【文档说明】浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx,共(16)页,925.529 KB,由小赞的店铺上传
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浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题命题人:吕忠妹审核人:孙建洪一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.直线l只经过第一、三、四象限,则直线l的斜率k()A.大于零B.小于零C.大于零或小于零
D.以上结论都有可能【答案】A【解析】【分析】画出符合条件的直线,即可判断【详解】由图像可知:该直线的斜率0k.故选:A2.直线:10lxy−+=与圆22:230Oxyx+−−=交于,AB两点,则AOBV的面积为(
)A.3B.2C.22D.32【答案】B【解析】【分析】依题意,作出图形,求出圆心坐标和半径,过圆心()1,0O作ODAB⊥于D,分别计算OD和||AB,即可求得AOBV的面积.【详解】如图,由圆22:
230Oxyx+−−=配方得,22(1)4xy−+=,知圆心为()1,0O,半径为2,过点()1,0O作ODAB⊥于D,由()1,0O到直线:10lxy−+=的距离为222OD==,则22||2||22(2)22
ABAD==−=,故AOBV的面积为11222222ABOD==.故选:B.3.已知两直线2yxk=+与21yxk=++的交点在圆224xy+=的内部,则实数k的取值范围是().A.115k−−B.115k−C.113k−D.22k−【答案】B
【解析】【分析】求出两条直线的交点坐标,再利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得.【详解】圆224xy+=的圆心为(0,0),半径为2,由221yxkyxk=+=++解得131xkyk=−=−,则直线2yxk
=+与21yxk=++的交点为(1,31)kk−−,依题意,22(1)(31)4kk−+−,解得115k−,所以实数k的取值范围是115k−.故选:B4.已知1F,2F是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点
,若12PFPF⊥,且12:2:5PFPF=,则C的长轴长与焦距的比值为()A.72B.27C.297D.72929【答案】D【解析】【分析】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得.【详解】由122PFPFa+=,结合题设有147PFa=,2107PFa=,由12PFPF⊥,
则()222410277aac+=,化简得222949ac=,故C的长轴长与焦距的比值为24972922929aacc===.故选:D.5.已知圆221:4470Cxyxy++−+=与圆()()222:2516Cxy−+−=
的公切线条数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径,判断两圆位置关系即可得解.【详解】圆1C的标准方程为()()22221xy++−=,圆心()12,2C−,半径11r=,圆2C的圆心为()2,5,半径24r=,因为()()2212122225
5CCrr=−−+−==+,所以两圆外切,所以圆1C与圆2C的公切线有3条.故选:C6.设P是椭圆22195xy+=上的点,F1,F2为其两焦点,则满足1260FPF=的点P的个数是()A.0B.1C.2D.4【答案】D【解析】【分析】依题意,P为椭圆虚轴的顶点时,∠F1PF2最大,即12ππ
,32FPF,进而得到答案.【详解】在椭圆22195xy+=中,3,5ab==,所以222cab=−=.当P为椭圆虚轴的顶点时,12FPF最大,因为2253tan,153OPF=,所以2ππ,64OPF
,所以12ππ,32FPF,则这样的点P有四个.故选:D.7.如图,已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28
km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时长为()A.1小时B.0.75小时C.0.5小时D.0.25小时【答案】C【解析】【分析】以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,求出直线与圆的方程,计算圆心到直线的距离和半径比较,
可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到;计算弦长,可求得持续时间为多长.【详解】如图,以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,则(40,0)A,(0,30)B,圆O方程22225xy+=,直线AB方程:14030
xy+=,即341200xy+−=,设O到AB距离为d,则|120|24255d−==,所以外籍轮船能被海监船检测到,设监测时间为t,则22225241282t−==(小时),外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时.故选:C
.8.已知圆C:()2234xy+−=,过点()0,4的直线l与x轴交于点P,与圆C交于A,B两点,则()CPCACB+的取值范围是()A.0,1B.)0,1C.0,2D.)0,2【答案】D【解析】【分析】作出线段AB的中点D,将CACB+转化为2CD,利用垂
径定理,由图化简得()22||CPCACBCD+=,只需求||CD的范围即可,故又转化成求过点(0,4)M的弦AB长的范围问题.【详解】如图,取线段AB的中点D,连接CD,则CDAB⊥,由()2CPCACBCPCD+=22()2||CDDPCDCD=+
=,因直线l经过点(0,4)M,考虑临界情况,当线段AB中点D与点M重合时(此时CMAB⊥),弦长AB最小,此时CD最长,为max||||431CDCM==−=,(但此时直线l与x轴平行,点P不存在);当线段AB中点D与点C重合时,点P与点O重
合,CD最短为0(此时符合题意).故()CPCACB+的范围为[0,2).故选:D.【点睛】关键点点睛:本题解题的关键在于结合圆C的弦AB想到取其中点D,将CACB+转化为2CD,利用垂径定理,将所求式转化成22||CD,而求||CD范围即
求弦AB的长的范围即可.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9.已知直线l:4360xy++=与圆C:22280xyx+−−=相交于E,F两点,则()A.圆心C的坐标为()1,0B.圆C的半径为22C.圆心C到直线l的距离为2D.
25EF=【答案】ACD【解析】【分析】化圆的方程为标准形式判断AB;求出圆心到直线距离判断C;利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】对于AB,圆C:22(1)9xy−+=的圆心(1,0)C,半径3r=,
A正确,B错误;对于C,点(1,0)C到直线l:4360xy++=的距离2210243d==+,C正确;对于D,22||225EFrd=−=,D正确.故选:ACD10.关于方程221mxny+=,下列说法正确的是()A.若0mn,则该方程表示椭圆,其焦点在y轴上B.若
0mn=,则该方程表示圆,其半径为nC.若0nm,则该方程表示椭圆,其焦点在x轴上D.若0,0mn=,则该方程表示两条直线【答案】ACD【解析】【分析】AC选项,化为标准方程,结合椭圆的特征得到答案;B选项,化为221xyn
+=,得到B正确;D选项,化为nyn=,故D正确.【详解】对于A,若0mn,则221mxny+=可化为22111xymn+=,因为0mn,所以110mn,即该方程表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,若0mn=,则221mxny+=可化为221xyn
+=,此时该方程表示圆心在原点,半径为nn的圆,故B错误;对于C,0nm,则221mxny+=可化为22111xymn+=,由于0nm,所以110mn,故该方程表示焦点在x轴上的椭圆,故C正确;对于D,若0,0mn=,则221mxny+=可化21yn=
,即nyn=,此时该方程表示平行于x轴的两条直线,故D正确.故选:ACD11.设椭圆22:12xCy+=的左、右焦点分别为1F、2F,左、右顶点分别为A、B,点P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是()A.离心率62e=B.12PFF面积的最大值为1C.以线段12FF为直径圆与直线1
0xy+−=相切D.动点P到点1,02Q的距离的最小值为32【答案】BD【解析】【分析】对于选项A,根据题意求出2a,2b,求出2c,求出e,对于选项B,要使12PFF的面积最大,当底边12FF上的高最大即可,求出高的最大值,求出12PFF的面积最大值,对于选项C,求
出以线段12FF为直径的圆的方程,求出该圆的圆心到直线的距离,判断以线段12FF为直径的圆与直线10xy+−=的位置关为的系,对于选项D,设点00(,)Pxy,求出||PQ.【详解】对于选项A,由已知得22a=,21b=,则2221cab=
−=,即22cea==,故A错;对于选项B,由已知得,要使12PFF的面积最大,当底边12FF上的高最大即可,高最大值即为1,则12PFF的面积最大值为12112=,故B正确;对于选项C,以线段12FF为直径的圆
的方程为221xy+=,则该圆的圆心到直线的距离为0012122d+−==,即以线段12FF为直径的圆与直线10xy+−=相交,故C错;对于选项D,设点00(,)Pxy,则()2222000001111242PQxyxxx=−+=−++−()2013124x=−+又022x−,故
01x=时取得最小值为32,故D正确.故选:BD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1:30lxy−+=,与直线2:220lxmy+−=平行,则直线1l与2l的距离为___________.【答案】
22【解析】【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值,求出直线2l的方程,再由两平行线间的距离公式求出直线1l与2l的距离.【详解】因为1l//2l,所以()112m=−,解得2m=−,1:30lxy−+=,2:10lxy−−=,由两平行直线的距离公式可得:|3(1)|222d-
-==,故答案为:22的13.该椭圆22:1369xyC+=的左右焦点为12,FF,点P是C上一点,满足1290FPF=,则12FPF的面积为__________.【答案】9【解析】【分析】解法一:由椭圆方程求出,,ab
c,设12,PFmPFn==,然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出mn,从而可求出12FPF的面积,解法二:利用焦点三角形的面积公式求解【详解】解法一:由22:1369xyC+=,得2236,9ab==
,则226,3,33abcab===−=,设12,PFmPFn==,则由题意得2222124108mnamnc+==+==,由12mn+=,得222144mnmn++=,所以1082144mn+=,得18=mn
,所以12FPF的面积为192mn=解法二:由22:1369xyC+=,得2236,9ab==,因为1290FPF=所以由焦点三角形的面积公式得29090tan9tan922b==.故答案为:914.在直角坐标系中,已知(1,0)A−,(1,0)
B,点M满足2MAMB=,则直线AM的斜率的取值范围为__.【答案】1,1−【解析】【分析】设(,)Mxy,根据2MAMB=由两点间的距离公式化简得22610xyx+−+=.设AM的斜率为1ykx=+,可得(1)ykx=+,得到关于x
的一元二次方程.根据判别式建立关于k的不等式,解之即可得到直线AM的斜率k的取值范围.【详解】设(,)Mxy,直线AM的斜率为k,可得(1,0)A−,(1,0)B,22(1)MAxy=++,22(1)MBxy=−+
.点M满足2MAMB=,2MAMB=,即2222(1)2(1)xyxy++=−+,两边平方,得2222(1)2[(1)]xyxy++=−+,化简整理得22610xyx+−+=,AM的斜率为1ykx=+,(1)ykx=+,代入上式并化简得2222(1)(26)10kxk
xk++−++=.以上一元二次方程有实数解,可得2222Δ(26)4(1)0kk=−−+,解得11k−.即直线AM的斜率的取值范围为1,1−.故答案为:1,1−.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)已知点()()2,16,3AB−−,,求线段AB的垂直平分线的方程;(2)求经过点()3,2P,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.【答案】(1)250xy+−=;(2)230xy−=或50xy+−=【解析】【分析】(1)利用中点坐标公式求AB的中
点坐标,利用斜率公式求AB的斜率,再求AB的垂直平分线的斜率,利用点斜式可得结论;(2)分别在所求直线过原点时和不过原点条件下,求直线的斜率,利用点斜式求直线方程.【详解】(1)因为()()2,16,3AB−−,,所以线段AB的中点为()1312,1,262ABCk−−==−−,所以
直线AB的垂直平分线的斜率为2−,故线段AB的垂直平分线的方程为()122yx−=−−,即250xy+−=.(2)①当直线过原点时,所求直线在两坐标轴上的截距相等,其斜率为23,故所求直线方程为23yx=,即230xy
−=;②当直线不过原点时,由改直线过点()3,2P,且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为1−,所求直线方程为:()23yx−=−−,即50xy+−=,由①②知所求直线方程为230xy−=或50xy+−=.16.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦
点的坐标分别是()4,0−,()4,0,并且经过点533,22−;(2)经过两点()2,2−,141,2−.【答案】(1)221259xy+=(2)22184xy+=【解析】【分析】(1)根据题意求出
,,abc即可;(2)设椭圆的方程为()2210,0,mxnymnmn+=,再利用待定系数法求解即可.【小问1详解】设椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,短轴长为2b,则4c=,且焦点在x轴上,222253353324040102222a=−−+
++−++=,所以2225,9abac==−=,所以椭圆方程为221259xy+=;【小问2详解】设椭圆的方程为()2210,0,mxnymnmn+=,则421712mnmn+=+=,解得1814mn==,所以椭圆
方程为22184xy+=.17.已知圆C圆心在直线yx=上,与x轴相切于点(2,0).(1)求圆C的方程;(2)过坐标原点O的直线l被圆C截得的弦长为855,求直线l的方程.【答案】(1)()()22224xy−+−=(2)12
yx=或2yx=【解析】【分析】(1)设圆C的圆心为(,)Cab,半径为r,根据条件得到2abr===,即可求解;(2):lykx=,先求出圆心到直线的距离2221kdk−=+,再根据条件得到22222454
()()51kk−−=+,即可求解.【小问1详解】设圆C的圆心为(,)Cab,半径为r,又圆C的圆心在直线yx=上,与x轴相切于点(2,0),所以2abr===,故圆C的方程为()()22224xy−+−=.【小问2详解】由题知直线l的斜率存在,设:lykx=,的则圆心C到直线:
lykx=的距离为2221kdk−=+,又直线l被圆C截得的弦长为855,所以2222222454()()51krdk−−=−=+,化简得到22520kk−+=,解得12k=或2k=,所以直线l的方程为12yx=或2
yx=.18.已知点(),Pxy是圆22(2)1xy++=上任意一点.(1)求P点到直线34120xy++=的距离的最大值和最小值.(2)求2xy−的最大值和最小值.(3)求21yx−−的最大值和最小值【答案】(1)最大值为115,最小值为15(2)最大值为52
−,最小值为25−−(3)最大值为334+,最小值为334−【解析】【分析】(1)转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值;(2)解法一,转化为直线20xyt−−=与圆22(2)1xy++=有公共点,解
法二,利用三角换元求最值;(3)首先设21ykx−=−,再转化为直线20kxyk−−+=与圆22(2)1xy++=有交点,【小问1详解】圆心𝐶(−2,0)到直线34120xy++=的距离为22|3(2)4012|6534d−++==+.∴P点到
直线34120xy++=的距离的最大值为611155dr+=+=,最小值为61155dr−=−=.【小问2详解】解法一:设2txy=−,则直线20xyt−−=与圆22(2)1xy++=有公共点,∴22|2|112t−−+,解得5252t−−−,则maxmin52,25tt=−
=−−,即2xy−的最大值为52−,最小值为25−−.解法二:设2cos,sinxy=−+=,则22cos2sin25sin()xy−=−+−=−−−,其中1tan2=,∴得25225xy−−−−+,即2xy−的最大值为52−,最小值为25−−.【小问3详解】21yx−−表
示圆上的点𝑃(𝑥,𝑦)与点()1,2A连线的斜率为k,设21ykx−=−,即20kxyk−−+=,直线20kxyk−−+=与圆22(2)1xy++=有交点,设2|32|11kdk−+=+,解得333
344k−+.则maxmin3333,44kk+−==,即21yx−−的最大值为334+,最小值为334−.19.已知在平面直角坐标系xOy中,动点P到()3,0−和()3,0的距离和为4,设点11,2A.(1)求动点P的轨迹方程;(2)M为线
段PA的中点,求点M的轨迹方程;(3)过原点O的直线交P的轨迹于B,C两点,求ABCV面积的最大值.【答案】(1)2214xy+=(2)22228410xxyy−+−−=(3)2【解析】【分析】(1)由椭圆定义可知
,点P的轨迹C是以()3,0−和()3,0为焦点,长半轴长为2的椭圆,由此能求出动点P的轨迹方程;(2)设(,)Mxy,𝑃(𝑥0,𝑦0),利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点M的轨迹方程;(3)对直线BC的斜率分不存在、为0、存在且不为0三种情况讨论,当直线BC的斜率存在
(不为0)时,把直线BC的方程与椭圆的方程联立,解得点B,C的坐标,利用两点间的距离公式即可得出BC,再利用点到直线的距离公式即可得出点A到直线BC的距离,利用三角形的面积计算公式即可得出.【小问1详解】因为()33234−−=,由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(
)3,0−和()3,0为焦点,长半轴长为2的椭圆,设椭圆方程为()222210xyabab+=,则2a=,3c=,所以221bac=−=,故动点P的轨迹方程为2214xy+=;【小问2详解】设(,)Mxy,𝑃(𝑥0,𝑦0),11,2
A,且M为线段PA中点,0012122xxyy+=+=,即0021122xxyy=−=−,代入P的轨迹方程,可得()222141142xy−−+=,整理得22228410xxyy−+−−=,即点M的轨迹方程为222
28410xxyy−+−−=;【小问3详解】①当直线BC的斜率不存在时,可得()0,1B−,(0,1)C,2BC=,点11,2A到y轴的距离为1,12112ABCS==;②当直线BC的斜率为
0时,则𝐵(−2,0),()2,0C,4BC=,点11,2A到x轴的距离为12,所以114122ABCS==;③当直线BC的斜率存在且不为零时,设直线BC的方程为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0),()11,Bxy,()11
,Cxy−−,()10x.的联立2244ykxxy=+=,化为22(14)4kx+=.解得12214xk=+,则12214kyk=+,则2222,1414kBkk++,2222,1414kCkk−
−++.222112414414kBCxyk+=+=+.又点A到直线BC的距离2121kdk−=+.2222121114122214114ABCkkkSBCdkkk−−+===+++,2224414411141414kkkkkkk−+==−=−+++,当0k时11424
4kkkk+=,当且仅当14kk=,即可12k=时取等号,当0k时()()11144244kkkkkk+=−−+−−=−−−,当且仅当14kk−=−,即可12k=−时取等号,所以()14,44,kk+−−+,当且仅当
144kk+=−时,即12k=−,ABCS取最大值,最大值为2,综上所述ABCV面积的最大值2.