【文档说明】江苏省G4南师附中、海门中学、天一中学、海安中学2021届高三下学期4月联合考试数学试题 含答案.doc，共(10)页，1017.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2b87e6e1a62048e57b8d69e5da949fcb.html

以下为本文档部分文字说明：

2020—2021学年度江苏四名校第二学期联考高三数学试题2021.4一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．已知集合}1|{)},2ln(|{−==−==xyxNxyxM，全集RI=，则图中阴影部分表示

的集合（▲）A.),1[+B.)2,1[C.),1[+D.),2[+2.已知复数iz−=21、iiz(212+=为虚数单位）、3z在复平面上对应的点分别为CBA、、,若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数3z的模为（▲）A.1

0B.5C.5D.103.函数)(xf在,−上的图象大致如下，则下列函数中哪个函数符合函数)(xf图象特征（▲）A.xxeexxxf−++=cos)(2B.xxeexxxf−+−=sin)(C.xxeexxf−+=sin)(D.xxeexxxf−−+=sin)(（第3题

）4.《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为5.10尺和5.4尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节

气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（▲）A．37B．47C．1321D．575.554433221032)21()1xaxaxaxaxaaxx+++++=−+（，则3a的值为（▲）A.10B.20C.24D.326.40tan40sin4−的值为（▲）A．22B．23C．2D．3

7.《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某鳖臑BCDA−的外接球半径为1，则该鳖臑BCDA−的体积最大值为（▲）A.394B.3274C.349D.31638.已知抛物线

22−+=mxxy与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(3,1)，圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l方程为（▲）A.03=−yxB.013=+−yxC.013=−−yxD.03=−yx二、多选题：（选错

不得分，漏选得2分，每题5分，共20分）9.在棱长为1的正方体1111DCBAABCD−中，FE、分别为1BB、1DD的中点，则下列结论中正确的是（▲）A.平面⊥BDA1平面11ACCAB.直线1BC与平面11AACC所成角为30C.直线EA1与直线AC所成角为45D.四棱锥E

CFAA1−的体积为3110.函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0x时，xxxf+=1)(，则下列结论正确的是（▲）A.当0x时，xxxf+−=1)(B.关于x的不等式0)12()(−+xfxf的解集为)31,(−C.关于x的方程xxf=)(有三个实数

解D.2|)()(|,,1221−xfxfRxx11.已知0,0ba，下列说法成立的是（▲）A.)(2)a222bab++（B.babalnln)][ln(2•+C.若4)(=+bab，则85+baD.存在0,b

a使得)25lg(12lg2lg3baab+•12.随着高三毕业日期的逐渐临近，有n（2n）个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（▲）A.当4=n时，每个人抽到的卡片都不是

自己的概率为83B.当5=n时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为403C.甲和乙恰好互换了卡片的概率为nn111−−D.记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为na，则*12),)(1(Nnaanannn++=

++三、填空题：（每题5分，共20分）13.ABC中，===120,3,1BACAB,DCBD2=,则ADAB的值为▲14.直线1=x是函数)0()3sin()(+=wwxxf图像的一条对称轴，给出w的一个可能的值为▲15.已知反比例函数)0(=

kxky的图象是双曲线，两坐标轴是它的渐近线，那么xy4=对应的双曲线的焦点坐标为▲.16.法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另

一个等边三角形的顶点”.在三角形ABC中，角60=A，以ACBCAB、、为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为321OOO、、，若三角形321OOO的面积为23，则三角形ABC的周长最小值为▲.四、解答题：本大题共6小题．解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）数列}{na的前n项和为ns，11=a，对任意的*Nn有0na，12−=nnsa.（1）求数列}{na的通项公式；（2）设数列}{nb，25-1=b，111*)(2,+++=−nnnnabbNn，求数列}{nb的通项公式

.18.（本题满分12分）在①bAAc=+)sin(cos，②bCbBc2cossin=+，③ABCBsin2costansin=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.ABC的内角CBA、、所对应的边分别为cba,,，已知，53cos,2==Bc.（1）求Acos的值；（2）求

ABC的面积.19.（本题满分12分）如图，四棱锥ABDEC−中，22,//==BDAEBDAE,点F是AB的中点，点G在线段DC上，且GCDG=2.(1)求证：//BG平面CEF;(2)若⊥AE平面ABC,ABAE=,2==CBAC,求二面角DECF−−的正弦

值.20.（本题满分12分）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引．体向上个数只记整数．．．．．．．．．）.学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.（1）第

一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）第二

小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的22列联表.学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有5.99%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？21.（本

题满分12分）已知椭圆C：13422=+yx，点),(00yxP为椭圆C在第一象限的点，21FF，为椭圆C的左右焦点,点P关于原点的对称点为Q.（1）设点Q到直线21,PFPF的距离分别为21,dd，求21dd取值范围；（2）已知椭圆在),

(00yxP处的切线l的方程为：13400=+yyxx，射线1QF交l于点R.求证：11RPFRPF=.22.（本题满分12分）函数)cos1(sin)(xxxf+=，)1()(−=xeaxg（1）当0a时，函数)()()(xgxf

xF+=在)2,0(x有极值点，求实数a的取值范围；（2）对任意实数),0[+x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围.数学参考答案1.D2.A3.B4.D5.A6.D7.B8.A9.ABD10.BD11.AC

12.ACD13.3414.Nkk+,615.)22,22(),22,22(−−16.2317.解：（1）nnsa412=+）（12141++=+nnsa）（-得到1114))(2+++=−++nnnnnaaaaa（，............................

..........................................2分所以)(21221nnnnaaaa+=−++)(2111nnnnnnaaaaaa+=+−+++））（（因为01++nnaa所以21=−+nnaa..........................

.......................................................4分所以数列}{na为等差数列，又因为11=a所以12−=nan............................

.................5分（2）因为111*)(2,+++=−nnnnabbNn所以11112122+++++==−nnnnnnabb所以11223211)())()(bbbbbbbbbbnnnnn+−+−++−+−=−−−（...........

.............................7分25232523221-n2231−+++−+=−nnn所以5232523221-n221221−+++−+=−−nnnnb④......

...............................................................8分所以④-得到nnnnnb2121222222221−−−+++=−−=nnnnn2322121211)21-12

12+−=−−−−−（........................10分18.解：选①设0sinsinsin===tCcBbCc所以BtbCtcsin,sin==....................

.........1分因为,)sin(cosbAAc=+得,sin)sin(cossinBtAACt=+得CACACABACACsincoscossin)sin(sinsinsincossin+=+==+所以CACAcossinsinsin=...

.............................................................................................3分所以1tan=C因为)

,0(C所以4=C所以22cos=C22sin=C..............................4分（1）因为53cos=B所以54sin=B..............................................

......................................5分10222532254coscossinsin)cos(cos=−=−=+−=CBCBCBA..................................7分（2）因为）,0(A所以1027c

os1sin2=−=AA,.........................................................8分因为CCAasinsin=所以2221027=a得527=a.......................

.........................................10分252854252721sin21===BacsABC.........................................................

..................12分选②设0sinsinsin===tCcBbCc所以BtbCtcsin,sin==.........................................1

分因为bCbBc2cossin=+所以BtCBtBCtsin2cossinsinsin=+即2cossin=+CC.......................................3分得2)4sin(2=+C所以1)

4sin(=+C因为),0(C4=C.....................................4分下同（1）选③ABCBsin2costansin=+则CABCCBcossin2cossincossin=+..................1分所以C

ACBcossin2)sin(=+即CAAAcossin2sin)sin(==−.................................3分0sinA所以22cos=C又因为),0(C所以4=C.........

..........................................4分下同（1）19.解：（1）延长DBEF,交于点K连接KC....................................................................2分因为,//

BDAE所以,//BKAE所以1==FBAFBKAE..............................3分21==AEBDBKBD又因为GCDG=2所以GCDGBFBD=所以CKBG//.......4分又因为CK平面CEF,又因为CEFBG,所以//BG平面CEF..

....6分（2）以C为原点，CA为x轴的正方向，以CB为y轴的正方向,以过C点且垂直于面ABC为z轴的正方向，建立如图所示的空间之间坐标系。....................................................

..................................................7分C(0,0,0),)0,0,2(A,)0,2,0(B)0,22,22(F)2,0,2(E)1,2,0(D......8分设),,(1111zyxn=为平面ECF的法向量；)2,0,2(=

CE)0,22,22(=CF02211=+=zxCEn0222211=+=yxCFn，取11=x则22,111−=−=zy........................................................

.........................................................9分设),,(2222zyxn=为平面ECD的法向量；)2,0,2(=CE)1,2,0(=

CD,022222=+=zxCEn02222=+=zyCDn，取12=x则2,122−==zy...................................................................

.............................................10分52||||,cos212121==nnnnnn，设二面角DECF−−的平面角为则所以523,cos1sin212=−=nn...............

..............................................................12分20.解：（1）①63206.003.002.0：：：：=.......

.........................................................................1分所以，，，611116311113211112===即从1-5中选2个

，6-10个中选3个，11-15个中选6个，............................................................................................................................

..........2分又因为单次完成11-15个引体向上的人共有120400506.0=人，.............................3分记“单次完成11-15个引体向上的甲被抽中”

为事件A,则2011206)(61205119===CCAp....5分②X的分布列如下：X012P552831139=CC55243112912=CCC5533111922=CCC所以116553055325524155280)(==+

+=XE........................................................................8分（2）因为))()()(()(22dbcadcbabcadnK++++−==879.7889.8980250150

1003001000050004002==−）（......10分所以有5.99%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关。.................................................

..12分21.解：法一：（1）2211212121dPFdPFssPQFPQF==..............................................2分1421111221−=−==PFP

FPFaPFPFdd..........................................................................................

3分又因为2214241433)1()1(0020202020201+=++=−++=++=xxxxxyxPF因为)2,0(0x所以)3,2(1PF，所以21dd），（131.......................................

................................5分法二：①当10x时，1002−=xykPF所以)1(1:002−−=xxyyPF即0)1(000=−−−yyxxy1001+=xykPF所以)1(1:001++=xxyyPF即0)1(000=++−yyxxy........

................................2分又所以2212)221(2)1(4332)1(|))(1()(|00200202002020000001+=+=++−=+++−+−−=xyxyxx

yxyyyxxyd002002020020200000022122)221(2)1(4332)1(|))(1()(|xyxyxxyxyyyxxyd−=−=−+−=−+−−−−−=.........3分又所以1

484400021−+=+−=xxxdd因为)2,1()1,0(0x所以），（），（153533121dd....................4分当10=x时可得)23,1(),23,1(−−QP0343)1(43:1=+−+=yxxyPF56

1=d，22=d5321=dd综上21dd），（131................................................................................5分（2）法一

：设直线l的倾斜角为，设直线QF1的倾斜角为,设直线1PF的倾斜角为则−=RPF1，−+=1RPF.............................................

..................................6分所以00000000003)4(312)1(4311431tantan1tantan)tan(11yyxxxxxyyxkkkkQFlQFl=−−−=

−−−−−=+−=+−=−00000000003)4(312)1(431)43(11tantan1tantan)tan()tan(11yyxxxxyxxykkkklPFlPF=++=+−−−+=+−=+−=−=−+

.................................................................................................................................

..............10分11tantanRPFRPF=,.........................................................................................

............11分又因为11RPFRPF，），（0所以11RPFRPF=.......................................................12分法

二：因为1001−=xykQF则)1(1001+−=xxyyQF：.................................................................6分00200000484134)1(1xxxxyyxxxxyyR

−−+==++−=.................................................................................8分|443||1||221||1|)1(4241|1|)1()1

(|1|)1(1002000200202020202001xxxxxxxxxxxyxxxyRFRRR−−+−−=+−+−=+−+−=+−+==)4(210+x..........................

....................................................................................................10分)4(214241

433)1)10020202020201+=++=−++=++=xxxxxyxPF（（所以11PFRF=所以11RPFRPF=...................................

.................................................12分22.解：（1）)1()cos1(sin)(−++=xeaxxxFxxaexxaexxxxxF+−+=+−++=1co

scos2)sin(sin)cos1(cos)(2'....................................1分xxaexxaexxxxF++−=+−−=)1cos4(sinsin)sincos4)(''（，.........

..................................2分因为)2,0(x所以0cos,0sinxx，又0a所以)(''xF<0...........................

..................3分所以)('xF在)2,0(上递减，02)0('+=aF，01)2(2'+−=aeF所以02−a........4分（2）)()()(xfxgxG−==0)cos1(sin)1(+−

−xxeax.因为0)2(F所以01)1(2−−ea所以0a，...................................................................5分当]2,0[x时)()(

)('''xfxgxG−==)1coscos2(2−+−xxaex)()()(''''''xfxgxG−=)1cos4(sin++=xxaex>0,所以)('xG在]2,0[上递增....................6分2)0('−=aG，01)2(2'+=aeG①当02)0('

−=aG即2a时，)2,0(0x使得0)(0'=xG所以当),0(0xx时0)('xG，函数)(xG在区间),0(0x递减，.........................................

7分又因为0)0(=G所以当),0(0xx时0)(xG与条件0)(xG矛盾......................................8分②02)0('−=aG时，即2a时，)1coscos2(2)

1coscos2()(22'−+−−+−=xxexxaexGxx...............................................10分又因为1coscos22−+xx=89]41[cos22−+x，]1,1

[cos−x所以1coscos22−+xx]2,89[−而，0x时22xe，所以)('xG0.................................................

.....................................11分所以函数)(xG在区间),0[+单调递增，又因为0)0(=G所以0)(xG综上：2a..............................

..............................................................................................12分