【文档说明】上海市宝山区2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.633 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023宝山区高三下3月区统考试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.函数sin23yx=+的最小正周期T=_________

_．【答案】【解析】【分析】根据正余弦函数的周期公式2T=即可求解.【详解】根据正余弦函数的周期公式2T=可知：函数sin23yx=+的最小正周期22T==，故答案为：.2.设i为虚数单位，若复

数12iiz+=，则z的实部与虚部的和为______．【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数z，根据实部和虚部的概念即可求得结果.【详解】因为()()()12ii12i2iiiiz+−+===−−，因此，复数z的实部与虚部之和为2(1)1+−=.故答案为：13.设向量

a、b满足||2a=，1ab=，则(2)aab+=______．【答案】9【解析】【分析】根据向量数量积的运算律即可得答案.【详解】解：因为222(2)22||2219aabaabaab+=+=+=+=rrrrrrrrr.故答案为：94.在5(12)x+的二项展开式中，3

x项的系数是______（结果用数值表示）．【答案】80【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得5(12)x+的二项展开式的通项公式为：()155C22CrrrrrrTxx+==，0,1,2,,5r=

，当3r=时，展开式中含有3x，故3x的系数为3352C80=，故答案为：80.5.若双曲线221yxm−=的离心率为2，则m的值为___．【答案】3.【解析】【详解】试题分析：依题意可得222221,,1,14,3cabmcmmma===+=+==.本题考查的双曲线的基本知识.关键是要把

所给的方程与标准方程相对应好.考点：1.双曲线的标准方程.2.双曲线的离心率.6已知事件A与事件B相互独立，如果()0.5PA=，()0.4PB=，那么()PAB=______．【答案】30.3##10【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的

概率公式计算可得答案．【详解】∵事件A与事件B相互独立，∴事件A与B相互独立，∵()0.5PA=，()0.4PB=，∴()()()()()()1()0.510.40.3PABPAPBPAPB==−=−=.故答案为：0.3.7.已知一个圆锥的底

面半径为1cm，侧面积为22πcm，则该圆锥的体积为______3cm．【答案】33π【解析】【分析】利用侧面积求母线长，然后求高即可.【详解】底面半径为1cm侧面积：π=2πrl所以2l=.所以高：

223hlr=−=；所以体积：213ππ33Vrh==.故答案为：33π8.已知0,0xy，21xy+=，则12xy+的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式乘“1”法计算最小值.【详

解】0,0xy，由基本不等式可得()1212222225259yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=当且仅当2221yxxyxy=+=，即13xy==时取等号，所以12xy+的最小值为9.故答案为：99.

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则xy+=______．【答案】8【解析】【分析】根据中位数相等可构造方程求得y，进而利用平均值相等构造方程求得x，加和即可.【详解】由茎叶图可知：甲组工人产量的中位数为65，则乙组工人产

量的中位数应为6065y+=，解得：5y=，乙组工人产量的平均值为5961656778665++++=，则甲组工人产量的平均值为5665627470665x+++++=，解得：3x=，358xy+=+=.故答案为：8.10.对于两个均不等

于1的正数m、n，定义：log,log,mnnmnmnmmn=．设a、b、c均为小于1的正数，且abc=，则()()11acbc−−+的值是______．【答案】1【解析】【分析】根据条件得出,ab与c大小关系，

进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值．【详解】由0,,1abc且abc=，得01ca，01cb，根据新定义，得1111(*)(*)loglogabacbccc−−

+=+loglog(l)log1ogccccbabca==+==．故答案为：111.若(),Pxy是圆22:1Oxy+=上的任意一点，则348348xyyx−++−+的取值范围是______．【答案】162,162−+【解析】【分

析】将问题转化为求解点(),Pxy到1:3480lxy−+=，2:3480lyx−+=的距离之和的5倍的取值范围的求解；根据O在两直线所成角的角平分线上，利用三角形三边关系可证得圆上点到两直线距离之和大于等于对应的角平分线上的点到两直线的距离之和，由此可确定最值点，结合点到直线距离公式即可求得结

果.【详解】设1:3480lxy−+=，2:3480lyx−+=，则348348348348555xyyxxyyx−+−+−++−+=+的几何意义为点(),Pxy到12,ll的距离之和的5倍，记点(),Pxy到12,ll的距

离之和的5倍为d；的由圆的方程知：圆心()0,0O，半径1r=，圆心O到直线12,ll的距离均为85，O在12,ll所成角的角平分线上，由34803480xyyx−+=−+=得：88xy==，12,ll所成角的角平分线方程为：yx=；过P分别作12,

ll的垂线，垂足为,MN，且其中一条垂线与yx=交于点Q，由对称性不妨设PN与yx=交于Q，作1QGl⊥，垂足为G，连接MQ，如下图所示，MPPQMQ+（当且仅当,,MPQ共线时取等号），又MQQG（当且仅当1MQl⊥时取等号），

MPPQQG+，又QGQN=，2MPNPMPPQQNQGQNQG+=+++=，即点P到直线12,ll的距离之和大于等于点Q到12,ll的距离之和，则当P位于图中1P点时，点P到直线12,ll的距离之和取得最小值；过2P作21PTl⊥，22PSl⊥，垂

足分别为,TS，作1//PHl，交2PT于点H，作2HDl⊥，垂足为D，如下图所示，四边形TMPH为矩形，HTMP=，又HDNP（当且仅当,HP重合于2P处取等号），HTHDMPNP++，又DHSH（当且

仅当2SHl⊥时取等号），HTSHHTHD++，又22SHPHPS+（当且仅当2,,HPS三点共线时取等号），2222PSPTPSPHHTSHHTHTHDMPNP+=+++++，则当P位于图中2P时，点P到直

线12,ll的距离之和取得最大值；由221xyyx+==得：2222xy==或2222xy=−=−，即122,22P，222,22P−−，min228251625d−==−，max2282516

25d+==+，348348xyyx−++−+的取值范围为162,162−+.故答案为：162,162−+.12.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，

以半径长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知,AB两点间的距离为2，点P为AB上的一点，则()PAPBPC+的最小值为______．【答案】1047−【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算

将所求式子表示为2322PE−，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，则()()22()PAPBPCPAPDPEEAPEED+=+=+()()()2222

PEEAPEEAPEEA=−=−+，在正三角形ABC中，2222213ADABBD=−=−=，所以32AEDE==，所以()222()3222PAPBPCPEEAPE−==+−，因为222237122CECDDE=+=+=，

所以min7222PECE=−=−，所以()PAPBPC+的最小值为：223732221047222PE−=−−=−.故答案为：1047−.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题

纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂层，选对得满分，否则一律得零分．】13.在下列条件下，能确定一个平面的是（）A.空间的任意三点B.空间的任意一条直线和任意一点C.空间的任意两条直线D.梯形的两条腰所在的直线【答案】D【解析】【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可.详

解】三点共线则不能确定一个平面，A错误；点在直线则不能确定一个平面，B错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确.故选：D1

4.已知集合12Axx=−，20Bxxpxq=++，若AB=R，且[2,1)AB=−−，则p、q的值分别为（）A.1−，6−B.1，6−C.3，2D.3−，2【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，然后利用AB=R，且)2,1AB=−−，求出集合B，又因为20

Bxxpxq=++∣，解出p和q的值即可；【详解】由12x−可得：12x−或12x−−，解得：3x或1x−，所以()(),13,A=−−+，又因为AB=R，)2,1AB=−−，所以2,3B=−，所以2,3xx=−=是方程20xpxq++=的两个根，所以有()

22220330pqpq−−+=++=，【解得1,6pq=−=−；故选：A.15.已知函数1()323xxfx=−+，若2()(2)4fafa+−，则实数a的取值范围是（）A.(,1)−B.(),2(1,)−−+C.()2,1−D.(1,2)−【

答案】B【解析】【分析】构造函数()()2gxfx=−，可证得()gx是奇函数，且在R上单调递增.2()(2)4fafa+−可化为()()220gaga+−，进而可解得结果.【详解】令1()()233xxgxfx=−=−，（xR），则()11(

)()23333xxxxgxfxgx−−−=−−=−=−=−，所以()gx是奇函数；又13,3xxyy==−都是R上增函数，所以()gx在R上单调递增.所以2()(2)4fafa+−可

化()()220gaga+−，进而有()()22gaga−，所以220aa+−，解得2a−或1a.故选：B.16.数学家们在探寻自然对数底e2.71828与圆周率π之间的联系时，发现了以下公式：（1）234e11!2!3!4!!nx

xxxxxn=+++++++；（2）357211sin(1)1!3!5!7!(21)!nnxxxxxxn−−=−+−+−+−；为（3）246221cos1(1)2!4!6!(22)!nnxxxxxn−−=−+−+−+−．上述公式中，xC，

n为正整数．据此判断以下命题中正确的个数是（）（i为虚数单位）．①iecosisinxxx=+；②iesinicosxxx=+；③iπe10+=；④iπei0+=；⑤iiee2xx−+．A.1个B.2个C.

3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据题目中的公式，结合复数乘方的运算，可得答案.【详解】由公式：234e11!2!3!4!!nxxxxxxn=+++++++，则()()()()234iiiiiie11!2!3!4!!nxxxxxxn=+++++++

，即234ie1iii1!2!3!4!!nxnxxxxxn=+−−++++，且当()*21Nnkk=−时，()1i1ikn−=−，当()*22Nnkk=−时，()1i1kn−=−，由公式357211sin(1)1!3!5!7!(21)!nnxxxxxxn−−

=−+−+−+−，则357211isiniiii(1)i1!3!5!7!(21)!nnxxxxxxn−−=−+−+−+−显然iecosisinxxx=+，故①正确，②错误；当πx=时，iπ

ecosπisinπ=+，即iπe1=−，iπe10+=，故③正确，④错误；由公式iecosisinxxx=+，则()()iecosisinxxx−=−+−，显然()()iieecosisincosisin2cos2xxxxxxx−+=++−+−=，故⑤正确.故选：C.三

、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17.锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若满足222sinsinsinsinsinBCABC+=+．（1）求A；（2）若3a=，求bc+的最大值．

【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）根据正弦定理与余项定理化简已知即可得角A的大小；（2）由正弦定理边化角，结合正弦型函数的性质，即可得bc+的最大值．【小问1详解】因为222sinsin

sinsinsinBCABC+=+，由正弦定理得：222bcabc+=+，由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc+−===，又()0,πA，所以π3A=；【小问2详解】由正弦定理得323sinsinsin32ab

cABC====，则23sin,23sinbBcC==，又πABC++=，所以2π3CB=−，则锐角ABC中，有π022ππ032BB−，所以ππ62B，所以()2π3123sinsin23sinsin23sincossin322bcBCBBBBB

+=+=+−=++3331π23sincos6sincos6sin22226BBBBB=+=+=+因为ππ62B，所以ππ2π363B+，则3πsin126B+，所以π336sin66B+

，故bc+的最大值为6.18.如图，在多面体EFGABCD−中，四边形ABCD、CFGD、ADGE均是边长为1的正方形，点H在棱EF上．（1）求该几何体的体积；（2）证明：存在点H，使得DHBF⊥；（3）求BD与平面B

EF所成角的大小（结果用反三角函数数值表示）．【答案】（1）56（2）证明见解析（3）6arcsin3【解析】【分析】（1）由题意可得多面体EFGABCD−是由棱长为1的正方体截去一个角剩余的部分，再根据正方体和棱锥的体积公式即可得解；（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，设()01EH

EF=，利用向量法求出，即可得证；（3）利用向量法求解即可.【小问1详解】由题意可得多面体EFGABCD−是由棱长为1的正方体截去一个正三棱锥剩余的部分，则115111111326EFGABCDV−=−=；【小问2详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则()()()(

)()0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1DBEFG，设()01EHEF=，则()1,0,1BF=−，()()()()0,0,11,0,01,1,01,,1DHDGGEE

H=++=++−=−，若DHBF⊥，则0DHBF=，即110−+=，解得0=，所以存在点H，使得DHBF⊥；【小问3详解】()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0BFBEDB=−=−=，设平面BEF的法向量为()

,,nxyz=，则有00nBEyznBFxy=−+==−+=，可取()1,1,1n=，则26cos,332nDBnDBnDB===，所以BD与平面BEF所成角的正弦值为63，所以BD与平面BEF所成角的大小为6arcsin3.1

9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字定义的函数称为高斯函数()[]fxx=，其中[]x表示不超过x的最大整数．已知数列na满足12a=，26a=，2156nnnaaa+++=，若51logn

nba+=，nS为数列11000nnbb+的前n项和．（1）证明：数列1nnaa+−是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）求2023S的值．【答案】（1）证明见解析，1*51(N)nnan−=+

；（2）999【解析】【分析】（1）由2156nnnaaa+++=，整理出2115()nnnnaaaa+++−=−，即可证明；再得出1nnaa+−的通项公式，用累加法即可得出na的通项公式；（2）由（1）得515logl(1)og5nna+=

+，再得出15515nnn++，即51lognnban+==，求出nS的通项公式，结合新定义，即可得出答案．【小问1详解】证明：2156nnnaaa+++=，2111555()nnnnnnaaaaaa++++−−−==，又214aa−=，1nnaa+−是以4为首项，公比为5的等比数

列，11211()545nnnnaaaa−+−−=−=*()Nn，1245nnnaa−−−=L2141aa−=，()121111545454145115nnnnnaa−−+−−=+++==−−，151nna+=

+，12,51nnna−=+，而12a=满足上式，所以1*51(N)nnan−=+．【小问2详解】由（1）得151nna+=+，515logl(51)ognna+=+，当*Nn时，15(51)5(51)54

0nnnn+−+=−=，当*Nn时，1551nn++，55155(logl51)5oglognnn++，51log(,1)nann++，*N()nbnn=，110001000111000()(1)1nnbbnnnn+==−++，11000(1)1

nSn=−+，20231100020231000(1)(999,1000)20242024S=−=，2023999S=．20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为4

3．（1）若a=2，求椭圆E的标准方程；（2）以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点(10,0)H的最短距离为46，求a的值；（3）当2a=时，设点F为椭圆E的右焦点，(2,0)A−，直线l交E于P、Q（均不与点A重合）两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、1k、2k，若123

0kkkk++=，求FPQ△的周长．【答案】（1）22143xy+=；（2）4；（3）8【解析】【分析】（1）直接利用四边形面积可知23=ab，由2a=即可求出b值，即可求得椭圆方程；（2）设出点M坐

标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及1230kkkk++=可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形FPQ△的周长.【小问1详解】由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为122432ab

=，即23=ab，∵2a=，∴3b=，∴椭圆E的标准方程为22143xy+=；【小问2详解】椭圆的右顶点为(),0a，以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为24yax=，设动点()00,Mxy，则()()()2222

2200000010201004102100102MHxyxxaxxaa=−+=−++=−−+−−当1020a−时，即05a，最小值在对称轴处取得，即()()2210010246a−−=，解得4a=或6a=

（舍去），当1020a−，即05a，最小值在00x=处取得，此时MH最小值为10，不符合题意，故4a=；【小问3详解】设直线l的方程为ykxm=+，()11,Pxy，()22,Qxy，则1112ykx=+，2222ykx=+，故12121212122222yykxmkxmkkxxxx++

+=+=+++++，则()()()()()()()12211212122233322kxmxkxmxkkkkkkkxx+++++++=++=+++()()()12121212224324kxxkmxxmkxxxx++++=++++，当2a=时椭圆的方

程为22143xy+=，将椭圆方程与直线方程联立22143xyykxm+==+可得()2223484120kxkmxm+++−=，()()22222264434412144481920kmkmmk

=−+−=−+，即22340mk−+，122834kmxxk−+=+，212241234mxxk−=+，即()()2221222241282243434334128243434mkmkkmmkkkkkkmkmkk−−+++++++=+−−++++()()222041616

mkmkmkmk−−==−+，故mk=或2mk=，此时均满足0，若mk=，则直线l的方程为ykxk=+，此时直线恒过()1,0−，若2mk=，则直线l的方程为2ykxk=+，此时直线恒过()2,0−，与题意矛盾

，点()1,0−为椭圆的左焦点1F，故FPQ△的周长为1148PFFQPQPFFQPFQFa++=+++==.21.已知函数32()fxaxbxc=−+，其中实数0a，Rb，Rc．（1）3ba=时，求函

数()yfx=的极值点；（2）1a=时，2ln()2xxfxxc−−在[3,4]上恒成立，求b的取值范围；（3）证明：3ba=，且56aca时，经过点(2,)Pa作曲线()yfx=的切线，则切线有

三条．【答案】（1）0是()fx的极大值点，2是()fx的极小值点；（2）7ln42b−；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）运用导数研究单调性进而求得极值点.（2）分离参数得max2(ln)bxxx−−，[3,4]x，运用导数求最值即可.（3）设出切点坐标及切线方程，根据已知条

件可得3200029121cxxxa−++=，进而将问题转化为研究32()29121gxxxx=−++与cya=交点个数即可.【小问1详解】因为3ba=，所以32()3fxaxaxc=−+，定义域为：R.则2()363(2)fxaxaxaxx=−=−，因为0a，所以()00fxx

或2x，()002fxx，所以()fx在(,0)−，(2,)+上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以0是()fx的极大值点，2是()fx的极小值点.【小问2详解】当1a=时，32()fxxbxc=−+，所以232ln2xxxbxx

−−，又因为[3,4]x，所以max2(ln)bxxx−−，[3,4]x.令2()lnhxxxx=−−，[3,4]x，2222217()12224()10xxxhxxxxx−+−+=−+==，所以()hx在[3,4]上单调递增，所以ma

x17()(4)4ln4ln422hxh==−−=−，所以7ln42b−.【小问3详解】证明：因为3ba=，所以32()3fxaxaxc=−+，则2()36fxaxax=−，设切点为00(,)xy，则2000()36fxaxax=−，32000()

3fxaxaxc=−+，则切线方程为32200000(3)(36)()yaxaxcaxaxxx−−+=−−，即：2320000(36)23yaxaxxaxaxc=−−++，将点(2,)Pa代入切线方程得：320002912aaxaxaxc=−+−+，即：3

200029121cxxxa−++=，令32()29121gxxxx=−++，则2()61812gxxx=−+，()01gxx或2x，()012gxx，所以()gx在(,1)−，(2,)+上单调递增，在

(1,2)上单调递减，当1x=时，()gx有极大值为(1)291216g=−++=，当2x=时，()gx有极小值(2)28942415g=−++=，又因为56aca，0a，所以56ca，所以cya=

与()ygx=有三个不同的交点.即：方程3200029121cxxxa−++=有三个不同的根.所以3ba=且56aca时，经过点(2,)Pa作曲线()yfx=的切线，则切线有三条.为