【文档说明】湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(22)页，1.214 MB，由小赞的店铺上传

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武汉六中高一年级第二次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合4Z,1Pxyyx==+N，14Qxx=−，则PQ=（）A.1

,2,4B.0,1,3C.03xxD.14xx−【答案】B【解析】【分析】根据集合P，知11x+=或2或4，从而得0,1,3P=，再结合集合的交集运算性质运算即可.【详解】由4

,1Pxyyx==+N，得11x+=或2或4，故0,1,3P=.因为14Qxx=−，所以PQ=0,1,3.故选：B.2.已知0abc，则下列结论正确的是（）A.11abab++B.babaab++C.cb

acab−−D.bcbaca−−【答案】B【解析】【详解】直接由作差法逐一判断即可.【分析】对于A：()()()()11111ababbaababababababab−−−+−−=−+=−−=，因为0ab，则0ab，0ab−>，所以，当1ab

时，11abab++，当1ab时，11abab++，当1ab=时，11abab+=+，A错误；对于B：因为0ab，则0ba−<，0ab，0abab++，则()()()220baababbabababaababab−++−+−−=−+=，所以babaa

b++，B正确；对于C，因为0abc，则0cb−，0ac−，0ab−>，由题意()()()()()()()0cabbacacbcbacabacabacab−−−−−==−−−−−−，即cbaca

b−−，故C错误；对于D，由题意()()()()()0abcbaccbabcbacaaacaac−−−−−−==−−−，即bcbaca−−，故D错误.故选：B.3.下列函数的最值中错误．．的是（）A.1xx+的最

小值为2B.已知0x，423xx−−的最大值是243−C.已知1x，11xx+−的最小值为3D.()10xx−的最大值5【答案】A【解析】【分析】举例1x=−，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D.【详解】当1x=−时，12xx+=−，故命题错误，A符合

题意；当0x时，444232(3)223243xxxxxx−−=−+−=−，当且仅当43xx=，即233x=时取等号，命题正确，B不符合题意；当1x时，10x−，则()111112113111xxxxxx+=−++−+=−−

−，当且仅当111xx−=−，即2x=时取等号，故命题正确，C不符合题意；由题意，010x，则()()101052xxxx+−−=，当且仅当10xx=−，即5x=时取等号，故命题正确，D不符合题意.

故选：A4.已知关于x的不等式20axbxc++的解集是13xx，则下列说法错误的是（）A.0aB.0abc++=C.420abc++D.不等式20cxbxa−+的解集是113xxx−−

或【答案】C【解析】【分析】根据给定的解集可得0a且4,3baca=−=，再代入各个选项即可判断正误.【详解】因为关于x的不等式20axbxc++的解集是13xx，则0a，且1，3是方程20axbx

c++=的两个根，于是得1313baca+=−=，解得4,3baca=−=，对于A，由0a，故A正确；对于B，430abcaaa++=−+=，故B正确；对于C，424830abcaaa

a++=−+=−，故C错误；对于D，不等式20cxbxa−+化为2340axaxa++，即23410xx++，解得1x−或13x−，故D正确.故选：C.5.已知函数f(x)＝221,143,1xxxxx−+−+，在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围

是（）A.[6，8]B.[6，7]C.(5，8]D.(5，7]【答案】D【解析】【分析】画出函数()fx的大致图象，根据()fx在(0,5)a−上单调递减，得到5a−的范围，从而求出a的取值范围.【详解】函数221,1()43

,1xxfxxxx−+=−+，画出函数()fx的大致图象，如图所示：函数()fx在(0,5)a−上单调递减，由图象可知：052a−，解得：57a，故实数a的取值范围是：(5,7].故选：D.6.已知函数()

()4fxxx=+，且()()2230fafa+−，则实数a的取值范围是（）A.()3,0−B.()3,1−C.()1,1−D.()1,3−【答案】B【解析】【分析】分析可知()fx为奇函数，且在R内单调

递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因为()fx的定义域为R，且()()()()()44fxxxxxfx−=−−+=−+=−，可知函数()fx为奇函数，当0x，则()()244fxxxxx=+=+，且24yxx=+的开口向上，对称轴为2x=−，可知()fx在)0,+内

单调递增，由奇函数性质可知()fx在(,0−内单调递增，所以()fx在R内单调递增，若()()2230fafa+−，则()()()22332fafafa−−=−，可得232aa−，即2230aa+−，解得31a−，所以实数a的取值范围是()3,1−.故选：B.7.如图，RtAB

C△中，90C=，5cmAB=，4cmAC=，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC→向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿ABC→→向点C运动，直到它们都到达点C为止．若APQ△的面积为2(cm)S，点P的运动时间为(s)t，则S与t的函数图象是

（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理可得223cmBCABAC=−=，然后分两段：当点Q在AB边上时，502t，当点Q在BC边上时，542t，分别求出函数关系式，即可求解．【详解】∵90C

=，5cmAB=，4cmAC=，∴223cmBCABAC=−=，根据题意得：点Q到达点B的时间是5s2，到达点C的时间为534s2+=，点P到达点C的时间为4s，当点Q在AB边上时（不含端点），50

2t，2,AQtAPt==，如图，过点Q作QDAC⊥于点D，则//DQBC，∴ADQACB∽△△，∴DQADAQBCACAB==，∴2345DQADt==，解得：65DQt=，85ADt=，∴211632255SPADQttt=

==，当点Q在BC边上时，542t，25BQt=−，APt=，如图，∴82CQt=−，4PCt=−，∴()()()2111148282442222SACCQCQPCttttt=−=−−−−=−+，即24Stt=−+,综上所述

，S与t的函数关系式为22350525442ttSttt=−+，∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分．故选：C8.已知函数()fx为定义在R上的偶

函数，()12,0,xx+，12xx，()()1221212xfxxfxxx−−，且()12f=-，()00f=，则不等式()2fx−的解集为（）A.1,1−B.()()1,00,1−UC.()()1,01,−+D

.()1,1−【答案】D【解析】【分析】由已知，可得()()212122fxfxxx++，设()()()2,0fxgxxx+=，则函数()gx在()0,+上单调递减，则不等式()2fx−即()()1gxg，则01x，又函数()fx为定义在R上的偶函数，则得到不等式()2fx−的

解集.【详解】由题意，()12,0,xx+，12xx，则210xx−，由()()1221212xfxxfxxx−−，得()()12212120xfxxfxxx−−−，即()()21122121220fxfxxxxxxx++−−，因为210xx−，120x

x，得()()2121220fxfxxx++−，即()()212122fxfxxx++，设()()()2,0fxgxxx+=，则函数()gx在()0,+上单调递减，又()12f=-，则()()12101fg+==，则不等式()

2fx−，即()20fx+，则()()1gxg，所以01x，又函数()fx为定义在R上的偶函数，所以当0x时，10x−，又()00f=，所以不等式()2fx−的解集为()1,1−.故选：D.【点睛】关键点点睛：由()()212122fxfxxx+

+，可构造函数()()()2,0fxgxxx+=，可得()gx在()0,+上单调递减，可利用单调性解出不等式.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.若2:60pxx+−=是:10qax+=的必要不充分条件，则实数a的值可以为（）A.2B.12−C.13D.0【答案】BCD【解析】【分析】依题意，{|10}xax+=是{3,2}−的真

子集，则{|10}xax+=可以是，{3}−或{2}，解之即得.【详解】由260xx+−=可解得：3x=−或2x=，依题意，{|10}xax+=是{3,2}−的真子集，则{|10}xax+=可以是，{3}−

或{2}.当{|10}xax+==时，易得0a=；当{|10}{3}xax+==−，可得13a=；当{|10}{2}xax+==，可得12a=−.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若幂函数的图象经过点14,2

，则函数的解析式为12yx−=B.若函数2()fxx−=，则()fx在区间(,0)−上单调递减C.若正实数m，n满足1122mn，则1122mn−−D.若函数1()fxx−=，则对任意1x，2(,0)x−，且12xx，有()()122fxfx+1

22xxf+【答案】ACD【解析】【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数1,yxyx==的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D.【详解】解：对于选项A，设幂函数为yx=，代入点14,2，

即211422−==，解得12=−，所以幂函数的解析式为12yx−=，故A正确；对于选项B，函数2()fxx−=是偶函数且在区间(0,)+上单调递减，所以函数()fx在区间(,0)−上单调递增，故B错误；对于选项

C，因为函数yx=在)0,+上单调递增，0m，0n满足1122mn，所以mn，因为函数1yx=在(0,+∞)上单调递减，则1122mn−−，故C正确；对于选项D，由于1()fxx−=，()12,,0xx−,\则()111fxx=，()221fxx=，1212

22xxfxx+=+，所以()()1212121212121211222222fxfxxxxxxxfxxxxxx++++−=−=−++()()()222121122121212121224022xxxxxxxxxxxxxxxx−++−==++，

所以()()121222fxfxxxf++，故D正确.故选：ACD．11.定义域为R的奇函数()fx，满足22,2()2322,02xfxxxxx=−−+，下列叙述正确的是（）A.存在实数k，使

关于x的方程()fxk=有3个不同的解B.当1211xx−时，恒有()()12fxfxC.若当(0,]xa时，()fx的最小值为1，则51,2aD.若关于x的方程3()2fx=和()fxm=的所有实数根之和为0，则32m=−或38m=−

【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数，可得()fx在对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案.【详解】对于A，因为()fx是奇函数，所以𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，当2x−，则2x−，所以()()223fxfxx−==−−−，所

以()223fxx=+，当20x−，则02x−，所以()()222fxxxfx−=++=−，所以()222fxxx=−−−，如下图，画出()yfx=的大致图象，结合图象，当21k−−或12k时，函

数()yfx=与函数yk=的图象有3个交点.当1k=，函数()yfx=与函数yk=的图象有2个交点，当2k=，或11k−，函数()yfx=与函数yk=的图象有1个交点，故A正确；对于B，如图，当1211xx−时，函数不是减函数，故B错

误；对于C，由2123=−x解得52x=，由2221xx−+=解得1x=，如图所示，直线1y=与函数图象相交于5(1,1),,12，故当()fx的最小值为1时，51,2a，故C正确；对于D，若3()2fx=时，由23

232=−x解得1136x=，由23222xx−+=解得2212x=+，2212x=−，所以123132225116226++=+++−=xxx，若使3()2fx=与()fxm=所有实根之和为0，则当2x−时，由23258236=−−+，得38

m=−，则当20x−时，由抛物线对称性可得()222fxxx=−−−与ym=两个交点横坐标之和为1−，所以ym=与()223fxx=+的交点的横坐标为196−，此时23195236==−−+m，综上所述，32

m=−或38m=−，故D正确.的故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键点在于利用奇偶性得到()fx的解析式，并画出图象，而方程有解的问题就转化成两个函数的交点问题，通过数形结合逐个判断.三、填空题（本题共3小题，

每小题5分，共15分）12.已知不等式191axx+−对任意(0,1)x恒成立，则正实数a的取值范围是_______.【答案】[4,)+【解析】【分析】根据给定不等式分离参数，再利用基本不等式求出最大值即

可.【详解】依题意，对任意(0,1)x，不等式1199(1)1axaxxxx−+−−−恒成立，当(0,1)x时，1119(1)10(9)10294xxxxxxx−−−=−+−=，当且仅当13x=

时取等号，因此4a，所以正实数a的取值范围是[4,)+.故答案为：[4,)+13.若函数()21fx−的定义域为3,1−，则()341fxyx−=−的定义域为______．【答案】51,2【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法及分

式的分母不为0求解.【详解】因为函数()21fx−的定义域为3,1−，所以7211x−−，所以要使函数()341fxyx−=−有意义，则734110xx−−−，即15221xx，解得

512x，所以函数的定义域为51,2.故答案为：51,2.14.设函数()fx的定义域为R，满足1(1)()2fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−−.若对任意[,)xm+，都有8()9fx，则m的取值范围是___________.【

答案】43m−【解析】【分析】求得()fx在区间((1,0,2,1−−−上的解析式，画出()fx的图象，结合图象列不等式，由此求得m的取值范围.【详解】(1,0x−时，(10,1x+，而(0,1x时，()()1,fxxx=−−所以

()()()()11111fxxxxx+=−++−=−+，又()()21fxfx+=，所以当(1,0x−时，()()()2121fxfxxx=+=−+，当(2,1x−−时，()()()()

()()2122111412fxfxxxxx=+=−+++=−++，作出示意图如下图所示：要使()89fx，则需1xx，结合上图，由()()84129xx−++=，解得143x=−，所以43m

−.【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的1(1)()2fxfx+=，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知实

数集R，集合2{2150}Axxx=−−，集合{1}Bxxa=−（1）当1a=时，求()RABð；（2）设RBA=Ið，求实数a的取值范围.【答案】（1）|30xx−或25x（2）(,4]−【解析】【分析】（1）先解出集合A，将1a=代入解出集合B，然后根据集合的运算计算即可

；（2）根据RBA=Ið，即可得出BA，分B=和B两种情况讨论即可求解.【小问1详解】根据已知有：|35Axx=−，当1a=时，{11}Bxx=−，解得：{02}Bxx=，R|0Bxx=ð或2x，所以(){|30RAC

Bxx=−或25x.【小问2详解】因为RBA=Ið，所以BA，当B=时，有0a，符合题意；当B时，|11Bxaxa=−+，{𝑎>01−𝑎≥−31+𝑎≤5，解得04a，综上可得：a的取值范围是(

,4−.16.中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n（

*Nn）年的支出成本为()2102nn−万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额=

总盈利额年度）【答案】方案二更合理，理由见解析【解析】【分析】根据条件得到总盈利额()()210590fnn=−−+，平均盈利额为()1610100fnnnn=−++，分别利用二次函数的性质和基本不等式，求出总盈利额，并

比较需要年限，即可求解.【详解】方案二更合理，理由如下：设()fn为前n年的总盈利额，单位：万元；由题意可得()()229810216010100160fnnnnnn=−−−=−+−，方案一：总盈利额()()221010016010590fnnnn=−+−=−−+，当5n=时，()f

n取得最大值90；此时处理掉设备，则总利额为9020110+=万元方案二：平均盈利额为()2101001601616101001002020fnnnnnnnnn−+−==−++−=，当且仅当16nn=，即4n=时，等号成立；即4n=时，平均盈利额

最大，此时()80fn=，此时处理掉设备：总利润为8030110+=万元；综上，两种方案获利都是110万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适．17.已知函数()()2231,2fxxxgxxxax=+−=−−+．（1）若1a=，求()gx在2,2x−

上的值域；（2）设()()()xfxgx=−，记()x的最小值为()ha，求()ha的最小值．【答案】（1）3,92−（2）1−【解析】【分析】（1）求出()gx的分段函数，求出()gx的单调区间，求出()gx在2,2x−上的值域；（2）求出()x，分12a−、11

22a−和12a三种情况求出()ha，求出()ha的最小值.【小问1详解】()22221,121221,1xxgxxxxxxx+=−−+=+−，当)()22,1,221xgxxx−=+−，()gx在12,2−−单调递减，在1,12−单调递增，

()13,2322gg−=−−=，函数()gx在)2,1x−上值域为3,32−，当()()21,2,21,xgxxgx=+在1,2单调递增，()()13,29gg==，函数()gx在1,2x上值域为3,9，综上所述，函数()gx在2

,2x−上值域3,92−；【小问2详解】由题意可知，()221,1,xxaxaxxxaxa+−−=−+−，①当12a−时，根据二次函数性质，可知函数()x1,2−−单调递减，在1,2−+

上单调递增，函数()x的最小值为1524a−=−−；②当1122a−时，根据二次函数的性质，可知函数()x在(,a−单调递减，在(),a+上单调递增，函数()x的最小值为()21aa=−；③当12a

时，根据二次函数的性质，可知函数()x在1,2−单调递减，在1,2+上单调递增，故函数()x的最小值为1524a=−，综上所述，()251,42111,2251,42aahaaaaa−−−=−−

−+，当12a−时，函数()x的最小值为54a−−，此时()34ha−；为的在当1122a−时，函数()x的最小值为21a−，此时()1ha−；当12a时，函数()x的最小值为54a−+，此时()34ha−．综上所述，

()ha的最小值为1−．18.已知函数()fx的定义域为+R，对任意的,ab+R，都有()()()fafbfab+=．当01x时，()0fx．（1）求()1f的值，并证明：当1x时，()0fx

；（2）判断()fx的单调性，并证明你的结论；（3）若()21f=−，求不等式()2110faxxax+−++的解集.【答案】（1）()10f=，证明见解析（2）()fx在+R上单调递减，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用赋值法求得𝑓(1)，再

利用反比例函数的性质得到101x，结合赋值法即可证得结论；（2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证；（3）利用()fx的单调性可得212axxax+−+，分类讨论可求不等式的解集.【小问1详解】因为,ab+R，都有()()()fafb

fab+=，所以令1ab==，得()()()111fff+=，则𝑓(1)=0，因为01x时，()0fx，所以当1x时，101x，则1()0fx，令1,axbx==，得()()110fxffx+=

=，所以()10fxfx=−，证毕.【小问2详解】()fx在+R上单调递减，证明如下：不妨设120xx，则1201xx，12()0xfx，令122,xaxbx==，则1212()()()xfxffxx+=，所以1212()()()0xfxfxfx−=−，即12(

)()fxfx，所以()fx在+R上单调递减；【小问3详解】由()2110faxxax+−++，得()211faxxax+−+−，又()21f=−，所以()()212faxxaxf+−+，由（2）知()fx在+R上单调递减，

所以212axxax+−+，所以2(1)10axax+−−，所以(1)(1)0axx+−，当0a时，不等式为1()(1)0xxa+−，所以不等式的解集为1(,)(1,)a−−+；当0a=时，不等式为10x−，所以不等式解集为(1,)+

；当0a时，不等式为1()(1)0xxa+−，若1a=−时，则11a−=，所以不等式的解集为，若10a−时，则11a−，所以不等式的解集为1(1,)a−，若1a−时，则11a−，所以不等式的

解集为1(,1)a−，综上所述：1a−时，不等式的解集为1(,1)a−，1a=−时，不等式的解集为，10a−时，不等式的解集为1(1,)a−，当0a=时，不等式的解集为(1,)+，的0a时，不等式的解集为1(,)(1,)a−−+.【点睛】思路点睛：1，对抽象函数求函

数值的题型，主要是赋值法，2，解含参数的不等式，通常是对参数分类讨论求得不等式的解集.19.若函数G在()mxnmn上的最大值记为maxy，最小值记为miny，且满足maxmin1yy−=，则称函数G是在

mxn上的“美好函数”．（1）下列三个函数①1yx=+；②|2|yx=；③2yx=，哪个（些）是在12x上的美好函数，说明理由．（2）已知函数2:23(0)Gyaxaxaa=−−．①函数G是在12x上的“美好函数”，求a的值；②当1a=时，函数G是在

1txt+上的“美好函数”，求t的值；（3）已知函数2:23(0)Gyaxaxaa=−−，若函数G是在221mxm++（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得maxminyky=，求a的值．【答

案】（1）①，理由见解析；（2）①1a=或1a=−，②0t=或1t=；（3）164a=【解析】【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可；（2）①分0a和0a两种情况求出二次函数在给定范

围上的最值，然后利用maxmin1yy=−列方程可求出a的值；②求出二次函数的对称轴，然后分1t，112t，102t和0t四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用maxmin1yy=−列方程

可求出t的值；（3）由二次函数的性质可知当221mxm++时，y随x的增大而增大，从而可求出maxy，miny，然后由maxminyky=为整数可求出m，再由maxmin1yy=−列方程可求出a.【小问1详解】对于①1yx=+在[1,2]上单调递增当1x=时

，2y=，当2x=时，3y=，∴maxmin1yy=−，符合题意；对于②|2|yx=在[1,2]上单调递增当1x=时，2y=，当2x=时，4y=，∴maxmin1yy−，不符合题意；对于③2yx=在[1,2]上单调递增当

1x=时，1y=，当2x=时，4y=，∴maxmin1yy−，不符合题意；故①是在12x上的美好函数；【小问2详解】①二次函数2:23(0)Gyaxaxaa=−−对称轴为直线1x=，当1x=时

，14ya=−，当2x=时，23ya=−，当0a时，2:23(0)Gyaxaxaa=−−在[1,2]上单调递增，()21341yyaa−=−−−=，1a=，当0a时，2:23(0)Gyaxaxaa=−−在[1,2]

上单调递减，()21431yyaa−=−−−=，1a=−，综上所述，1a=或1a=−；②二次函数2:23(0)Gyaxaxaa=−−为223yxx=−−，对称轴为直线1x=，223yxx=−−在(1,+∞)上单调递增，在(),1−上单调递减，

当xt=，2123ytt=−−，当1xt=+时，()()22212134yttt=+−+−=−，当1x=时，34y=−．若1t，223yxx=−−在,1tt+上单调递增，则()22214231yyttt−=−−−−=，解得1t=（舍去）；若112t，223yxx=−−在

,1t上单调递减，在(1,1t+上单调递增，则()223441yyt−=−−−=，解得1t=−（舍去），1t=；若102t，223yxx=−−在,1t上单调递减，在(1,1t+上单调递增，则()()2132341yytt−=−−−−=，解得0t=，2t=（舍去

）；若0t，223yxx=−−在,1tt+上单调递减，则()22122341yyttt−=−−−−=，解得0t=（舍去）．综上所述，0t=或1t=；【小问3详解】由（2）可知，二次函数2:23(0)Gyaxaxaa=−−对称轴为

直线1x=，又221mxm++，1m，3221mxm++，当221mxm++时，2:23(0)Gyaxaxaa=−−在2,21mm++上单调递增当21xm=+时取得最大值，2xm=+时取得最小值，∴2max2min(21)2(21)34484(2)2(2

)333yamamamkyamamamm+−+−+====−+−+−++m，k为整数，且1m，38m+=，即m的值为5，又∵maxmin1yy=−，()()()()22101210135225231aaaaaa+−+−−+−+−=，164a=．【点睛】方法点睛：当二次函数对

称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值.