【文档说明】江苏省苏州市星海实验中学2020-2021学年高一下学期5月阶段性检测数学试题含答案.docx，共(17)页，761.930 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省苏州市星海中学2020-2021年春季阶段性检测高一数学（2021.5）一、单选题（每题5分，共40分）1．若复数z满足(1)2zii+=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．设m，n是不同的直线，，，是不同的平面，下列命题正确的是（）A．若//m，n，则//mnB．若//m，//n，m，n，则//C．若⊥，m⊥，则//mD．若⊥，⊥，m=，n，

则mn⊥3．过圆锥的轴的截面是顶角为120的等腰三角形，若圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（）A．3B．2C．23D．434．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率

为（）A．110B．15C．310D．255．ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，2sinsincos2aABbAa+=，则ba=（）A．23B．22C．3D．26．已知2sin()33−=，那么c

os(2)(3+=)A．59−B．23−C．23D．597．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA⊥平面ABCD，5PA=，3AB=，4BC=，则该“阳马”外接球的表面积为（）A．12523B．50C．

100D．50038．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感

指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8．方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（）A．1.75B．1.85C．1.95D．2.05二、多选题（每题5分

，共20分）9．若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是（）A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”10．如图是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左

至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的

成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知():():()4:5:6bccaab+++=，下列结论正确的是（）A．sin:sin:sin7:5:3ABC=B．0ABACC．若6c=，则ABC的面积是1

53D．若8bc+=，则ABC的外接圆半径是73312．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为11AD的中点，若以O为球心，6为半径的球面与正方体1111ABCDABCD−的棱有四个交点E，F，G，H，则

下列结论正确的是（）A．11//AD平面EFGHB．1AC⊥平面EFGHC．11AB与平面EFGH所成的角的大小为45D．平面EFGH将正方体1111ABCDABCD−分成两部分的体积的比为1:7三、填空题（每题5分，共20分）

13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：):cm152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170

，171，x，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为．14．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得5ABkm=，7ADkm=，60ABD=，15CBD=

，120BCD=，则两景点B与C的距离为km．15．在ABC中，ABAC=，E，F是边BC的三等分点，若||3||ABACABAC+=−，则cosEAF=．16．三棱锥PABC−中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24

，则该三棱锥PABC−的体积是，它的外接球的表面积为．四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分）17．在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2)A−−，(2,3)B，(2,1)C−−．（1）以线段AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求向量AD的坐标和||AD；（2）设实数t满足

()0ABtOCOC−=，求t的值．18．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分）

，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点

值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．19．如图，已知四棱锥PABCD−，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC=，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF．（

1）求证：AEPD⊥；（2）求证：//EF平面PCD．20．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①sinsinsinsinACABbac−−=+；②2coscoscoscCaBbA=+；③ABC的面积为1(sinsinsin)2caAbBcC+−．已知A

BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．（1）求C；（2）若D为AB中点，且2c=，3CD=，求a，b．21．郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区

建筑用地，测量可知边界4ABAD==万米，6BC=万米，2CD=万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及线段AC的长；（2）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造

的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．22．如图1所示，在直角梯形ABCD中，//BCAD，ADCD⊥，2BC=，3AD=，3CD=，边AD上一点E满足1DE=．现将ABE沿BE折起到△1ABE的位置，使平面1ABE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）求证：1ACBE

⊥；（2）求平面1ABE与平面1ACD所成锐二面角的余弦值．江苏省苏州市星海中学2020-2021年春季阶段性检测高一数学（2021.5）一、单选题（每题5分，共40分）1．若复数z满足(1)2zii+=（i为虚数单位），则复

数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A(1)1ziiiA=−=+解：，选．2．设m，n是不同的直线，，，是不同的平面，下列命题正确的是（）A．若//m，n，则//mnB．若//m，//n，m，n，则//

C．若⊥，m⊥，则//mD．若⊥，⊥，m=，n，则mn⊥【答案】DD解：显然选．3．过圆锥的轴的截面是顶角为120的等腰三角形，若圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（）A．3B．2C．23D．43【答案】C323rSrlC===侧解：，，选

．4．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．15C．310D．25【答案】D143212()555555PD=

+++=解：，选．5．ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，2sinsincos2aABbAa+=，则ba=（）A．23B．22C．3D．2【答案】D22sinsinsincos2sins

in2sin2BABAABAbaD+===解：由正弦定理得：即，即，所以选．6．已知2sin()33−=，那么cos(2)(3+=)A．59−B．23−C．23D．59【答案】A22sin3335cos(2)cos(2)cos

22sin139ttttttA−===−+=−=−=−=−解：令，则，所以，选．7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA⊥平

面ABCD，5PA=，3AB=，4BC=，则该“阳马”外接球的表面积为（）A．12523B．50C．100D．5003【答案】B2524502RSRB===解：易得：，则，选．8．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标

．常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民

的幸福感指数的平均数为8．方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（）A．1.75B．1.85C．1.95D．2.05【答案】C221.2102.21071.20.51.9520SC+=+=解：易得甲的平均数为，方差为，则，选．二、多选题（每题5分，共20分）9．若干个人

站成一排，其中不是互斥事件的是（）A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCDBCD解：显然选．10．如图是甲、乙

两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平

均数B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】BDBD解：显然选．11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a

，b，c，已知():():()4:5:6bccaab+++=，下列结论正确的是（）A．sin:sin:sin7:5:3ABC=B．0ABACC．若6c=，则ABC的面积是153D．若8bc+=，则ABC的外接圆半径是733【答案】ACD475352226sin:si

n:sin::7:5:31cos021610sin153287532sinbcmmmmcamabcabmAABCabcBAABACCcbSbcAaDbcabcR+=+====+====−===

=+=====解：令，，选项：由正弦定理得：，正确；选项：易得，所以，错误；选项：，则，则，正确；选项：，则，，，733AACD=，正确；因此，选．12．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为11AD的中点，若以O

为球心，6为半径的球面与正方体1111ABCDABCD−的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（）A．11//AD平面EFGHB．1AC⊥平面EFGHC．11AB与平面EFGH所成的角的大小为45D．平面EFGH将

正方体1111ABCDABCD−分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD11111111111221111111111566////EFGHABCDBBCCAEOAAABBAEAABBOAAEOEOAAEOFOGOHAADEFADEFGHBACADACEFCABE=⊥⊥=+====解：如图，

，，，分别为棱，，，的中点易得：，平面，平面所以，同理得：选项：显然，故平面，正确；选项：显然与不垂直，故与不垂直，错误；选项：即与平面11o4517BEGBEGAABBFGHBEGSDSSACD===−△△正方形所成角，即∠，正确；选项：体积

比，正确；因此，选．三、填空题（每题5分，共20分）13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：):cm152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，

170，170，171，x，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为．【答案】1721741731722xx+==解：，得：．14．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和

D两点，现测得5ABkm=，7ADkm=，60ABD=，15CBD=，120BCD=，则两景点B与C的距离为km．【答案】86322222cos49525886sinsin3ABDADBABDBABDABDBDBDBDBCBDBCDBCBDCBCD=+−=

−+===解：在△中由余弦定理：即，解得：在△中由正弦定理：，得：．∠∠15．在ABC中，ABAC=，E，F是边BC的三等分点，若||3||ABACABAC+=−，则cosEAF=．【答案】13142323

2331333273313coscos2cos11427BCDADABACADBCABACABACADCBBDADBDDEBDADAEEADEAFEAD=⊥+=−=========−=解：如图，取中点，连结，因为，所以，即，则设，则，，，所以．16．三棱锥PAB

C−中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24，则该三棱锥PABC−的体积是，它的外接球的表面积为．【答案】163；316322'::12:16:203:4:5124246810'42

1()2'23211633ABCABCPABCABChhabcabcABCSababchaABCrabchhrVSh==========+−==−===△△解：因为在底面的投影是△的内心，所以斜高相等，设为，设

高为设底面边长为，，，则，则△为直角三角形，则：，，，则△内切圆半径，则所以设外接球半径为22227952523331643RRRRSR−−−====，则，解得：所以外接球的表面积．四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分）17．在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2)A−

−，(2,3)B，(2,1)C−−．（1）以线段AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求向量AD的坐标和||AD；（2）设实数t满足()0ABtOCOC−=，求t的值．【答案】（1）(2,6)210ADAD==，；（2）115−1(3,5)(1,1)(2,6)2102(3,5)(2,)(23

,5)11()46551105ADABACADABtOCttttABtOCOCtttt=+=+−==−=−−−=++−=−−−−=−−==−解：（），；（）所以，得：．18．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的

考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，第

八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组

和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】（1）0.08，102；（2）0.477120001(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08(0.004700.012800.016900.0301000.0201

100.0061200.0081300.004pxpx=−++++++==+++++++解：（）设第七组的频率为，该校名学生这次考试成绩的平均分为140)101020.0820001

022500.006103500.00410231210105P===+==答：第七组的频率为，该校名学生这次考试成绩的平均分为；（）第六组有人，第八组有人分差的绝对值小于分的概率．19．如图，已知

四棱锥PABCD−，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC=，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF．（1）求证：AEPD⊥；（2）求证：//EF平面PCD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析o160//ABCDBABCABCAEBC

ABCAEADEBCABCDADBCPA=⊥=⊥⊥证：（）菱形正△∠为中点菱形平面,2ABCDAEPAAEABCDADPAAADPAPADAEPADAEPDPDPAD⊥=

⊥⊥平面平面平面；平面（1//2//1//2//PDGFGCGFPAFGADFGADGPDCEFGCEFGABCDCEADCEADEBCCEFGEFCGEFPCDCGPCD===）取中点，连结，为中点，为中点，菱形，为中点四

边形为平行四边形平面平面//EFPCD平面．20．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①sinsinsinsinACABbac−−=+；②2coscoscoscCaBbA=+；③A

BC的面积为1(sinsinsin)2caAbBcC+−．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．（1）求C；（2）若D为AB中点，且2c=，3CD=，求a，b．【答案】（1）3；（2

）2ab==222222sinsinsinsin1sinsinsin1cos22(0,)32coscoscosACABabcbacABCacababcabbacabcCabCCcCaBbA−−===+−−=+−=++−====+解：（）选①：，由正弦定理：

得：，即由余弦定理的推论：，所以；选②：，由余弦定理的22222212coscos222(0,)311sin(sinsinsin)sinsinsinsin22sinsinsinacbbcacCabcCacbcCCSacBcaAbBcCaBaAbBcCabcABC+−+−=+=====

+−=+−==推论得：，则，所以；选③：，即由正弦定理：得：2222221cos22(0,)32232322221ababcabcCabCCDABCACBCDCDCACBcBABACACBCA=+−+−

===+==+====−=由余弦定理的推论：，所以；（）因为为中点，所以，，则，即，即，即，由（）2222cos22322xyCBabACBababababab==++===+−=则．21．郑州市某棚户区

改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界4ABAD==万米，6BC=万米，2CD=万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及线段AC的长；（2）

因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．【答案】（1）83，27AC=；（2）103222222212cos2cos()15248cos

2016coscos27211(0,)sinsin(322ABCADCxACABBCABBCABCADCACADDCADDCACACSBABCADCD==−=+−=+−−=−=+====

+−解：（）设∠，则∠在△和△中由余弦定理：即，得：，又，所以，则2222222)83232cos28228113sinsin()2393224PAPxCPyACPACAPPCAPPCxyxyxyxyxyxyxyxyxySxyADCDxy

======+−+−=+−−===+−=+；（）∠，设，，在△中由余弦定理：，即由基本不等式得：即，当且仅当时取等所以93APCPAPCD=答：当时，新建筑用地的面积最大，最大面积为．22．如图1所示，在直角梯形

ABCD中，//BCAD，ADCD⊥，2BC=，3AD=，3CD=，边AD上一点E满足1DE=．现将ABE沿BE折起到△1ABE的位置，使平面1ABE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）求证：1ACBE⊥；（2）求平面1ABE与平面1ACD所成锐二面角

的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1414222ooo1111231422601206022BFADFDFBCBFCDAFABAFBFABBEABEAABEABCCBEBCBEBCECEBEGAGCGABE⊥======+======

===（）证：在图中，作于，则，，则，即，同理得：所以△为正三角形，∠∠，∠所以∠，又，所以△为正三角形在图中，连结，取中点，连结，因为△111111111111111,2BCEBEAGBECGAGCGGAGCGACGBEACGACACGBEACABEBCDE

ABEBCDEBEAGABEAGBEAGBCDECGBCDEAGCG⊥⊥=⊥⊥⊥=⊥⊥⊥和△为正三角形，所以，又，平面，所以平面平面，所以；（）解：平面平面，平面平面又平面，，所以平面平面，所以又o11o22211111

12211cos603612012cos33621AGCGBCACDGDEGDEGDEGEDGEGEDEDEGDEGDGDGBCDEAGDGADCDMAMACADAMCDAMACCM========+−==⊥==⊥=−=，则连结，在△中，∠，由余弦定理：∠即，平面，所以

，所以取中点，连结，因为，所以则1111111111oo11372241313360cos602224cosACDAGNSCDAMDNBENANAGBCDECGABEDNABEACDABEAGNDENENDEGNSAGGN==⊥⊥⊥⊥======△△，

所以作的延长线于，连结由平面同理可得：平面，平面所以△在平面内的射影为△∠，则，，则设所求锐二面角为，则11217AGNACDSS==△△．