，故选C.2.C【解析】因为211log00,2Axx=+=，124Bxx=，R1,(2,)4B=−+ð，所以()R10,4AB=ð，故选

C.3.A【解析】由2312aaa=得312aq=，又47522aa+=，得116a=，12q=，4511612a==.故选A.4.B【解析】22132424342284CCACCA+=

.故选B.5.D【解析】由0OAABAC++=，得OBACCA=−=，所以四边形OBAC为平行四边形，又O为ABC△的外接圆圆心，所以||||||OAOBOC==，又||||OAAB=，所以△OAB△为正三角形，四边形OBAC是边长为2的菱形，所以6ACB=，所以CA在CB方向上

的投影为3||cos2362CA==，故选D.6.B【解析】62xx−的展开式的通项为662662(1)2rrrrrrrxxCxC−−−=−，所以2x项的系数为33322266(1)2

(1)2100CC−+−=−.故选B.7.A【解析】因为函数()fx在定义域[2,2]−上是奇函数，在区间[0,2]上是减函数，所以函数()fx在定义域[2,2]−上是减函数，由(1)(2)fafa−−得2212aa−−−，解得a3,32a

，故选A.8.D【解析】因为P在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得122PFPFa−=，又125PFPF=，所以2252PFPFa−=，所以22aPF=，根据点P在双曲线的右支上，可得22aPFca=−，所以32ac，又1e，所以312e

，所以此双曲线的离心率e的最大值为为32.故故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9

.CD【解析】抛物线的标准方程为212xy=，所以14p=，所以焦点到准线的距离为14，过焦点与对称轴垂直的弦长为12，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，212116xxp=−=−.故选CD.10.BC【解析】若//m，//

，则m可能在平面内，故A不正确；若//mn，m⊥，n⊥，则//，故B正确；若m⊥，//，则m⊥，故C正确；若m，n，⊥，则m与n有可能平行，故D不正确；故选BC.1l.AC【解析】因为0a，0b，1ab+=，所以22abab+

，所以14ab，所以A选项正确；222abab++=，当且仅当12ab==时取等号，故ab+有最大值2，所以B错误；因为1114abababab++==，当且仅当12ab==时取等号，所以11ab+有最小值4

，所以C正确；因为222()122abab++=，当且仅当12ab==时取等号，故22ab+的最小值是12，所以D错误.故选AC.12.AB【解析】由题意得(ln,)Amm，122,mBem−，0m，易知122lnmem−，所以12||2lnmABem−=−，0m.令122

lnmyem−=−，0m，则2112myem−=−，令0y=，得12m=.所以当102m时，0y；当12m，0y，所以122lnmyem−=−，0m在10,2上单调递减，在1,2+上单调递增.所以||2ln2AB+，故选AB.三、填

空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-1【解析】由题意知(1)2f=，(1)253f=−=−，所以(1)(1)231ff+=−=−.14.43310−【解析】3sin65+=−

，02−，366−+，4cos65+=，31433coscoscossin66262610−=+−=+++=.15.7540x【解析】由题可得42

4032nn−=，令2nt=，得24032(64)(63)0tttt−−=−+=，所以64t=，所以6n=.所以二项式系数最大的项为()3332736()3540Cxxx=.16.72【解析】因为三棱柱111ABC

ABC−的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，所以三棱柱为正三棱柱，则其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积为56，得2456r=，14r=设三棱柱的底面边长为a，则

上底面所在圆的半径为323233aa=，且球心O到上底面中心H的距离2aOH=，设直三棱柱高为h，底面周长为L，222323ara=+，即2271412ra==，26ah==，

366La==.所以三棱柱的侧面积为662672SLh===.故答案为72.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）根据直方图知组距为10，由(23762)101aaaaa++++=，解得0.005a

=.由图可得数学成绩的众数是75分.由153550.1650.15750.35850.30950.12++++=，得平均数为1532分.设中位数为x分，则由0.01100.015100.035(70)0.5x++−=，得505407077x=+=分.（2）成绩落在[5

0,60)中的学生人数为20.0051080080=，成绩落在[60,70)中的学生人数为30.00510800120=，成绩落在[50,70)中的学生人数为80120200+=.所以从成绩在[50,70)的学生中任选2人，此2人的成绩都在[50,60)中的概

率28022004079158100199995CCp===.18.【解析】（1）因为21212nnaaan+++=−，则112121(2)21nnaaann−−+++=−−两式相减，得12nnan−=，即12(2)nnann−=.由已

知，1211a=−=满足上式.故数列na的通项公式是12nnan−=.（2）由题设，11(21)2122nnnnnnbn−−−−==则21135211222nnnS−−=++++，21113232122222nnnnnS−−−=++++.两式相减，得22111211212

311332222222nnnnnnnnnS−−−−+=++++−=−−=−所以12362nnnS−+=−.19.【解析】（1）由题意得，1cos21cos233sin2sin22222ABAB++−=−即3131sin2cos2sin2cos22222AABB−=−，sin2sin2

66AB−=−.由ab得AB，又(0,)AB+，得2266AB−+−=，即23AB+=所以3C=.（2）由3c=，3sin5A=，sinsinacAC=，得65a=，由ac，得AC，从而4cos5A=，故343sinsin()sincoscoss

in10BACACAC+=+=+=所以ABC△的面积为1163433693sin32251050SacB++===.20.【解析】（1）由题知2222BDCDCB=+=，又22AD=，所以222BDA

DAB+=，所以BDAD⊥.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，因为PA平面PAD，所以BDPA⊥.（2）延长AD，BC相交于点M，连接PM.因为M平面PAD，

M平面PBC，所以Ml，又Pl，所以PM即为交线l.取AB的中点Q，连接DQ，则DQDC⊥.过点D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以DQ，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图

所示的空间直角坐标系，则(1,1,2)P−，(0,2,0)C，(2,2,0)M−，(0,0,0)D.所以(1,1,2)DP=−，(0,2,0)DC=，(3,3,2)PM=−−.设平面PDC的法向量为(,,)mxyz=，则00

mDCmDP==，即020yxyz=−+=，取1z=，得(2,0,1)m=−.设()111,,Nxyz，PNPM=，则()1111,1,2(3,3,2)xyz−+−=−−，所以113x=−，113y=−+，122z=−，(13,13,22)DN=−−+−

，(0,2,0)DC=，设平面NDC的法向量为()222,,nxyz=，则00nDCnDN==，即222220(13)(13)(22)0yxyz=−+−++−=，取(22,0,31)n=−−，所以22|(2)2(1)31|

3|cos,|332(1)(31)mn−−+−==−+−，所以271030−+=，所以37=或1=，经检验1=时，不合题意，舍去.所以存在点N符合要求，且37PNPM=.21.【解析】（1）依题意得2c=，且226141ab+=，又222

abc=+，所以42260bb−−=，所以22b=，24a=，得椭圆方程为22142xy+=.（2）由（1）知椭圆顶点(2,0)A−，(2,0)B.设(4,)Mt（不妨设0t），点()11,Cxy，()22,Dxy.则直线MA的方程为(2)6tyx=+，

直线MB的方程为(2)2tyx=−.由22(2)6142tyxxy=++=，得()()22221844720txtxt+++−=，则212472218txt−−=+，所以21236218

txt−=+，于是()112122618ttyxt=+=+，再由22(2)2142tyxxy=−+=，得()()222224480txtxt+−+−=则2224822txt−=+，所以222242txt−=+，于是

()2224222ttyxt−=−=+.12221111244222182ACBADBACBDttSSSAByABytt=+=+=+++四边形△△3422266323236203620t

ttttttt++==++++.设6utt=+，则[26,)u+，且328ABCDSuu=+四边形令32()8guuu=+，[26,)u+，则()gu在[26,)+上单调递减.所以()max(26)26ABC

DSg==四边形，故四边形ACBD面积的最大值为26.22.【解析】（1）若1a=，则2()xfxexx=−−.令244()()(0)55xgxfxexxx=−=−−−，则()21xgxex=−−.令()21xhxex=−−，则()2xhxe=−，令()0hx

=，得ln2x=当(0,ln2)x时，()0hx，()hx单调递减；当(ln2,)x+时，()0hx，()hx单调递增.又(0)0h=，(ln2)22ln211ln40h=−−=−，(1)

30he=−，323402he=−，所以存在唯一0(1,2)，使()00hx=即()00gx=.故当()00,xx时，()()0hxgx=，()gx单调递减；当()0,xx+时，()()0hxgx=，()gx单调递增.所以()02min0004()5xgxg

xexx==−−−.一方面()014(1)5gxge=−，另一方面由()000210xgxex=−−=得0021xex=+，所以()200015gxxx=−++，由031,2x，得()0111205gx−，从而()011140205gxe−−.又因

为m为整数，所以1m−，即max1m=−.（2）由题意得()2xfxeaxa=−−.因为1x，2x是函数()fx两个不同的极值点，不妨设12xx，则()10fx=，()20fx=，即1120xaxea

−−=，2220xaxea−−=.两式相减得12122xxeeaxx−=−.要证12ln(2)2xxa+，即证明1222xxea+，只需证1212212xxxxeeexx+−−，即12121212xxxxxexe−−−−，亦即()121221210xx

xxxxee−−−−+.令1202xxt−=，只需证当0t时，不等式2210tttee−+恒成立，设2()21(0)ttQtteet=−+，则()2()2(1)221ttttQtteeete=+−=+−易证1(0)ttet+，所以()0Qt，所以()Qt在(,0)−上

单调递减，()(0)0QtQ=，即2210tttee−+.综上所述，12ln(2)2xxa+成立.