【文档说明】江西省上饶市铅山一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案.doc，共(10)页，133.500 KB，由小赞的店铺上传

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铅山一中2020-2021学年高二年级第二学期期中考试数学试题（理科）分值：150分考试时间：120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共12小题，每小题5分，共60分。1.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确

的是()A.ac2<bc2B.a2>ab>b2C.1a<1bD.ba>ab2.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于()A.192B.202C.2

12D.2223.已知命题p：存在x0∈R，x20＋4x0＋6<0，则¬p为()A.任意x∈R，x2＋4x＋6≥0B.存在x∈R，x2＋4x＋6>0C.任意x∈R，x2＋4x＋6>0D.存在x∈R，x2＋4x＋6≥04.设u＝(－2

，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量.若α⊥β，则t等于()A.3B.4C.5D.65.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)′＝3xln3B.(x2lnx)′＝2xlnx＋xC.cosx

x′＝xsinx－cosxx2D.(sinx·cosx)′＝cos2x6.已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则¬p是¬q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.双曲线C：x2a2－y2b2＝1(

a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A.2sin40°B.2cos40°C.1sin50°D.1cos50°8.若f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间13，4上有极值点，则实数a的取值范围是()A.2，103B.

2，103C.103，174D.2，1749.如图，记椭圆x225＋y29＝1，y225＋x29＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中不正确的是()A.P到F1(－

4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C.曲线C所围区域的面积必小于36D.曲线C的总长度必大于6π10.若函数f(x)＝ex，0≤x<1，lnx＋e，1≤x≤e在区间[0

，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A.1eB．1－1eC.e1＋eD.11＋e11.已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线左支交于点A，与右支交

于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝()A.1B.12C.13D.2312.已知函数y＝a＋8lnxx∈1e，e的图像上存在点P，函数y＝－x2－2的图像上存在点Q，且P，Q关于x轴对称，则a的取值范围是()A

.[6－8ln2，e2－6]B.[e2－6，＋∞)C.10＋1e2，＋∞D.6－8ln2，10＋1e2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为________.14.为了研究某种细

菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：天数x/天34567繁殖个数y/万个2.5344.5c若已知回归直线方程为y＝0.85x－0.25，则表中c的值为________.15.已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且AP→＝

λAM→＋μAN→，则λ＋μ的最小值为________.16.已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ.，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。17.用分析法证明：6＋7>22＋5（10分）18.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若“p且¬q”为真，求x的取值范围.（12分）19.若函数f(x)＝lnx＋2x2－a

x的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，求实数a的取值范围.（12分）20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(

2)求二面角B－PD－A的大小；（12分）21.已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距

离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.（12分）22.设函数f(x)＝12x2－(a－1)x－alnx.（12分）(1)讨论函

数f(x)的单调性；(2)已知函数f(x)有极值m，求证：m<1(已知ln0.5≈－0.69，ln0.6≈－0.51).铅山一中2021年高二第二学期数学期中考试答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共12小题，每小题5分，共60

分。1.B2.C3.A4.C5.C6.A7.D8.D9.A10.B11.B12.D12.解析函数y＝－x2－2的图像与函数y＝x2＋2的图像关于x轴对称，根据已知得函数y＝a＋8lnxx∈1e，e的图像与函数y＝x2＋2的图像有交点，即方程a＋

8lnx＝x2＋2在1e，e上有解，即a＝x2＋2－8lnx在1e，e上有解，令g(x)＝x2＋2－8lnx，x∈1e，e，则g′(x)＝2x－8x＝2x2－8x，当x∈

1e，2时，g′(x)<0；当x∈(2，e]时，g′(x)>0.故当x＝2时，g(x)取最小值g(2)＝6－8ln2，由于g1e＝10＋1e2，g(e)＝e2－6.故当x＝1e时，g(x)取到最大值10＋1e2.所以6－8ln2≤a≤10＋1e2.二、填

空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为________.答案2x＋y－2π＋1＝014.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：天数x/天34567繁

殖个数y/万个2.5344.5c若已知回归直线方程为y＝0.85x－0.25，则表中c的值为________.答案615.已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，

－4)且AP→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ的最小值为________.答案7416.已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ.，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解若f(x)＝x－4，x≥

λ，x2－4x＋3，x<λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图像，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]

∪(4，＋∞).答案(1，3]∪(4，＋∞)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.用分析法证明：6＋7>22＋5（10分）证明：要证明6＋7>22＋5<=(6＋7)2>(22＋5)2<=6＋7＋242>8＋5＋4

10<=42>210<=42>40，∵42>40显然成立，∴6＋7>22＋5.■18.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若“p且¬q”为真，求x的取值范围.（12分）解因为“p且¬q”为真，即q假p真，而

q为真命题时，x－2x－3＜0，即2＜x＜3，所以q为假命题时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由x＞1或x＜－3，x≥3或x≤2，得x≥3或1<x≤2或x<－3，所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<－3}.19.

若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，求实数a的取值范围.（12分）解直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝1x＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋1x－2，x>0.又4x＋1x≥

24x·1x＝4，当仅当x＝12时取“＝”.∴a≥4－2＝2.20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M为PB的

中点；(2)求二面角B－PD－A的大小；（12分）(1)证明设AC∩BD＝O，连接OM.∵PD∥平面MAC且平面PBD∩平面MAC＝MO，∴PD∥MO.∵四边形ABCD是正方形，∴O为BD中点，所以M为PB中点.■(2)解取AD中点E，连接PE.∵PA＝PD，∴PE⊥AD，又∵平面PA

D⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∵OE平面ABCD，∴PE⊥OE，∵四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD.建立如图所示空间直角坐标系，则B(－2，4，0)，P(

0，0，2)，D(2，0，0)，易知平面PDA的一个法向量m＝(0，1，0).设平面BPD的法向量n＝(x0，y0，z0)，则n·DP→＝（x0，y0，z0）·（－2，0，2）＝－2x0＋2z0＝0，n·DB→＝（x0，y0，z0）·（－4，4，0）＝

－4x0＋4y0＝0，令x＝1，则y＝1，z＝2.可取n＝(1，1，2).设二面角B－PD－A的平面角为θ(易知为锐角)，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n|m||n|＝11·12＋12＋（

2）2＝12，∴θ＝π3，故二面角B－PD－A的大小为π3.21.已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线

C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解

(1)∵抛物线C：x2＝1my，∴它的焦点为F0，14m.[2分](2)∵|RF|＝yR＋14m，∴2＋14m＝3，得m＝14.[4分](3)存在，联立方程y＝mx2，2x－y＋2＝0，消去y得mx2－2x－2＝0

(m>0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＝8m＋4>0恒成立，方程必有两个不等实根.[6分]设A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则x1＋x2＝2m，x1·x2＝－2m.(*)∵P是线段AB的中点，∴Px1＋x22，mx21＋mx222，即P

1m，yP，∴Q1m，1m，[8分]得QA→＝x1－1m，mx21－1m，QB→＝x2－1m，mx22－1m.若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA→·QB→＝0，即

x1－1m·x2－1m＋mx21－1mmx22－1m＝0，[10分]结合(*)式化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－12，∵m>0，∴m＝2.∴存在实数m＝2

，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.[12分]22.设函数f(x)＝12x2－(a－1)x－alnx.（12分）(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数f(x)有极值m，求证：m<1(已知ln0.5≈－0.69，ln0.6≈－0.

51).(1)解f′(x)＝x－(a－1)－ax＝x2－（a－1）x－ax＝（x＋1）（x－a）x(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>0时，解f′(x)>0得x>a

，解f′(x)<0得0<x<a.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.(

2)证明由(1)知，a>0时，f(x)的极值m＝f(a)＝－12a2＋a－alna.所以f′(a)＝－a－lna，f′(a)＝0有唯一实根记为a0.因为ln0.5<－0.5，ln0.6>－0.6，所以a0∈(0.5，0.6).且f(a)在(0，a0)上递增，在(a0，

＋∞)上递减.所以m＝f(a)≤f(a0)＝－12a20＋a0－a0lna0<－12a20＋a0＋a20＝12a20＋a0<12×0.62＋0.6＝0.78<1.故m<1成立.■