【文档说明】广东省雷州市龙门中学、客路中学两校2025届高三上学期10月第一次模拟考试 数学 Word版含解析.docx，共(25)页，1.312 MB，由小赞的店铺上传

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2025届广东省省内两校十月第一次模拟2024.10命题人：客路中学龙门中学教研组注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.4.诚信考试，拒绝舞弊.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{

|232}2xAx=，{|2}Byy=，则AB=（）A.()21−，B.()12−，C.D.()25−，2.命题“(),1x−，3210xx+−”的否定是（）A[1,]x+，3210xx+−≥B.(),1x−，3210xx+−≥C.[1,]x

+，3210xx+−≥D.(),1x−，3210xx+−≥3.已知直线l过点(),3m和()3,2，且在x轴上的截距是1，则实数m等于（）A.1B.2C.3D.44.函数()()1lg1fxxx=+−零点的个数为（）A.0B.1C.2D.35.如图

，三棱锥OABC−中，OAa=，OBb=，OCc=，点M为BC中点，点N满足2ONNA=，则MN=（）.A.112233abc−−B.112233abc−+C.211322abc−−D.121232abc−−+rrr6.函数结构是值得关注的对象

.为了研究(0)xyxx=的结构，两边取对数，可得xlnylnx=，即lnyxlnx=，两边取指数，得eelnyxlnx=，即exlnxy=，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，(0)xyxx=的最小值为（）A.1

B.eC.1ee−D.ee−7.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,TT．开始记录时，这

两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,TT满足的关系式为（）A.125125122TT−+=B.125125122TT+=C.22125125122loglogTT−+=D.22125125122loglogTT+=8.在矩形ABCD中，ADa=，ABb

=，ba．将ACD沿着AC翻折，使D点在平面ABC上投影E恰好在直线𝐴𝐵上，则此时二面角BACD−−的余弦值为（）A22abB.abC.abbD.2abb+二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求.9.设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22(xfxxbb=++为常数），则下列说法正确的是（）A.()3fb=−B.()313f−=C.()fx在()0－，上是单调减函数D.函数()fx仅有一个零点的.1

0.已知e是自然对数的底数，e2.71828，函数()1()exfxab=+的图象经过原点，且无限接近直线ey=又不与该直线相交，则（）A.ea=B.()fx的值域为)0,eC.()fx在区间()0,+上单调递减D.()1ln3ln3ff=

11.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点,EF分别为棱,ABAD的中点，()11101BGBC=，则（）A.无论取何值，三棱锥CEFG−的体积始终为1B.若24=，则122EGBD=+C.点1D到平面EFG距离为153D.若异面直线EF与AG所成的角的余

弦值为1122．则710=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()(0)2xbfxabb=−−为奇函数，则ab+=__________13.已知等差数列na的前n项和为nS，若82212aa+=，则11S=______.14.

设10xy−+=，求222261034430229dxyxyxyxy=++−+++−−+的最小值是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.研究在室温下

泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是1℃，室温是0℃，那么mint后茶水的温度(单位：)℃，可由公式()()010ktte−=+−求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模

兴趣小组在25℃室温下进的行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从0t=开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：()mint012345()℃85.0079.1974.7571.1968.1965.00（1）请你利用表中的一组数据5

t=，65.00=求k的值，并求出此时()t的解析式(计算结果四舍五入精确到0.01)；（2）在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长

时间?(计算结果四舍五入精确到1分钟)．参考数据：ln31.0986，ln20.693，e是自然对数的底数，e2.7182816.已知数列na的前n项和为nS，且213,1nnaSan==+−.（1）求na的通

项公式；（2）若122311,nnnnnbTbbbbbba+==+++，求nT.17三棱台111ABCABC−中，1112,,ABABABBCACBB=⊥⊥，平面11AABB⊥平面ABC，13,2,1,2ABBCBBAEEB====，1AC与1AC交于D．

（1）证明：DE∥平面11ABC；（2）求异面直线11AC与DE的距离．18.已知直线1:0lmxym−+=，()2:10lxmymm+−+=，()()3:110lmxym+−++=，记12llC=，23llB=，31llA=．.（1）当2

m=时，求原点关于直线1l的对称点坐标；（2）求证：不论m为何值，ABCV总有一个顶点为定点；（3）求ABCV面积的取值范围.(可直接利用对勾函数的单调性)19.已知函数()()ln1eaxfxbx=+−是偶函数，e是自然对数的底数，e2.71828（1）求2221aba+−+的最小

值;（2）当1b=时，（i）令()()()11gxfxfx=−++，11x−，，求()gx的值域;（ii）记121...niniaaaa==+++，已知12ix−，()1,2,...,1000i=，且100011000iix==，当()

10001iifx=取最大值时，求222121000...xxx+++的值．2025届广东省省内两校十月第一次模拟2024.10命题人：客路中学龙门中学教研组注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应

题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.4.诚信考试，拒绝舞弊.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有

一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|232}2xAx=，{|2}Byy=，则AB=（）A.()21−，B.()12−，C.D.()25−，【答案】D【解析】【分析】先根据指数函数单调性计算集合A,绝对值不等式化简得出集合B,再根据并集定义计算即得.【详解】集合1

{|232}{|15},{|2}{|22}2xAxxxByyyy==−==−，则()2,5AB=−，故选:D．2.命题“(),1x−，3210xx+−”的否定是（）A.[1,]x+，3210xx+−≥B.(),1x−，3210xx+−≥C

[1,]x+，3210xx+−≥D.(),1x−，3210xx+−≥【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：.命题“(),1x−，3210xx+−”的

否定是“(),1x−，3210xx+−≥”.故选：D.3.已知直线l过点(),3m和()3,2，且在x轴上的截距是1，则实数m等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】求得直线l的方程，代入点(,3)m的坐标，可求m的值.【详解】因为直线l在x轴上的截距是1，所以

过点(1,0)，又直线l过点(3,2)，所以直线l的斜率为20131k−==−，所以直线l的方程为：01(1)yx−=−，即直线方程为10xy−−=，又直线l过点(,3)m，所以310m−−=，解得4m=．故选：D.4.函数()()1lg1fxxx=+−

零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】数形结合思想，分别作出lg(1)yx=+和1yx=的图象即可求解.【详解】解：由{𝑥+1>0𝑥≠0，得函数()()1lg1fxxx=

+−的定义域为()()100−+，，，函数()()1lg1fxxx=+−零点的个数零点个数，即函数lg(1)yx=+的图象和函数1yx=的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数lg(1)yx=+的图象和函数1yx=的图象的交点个

数为2．故选:C．5.如图，三棱锥OABC−中，OAa=，OBb=，OCc=，点M为BC中点，点N满足2ONNA=，则MN=（）A.112233abc−−B.112233abc−+C.211322abc−−D.121232abc−−+rrr【答案】C【解析】【分析】根

据空间向量的线性运算即可求解.【详解】()1221121123322322MNMOONOBOCOAOAOBOCabc=+=−++=−−=−−.故选：C.6.函数结构是值得关注的对象.为了研究(0)xyxx=的结构，两边取对数，可得xlnylnx

=，即lnyxlnx=，两边取指数，得eelnyxlnx=，即exlnxy=，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，(0)xyxx=的最小值为（）A.1B.eC.1ee−D.ee−【答案】C【解析】【分析】对(0)xyxx=

，两边取对数，得lnyxlnx=，令𝑔(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥(𝑥>0)，分析单调性，可求得最小值.【详解】因为(0)xyxx=，两边取对数，可得xlnylnx=，即lnyxlnx=，令𝑔(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥

(𝑥>0)，则()'1gxlnx=+()ln1gxx=+，当10,ex时，()10gxlnx+=，()gx为减函数，当1,ex+时，𝑔′(𝑥)=ln𝑥+1>0，(

)gx增函数，∴()11eemingxg==−，∴lny1e−，𝑦>e−1e，y的最小值为1ee−，故选：C.【点睛】7.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射

性物质，其半衰期分别为12,TT．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,TT满足的关系式为（）A.125125122TT−+=B.125125122TT+=

C.22125125122loglogTT−+=D.22125125122loglogTT+=【答案】B【解析】【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：

15121()2T，乙的质量为：25121()2T，为由题意可得21151251251221111()()()2422TTT+==，所以125125122TT+=．故选：B．8.在矩形ABCD中，ADa=，ABb=，ba．将ACD沿着AC翻折，使D点在平面ABC上的投影E恰好在直

线𝐴𝐵上，则此时二面角BACD−−的余弦值为（）A.22abB.abC.abbD.2abb+【答案】A【解析】【分析】如图所示，作DGAC⊥于G，BHAC⊥于H，求得·GDHB，·GDHB，利用向量的夹角公式可求二面角BAC

D−−的余弦值.【详解】如图所示，作DGAC⊥于G，BHAC⊥于H.在RtADC中，22ACab=+，22cosADaDACACab==+，在RtADG中，22222cosaaAGADDACaabab===++，222222222()aabDGADAGaabab=−=−=++，同理可得2

2cosBCaBCAACab==+，222aCHab=+，22abDGab=+，因为·()?··0ADBCAEEDBCAEBCEDBC=+=+=，所以·()?()?···GDHBGAADHCCBGAHCGACBADHCADCB=++=+++22224222222222222220aaaa

aaaaaababababababab=−+++=+++++++，又因为22222222·abababGDHBababab==+++，所以422222222·cos,·aGDHBaabGDHBabbGDHBab+=

==+.因为GD与HB的夹角即为二面角BACD−−的大小，所以二面角BACD−−的余弦值为22ab.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22(xf

xxbb=++为常数），则下列说法正确的是（）A.()3fb=−B.()313f−=C.()fx在()0－，上是单调减函数D.函数()fx仅有一个零点【答案】AD【解析】【分析】根据()00f=，求得1b=−，得到()221xfxx=

+−，求得()1f−的值，可得判定A正确；结合由()()33ff−=−，可得判定B不正确；结合2xy=和21yx=−都是增函数，及()fx为在R上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合()00f=和函数的单调性，得到()fx

仅有一个零点，可得判定D正确.【详解】对于A中，因为()fx为定义在R上的奇函数，且当0x时，()22xfxxb=++，可得()0020=+=fb，解得1b=−，所以()221xfxx=+−，则()()111(221)3ff−=−=−+−=−，所以A正确；对于B中，由()()

333(2231)13ff−=−=−+−=−，所以B不正确；对于C中，当0x时，()221xfxx=+−，因为函数2xy=和21yx=−都是增函数，所以()fx在(0,)+是单调递增函数，又因为()fx为在R上的奇函数，所以()fx在(,0)

−也是递增函数，所以C不正确；对于D中，由()00f=，且()fx(,0)−和(0,)+是单调递增函数，所以函数()fx为定义在R上仅有一个零点，所以D正确.故选：AD.10.已知e是自然对数的底数，e2

.71828，函数()1()exfxab=+的图象经过原点，且无限接近直线ey=又不与该直线相交，则（）A.ea=B.()fx的值域为)0,eC.()fx在区间()0,+上单调递减D.()1ln3ln3ff=【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据函数过原点和

无限接近直线ey=可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数的为偶函数可判断.【详解】对于A，因为函数()1()exfxab=+的图

象经过原点，所以0ab+=，解得=−ba，则()1()exfxaa=−．又因为函数()fx无限接近直线ey=但又不与该直线相交，所以ea−=，则ae=−，故A错误．对于B，则()1e()eexfx=−+因为()()11e()ee()eeexxfxfx−−=−+=−+=，()fx为偶函数．当0x时

，())1ee0,eexfx=−+，所以函数()fx的值域为)0,e，故B正确；对于C，当0x时，()1e()eexfx=−+，因为函数1()exy=为减函数，则函数()1e()eexfx=−+在区间()0,+上单调

递增，故C错误；对于D，因为1lnln33=−，根据函数为偶函数可得()1ln3ln3ff=，故D正确.故选:BD．11.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点,EF分别为棱,ABAD的中点，()11101BGBC

=，则（）A.无论取何值，三棱锥CEFG−的体积始终为1B若24=，则122EGBD=+C.点1D到平面EFG的距离为153D.若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为1122．则710=【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可

求解；对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；对于C，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面EFG的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解；对于D，由B选项建

立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线EF与AG的方向向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；【详解】对于A，因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点,EF分别为棱,ABAD的

中点,所以1113221121212222EFCS=−++=,在正方体1111ABCDABCD−中，1CC⊥平面ABCD，由等体积法知，V三棱锥CEFG−=V三棱锥GEFC−=

111321332EFCSCC==，.所以无论取何值，三棱锥CEFG−的体积始终为1，故A正确；对于B,由题意可知，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，所以()2

,2,0B，()12,2,2B，()2,1,0E，()10,2,2C，()10,0,2D,由24=，得11124BGBC=，设(),2,2Gx，则所以()()1112,0,0,2,0,0BGxBC=−=−，所以()()22,0,02,0,04x−=−，所以()2224x−=

−，解得222x=−，所以22,2,22G−，所以()12,1,2,2,2,22EGBD=−=−−，所以()()1221222222EGBD=−−+−+=+，故B正确；对

于C，由B选项建立的空间直角坐标系知，()2,1,0E，()1,0,0F，()10,0,2D，设(),2,2Gx，则()()1112,0,0,2,0,0BGxBC=−=−，()11101BGBC=，所以()()2,0,02,0,0x−=−，所以()2

2x−=−，解得22x=−，所以()22,2,2G−，所以()()()11,1,0,12,2,2,1,0,2,EFFGDF=−−=−=−，设平面EFG的法向量为(),,nxyz=，则00nEFnFG=

=,即()012220xyxyz−−=−++=，令1,x=则121,2yz−−=−=，所以1221,1,n−−=−，所以点1D到平面EFG的距离为12221222DFndn+==++，由于无法确定，所以点1D到平面EFG的距

离无法确定，故C错误；对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知，()2,1,0E，()1,0,0F，()2,0,0A,()2,2,0B，()12,2,2B，()10,2,2C,设(),2,2Gx，则()()1112,0

,0,2,0,0BGxBC=−=−，111BGBC=，所以()()2,0,02,0,0x−=−，所以()22x−=−，解得22x=−，所以()22,2,2G−，所以()()1,1,0,2,2

,2EFAG=−−=−，因为异面直线EF与AG所成的角的余弦值为1122，则11cos,22EFAGEFAGEFAG==，即2221122248−=+，解得23=或107=（舍），故D错误.故选：AB.三、填空题：

本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()(0)2xbfxabb=−−为奇函数，则ab+=__________【答案】12##0.5【解析】【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出1b=,再应用奇函数的定义计算求出12a=−,计算即可求

值.【详解】由于函数的定义域满足220logxbxb−，故定义域为2logxxb，根据奇函数的定义域关于原点对称可知2log01bb==，∴()121xfxa=−−，()122112xxxfxaa−−=−=−−−，∴()()

121021021122xxxfxfxaaaa−+=−+−=+==−−−，故ab+=12，故答案为：12．13.已知等差数列na的前n项和为nS，若82212aa+=，则11S=______.【答案】44【解析】【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出6a，再利用前n项和公式和性质

求出11S.【详解】设公差为d，有()()112712adad+++=，可得()13512ad+=，有64a=，()1111161111114442aaSa+====.故答案为：44【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．14.设10xy−+=，求2222

61034430229dxyxyxyxy=++−+++−−+的最小值是___________.【答案】293【解析】【分析】由配方化简可得d可看作点()3,5A−和()2,15B到直线10xy−+=上的点(),xy的距离之和，作()3,5A

−关于直线10xy−+=对称的点()4,2A−，连接AB，计算可得所求最小值AB.【详解】解：222261034430229dxyxyxyxy=++−+++−−+2222(3)(5)(2)(15)xyxy=+

+−+−+−，即d可看作点()3,5A−和()2,15B到直线10xy−+=上的点(),xy的距离之和，作()3,5A−关于直线10xy−+=对称的点()00,Axy，由题意得0000351022513xyyx−+−+=−=−+，解得004,2xy==

−故()4,2A−，则22min(42)(215)293dAB==−+−−=.故答案为：293.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.研究在室温下泡制好的茶水

要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是1℃，室温是0℃，那么mint后茶水的温度(单位：)℃，可由公式()()010

ktte−=+−求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从0t=开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：()

mint012345()℃85.0079.1974.7571.1968.1965.00（1）请你利用表中的一组数据5t=，65.00=求k的值，并求出此时()t的解析式(计算结果四舍五入精确到0.01)；（2）在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水

泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间?(计算结果四舍五入精确到1分钟)．参考数据：ln31.0986，ln20.693，e是自然对数底数，e2.71828【答案】（1）0.08k，()0.082560e

tt−=+；（2）要等待约9分钟【解析】【分析】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数k及对应的函数关系.（2）由（1）中关系式，求出()55t=时的t值.【小问1详解】依题意，010()ekt−=+−，且当

1085C,25C==，5mint=时，65C=，则56525(8525)ek−=+−，52e3k−=，解得121ln(ln2ln3)0.08535k=−=−−，所以0.08()2560ett−=+.【小问2详解】由（1）知，0.08()2560ett−=+，当()55t

=时，0.08552560et−=+，即0.081e2t−=，整理得10.08lnln22t−==−，解得ln20.69390.080.08t−==−，王大爷要等待约9分钟.16.已知数列na的前n项和为nS，且213,1nnaSan=

=+−.（1）求na的通项公式；（2）若122311,nnnnnbTbbbbbba+==+++，求nT.【答案】（1）21nan=+（2）()323nnTn=+【解析】【分析】（1）利用公式12,nnnnaSS−=−，即可求数列的通项公式；（2）根据（1）

的结果可知1112123nnbbnn+=++，再利用裂项相消法求和.【小问1详解】因为21nnSan=+−，的.所以当2n时，211(1)1nnSan−−=+−−，两式相减得：121nnnaaan−=−

+−，即121nan−=−，所以21nan=+，且13a=符合，所以na的通项公式为21nan=+.【小问2详解】由（1）可知1121nnban==+，所以111111212322123nnbbnnnn+==−++++，所以12231nnnTbbbbbb+

=+++111111111...23557792123nn=−+−+−++−++()1112323323nnn=−=++.17.三棱台111ABCABC−中，1112,,ABABABBCACBB=⊥⊥，平面11AABB⊥平面

ABC，13,2,1,2ABBCBBAEEB====，1AC与1AC交于D．（1）证明：DE∥平面11ABC；（2）求异面直线11AC与DE的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2211【解析】【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得1112ACADACCD==，进而证得1//DEB

C，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得1BCBB⊥、1BB⊥AB，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解.【小问1详解】三棱台111ABCABC−中，112ABAB=，则112ACAC=，有11ACD

ACD，得1112ACADACCD==，所以12ADCD=，又2AEEB=，所以在平面1ABC内，1ADAECDEB=，有1//DEBC，DE平面111,ABCBC平面11ABC，所以//DE平面11ABC．【小问2详解】已知平面11AA

BB⊥平面ABC，平面11AABBÇ平面ABCAB=，ABBC⊥，BC平面ABC，所以⊥BC平面11AABB，由1BB平面11AABB，得1BCBB⊥，又1,,ACBBBCACCBC⊥=I平面ABC，A

C平面ABC，所以1BB⊥平面ABC，由AB平面ABC，得1BB⊥AB.以B为坐标原点1,,BABCBB的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．则有1113(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,2,0

),,0,12BECCA，111113(0,1,1),,0,1,,1,022BCEAAC===−，因为1//DEBC，所以12222(0,1,1)0,,3333EDBC===，设向量(,,)nxy

z=，且满足：110,0nDEnAC==uuuruuuurrr，则有0302yzxy+=−+=，令2(2,3,3)xn==−r，11,0,12EA=在(2,3,3)n=−r的投影数量为1222||1122nEAn−==−

uuurrr，异面直线11AC与DE的距离2211.18.已知直线1:0lmxym−+=，()2:10lxmymm+−+=，()()3:110lmxym+−++=，记12llC=，23llB=，31l

lA=．（1）当2m=时，求原点关于直线1l的对称点坐标；（2）求证：不论m为何值，ABCV总有一个顶点为定点；（3）求ABCV面积的取值范围.(可直接利用对勾函数的单调性)【答案】（1）8455−，；（2）证明见解析；（3）1344，【解析】【分析】()

1当2m=时，直线1l的方程为：220xy−+=，设原点关于直线1l的对称点为()00,xy，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；()2由题意可知1l，3l恒过点()10−，，即可证明．()3由题可得1l与2l垂直，得到角C为直角，故1·2SACBC=，然后利用点到直线的距离公式得到AC，BC

，再结合对勾函数的性质求解即可．【详解】解：()1当2m=时，直线1l的方程为：220xy−+=，且斜率12k=，设原点关于直线1l的对称点为()00,xy，则由斜率与中点坐标公式列方程得：00001222022yxxy=−−+=，解得：008545

xy=−=，故所求点的坐标为8455−，；()2直线1:0lmxym−+=，即()10mxy+−=恒过点()10−，，()()3:110lmxym+−++=，即()()110mxy++−=恒过点()10−，，故()1

0A−，，故ABCV总有一个顶点为定点()10−，；()3由条件可得1l与2l垂直，故角C为直角，1·2SACBC=，BC等于点B到1l的距离，由23ll，的方程联立可得()0,1Bm+，221111mmBCmm−−+==++，AC等于点()10A−，到直线2l距离，2211mmACm++

=+，三角形面积22111111212mmSmmm++==+++，当0m时，有11mm+有最大值12；当0m时，11mm+有最小值12−，1m=时，S取最大值34，1m=−时S取最小值14，故ABCV

面积的取值范围1344，．19.已知函数()()ln1eaxfxbx=+−是偶函数，e是自然对数的底数，e2.71828（1）求2221aba+−+的最小值;（2）当1b=时，（i）令()()()11gxfxfx=−++，11x−

，，求()gx的值域;（ii）记121...niniaaaa==+++，已知12ix−，()1,2,...,1000i=，且100011000iix==，当()10001iifx=取最大值时，求222121000...xxx+++的值．【答案

】（1）55（2）（i）()()242lne12,ln2e12+−+−；（ii）2998【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，得到2ab=，再代入所求式子，表示为b的二次函数求最值；（2）（ⅰ）由条件可知，1,2ba==，求函数()gxd的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的

值域；（ⅱ）利用反证法进行证明.【小问1详解】函数()()ln1eaxfxbx=+−的定义域为R，根据偶函数的定义：Rx，𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，即()()ln1eln1eaxaxbxbx−++=+−，即：()()2l

n1eln1eaxaxbxax−=+−+=上式对任意Rx恒成立，这等价于2ba=．222222211214415415555ababbbbbb+−+=+−+=−+=−+，等号成立当且仅当25b=，45a=．所以2221aba+−+的最小值为55．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可得：

2a=，由于()()()11gxfxfx=−++，11x−，为偶函数，故只需考虑01x，时，()gx的值域，()()()()()()()()()212111ln1e1ln1e1xxgxfxfxxx−+=−++

=+−−++−+，()()()()()()212121214ln1e1e2ln1eee2xxxx−++−=++−=+++−，()4222ln1eeee2xx−=+++−令()22ee,

0,1xxxx−=+，()()222ee0xxx−=−，01x，，∴()22eexxx−=+，01x，单调递增，∴()()()11gxfxfx=−++在01，上单调递增，()gx的值域为()()01gg

，，()()()4220lne2e122lne12g=++−=+−，()()41ln2e12g=+−．故()gx的值域为()()242lne12ln2e12+−+−，．（ⅱ）对于常数c，令()()()gxfcxfcx=−++，()gx为偶函数．下面先证明一个结论：()gx

在[)0，+?上单调递增．证明：()()()()()()()()()()()2222ln1eln1eln1e1e2cxcxcxcxgxcxcxc−+−+=+−−++−+=++−()4222ln1eeee2ccxxc−=+++−

．由(2)可得：22eexxy−=+为偶函数，在[)0，+?上单调递增，∴()gx在[)0，+?上单调递增，证毕．对于12ix−，()1210i=，，，，且100011000iix==，先证明：当()10001iifx=取最大值时，1x，2x，L

，1000x中最多只有一个()12ix−，，其余的数要么等于1−，要么等于2．用反证法，假如当()10001iifx=取最大值时，1x，2x，L，1000x中存在两个数ix，()12jx−，，不妨设ijxx，记0min21jitxx=−+，，则00t，且02jxt+

，01ixt−−．记2ijxxc+=，则022jijixxxxt−−+，根据()()()gxfcxfcx=−++的单调性可知()()002222jijijijiijxxxxxxxxfxfxfcfcfctfct

−−−−+=−++−++++，在()10001iifx=中，将ix，jx分别替换成02jixxct−−+，02jixxct−++，其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与()10

001iifx=取最大值相矛盾!∴：1x，2x，L，1000x中最多只有一个()12ix−，．1x①，2x，L，1000x中没有数字在区间()12−，时，1x，2x，L，1000x中的每一个数，要么等于1−，要么等于2，记1x，2x，L，1000x中等于2的元素个数为k，()210001

000kk−−=，20003k=，这与k为整数矛盾!1x②，2x，L，1000x中只有一个数字在区间()12−，时，不妨记为0x，记等于2的数字个数为k，则等于1−的数字个数为999k−，则()02999100

0xkk+−−=．即：031999xk+=，由于()012x−，，199732000k，又∵*Nk，∴666k=，01x=，∴这1000个数为1,1,1,...,1,1,2,2,2,...,2−−−−，其中

有333个1−，666个2．222121000466613342998xxx+++=+=．【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到2ab=，关键2是判断函数()gx的单调性，关键3的利用反证法证明1x，2x，L，1000x

中最多只有一个()12ix−，.