【文档说明】高考数学培优专题55讲：第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题【高考】.docx，共(26)页，330.595 KB，由小赞的店铺上传

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1第四十四讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题一、选择题1．已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，与双曲线𝑥2𝑚2−𝑦2𝑛2=1(𝑚>0,𝑛>0)具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e

1、e2，若∠F1PF2＝𝜋3，则𝑒12+𝑒22的最小值是A．2+√32B．2＋√3C．1+2√32D．2+√34【答案】A【解析】根据题意，可知|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎,|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑚，解得|

𝑃𝐹1|=𝑎+𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑎−𝑚，根据余弦定理，可知(2𝑐)2=(𝑎+𝑚)2+(𝑎−𝑚)2−2(𝑎+𝑚)(𝑎−𝑚)cos60∘，整理得𝑐2=𝑎2+3𝑚24，所以𝑒12+𝑒22=𝑐2𝑎2+𝑐2𝑚2=𝑎2+3𝑚2

4𝑎2+𝑎2+3𝑚24𝑚2=1+14(3𝑚2𝑎2+𝑎2𝑚2)≥1+√32=2+√32，故选A.2．已知点𝐸是抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的对称轴与准线的交点，点𝐹为抛物线𝐶

的焦点，点𝑃在抛物线𝐶上.在𝛥𝐸𝐹𝑃中，若sin∠𝐸𝐹𝑃=𝜇⋅sin∠𝐹𝐸𝑃，则𝜇的最大值为（）A．√22B．√32C．√2D．√3【答案】C【解析】由题意得，准线𝑙:𝑥=−𝑝2，𝐸(−𝑝2,0)，𝐹(𝑝2,0)，过𝑃作𝑃𝐻⊥

𝑙，垂足为𝐻，则由抛物线定义可知𝑃𝐻=𝑃𝐹，于是𝜇=sin∠𝐸𝐹𝑃sin∠𝐹𝐸𝑃=𝑃𝐸𝑃𝐹=𝑃𝐸𝑃𝐻=1cos∠𝐸𝑃𝐻=1cos∠𝑃𝐸𝐹，∵𝑦=cos𝑥在(0,𝜋)上为减函数，∴当∠𝑃�

�𝐹取到最大值时（此时直线𝑃𝐸与抛物线相切），计算可得直线𝑃𝐸的斜率为1，从而∠𝑃𝐸𝐹=45°，∴𝜇max=1√22=√2,故选C.23．过𝑦2=4𝑥上任一点作(𝑥−3)2+𝑦2=1的切线切于𝑃,𝑄两点，则|𝑃𝑄|的最小值为（）A．√142B．1C．√73D．

4√23【答案】A【解析】根据题意，设𝑀(𝑚,𝑛)为抛物线𝑦2=4𝑥上任一点，则𝑛2=4𝑚，圆(𝑥−3)2+𝑦2=1的圆心𝐶为(3,0),设|𝑀𝐶|=𝑡，则𝑃𝑀=√𝑡2−1

，又由𝑆𝛥𝑃𝑀𝐶=12×|𝑃𝑀|×|𝐶𝑃|=12×|𝑃𝑄|2×|𝑀𝐶|,变形可得|𝑃𝑄|=2√1−1𝑡2，所以当𝑡最小时，|𝑃𝑄|最小，又由|𝑀𝐶|2=(𝑚−3)2+(𝑛−0)2=𝑚2−2𝑚+9=(𝑚−1)2+8≥8，则当𝑀的坐标为(1,4

)或(1,−4)时，|𝑀𝐶|=𝑡取得的最小值√8，此时|𝑃𝑄|最小，且|𝑃𝑄|的最小值为2×√1−18=√142，故选A.4．椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点𝑃为椭圆3𝐶上的任意一

点，且𝑃在第一象限，𝑂为坐标原点，𝐹(3,0)为椭圆𝐶的右焦点，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围为（）A．(-16,-10)B．(-10,-394]C．(-16,-394]D．(-∞,-394]【答案】C【解析】因为椭圆𝐶的长轴长、短轴长和焦距成等差数列所以2𝑎+

2𝑐=4𝑏，即𝑎+𝑐=2𝑏𝐹(3,0)为椭圆𝐶的右焦点，所以c=3在椭圆中，𝑎2=𝑐2+𝑏2所以{𝑎2=𝑐2+𝑏2𝑎+𝑐=2𝑏𝑐=3，解方程组得{𝑎=5𝑏=4𝑐=3所以椭圆方

程为𝑥225+𝑦216=1设𝑃(𝑚,𝑛)(0<𝑚<5)则𝑚225+𝑛216=1，则𝑛2=16−1625𝑚2𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑚,𝑛)(3−𝑚,−𝑛)=3𝑚−�

�2−𝑛2=3𝑚−𝑚2−(16−1625𝑚2)=−925𝑚2+3𝑚−16=−925(𝑚−256)2−394因为0<𝑚<5，所以当𝑚=256时，𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹⃑⃑⃑⃑⃑取得最大值为−394当m趋近于0时，𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹⃑⃑⃑⃑⃑的值趋近于-16所

以𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围为(-16,-394]所以选C5．𝑃是双曲线𝑥29−𝑦216=1的右支上一点，M、N分别是圆(𝑥+5)2+𝑦2=1和(𝑥−5)2+𝑦2=

4上的点，则|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】双曲线𝑎=3,𝑏=4,𝑐=5，故焦点为𝐹1(−5,0),𝐹2(5,0)，圆心分别为(−5,0),(5,0)，半径4分别为1,2.画出图像如下图所

示.要求|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|的最大值，也即是求|𝑃𝑀|的最大值减去|𝑃𝑁|的最小值.由图可知|𝑃𝑀|的最大值为|𝑃𝐹1|+1，|𝑃𝑁|的最小值为|𝑃𝐹2|−2，故|𝑃𝑀|−|

𝑃𝑁|的最大值为|𝑃𝐹1|+1−(|𝑃𝐹2|−2)=|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|+3=6+3=9.故选D.6．已知椭圆C：𝑥24+𝑦23=1的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆𝑥2+𝑦2=4上有一动点P

，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则𝑘𝑃𝐵𝑘𝑄𝐹的取值范围是()．A．[1,+∞]B．[23,+∞)C．[−∞,43]D．（-∞，0）∪（0，1）．【答案】D【解析】椭圆C：𝑥24+𝑦23=1焦点在x轴上，𝑎=2，𝑏=√3，

𝑐=1，右焦点F（1，0），由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB，则𝑘𝐴𝑃⋅𝑘𝑃𝐵=−1，则𝑘𝑃𝐵=−1𝑘𝐴𝑃，𝑘𝑃𝐵𝑘𝑄𝐹=−1𝑘𝐴𝑃𝑘𝑄𝐹=−1𝑘𝐴𝑃𝑘𝑄𝐹，设𝑄（2𝑐𝑜�

�𝜃，√3𝑠𝑖𝑛𝜃），则𝑘𝐴𝑃⋅𝑘𝑄𝐹=√3𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑐𝑜𝑠𝜃+2⋅√3𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑐𝑜𝑠𝜃−1=3𝑠𝑖𝑛2𝜃4𝑐𝑜𝑠2𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃−2=3(1−𝑐𝑜𝑠2𝜃)4𝑐𝑜

𝑠2𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃−2，设𝑡=𝑐𝑜𝑠𝜃，𝑡∈（−1，1），则𝑓（𝑡）=3(1−𝑡2)4𝑡2+2𝑡−2，∴𝑘𝑃𝐵𝑘𝑄𝐹=4𝑡2+2𝑡−23(𝑡2−1)=43+23⋅1𝑡−1∈（−∞，1），且不等于0．故选D：7．已知𝐹1,𝐹2是

双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左右焦点，若在右支上存在点𝐴使得5点𝐹2到直线𝐴𝐹1的距离为2𝑎，则离心率𝑒的取值范围是（）A．[√2,+∞)B．(√2,+∞)C．(1,√2)D．(1,

√2]【答案】B【解析】设𝐴𝐹1:𝑦=𝑘(𝑥+𝑐),(|𝑘|<𝑏𝑎)，所以2𝑎=|2𝑘𝑐|√1+𝑘2⇒|𝑘|=𝑎𝑏<𝑏𝑎⇒𝑎<𝑏⇒𝑒>√2选B.8．已知直线𝑦=𝑘𝑥−1与双曲线�

�2−𝑦2=4的右支有两个交点，则𝑘的取值范围为（）A．(0,√52)B．[1,√52]C．(−√52,√52)D．(1,√52)【答案】D【解析】由𝑥2−𝑦2=4得双曲线的渐近线方程为y=±x，根据图

象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=√52或k=﹣√52（

舍）．∴1＜k＜√52时直线与双曲线的右支有2个交点.故选：D．9．设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1(−𝑐,0)，𝐹2(𝑐,0)，点𝑁(𝑐,𝑎2)在椭圆的外部，点𝑀是椭圆上的动点，满足|𝑀𝐹1

|+|𝑀𝑁|<32|𝐹1𝐹2|恒成立，则椭圆离心率𝑒的取值范围是A．(0，√22)B．(√22，1)C．(√22，56)D．(56,1)【答案】D【解析】∵点𝑁(𝑐,𝑎2)在椭圆的外部，∴𝑐2

𝑎2+𝑎24𝑏2＞1，𝑏2𝑎2＜12，由椭圆的离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2＞√1−12=√22，|𝑀𝐹1|+|𝑀𝑁|=2𝑎−|𝑀𝐹2|+|𝑀𝑁|，又因为−|𝑀𝐹2|+|𝑀𝑁|≤|𝑁𝐹

2|，且|𝑁𝐹2|=𝑎2，要|𝑀𝐹1|+|𝑀𝑁|<32|𝐹1𝐹2|恒成立，即2𝑎−|𝑀𝐹2|+|𝑀𝑁|≤2𝑎+𝑎2<32×2𝑐，则椭圆离心6率的取值范围是(56,1)．故选：D．10．已知F1，F2是椭圆和双曲

线的公共焦点，𝛲是它们的一个公共点，且∠F1𝛲F2=𝜋3，记椭圆和双曲线的离心率分别为𝑒1，𝑒2，则1𝑒1𝑒2的最大值是（）A．3B．4√33C．2D．2√33【答案】D【解析】如图，设椭圆

的长半轴长为𝑎1，双曲线的半实轴长为𝑎2，则根据椭圆及双曲线的定义|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎1,|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑎2，∴|𝑃𝐹1|=𝑎1+𝑎2,|𝑃𝐹2|=𝑎1−𝑎2，设|𝐹1𝐹2|=2𝑐,∠𝐹1𝑃𝐹2

=𝜋3，则在𝛥𝑃𝐹1𝐹2中由余弦定理得4𝑐2=(𝑎1+𝑎2)2+(𝑎1−𝑎2)2−2(𝑎1+𝑎2)(𝑎1−𝑎2)cos𝜋3，∴化简𝑎12+3𝑎22=4𝑐2，该式变成1�

�12+3𝑒22=4，∴1𝑒12+3𝑒22=4≥2√3𝑒1𝑒2，∴1𝑒1𝑒2≤2√33，1𝑒1𝑒2的最大值是2√33，故选D.11．如图，已知抛物线𝐶1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆𝐶2:𝑥2+𝑦2−4𝑥+3=0，过

圆心𝐶2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|𝑃𝑁|+9|𝑄𝑀|的最小值为A．36B．42C．49D．507【答案】B【解析】设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥由抛物线过定点(2,4)得2𝑝=8，抛物线方程𝑦2=8𝑥，焦点为𝐶2(2,0)，圆的标准方程为(

𝑥−2)2+𝑦2=1,∴圆心为(2,0)，半径𝑟=1，由于直线过焦点，可设直线方程为𝑦=𝑘(𝑥−2)，设𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2),{𝑦=𝑘(𝑥−2)𝑦2=8𝑥⇒𝑘𝑥2−(4𝑘+8)𝑥+4𝑘=0，∴𝑥1�

�2=4又|𝑃𝑁|+9|𝑄𝑀|=(𝑃𝐶2+1)+(9𝑄𝐶2+9)=𝑃𝐶2+9𝑄𝐶2+10=(𝑥1+2)+9(𝑥2+2)+10=𝑥1+9𝑥2+30≥2√𝑥1⋅9𝑥2+30=12+30=42，𝑥

1=𝑥2时等号成立，∴|𝑃𝑁|+9|𝑄𝑀|的最小值为42，故选B.12．已知抛物线𝑀:𝑦2=2𝑥，圆𝑁:(𝑥−1)2+𝑦2=𝑟2（r>0），过点(1,0)的直线l交圆N于C,D两点，交抛物线M于A,B两点，且满足|𝐴𝐶|=|𝐵

𝐷|的直线l恰有三条，则r的取值范围为()A．𝑟∈(0，32]B．𝑟∈（√2，+∞）C．𝑟∈（2，+∞）D．𝑟∈(1，2]【答案】B【解析】由题意，当𝑙⊥𝑥轴时，过𝑥=1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,

±𝑟)，满足题设；当𝑙与𝑥轴不垂直时，设直线𝑙:𝑥=𝑚𝑦+1,𝑚≠0，代入抛物线的方程𝑦2=2𝑥，得𝑦2−2𝑚𝑦−2=0，则𝛥=4𝑚2+8，把直线𝑙:𝑥=𝑚𝑦+1代入圆的方程(𝑥−1)2+𝑦2=𝑟2，整理得𝑦2

=𝑟2𝑚2+1，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝐶(𝑥3,𝑦3),𝐷(𝑥4,𝑦4),因为|𝐴𝐶|=|𝐵𝐷|，所以𝑦1−𝑦3=𝑦2−𝑦4，即𝑦1−𝑦2=𝑦3−𝑦4可得2√𝑚2+2=2𝑟√𝑚2+1，则𝑟=

√(𝑚2+2)(𝑚2+1)=√𝑚4+3𝑚2+2，设𝑡=𝑚2>0，则𝑟=√𝑡2+3𝑡+2，此时√𝑡2+3𝑡+2>√2，所以𝑟>√2，即实数𝑟的取值范围是(√2,+∞)，故选B.13．已知𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0)是椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(

𝑎>𝑏>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点𝑃使得𝑃𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑•𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑐2，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．(√33，√53]B．[√33,√22]C．[√3−1,√32]D．[√22,1)【答案】B8【解析】设

𝑃(𝑥0,𝑦0),则𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1(𝑎>𝑏>0),∴𝑦02=𝑏2(1−𝑥02𝑎2)，由题𝑃𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑•𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑐2。∴(−𝑐−𝑥0,−𝑦0)

⋅(𝑐−𝑥0,−𝑦0)=𝑐2,化为𝑥02−𝑐2+𝑦02=𝑐2,∴𝑥02+𝑏2(1−𝑥02𝑎2)=2𝑐2,整理得∴𝑥02=𝑎2𝑐2(3𝑐2−𝑎2),∵0≤𝑥02≤𝑎2,∴0≤𝑎2𝑐2(3𝑐2−𝑎2)≤𝑎2,解得√33≤𝑒≤√22，故选B.14．已知

椭圆𝐶1:𝑥23+𝑦22=1的左、右焦点为𝐹1,𝐹2，直线𝑙1过点𝐹1且垂直于椭圆的长轴，动直线𝑙2垂直𝑙1于点𝑃，线段𝑃𝐹2的垂直平分线与𝑙2的交点的轨迹为曲线𝐶2，若𝐴(1,2)，且𝐵(𝑥1,𝑦1

),𝐶(𝑥2,𝑦2)是曲线𝐶2上不同的点，满足𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，则𝑦2的取值范围为()A．(−∞,−6)∪[10,+∞)B．[10,+∞)C．(−∞,−10]∪[6,+∞)D．[6,+∞)【答案】A【解析】∵椭圆C1：

𝑥23+𝑦22=1的左右焦点为F1，F2，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），则y=t，且由|MP|=|MF2|，∴（x+1）2=（

x﹣1）2+y2，∴曲线C2：y2=4x．∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，∴𝐴𝐵→=(𝑥1−1，𝑦1−2)，𝐵𝐶→=(𝑥2−𝑥1，𝑦2−𝑦1)，∵AB⊥B

C，∴𝐴𝐵→⋅𝐵𝐶→=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，∵𝑥1=14𝑦12，𝑥2=14𝑦22，∴（𝑦12﹣4）（𝑦22﹣𝑦12）+(𝑦1−2)(𝑦2−𝑦1)16=0，∵y1≠2，y1≠

y2，∴(𝑦1+2)(𝑦1+𝑦2)16+1=0，整理，得𝑦12+(2+𝑦2)𝑦1+(2𝑦2+16)=0，关于y1的方程有不为2的解，9∴△=(2+𝑦2)2−4(2𝑦2+16)≥0，且y2≠﹣6，∴𝑦22−4𝑦2−6

0≥0，且y2≠﹣6，解得y2＜﹣6，或y2≥10．故选：A．15．已知椭圆𝐶1:𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1(𝑎1>𝑏1>0)与双曲线𝐶2:𝑥2𝑎22−𝑦2𝑏22=1(𝑎2>0,

𝑏2>0)有相同的焦点𝐹1,𝐹2，若点𝑃是𝐶1与𝐶2在第一象限内的交点，且|𝐹1𝐹2|=2|𝑃𝐹2|,设𝐶1与𝐶2的离心率分别为𝑒1,𝑒2，则𝑒2−𝑒1的取值范围是()A．[13，+∞)B．(13，+∞)C．[12，

+∞)D．(12，+∞)【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为|𝐹1𝐹2|=2𝑐,|𝑃𝐹1|=𝑡,由题意可得∵𝑡+𝑐=2𝑎1,𝑡−𝑐=2𝑎2∴𝑡=2𝑎1−𝑐,𝑡=2𝑎2+𝑐，∴2𝑎1−𝑐=2𝑎2+𝑐，即

𝑎1−𝑎2=𝑐∴1𝑒1−1𝑒2=1，即𝑒1=𝑒2𝑒2+1∴𝑒2−𝑒1=𝑒2−𝑒2𝑒2+1=𝑒22𝑒2+1=1(1𝑒2)2+1𝑒2，由𝑒2>1可知0<1𝑒2<1，令𝑥=1𝑒2∈(0,1)，∴𝑦=𝑥2+𝑥∈(0,2)，所以𝑒2−𝑒1

>12，故选D.16．已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右顶点为𝐴，点𝑃在椭圆上，𝑂为坐标原点，且∠𝑂𝑃𝐴=90°，则椭圆的离心率的取值范围为A．(√32,1)B．(√22,1)C．(0,√22)D．(0,√32)【答案】B【解

析】∵∠APO=90°，∴点P在以AO为直径的圆上，∵O(0,0),A(a,0)，10∴以AO为直径的圆方程为(𝑥−𝑎2)2+𝑦2=𝑎24,即x2+y2−ax=0，由{𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑥2+𝑦2−𝑎𝑥=0消去y,得(b2−a2)x2+

a3x−a2b2=0.设P(m,n)，∵P、A是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1与x2+y2−ax=0两个不同的公共点，∴𝑚+𝑎=−𝑎3𝑏2−𝑎2,𝑚𝑎=𝑎2𝑏2𝑎2−𝑏2,可得𝑚=𝑎𝑏2𝑎2−

𝑏2.∵由图形得0<m<a,∴0<𝑎𝑏2𝑎2−𝑏2<𝑎，即b2<a2−b2,可得a2−c2<c2,得a2<2c2，∴𝑎<√2𝑐,解得椭圆离心率𝑒=𝑐𝑎>𝑐√2𝑐=√22，又∵e∈(0,1)，∴椭圆的离心

率e的取值范围为(√22,1).本题选择B选项.17．已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)上一点𝐴关于原点的对称点为𝐵，𝐹为其右焦点，若𝐴𝐹⊥𝐵𝐹，设∠𝐴𝐵𝐹=𝛼，且𝛼∈[𝜋6,𝜋4]，则该椭圆的离心率𝑒的取值范围是()A．[√22

,1]B．[√22,√3−1]C．[√22,√32]D．[√33,√63]【答案】B【解析】椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1

，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e=2𝑐2𝑎=1𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=1√2𝑠𝑖𝑛(�

�+𝜋4)，α∈[𝜋6，𝜋4]，∴5𝜋12≤α+𝜋4≤𝜋2，则：√2(√3+1)4≤sin（α+𝜋4）≤1，11∴√22≤1√2𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋4)≤√3﹣1，∴椭圆离心率e的取值范围：[√

22，√3−1]，故答案为：𝐵18．抛物线𝑦=2𝑥2上有一动弦AB，中点为𝑀，且弦AB的长度为3，则点𝑀的纵坐标的最小值为（）A．118B．54C．32D．1【答案】A【解析】由题意设𝐴(𝑥1,𝑦1

)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑀(𝑥0,𝑦0)，直线𝐴𝐵的方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，联立方程{𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑦=2𝑥2，整理得2𝑥2-𝑘𝑥-𝑏=0∴𝛥=𝑘2+8𝑏>0，𝑥1+𝑥2=𝑘2，𝑥1𝑥2=-𝑏2，|𝐴𝐵|=√1+𝑘2⋅√𝑘

24+2𝑏点M的纵坐标𝑦0=𝑦1+𝑦22=𝑥12+𝑥22=𝑘24+𝑏，(𝑦0>0)∵弦𝐴𝐵的长度为3∴√1+𝑘2⋅√𝑘24+2𝑏=3，即(1+𝑘2)⋅(𝑘24+2𝑏)=9∴(1+4𝑦0−4𝑏)⋅(𝑦0+𝑏)=9，整理得(1+4

𝑦0−4𝑏)⋅(𝑦0+𝑏)=9，即(1+4𝑦0−4𝑏)⋅(4𝑦0+4𝑏)=36根据基本不等式，(1+4𝑦0−4𝑏)+(4𝑦0+4𝑏)≥2√(1+4𝑦0−4𝑏)⋅(4𝑦0+4𝑏)=12，当且仅当𝑏=18

，𝑦0=118时取等，即1+8𝑦0≥12，∴𝑦0≥118，点𝑀的纵坐标的最小值为118.12故选A.19．已知椭圆𝐶1：𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1(𝑎1>𝑏1>0)与双曲线𝐶2：𝑥2𝑎22−

𝑦2𝑏22=1(𝑎2>0,𝑏2>0)有相同的焦点𝐹1，𝐹2，点𝑃是两曲线的一个公共点，且𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，𝑒1，𝑒2分别是两曲线𝐶1，𝐶2的离心率，则9𝑒12+𝑒22的最小值是（）A．4B．6C．8D．16【答案】C【解析】由题意设焦距为2𝑐，椭圆长轴

长2𝑎1，双曲线实轴长为2𝑎2，取椭圆与双曲线在一象限的交点为𝑃，由椭圆和双曲线定义分别有|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎1，①|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑎2，②∵𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2,∴|𝑃�

�1|2+|𝑃𝐹2|2=4𝑐2③①2+②2，得|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=2𝑎12+2𝑎22，④将④代入③得𝑎12+𝑎22=2𝑐2则9𝑒12+𝑒22=9𝑐2𝑎12+𝑐2𝑎22=5+9𝑎222𝑎12+𝑎122𝑎22≥8，故9𝑒12+𝑒22

最小值为8.20．已知抛物线𝑥2=4𝑦的焦点为𝐹，双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹1(𝑐,0)，过点𝐹,𝐹1的直线与抛物线在第一象限的交点为𝑀，且抛物线在点𝑀处的切线与直线𝑦=−√3𝑥垂直，则𝑎𝑏的最大值为（）A．√

32B．32C．√3D．2【答案】B【解析】∵抛物线𝑥2=4𝑦的焦点𝐹为(0,1)，双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹1(𝑐,0)∴过点𝐹，𝐹1的直线方程为𝑦=−1𝑐𝑥+1∵抛物线在点𝑀处的切线与直线

𝑦=−√3𝑥垂直∴抛物线在点𝑀处的切线的斜率为√33∵抛物线方程为𝑦=14𝑥2∴𝑦′=12𝑥设点𝑀的坐标为(𝑥0,𝑦0)，则12𝑥0=√33，即𝑥0=2√33.∴𝑦0=14𝑥02=1313∴𝑀(2√33,13)∴13=−1𝑐×

2√33+1，则𝑐=√3.∵𝑐2=𝑎+2𝑏2∴𝑎+2𝑏2=3≥2𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏=√62时取等号.∴𝑎𝑏的最大值为32故选B.21．过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B

两点，与圆(x−1)2+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|=|BD|，则r的取值范围为（）A．(32,+∞)B．(2,+∞)C．(1,32)D．(32,2)【答案】B【解析】由题意，（

1）当𝑙⊥𝑥轴，过𝑥=1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,±𝑟)，满足题设；（2）当𝑙不与𝑥轴垂直时，设𝑙:𝑥=𝑚𝑦+1，代入𝑦2=4𝑥联立得𝑦2−4𝑚𝑦−4=0，把直线𝑙:𝑥=𝑚𝑦+1代

入圆的方程(𝑥−1)2+𝑦2=𝑟2，得𝑦2=𝑟2𝑚2+1，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝐶(𝑥3,𝑦3),𝐶(𝑥4,𝑦4)，因为|𝐴𝐶|=|𝐵𝐷|，所以𝑦1−𝑦3=𝑦2−𝑦4,𝑦1−𝑦2=𝑦3−𝑦4，可得4√𝑚2+1=2�

�√𝑚2+1，所以𝑟=2(𝑚2+1)>2，当𝑟>2时，仅有三条，故选B．22．（2017·海口市调研）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃为椭圆𝐶：𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的下顶点，𝑀，𝑁在椭圆上，

若四边形𝑂𝑃𝑀𝑁为平行四边形，𝛼为直线𝑂𝑁的倾斜角，若𝛼∈(𝜋6,𝜋4)，则椭圆𝐶的离心率的取值范围为（）A．(0,√63]B．(0,√32]C．[√63,√32]D．[√63,2√23]【答案】A【解析】因为𝑂𝑃𝑀𝑁是

平行四边形，因此𝑀𝑁//𝑂𝑃且𝑀𝑁=𝑂𝑃，故𝑦𝑁=𝑎2，代入椭圆方程可得𝑥𝑁=√3𝑏2，所以𝑘𝑂𝑁=√3𝑎3𝑏=tan𝛼．因𝛼∈(𝜋6,𝜋4)，所以√33<√3�

�3𝑏<1即√33<√3𝑎3𝑏<1，所以𝑎<√3𝑏即𝑎2<3(𝑎2−𝑐2)，解得0<𝑐𝑎<√63，故选A．23．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了.已知直线𝑙:𝑘𝑥

−𝑦−2𝑘+1=0与14椭圆𝐶1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)交于𝐴、𝐵两点，与圆𝐶2:(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=1交于𝐶、𝐷两点．若存在𝑘∈[−2,−1]，使得𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐷𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则椭圆𝐶1的离心率的取值范围是A．(

0,12]B．[12,1)C．(0,√22]D．[√22,1)【答案】C【解析】直线𝑙：𝑘𝑥−𝑦−2𝑘+1=0，即𝑘(𝑥−2)−𝑦+1=0∵直线𝑙恒过定点(2，1)∴直线𝑙过圆𝐶2的圆心∵𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐷𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴𝐴𝐶2=𝐶2

𝐵∴𝐶2的圆心为𝐴、𝐵两点中点设𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2){𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1上下相减可得：(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)𝑎2=−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)𝑏2化简可得−𝑥

1+𝑥2𝑦1+𝑦2∙𝑏2𝑎2=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=𝑘−2∙𝑏2𝑎2=𝑘𝑏2𝑎2=−𝑘2∈[−12，1]𝑒=√𝑏2𝑎2∈(0，√22]故选𝐶24．已知过抛物线𝑦

2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点𝐹的直线与抛物线交于𝐴,𝐵两点，且𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=3𝐹𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，抛物线的准线𝑙与𝑥轴交于𝐶，𝐴𝐴1⊥𝑙于点𝐴1，且四边形𝐴𝐴1𝐶𝐹的面

积为6√3，过𝐾(−1,0)的直线𝑙′交抛物线于𝑀,𝑁两点，且𝐾𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐾𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑(𝜆∈(1,2])，点𝐺为线段𝑀𝑁的垂直平分线与𝑥轴的交点，则点𝐺的横坐标𝑥0的取值范围为（）

A．(3,134]B．(2,94]C．(3,92]D．(112,7]【答案】A【解析】过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，15由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，设BD=m，BF=n，则𝐵𝐷𝐴𝐷=𝐵𝐵1𝐴𝐴1=𝐵𝐹𝐴𝐹=

13，即𝑚𝑚+4𝑛=13，∴m=2n．又𝐵𝐵1𝐶𝐹=𝐵𝐷𝐷𝐹，∴𝑛𝑝=𝑚𝑚+𝑛=23，∴n=2𝑝3，∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，又AA1=3n=2p，CF

=p，∴A1D=2√3p，CD=√3p，∴A1C=√3p，∴直角梯形AA1CF的面积为12（2p+p）•√3p=6√3，解得p=2，∴y2=4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），∵𝐾𝑀→=λ

𝐾𝑁→，∴y1=λy2，设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=4，∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，由①②可得4m2=(1+𝜆)2𝜆=λ

+1𝜆+2，由1＜λ≤2可得y=λ+1𝜆+2递增，即有4m2∈（4，92]，即m2∈（1，98]，又MN中点（2m2﹣1，2m），∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，134]，16故选：A．25．已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥

（𝑝>0）与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（𝑎>0，𝑏>0）有相同的焦点𝐹，点𝐴是两条曲线的一个交点，且𝐴𝐹⊥𝑥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（）A．(0，𝜋6)B．(𝜋3，𝜋2)C．(�

�4，𝜋3)D．(𝜋6，𝜋4)【答案】B【解析】：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以𝑝=2𝑐，因为𝐴𝐹与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为(𝑝2,𝑝)，将其代入双曲线方程可得：𝑝24𝑎2−𝑝2𝑏2=1，因为𝑏2=𝑐2−𝑎2，代

入上式可得：𝑐2𝑎2−4𝑐2𝑐2−𝑎2=1，化简得：𝑐4−6𝑐2𝑎2+𝑎4=0，两边同时除以𝑎4得：𝑒4−6𝑒2+1=0，解得𝑒2=3+2√2或3−2√2（舍），设渐近线斜率为k，由𝑒2=𝑐2𝑎2=1+𝑏2𝑎2=1+𝑘2，解得

𝑘2=2+2√2>3，所以倾斜角应大于60∘，所以区间可能是(𝜋3,𝜋2)，故选B.二、填空题26．已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0），圆M：(𝑥−𝑎)2+𝑦2=𝑏24．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当𝑏2+1𝑎2−

472ln𝑎取得最小值时，C的实轴长为________．【答案】4【解析】设渐近线方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，即𝑏𝑥−𝑎𝑦=0，∵𝑏𝑥−𝑎𝑦=0与(𝑥−𝑎)2+𝑦2=𝑏24相切，所以圆心到直线的距

离等于半径，∴𝑎𝑏√𝑎2+𝑏2=𝑏2⇒𝑏2=3𝑎2，𝑏2+1𝑎2−472ln𝑎=3𝑎2+1𝑎2−472ln𝑎=𝑓(𝑎)，17∴𝑓′(𝑎)=6𝑎−2𝑎3−472𝑎=12𝑎4−47𝑎2−42𝑎3=(12𝑎2+1)(𝑎2−

4)2𝑎3=(12𝑎2+1)(𝑎+2)(𝑎−2)2𝑎3，∵𝑎>0,∴𝑎>2时，𝑓′(𝑎)>0；𝑎<2时，𝑓′(𝑎)<0，𝑓(𝑎)在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增，∴𝑎=2时，𝑓(𝑎)有最

小值，此时长轴2𝑎=4，故答案为4.27．设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为F，离心率为e，直线AB的斜率为k，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF、BF的中点分别为M、N，以线段MN为直径的圆过原点𝑂.若0<𝑘≤1，则e的取值范围是

______．【答案】[√2−√2,1)【解析】设𝐹(𝑐,0)，直线AB的方程为𝑦=𝑘𝑥，联立椭圆方程𝑏2𝑥2+𝑎2𝑦2=𝑎2𝑏2，可得(𝑏2+𝑎2𝑘2)𝑥2=𝑎2𝑏2，解得𝑥=±𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2，设

𝐴(𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,𝑘𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2)，𝐵(−𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,−𝑘𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2)，可得𝑀(𝑐2+12⋅𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,12⋅𝑘𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2)，𝑁(𝑐2

−12⋅𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,−12⋅𝑘𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2)，由线段MN为直径的圆过原点O，可得𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，即𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，即有𝑐24−14⋅𝑎2𝑏2𝑏2+𝑎2𝑘2−14⋅𝑘2𝑎2�

�2𝑏2+𝑎2𝑘2=0，可得𝑘2=𝑎2𝑏2−𝑏2𝑐2𝑎2𝑐2−𝑎2𝑏2=𝑎4−2𝑎2𝑐2+𝑐42𝑎2𝑐2−𝑎4=1−2𝑒2+𝑒42𝑒2−1，由0<𝑘≤1可

得0<1−2𝑒2+𝑒42𝑒2−1≤1，结合椭圆的离心率范围为：0<e<1解得√2−√2≤𝑒<1，故填：[√2−√2,1).28．已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的短轴长为2，离心率为√22，设过右焦点的直线l与椭圆C

交于不同的两点A，B，过A，B作直线𝑥=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，𝑄.记𝜆=𝐴𝑃+𝐵𝑄𝑃𝑄，若直线l的斜率𝑘≥√3，则𝜆的取值范围为______．【答案】(√2,2√63]18【解析】因为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎

>𝑏>0)的短轴长为2，离心率为√22，所以{2𝑏=2𝑐𝑎=√22𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎=√2,𝑏=𝑐=1，所以椭圆𝐶:𝑥22+𝑦2=1，因为过右焦点的直线𝑙过椭圆𝐶交于不同的两点𝐴,𝐵，设直线的方程为𝑦=𝑘(𝑥−1)，联立{𝑦=�

�(𝑥−1)𝑥22+𝑦2=1，得(2𝑘2+1)𝑥2−4𝑘2𝑥+2𝑘2−2=0，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝑦1>𝑦2，则𝑥1+𝑥2=4𝑘22𝑘2+1,𝑥1𝑥2=2𝑘2−22𝑘2+1，𝜆=𝐴𝑃+𝐵𝑄𝑃𝑄=2−𝑥1+2−�

�2𝑦1−𝑦2=4−(𝑥1+𝑥2)𝑘(𝑥1−1)−𝑘(𝑥2−1)=4−4𝑘22𝑘2+1𝑘√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=4−4𝑘22𝑘2+1𝑘√(4𝑘22𝑘2+1)2−4×2𝑘2−22�

�2+1=√2𝑘2+2𝑘=√2+2𝑘2，因为𝑘≥√3，所以当𝑘=√3时，𝜆max=√2+23=2√63；当𝑘→+∞时，𝜆min→√2，所以实数𝜆的取值范围是(√2,2√63].29．已知𝐹1、𝐹2是椭圆和双曲线的公共焦点，𝑃是他们的一个公共点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=

𝜋3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.【答案】4√33【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF

1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,∵∠F1PF2=𝜋3，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos𝜋3，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②

，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，所以1𝑒12+3𝑒22=4，由柯西不等式得（1+13）（1𝑒12+3𝑒22）≥（1𝑒1+√3𝑒2×1√3）219所以1𝑒1+1𝑒2≤4√33故答案为：4√3330．设𝐹1,

𝐹2分别是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑏>𝑎>0)左右焦点，𝑃是双曲线上一点，𝛥𝑃𝐹1𝐹2内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与𝑦轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.【答案】𝑒∈[2√3+2√5,+∞)【解析】根据题意，不妨设

𝑃在第一象限，𝑀,𝑁,𝐴分别为𝛥𝑃𝐹1𝐹2内切圆与𝛥𝑃𝐹1𝐹2三边的切点，如图所示：∵2𝑎=|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=(|𝑃𝑀|+|𝑀𝐹1|)−(|𝑃𝑁|+|𝑁𝐹2|)=|𝑀𝐹1|−|𝑁�

�2|=|𝐴𝐹1|−|𝐴𝐹2|∴𝐴在双曲线上，故𝛥𝑃𝐹1𝐹2内切圆圆心为(𝑎,𝑎)，半径为𝑎∴圆心到渐近线𝑏𝑥−𝑎𝑦=0的距离是𝑑=|𝑏𝑎−𝑎2|√𝑏2+𝑎2=𝑎(𝑏−𝑎)�

�∴弦长𝐵𝐶=2√𝑎2−𝑑2=2√𝑎2−𝑎2(𝑏−𝑎)𝑐22=2𝑎√1−(𝑏−𝑎)𝑐22依题得2𝑎√1−(𝑏−𝑎)𝑐22≤𝑎，即(𝑏−𝑎)𝑐22≥34.∴𝑏−𝑎

≥√32𝑐∴𝑏2≥(√32𝑐+𝑎)2∵𝑏2=𝑐2−𝑎2∴𝑐2−4√3𝑎𝑐−8𝑎2≥0，同时除以𝑎2得𝑒2−4√3𝑒−8≥0∴𝑒≥2√3+2√5故答案为𝑒∈[2√3+2√5,+∞)31．已知𝑂为坐标原点，过点𝑃(𝑎,−2)作两条直

线与抛物线𝐶：𝑥2=4𝑦相切于𝐴，𝐵两点，则△𝐴𝑂𝐵面积的最小值为__________．【答案】4√2.【解析】20设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，∵𝑦=14𝑥2,𝑦′=12𝑥，∴以𝐴为切点的

切线方程为𝑦−𝑦1=12𝑥1(𝑥−𝑥1)，即𝑦−14𝑥12=12𝑥1𝑥−12𝑥12,∴𝑦=12𝑥1𝑥−14𝑥12，同理𝐵为切点的切线方程为𝑦=12𝑥2𝑥−14𝑥22，代入𝑃(𝑎,−2)

，可得−2=𝑎2𝑥2−𝑦2,−2=𝑎2𝑥1−𝑦1，∴过𝐴𝐵的直线方程为𝑎2𝑥−𝑦+2=0，联立{𝑥2=4𝑦𝑎2𝑥−𝑦+2=0，可得𝑥2−2𝑎𝑥−8=0，∴4𝑎2+32>0,𝑥1+𝑥2=2𝑎,𝑥1𝑥2=−8，∴

|𝐴𝐵|=√1+𝑎24|𝑥1−𝑥2|=√1+𝑎24√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√𝑎2+4⋅√𝑎2+8又𝑂到直线𝐴𝐵的距离为𝑑1=2√1+𝑎24=4√𝑎2+4，𝑆=12√𝑎2+4⋅√𝑎2+8⋅4√𝑎2+4=2√𝑎2+

8≥2√8=4√2，当𝑎=0时，等号成立，故答案为4√2.32．已知𝑂为坐标原点，过点𝑃(𝑎,−2)作两条直线与抛物线𝐶：𝑥2=4𝑦相切于𝐴，𝐵两点，则△𝐴𝑂𝐵面积的最小值为__________．【答案】4√2【解析】设𝐴(𝑥1

,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，∵𝑦=14𝑥2,𝑦′=12𝑥，∴以𝐴为切点的切线方程为𝑦−𝑦1=12𝑥1(𝑥−𝑥1)，即𝑦−14𝑥12=12𝑥1𝑥−12𝑥12,∴𝑦=12𝑥1𝑥−14𝑥12，同理𝐵为切点的切线方程为𝑦=12𝑥2

𝑥−14𝑥22，代入𝑃(𝑎,−2)，可得−2=𝑎2𝑥2−𝑦2,−2=𝑎2𝑥1−𝑦1，∴过𝐴𝐵的直线方程为𝑎2𝑥−𝑦+2=0，联立{𝑥2=4𝑦𝑎2𝑥−𝑦+2=0，可得𝑥2−2𝑎

𝑥−8=0，∴4𝑎2+32>0,𝑥1+𝑥2=2𝑎,𝑥1𝑥2=−8，∴|𝐴𝐵|=√1+𝑎24|𝑥1−𝑥2|=√1+𝑎24√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√𝑎2+4⋅√𝑎2+8又𝑂到直线𝐴𝐵的距离为𝑑1=2√1+𝑎24=4√𝑎2

+4，𝑆=12√𝑎2+4⋅√𝑎2+8⋅4√𝑎2+4=2√𝑎2+8≥2√8=4√2，21当𝑎=0时，等号成立，故答案为4√2.33．设点𝑀是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上的点，以点𝑀为圆心的圆与𝑥轴相切于椭

圆的焦点𝐹，圆𝑀与𝑦轴相交于不同的两点𝑃、𝑄，若𝛥𝑃𝑀𝑄为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】√6−√22<𝑒<√5−12【解析】：因为圆𝑀与𝑥轴相切于焦点𝐹，所以圆心与𝐹的连线必垂直于𝑥轴，不妨

设𝑀(𝑐,𝑦)，因为𝑀(𝑐,𝑦)在椭圆上，则𝑦=±𝑏2𝑎(𝑎2=𝑏2+𝑐2)，所以圆的半径为𝑏2𝑎，由题意𝑦>𝑐>√22𝑦，所以𝑐2<(1−𝑒2)2<2𝑒2，所以√6−√22

<𝑒<√5−12.值范围)．34．已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑏>𝑎>0)的右焦点为𝐹,𝑂为坐标原点，若存在直线𝑙过点𝐹交双曲线𝐶的右支于𝐴,𝐵两点，使𝑂𝐴⃑⃑⃑

⃑⃑⋅𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=0，则双曲线离心率的取值范围是__________．【答案】[√5+12,√3)【解析】由𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=0得𝑂𝐴⊥𝑂𝐵．（1）当直线𝑙与x轴垂直时，

则有𝐴𝐵⊥𝑂𝐹，∴𝐴𝐹⊥𝑂𝐹，即𝑏2𝑎=𝑐，∴𝑏2=𝑐2−𝑎2=𝑎𝑐，∴𝑒2−𝑒−1=0，解得𝑒=1+√52．（2）当直线𝑙与x轴不垂直时．若直线𝑙平行于渐近线时，直线𝑙的斜率为𝑘=𝑏𝑎，直线方程为𝑦=𝑏�

�(𝑥−𝑐)，代入双曲线方程可得点A的坐标为(𝑎2+𝑐22𝑐,−𝑏32𝑎𝑐)，∴𝑂𝐴的斜率为𝑘′=−𝑏3𝑎(𝑎2+𝑐2)，又此时有𝑂𝐴⊥𝑙，∴𝑘𝑘′=−𝑏4𝑎2(𝑎2+𝑐2)=−1，整理得𝑐2=3𝑎2，解得𝑒=√3．22但此时直线与双曲线的右支

只有一个交点，不合题意．∴双曲线离心率的取值范围是[√5+12,√3)．35．已知双曲线𝛤:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，𝑃是𝛤右支上的一点，𝑄是𝑃𝐹2的延长线上一点，且𝑄

𝐹1⊥𝑄𝐹2，若sin∠𝑃𝐹1𝑄=35，则𝛤的离心率的取值范围是______________．【答案】(1,2)【解析】设|𝑃𝐹1|=m，则|𝑃𝐹2|=m−2𝑎，|PQ|=35m，|𝑄𝐹2|=2𝑎−25

m，|𝑄𝐹1|=45𝑚，∴(2𝑐)2=1625𝑚2+(2𝑎−25m)2，即𝑚2−2ma+5𝑎2−5𝑐2=0，又|𝑄𝐹1|+|𝑄𝐹2|>|𝐹1𝐹2|即45m+2a−25m>2c，得：m>5(𝑐−a)∴方程𝑚2−2m

a+5𝑎2−5𝑐2=0有大于5(𝑐−a)的根∴25(𝑐−)2−2×5×(𝑐−a)×𝑎+5𝑎2−5𝑐2<0得e<2，又e>1∴e∈(1,2)故答案为：(1,2)36．已知𝐴,𝐵是椭圆𝐶

上关于原点对称的两点，若椭圆𝐶上存在点𝑃，使得直线𝑃𝐴,𝑃𝐵斜率的绝对值之和为1，则椭圆𝐶的离心率的取值范围是______.【答案】[√32,1)【解析】不妨设椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0),P(𝑥,𝑦),𝐴(�

�1,𝑦1),则𝐵(−𝑥1,−𝑦1)，所以𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1，,两式相减得𝑥2−𝑥12𝑎2=−𝑦2−𝑦12𝑏2，所以𝑦2−𝑦12𝑥2−𝑥12=−�

�2𝑎2，所以直23线𝑃𝐴,𝑃𝐵斜率的绝对值之和为|𝑦−𝑦1𝑥−𝑥1|+|𝑦+𝑦1𝑥+𝑥1|≥2√|𝑦2−𝑦12𝑥2−𝑥12|=2𝑏𝑎，由题意得，2𝑏𝑎≤1，所以𝑎2≥4𝑏2=4𝑎2−4𝑐2，即3𝑎2≤4𝑐2，所以𝑒2≥34，所以√

32≤e<1.故答案为：[√32,1)37．已知抛物线𝐶:𝑥2=8𝑦的焦点为𝐹，准线为𝑙1，直线𝑙2与抛物线𝐶相切于点𝑃，记点𝑃到直线𝑙1的距离为𝑑1，点𝐹到直线𝑙2的距离为𝑑2，则𝑑2𝑑1+2的最大值为__________．【答案

】12【解析】依题意，得点𝐹(0,2)，因为𝑦=𝑥28，所以y′=𝑥4,不妨设点P(𝑥0，𝑦0),则直线𝑙2：y−𝑦0=𝑥04(𝑥−𝑥0)，即𝑥04𝑥−y−𝑦0=0，故点F到直线𝑙2的距离，𝑑

2=|−2−𝑦0|√𝑥0216+1=2+𝑦0√𝑦02+1=√2√2+𝑦0，而点P到直线𝑙1的距离𝑑1=|PF|=2+𝑦0，∴t=√2×√2+𝑦0𝑦0+4=√2×1√2+𝑦0+2√2+𝑦0≤√2×12√√2+𝑦0

∙2√2+𝑦0=12，当且仅当√2+𝑦0=2√2+𝑦0，即𝑦0=0时取等号，∴t的最大值为12.故答案为：1238．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为𝑒1,𝑒2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则1𝑒1+1𝑒2的最大值为_______.【答案】1

03【解析】设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为𝑏1、𝑏2，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为𝑎1、𝑎2，则𝑏1=3𝑏2⇒𝑎12+9𝑎22=10𝑐2，令𝑎1=√10𝑐sin𝜃，𝑎2=√103𝑐cos𝜃，∴1𝑒1+1𝑒2=√

103(3sin𝜃+cos𝜃)=103sin(𝜃+𝜑)≤103.故答案为：103.39．已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为F，准线为l，过点,02pQ−作直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂直交l于D，E两点，设AE，BD24的斜率分别为1k，

2k，则1211kk−的最小值为__________．【答案】2【解析】由已知可设:2plxky=−，代入22ypx=得：2220ypkyp−+=．设()()1122,,,AxyBxy，则212122,yypkyy

p+==由222440pkp=−，得21k．21221221111xxpkkkyyk++−==−−设210kt−=，则22212111121kttkkttk+−==+−＝当且仅当1,t=即2k=取到最小值为2．故答案为：240．已知正𝛥𝐴𝐵𝐶的边长为2√3，在平面𝐴𝐵

𝐶中，动点𝑃满足𝐴𝑃=1，𝑀是𝑃𝐶的中点，则线段𝐵𝑀的最小值为__________．【答案】52【解析】如图所示，以A点为原点，建立坐标系，则：𝐴(0,0),𝐵(−√3,−3),𝐶(√3,−3),𝑃(𝑥′,𝑦′),𝑀(�

�,𝑦)，M为PC的中点，则：{𝑥′=2𝑥−√3𝑦′=2𝑦+3，得(𝑥−√32)2+(𝑦+32)2=14，即点M的轨迹满足圆的方程，圆心坐标𝑁(√32,−32)，所以𝐵𝑀min=𝐵𝑁−12=3−12=52.41．抛物线𝑦2=

8𝑥的焦点为𝐹，点𝐴(6,3),𝑃为抛物线上一点，且𝑃不在直线𝐴𝐹上，则𝛥𝑃𝐴𝐹25周长的最小值为__________．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长𝑙=𝑃𝐴+𝑃𝐹+𝐴𝐹=𝑃𝐴+

𝐴𝐹+𝑑=𝑃𝐴+𝑑+5≥13，填13.42．若双曲线()222210,0xyabab−=上存在一点P满足以OP为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c（其中O为坐标原点，c为双曲线的半焦距），则

双曲线的离心率的取值范围是__________．【答案】)3,+【解析】由题意以OP为边长的正三角形内切圆的半径为01133tan302236rOPOPOP===，所以内切圆的面积为2212SrOP=

=，又P为双曲线上一点，从而OPa，所以221212SOPa=，又以OP为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c，所以223612ca，得3ca，即3e，所以双曲线的离心率的取值范围是)3,+.43．已知𝐹1，𝐹2是双曲线𝑥2𝑎2−�

�2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左，右焦点，点𝑃在双曲线的右支上，如果|𝑃𝐹1|=𝑡|𝑃𝐹2|(𝑡∈(1,3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．【答案】(0,√3]

【解析】渐近线的斜率为𝑏𝑎=√𝑒2−1=√(𝑐𝑎)2−1.设|𝑃𝐹1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑡𝑚,根据双曲线的定义有𝑡𝑚−𝑚=(𝑡−1)𝑚=2𝑎,且𝑡𝑚+𝑚=(𝑡+1)𝑚≥2𝑐

,两式相除得到𝑡+1𝑡−1≥𝑐𝑎即𝑐𝑎≤(1+2𝑡−1)min由于𝑡∈(1,3],所以𝑐𝑎≤(1+2𝑡−1)min=2,所以𝑏𝑎=√𝑒2−1=√(𝑐𝑎)2−1≤√3,即斜率的取值范围是(

0,√3].2644．已知椭圆𝛤：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，点𝐴,𝐵在椭圆𝛤上，𝐴𝐹1⃯⋅𝐹1𝐹2⃯=0且𝐴𝐹2⃯=𝜆𝐹2𝐵⃯，则当𝜆∈[2,3]时，椭圆的离心

率的取值范围为______．【答案】[√55,√33]【解析】因为𝐴𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹1𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，所以可设𝐴(−𝑐,𝑏2𝑎),𝐹(𝑐,0),𝐵(𝑥,𝑦)，由𝐴𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐹2𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，得(

2𝑐,−𝑏2𝑎)=𝜆(𝑥−𝑐,𝑦)，即𝐵((1+2𝜆)𝑐,−𝑏2𝜆𝑎)，因为𝐵((1+2𝜆)𝑐,−𝑏2𝜆𝑎)在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1上，所以(1+2𝜆)2𝑐2𝑎2+(−𝑏2𝜆𝑎)2

𝑏2=1，即(𝜆+2)2𝑐2+𝑏2=𝜆2𝑎2，即(𝜆+2)2𝑐2+𝑏2=𝜆2𝑎2，即(𝜆2+4𝜆+3)𝑐2=(𝜆2−1)𝑎2，即𝑐𝑎=√𝜆2−1𝜆2+4𝜆+3=√𝜆−1𝜆+3=√1−4𝜆+3在区间[2,3]上为增函数，所以𝑐𝑎∈[√

55,√33]，即椭圆的离心率的取值范围为[√55,√33].45．过圆𝑀:(𝑥+1)2+𝑦2=79的圆心𝑀的直线与抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥相交于𝐴,𝐵两点，且𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3𝑀𝐴

⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则点𝐴到圆𝑀上任意一点的距离的最小值为__________．【答案】√73【解析】设𝐴(𝑦124,𝑦1),𝐵(𝑦224,𝑦2),由题得{𝑦2=3𝑦1𝑘𝑀𝐴=𝑘𝑀�

�∴{𝑦2=3𝑦1𝑦1−0𝑦124+1=𝑦2−0𝑦224+1,∴𝑦1=±23√3.不妨设𝑦1>0,∴𝑦1=23√3,∴𝐴(13,23√3),∴|𝑀𝐴|=√(13−(−1))2+(23√3−0)2=23√7.所以点𝐴到圆𝑀上任意一点的距离的最小值为23√7−𝑟=23

√7−13√7=13√7.故填√73.