【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，728.583 KB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2023年下学期高一第一次月考数学（时量：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“200,1xxR”的否定是（）A.2,1xx=RB.2,1xx=R

C.200,1xx=RD.200,1=xxR【答案】A【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“200,1xxR”的否定是“2,1xx=R”.故选：A.2.设集合

A含有2−，1两个元素，B含有1−，2两个元素，定义集合AB，满足1xA，2xB且12xxABe，则AB中所有元素之积为（）A.8−B.16−C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根据集合AB的定义先求出集合AB，

然后再把集合中所有元素相乘即可求解.【详解】由题意2,1A=−，1,2B=−，由集合AB的定义可知，集合AB中有以下元素：①()212−−=，②224−=−，③()111−=−，④122=，

根据集合中元素满足互异性去重得4,1,2AB=−−e，所以AB中所有元素之积为()4128−−=.故选：C.3.若函数()31yfx=+的定义域为2,4−，则()yfx=的定义域是（）A.1,1−B.5,13−C.5,1−D.1,13−【答案】B【解析】【分析】根据函

数()31yfx=+中2,4x−，即可得出315,13x+−，即可选出答案.【详解】因为函数()31yfx=+的定义域为2,4−，即24x−所以53+113x−所以()yfx=的定义域是5,13−故选:B.

【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是x的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.4.下列命题正确的是（）A.“ab”是“22ab”的充分条件B.“ab”是“22ab”的必要条件C.“ab”是“22acbc”的充分

条件D.“ab”是“22acbc”的必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由ab推不出22ab，如0a=，1b=-满足ab，但是22ab，故A错误

；对于B：由22ab推不出ab，如1a=−，0b=满足22ab，但是ab，即ab不是22ab的必要条件，故B错误；对于C：由ab推不出22acbc，当0c=时220acbc==，故C错误；对于D：若22acbc，则20c，即

20c，所以ab，即ab是22acbc的必要条件，故D正确；故选：D5.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝()()()()()()()(),,CACBCACBCBCACACB−−若A＝{1，2}，B＝{x|

(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】根据题意可得()1CB=或()3CB=，进而讨论a的范围，确定出()CB，最后得到答案.【详解】因为()2CA=，*1AB

=，所以()1CB=或()3CB=，由20xax+=，得120,xxa==−，关于x的方程220xax++=，当=0时，即22a=时，易知()3CB=，符合题意；当0>时，即22a−或22a时，易知0，-a不是方程220xax++=的

根，故()4CB=，不符合题意；当<0时，即2222a−时，方程220xax++=无实根，若a=0，则B={0}，()1CB=，符合题意，若220a−或022a，则()2CB=，不符合题意.所以0,22,

22S=−，故()3CS=.故选：B.【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.6.函数[]yx=在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[]x

表示不大于x的最大整数，如[1.5]1,[2.3]3,[3]3=−=−=．那么不等式24[]12[]50xx−+成立的充分不必要条件是（）A.15[,]22B.[1,2]C.[1,3)D.[1,3]【答案】B【解析】

【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因24[]12[]50xx−+，则()()21250xx−−，则1522x，又因为[]x表示不大于x的最大整数，所以不等式24[]12[

]50xx−+的解集为：13x，因为所求的时不等式24[]12[]50xx−+成立的充分不必要条件，为所以只要求出不等式24[]12[]50xx−+解集的一个非空真子集即可，选项中只有[1,2]⫋)1,3.故选：B.7.已知1,0,0xyyx+=，则121xxy++的最小值为（）A

.54B.0C.1D.22【答案】A【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】1xy+=，12xy++=，1(1)11221441xyxyxxyxy++++=++++，0,0yx，10,041yxxy++，1111152214414414xyxyxxyxyxy++

+=+++=+++，当且仅当141yxxy+=+，即23x=，13y=时等号成立，故选：A8.黎曼函数()Rx是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()Rx在0,1上的定义为：当q

xp=（pq，且p，q为互质的正整数）时，()1Rxp=；当0x=或1x=或x为()0,1内的无理数时，()0Rx=.已知a，b，0,1ab+，则（）注：p，q为互质的正整数()pq，即qp为已约分的最简真分数.A.()

Rx的值域为10,2B.()()()RabRaRbC.()()()RabRaRb++D.以上选项都不对【答案】B【解析】【分析】设qAxxp==，（pq，且p，q为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选

项，根据黎曼函数()Rx在0,1上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①aA，bA；②aB，bB；③aAbB或aBbA分析讨论即可．【详解】解：设qAxxp==，（pq，且p，q为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝

1或x是[0，1]上的无理数}，对A选项：由题意，()Rx的值域为1110,,,,,23p，其中p是大于等于2的正整数，故选项A错误；对B、C选项：①当aA，bA，则()()()RabRaRb++，()()()RabRaR

b；②当aB，bB，则()()()RabRaRb+=+，()()()RabRaRb＝0；③当aAbB或aBbA，则()()()RabRaRb++，()()()RabRaRb

，所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()Rx在0,1上的定义去分析.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若不等式2

0axbxc−+的解集是(1,2)−，则下列选项正确的是（）A.0b且0cB.0abc−+C.0abc++D.不等式20axbxc++的解集是{|21}xx−【答案】ABD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出a的正负以及,,abc的关系，由此可

判断各选项的对错.【详解】因为20axbxc−+的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以a<0，又因为0420abcabc++=−+=，所以2baca==−；A．0,20baca==−，故正确；B．因为()11,2−，所以0abc−+，故正确；C．因为解

集为()1,2-，所以0abc++=，故错误；D．因20axbxc++即为2220axaxa+−，即220xx+−，解得()2,1x−，故正确；故选：ABD.10.命题:pxR，2220xxm++−

为假命题，则实数m的取值可以是（）A.1−B.0C.1D.2【答案】ABC【解析】【分析】先求出命题为真命题时实数m的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题:px

R，2220xxm++−为真命题，则()2Δ242440mm=−−=−，解得1m，所以当命题:pxR，2220xxm++−为假命题时，1m£，符合条件的为A、B、C选项.故选：ABC.11.设a，b为两个正

数，定义a，b的算术平均数为()2abAab+=,，几何平均数为()Gabab=,，则有：()(),,GabAab，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即()11,pppppabLabab−−+=+，其中p为有理数．如：为()

0.50.50.50.50.5,11ababLababab−−++==++．下列关系正确的是（）A.()()0.5,,LabAabB.()()0,,LabGabC.()()21,,LabLabD.()()1,,nnLabLab+【答案】AC【

解析】【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.【详解】A：()()0.5,,112ababLababAabab++===+，故A对；B：0011022(,)(,)2abababLababGabababab−−+====++，故B

错；C：()222,abLabab+=+，()1,2abLab+=，而()()()()()22222222222222122,1,22ababLabababLabababababab+++++===+++++，故C对；D：

由柯西不等式，()()()()()112111112211(,)1(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababLabababLabababab++++−−+−−+++++===++++，故D错.故选：AC.12.已知集合20,0xxaxba++

=有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.224ab−B.214ab+C.若不等式20xaxb+−的解集为()12,xx，则120xxD.若不等式2xaxbc++<的解集为()12,xx，且124xx−=，则4c=【答案】ABD【解析】【分析】根据集合20,0xx

axba++=子集的个数列方程，求得,ab的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合20,0xxaxba++=有且仅有两个子集，所以2240,4abab=−==，由于0a

，所以0b.A，()22224244abbbb−=−=−−+，当2,22ba==时等号成立，故A正确.B，21114244abbbbb+=+=，当且仅当114,,22bbab===时等号成立，故B正确

.C，不等式20xaxb+−的解集为()12,xx，120xxb=−，故C错误.D，不等式2xaxbc++<的解集为()12,xx，即不等式20xaxbc++-<的解集为()12,xx，且124xx−=

，则1212,xxaxxbc+=−=−，则()()22212121244416xxxxxxabcc−=+−=−−==，4c=，故D正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知111fxx=+，那么f(x)的解析式为________.【答案】()(0,

1)1xfxxxx=−+.【解析】【分析】用1x代换已知式中的x，可得，注意x有取值范围．【详解】解：由111fxx=+可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，用1x代换x，代入上式得：f(x)=111

x+=1xx+，故答案为：()(0,1)1xfxxxx=−+．【点睛】本题考查求函数解析式，掌握函数这定义是解题关键．求解析式时要注意自变量的取值范围．14.设集合{43}Mxx=−∣，={+2<<21,}Nxtxtt−R∣，若MNN=，则实数t的取值范围为_____

_______．【答案】(,3−【解析】【分析】由MNN=可知NM，讨论N=与N，即可求出答案.【详解】因为MNN=，所以NM，当N=时：2213ttt+−，满足题意；当N时：+2<21>34+262132ttttttt−−−

−，无解；所以实数t的取值范围为(,3−.故答案为：(,3−15.已知函数()2fxx=−，()()224Rgxxmxm=−+，若对任意11,2x，存在24,5x，使得()()12gxfx=，则m的

取值范围______．【答案】5,24【解析】【分析】由题意可判断()(),12,45yygxxyyfxx==，由此求出()2,3fx，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.【详解】由题意知()(),12,45yygxxyyfxx=

=；当4,5x时，()2,3fx，故()()224Rgxxmxm=−+需同时满足以下两点：①对1,2x时，()2243gxxmx=−+∴12mxx+恒成立，由于当1,2x时

，1yxx=+为增函数，∴1522,24mm+；②对1,2x时，()2242gxxmx=−+，∴22mxx+恒成立，由于222xx+，当且仅当2xx=，即2[1,2]x=时取得等

号，∴222,2mm，∴5,24m，故答案为：5,2416.若,abR，且22231aabb+−=，则22ab+的最小值为_______.【答案】514+【解析】【分析】根据

a2+2ab﹣3b2=1得到(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，用x，y表示a，b，然后代入a2+b2，利用均值不等式求解.【详解】由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，则xy=1且a34

xy+=，b4xy−=，所以a2+b2=(34xy+)2+(4xy−)222222525251884xyxy++++==，当且仅当x25=，y255=时取等号.故答案为514+.【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题：共70分．解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）17.已知全集U=R，集合502xAxx−=−，11,Bxaxaa=−+R.（1）当2a=时，求()()UUAB痧；（2）若xA是

xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）()()1UUABxx=痧或5x（2）34aa【解析】【分析】（1）当2a=时，求出集合A、B，利用补集和交集的定义可求得集合()()UUAB痧；（2）分析可知，BA，利用集合的包含关系可得出关于实数a的不等

式组，由此可解得实数a的取值范围.【小问1详解】因为50252xAxxxx−==−，当2a=时，13Bxx=，因为全集U=R，则2UAxx=ð或5x，1UBxx=

ð或3x，因此，()()1UUABxx=痧或5x.【小问2详解】易知集合11,Bxaxaa=−+R为非空集合，因为xA是xB的必要不充分条件，则BA，所以，1215aa−+，解得34a

.因此，实数a的取值范围是34aa.18.已知a，b，c均为正实数，且1abc++=．（1）求证：1111118abc−−−；（2）求111abc++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1

）根据111111111++++++−−−=−−−abcabcabcabcabc结合基本不等式即可得证；（2）根据111abcabcabcabcabc++++++++=++结合基本不等式即可得

解.【小问1详解】原式111abcabcabcabc++++++=−−−()()()bcacababc+++=222bcacababc8abcabc=8=.当且仅当13abc===是取等号，所以1111118abc−−−

；【小问2详解】原式abcabcabcabc++++++=++3bacacbabacbc=++++++2223bacacbabacbc+++2339=+=.当且仅当13abc===是取等号，所

以111abc++的最小值为9．19.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy最小值；（2）x+y的最小值..【答案】（1）64（2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28xyxy+=变形为分式型281yx+=，利用“1”的

代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵0x，0y，280xyxy+−=，∴282168xyxyxyxy=+=，当且仅当28xy=时取等号，的∴8xy∴64xy，当且仅当416xy==时取等

号，故xy的最小值为64.【小问2详解】∵28xyxy+=，则281yx+=，又∵0x，0y，∴282828()()1010218xyxyxyxyyxyxyx+=++=+++=，当且仅当212xy==时取等号，故xy+的最小值为

18.20.济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足220t，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当1020t时列

车为满载状态，载客量为500人，当210t时，载客量会减少，减少的人数与(10)t−的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()pt.（1）求()pt的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()()82656

=60ptQtt−−（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1）2300+402,2<10()=500,1020tttptt−；450（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟

的净收益最大为132元.【解析】【分析】（1）由题设，有2()500(10)ptkt=−−且(2)=372p，求k值，进而写出其分段函数形式即可.（2）由（1）写出()Qt解析式，讨论210t、1020t求最大值即可.【小问1详解】由题设，当210t时，令2()500(10)

ptkt=−−，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)500(102)372pk=−−=，解得=2k.的∴2300+402,2<10()=500,1020tttptt−，故=5t时，2(5)5002(105)450p=−−=，

所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.【小问2详解】由（1）知：25626016,2<10()=134460,1020tttQttt−−−，∵210t时，256()260216132Qttt−=当且仅当=4t等号成立，∴210t上max()(4

)132QtQ==，而1020t上，()Qt单调递减，则max()(10)74.4QtQ==，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.21.已知二次函数22yaxbx=++（a，b为实数）（1）若

1x=时，1y=且对()2,5x，0y恒成立，求实数a的取值范围；（2）若1x=时，1y=且对2,1a−−，0y恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）322a−（2）117117,44−+

【解析】【分析】（1）由题意求出1ba=−−可得()2120yaxax=−++对()2,5x恒成立，分离参数，即得2max2xaxx−−，令()20,3tx=−，则可得()123fttt

=++，利用基本不等式即可求得答案；（2）由题意()212yaxax=−++，变更主元：令a为主元，视x为参数，则()()220gaxxax=−+−，对2,1a−恒成立，由此可得不等式组，即可求得答案.【小问1详解】将1x=，1y=代入得1,1abba+=−=−−∴()2120yax

ax=−++对()2,5x恒成立，即()22axxx−−对()2,5x恒成立，当()2,5x时，由于2yxx=-在()2,5上单调递增，故22220xx−−，∴2max2xaxx−−，()2,5x，令()20,3tx=−，则()()()22113

22232222323ttfttttttttt====−+++−++++，当且仅当2tt=，即()20,3t=时等号成立，∴322a−；【小问2详解】由题意()()21,12bayaxax=−+=−++，变更主元：令a为主元，视x为参数，令()()22gaxxax

=−+−，对2,1a−，()()220gaxxax=−+−恒成立，故只需()()()2222220120gxxxgxxx−=−++−−=−−+−，即2222020xxx−−−，解得1171

17117117,,444422xxx−+−+−.22.已知函数()2fxxx=+−，()()2gxxx=−．（1）求函数()fx的定义域和值域；（2）已知a为非零实数，记函数()()()xxhfgxa=−的最

大值为()ma，求()ma．【答案】（1）0,2，2,2（2）12,02112(),22222,2aaamaaaaa−=+且【解析】【分析】（1）根据根式概念可得()fx定义域，再计算()()222211f

xx=+−−+，结合二次函数值域求解可得()fx值域；（2）令22,2txx=+−，设函数()22aFttta=−++，2,2t，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.【小问1详解】定义域：00,220xxx−，()()()222222fx

xxxxxx=+−=+−+−()22211x=+−−+当0,2x时，()2110,1x−−+，∴()()22,4,0fxfx，∴()2,2fx；【小问2详解】()()22hxxxaxx=+−−−，令22,2txx=

+−，则()()22222222ttxxxx−=+−−=，设()22222taFttatta−=−=−++，2,2t，1°若a<0，此时二次函数对称轴102ta=，开口向上，则()()max2FtF=2a=−.的2

°若0a，此时对称轴：10ta=，①当12a即102a时，开口向下，则()()max2FtF=2a=−；②当122a即1222a，对称轴1ta=，开口向下，则()max1FtFa=12aa=+，③12a即22a时，开口向下，()()max2FtF=2=；综上：12

,02112(),22222,2aaamaaaaa−=+且.